建模示例-投資的收益和風(fēng)險

數(shù)學(xué)建模示例

（1998A）

——投資的收益和風(fēng)險

市場上有n種資產(chǎn)Si(i=1,2……n)可以選擇,現(xiàn)用數(shù)額為M的相當(dāng)大的資金作一個時期的投資.這n種資產(chǎn)在這一時期內(nèi)購買Si的平均收益率為ri,風(fēng)險損失率為qi,投資越分散,總的風(fēng)險越小,總體風(fēng)險可用投資的Si中最大的一個風(fēng)險來度量.購買Si時要付交易費(費率pi),當(dāng)購買額不超過給定值ui時,交易費按購買ui計算.另外,假定同期銀行存款利率是r0,既無交易費又無風(fēng)險(r0=5%).已知n=4時相關(guān)數(shù)據(jù)如下：Siri(%)qi(%)pi(%)ui(元)S1282.51103S2211.52198S3235.54.552S4252.66.540

建模示例——投資的收益和風(fēng)險(1998A)1)試給設(shè)計一種投資組合方案,即用給定達到資金M,有選擇地購買若干種資產(chǎn)或存銀行生息,使凈收益盡可能大,使總體風(fēng)險盡可能小.2)使就一般情況對以上問題進行討論，并利用下表數(shù)據(jù)進行計算:Siri(%)qi(%)pi(%)ui(元)S19.6422.1181S218.5543.2407S349.4606.0428S423.9421.5549S58.11.27.6270S614393.4397S740.7685.6178S831.233.43.1220S933.653.32.7457S1036.8402.9248Siri(%)qi(%)pi(%)ui(元)S1111.8315.1)195S1295.55.7320S1335462.7267S149.45.34.5328S1515237.6131基本假設(shè)：1.投資數(shù)額M相當(dāng)大,為了便于計算，假設(shè)M=1；2.投資越分散，總的風(fēng)險越?。?.總體風(fēng)險用投資項目Si中最大的一個風(fēng)險來度量；4.n種資產(chǎn)Si之間是相互獨立的；5.在投資的這一時期內(nèi),ri,pi,qi,r0為定值,不受意外因素影響;6.凈收益和總體風(fēng)險只受ri,pi,qi影響，不受其他因素干擾。二、基本假設(shè)和符號規(guī)定符號規(guī)定：Si-------第i種投資項目，如股票，債券;ri,pi,qi----分別為Si的平均收益率,風(fēng)險損失率,交易費率;ui---------Si的交易定額;

r0---------同期銀行利率;xi

-------投資項目Si的資金;Q(x)------總體收益函數(shù);P(x)-------總體風(fēng)險函數(shù)；三、模型的建立與分析總體風(fēng)險用所投資的Si中最大的一個風(fēng)險來衡量,即max{qixi|i=1，2,…n}2．購買Si所付交易費是一個分段函數(shù),即交易費=

pimax{ui,xi};3．要使凈收益盡可能大,總體風(fēng)險盡可能小,這是一個多目標(biāo)規(guī)劃模型:

目標(biāo)約束條件4.模型簡化：2)簡化總體風(fēng)險函數(shù)P(x):

1)簡化總收益函數(shù)Q(x)購買Si所付交易費是一個分段函數(shù),即交易費=pimax{ui,xi};而題目所給定的定值ui(單位:元)相對總投資M很小,piui更小,可以忽略不計,這樣購買Si的凈收益為(ri-pi)xi簡化后的模型——雙目標(biāo)線性規(guī)劃模型四、模型求解解法1固定風(fēng)險水平，極大化凈收益——模型1解法2固定凈收益水平,極小化風(fēng)險損失——模型2解法3權(quán)衡資產(chǎn)風(fēng)險和預(yù)期凈收益兩方面,對風(fēng)險、收益賦予權(quán)重s和1－s(s稱為投資偏好系數(shù))——模型3模型1確定風(fēng)險水平a0，使每一項投資的風(fēng)險損失不超過a0*M，并極大化凈收益，來得到最優(yōu)投資組合——把多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題通常在分析問題時，需要取多組不同的風(fēng)險水平a0，觀察凈收益的變化情況，以便給出合理的風(fēng)險水平a0。如取風(fēng)險水平a0＝0:0.001:0.1，可看出凈收益的變化情況如圖。1.00000000.660.080.130.040.080.0020.330.160.270.070.150.004

00.240.400.110.220.00600.320.530.1300.00800.400.58000.0100.480.51000.01200.560.43000.01400.640.35000.01600.720.27000.01800.800.19000.02000.880.11000.02200.960.03000.02400.990000.026a0＝0.006<----->a0＝0.025模型1結(jié)果分析：返回4.在a=0.006附近有一個轉(zhuǎn)折點，在這一點左邊，風(fēng)險增加很少時，利潤增長很快。在這一點右邊，風(fēng)險增加很大時，利潤增長很緩慢，所以對于風(fēng)險和收益沒有特殊偏好的投資者來說，應(yīng)該選擇曲線的拐點作為最優(yōu)投資組合。3.曲線上的任一點都表示該風(fēng)險水平的最大可能收益和該收益要求的最小風(fēng)險。對于不同風(fēng)險的承受能力，選擇該風(fēng)險水平下的最優(yōu)投資組合。2.當(dāng)投資越分散時，投資者承擔(dān)的風(fēng)險越小，這與題意一致。即:冒險的投資者會出現(xiàn)集中投資的情況，保守的投資者則盡量分散投資。1.風(fēng)險大，收益也大。模型2確定凈收益水平下限b0，使每一項投資的凈收益不低于b0，并極小化風(fēng)險，來得到最優(yōu)投資組合——把多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題同樣在分析問題時，取多組不同的收益水平下限b0，觀