圓錐曲線中的仿射變換、非對(duì)稱韋達(dá)、光學(xué)性質(zhì)問(wèn)題（原卷版）

專題43圓錐曲線中的仿射變換、非對(duì)稱韋達(dá)、光學(xué)性質(zhì)問(wèn)題【題型歸納目錄】題型一：仿射變換問(wèn)題題型二：非對(duì)稱韋達(dá)問(wèn)題題型三：橢圓的光學(xué)性質(zhì)題型四：雙曲線的光學(xué)性質(zhì)題型五：拋物線的光學(xué)性質(zhì)【方法技巧與總結(jié)】一、仿射變換問(wèn)題仿射變換有如下性質(zhì)：1、同素性：在經(jīng)過(guò)變換之后，點(diǎn)仍然是點(diǎn)，線仍然是線；2、結(jié)合性：在經(jīng)過(guò)變換之后，在直線上的點(diǎn)仍然在直線上；3、其它不變關(guān)系．我們以橢圓為例闡述上述性質(zhì)．橢圓，經(jīng)過(guò)仿射變換，則橢圓變?yōu)榱藞A，并且變換過(guò)程有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：（1）點(diǎn)變?yōu)?；?）直線斜率變?yōu)椋瑢?duì)應(yīng)直線的斜率比不變；（3）圖形面積變?yōu)?，?duì)應(yīng)圖形面積比不變；（4）點(diǎn)、線、面位置不變（平?直線還是平?直線，相交直線還是相交直線，中點(diǎn)依然是中點(diǎn)，相切依然是相切等）；（5）弦長(zhǎng)關(guān)系滿足，因此同一條直線上線段比值不變，三點(diǎn)共線的比不變總結(jié)可得下表：變換前變換后方程橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)斜率面積弦長(zhǎng)不變量平行關(guān)系；共線線段比例關(guān)系；點(diǎn)分線段的比二、非對(duì)稱韋達(dá)問(wèn)題在一元二次方程中，若，設(shè)它的兩個(gè)根分別為，則有根與系數(shù)關(guān)系：，借此我們往往能夠利用韋達(dá)定理來(lái)快速處理之類的結(jié)構(gòu)，但在有些問(wèn)題時(shí)，我們會(huì)遇到涉及的不同系數(shù)的代數(shù)式的應(yīng)算，比如求或之類的結(jié)構(gòu)，就相對(duì)較難地轉(zhuǎn)化到應(yīng)用韋達(dá)定理來(lái)處理了．特別是在圓錐曲線問(wèn)題中，我們聯(lián)立直線和圓錐曲線方程，消去或，也得到一個(gè)一元二次方程，我們就會(huì)面臨著同樣的困難，我們把這種形如或之類中的系數(shù)不對(duì)等的情況，這些式子是非對(duì)稱結(jié)構(gòu)，稱為“非對(duì)稱韋達(dá)”．三、光學(xué)性質(zhì)問(wèn)題1、橢圓的光學(xué)性質(zhì)從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)（如圖1）．【引理1】若點(diǎn)在直線的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)是直線上到兩點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)與點(diǎn)連線和直線的交點(diǎn)．【引理2】若點(diǎn)在直線的兩側(cè)，且點(diǎn)到直線的距離不相等，設(shè)點(diǎn)是直線上到點(diǎn)距離之差最大的點(diǎn)，即最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)與點(diǎn)連線的延長(zhǎng)線和直線的交點(diǎn)．【引理3】設(shè)橢圓方程為，分別是其左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓外，則．2、雙曲線的光學(xué)性質(zhì)從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)（如圖）．【引理4】若點(diǎn)在直線的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)是直線上到兩點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)與點(diǎn)連線和直線的交點(diǎn)．【引理5】若點(diǎn)在直線的兩側(cè)，且點(diǎn)到直線的距離不相等，設(shè)點(diǎn)是直線上到點(diǎn)距離之差最大的點(diǎn)，即最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)與點(diǎn)連線的延長(zhǎng)線和直線的交點(diǎn)．【引理6】設(shè)雙曲線方程為，分別是其左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)在雙曲線外（左、右兩支中間部分，如圖），則．3、拋物線的光學(xué)性質(zhì)從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線與拋物線的軸平行（或重合）．反之，平行于拋物線的軸的光線照射到拋物線上，經(jīng)反射后都通過(guò)焦點(diǎn)．【結(jié)論1】已知：如圖，拋物線，為其焦點(diǎn)，是過(guò)拋物線上一點(diǎn)的切線，是直線上的兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)），直線平行于軸．求證：．（入射角等于反射角）【結(jié)論2】已知：如圖，拋物線，是拋物線的焦點(diǎn)，入射光線從點(diǎn)發(fā)出射到拋物線上的點(diǎn)，求證：反射光線平行于軸．【典例例題】題型一：仿射變換問(wèn)題例1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）MN是橢圓上一條不過(guò)原點(diǎn)且不垂直于坐標(biāo)軸的弦，P是MN的中點(diǎn)，則_________，A，B是該橢圓的左右頂點(diǎn)，Q是橢圓上不與A，B重合的點(diǎn)，則_________．CD是該橢圓過(guò)原點(diǎn)O的一條弦，直線CQ，DQ斜率均存在，則_________．例2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，作斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且在直線的上方，則△內(nèi)切圓的圓心所在的定直線方程為__________________________．例3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）Р是橢圓上任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)Q的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，并且，則面積為______________．變式1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)______，面積最大，并且最大值為______.記，當(dāng)面積最大時(shí)，_____﹐_______.Р是橢圓上一點(diǎn)，，當(dāng)面積最大時(shí)，______.變式2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓左頂點(diǎn)為，為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，直線交于，直線交于，直線的斜率分別為且，（是非零實(shí)數(shù)），求______________.題型二：非對(duì)稱韋達(dá)問(wèn)題例4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)是，左右頂點(diǎn)是，離心率是，過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q(不是左、右頂點(diǎn))，且的周長(zhǎng)是，直線與交于點(diǎn)M.(1)求橢圓的方程；(2)(ⅰ)求證直線與交點(diǎn)M在一條定直線l上；(ⅱ)N是定直線l上的一點(diǎn)，且PN平行于x軸，證明：是定值．例5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)A，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線AM與BN相交于點(diǎn)Q．證明：點(diǎn)Q在定直線上．例6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）點(diǎn)是橢圓的左右頂點(diǎn)若直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，求證：直線AM與直線的交點(diǎn)在一條定直線上．變式3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知、分別是離心率的橢圓的左右項(xiàng)點(diǎn)，P是橢圓E的上頂點(diǎn)，且.（1）求橢圓E的方程；（2）若動(dòng)直線過(guò)點(diǎn)，且與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn).變式4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓：（）過(guò)點(diǎn)，且離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)記橢圓的上下頂點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，證明：直線與的交點(diǎn)在定直線上，并求出該定直線的方程．題型三：橢圓的光學(xué)性質(zhì)例7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖①，橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).如圖②，雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).如圖③，一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線構(gòu)成，已知與的離心率之比為.現(xiàn)一光線從右焦點(diǎn)發(fā)出，依次經(jīng)與的反射，又回到了點(diǎn)，歷時(shí)秒.將裝置中的去掉，如圖④，此光線從點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)兩次反射后又回到了點(diǎn)，歷時(shí)___________.秒例8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下題：已知曲線的方程為，其左、右焦點(diǎn)分別是，，直線與橢圓切于點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線與橢圓長(zhǎng)軸交于點(diǎn)，則A． B． C． D．例9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓錐曲線具有豐富的光學(xué)性質(zhì)，從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．直線l：與橢圓C：相切于點(diǎn)P，橢圓C的焦點(diǎn)為，，由光學(xué)性質(zhì)知直線，與l的夾角相等，則的角平分線所在的直線的方程為（

）A． B．C． D．題型四：雙曲線的光學(xué)性質(zhì)例10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過(guò)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線都匯聚到雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)上.已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，從發(fā)出的光線射向上的點(diǎn)后，被反射出去，則入射光線與反射光線夾角的余弦值是（

）A． B． C． D．例11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）根據(jù)圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).由此可得，連雙曲線上任意一點(diǎn)的切線，平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角．請(qǐng)解決下列問(wèn)題：已知分別是雙曲線C：的左.右焦點(diǎn)，若從發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線右支上的點(diǎn)反射后，反射光線為射線AM，則的角平分線所在的直線的斜率為（

）A． B． C． D．題型五：拋物線的光學(xué)性質(zhì)例12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對(duì)稱軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，一平行于x軸的光線從點(diǎn)M(3，1)射入，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)B射出，則直線AB的斜率為（

）A． B．－C．± D．－例13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過(guò)焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，一條平行于x軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)B射出，則的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．例14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知：如圖，拋物線，為其焦點(diǎn)，是過(guò)拋物線上一點(diǎn)的切線，是直線上的兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)），直線平行于軸．求證：．（入射角等于反射角）變式5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知：如圖，拋物線，是拋物線的焦點(diǎn)，入射光線從點(diǎn)發(fā)出射到拋物線上的點(diǎn)，求證：反射光線平行于軸．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）橢圓滿足這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)射光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．現(xiàn)在設(shè)有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤，滿足方程：，點(diǎn)A、B是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，當(dāng)靜止的小球放在點(diǎn)A處，從A點(diǎn)沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后，再回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過(guò)的最長(zhǎng)路程是A．20 B．18 C．16 D．142．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過(guò)反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線都匯聚到雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)上，若雙曲線E的焦點(diǎn)分別為，，經(jīng)過(guò)且與垂直的光線經(jīng)雙曲線E反射后，與成45°角，則雙曲線E的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，今有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤，點(diǎn)，是它的焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為，靜放在點(diǎn)的小球（小球的半徑不計(jì)），從點(diǎn)沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點(diǎn)時(shí)，小球經(jīng)過(guò)的路程可以是（

）A． B． C． D．4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).由此可得，過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)的切線，平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角.請(qǐng)解決下面問(wèn)題：已知、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為在第一象限上的點(diǎn)，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且為的平分線，則下列正確的是（

）A．B．C．點(diǎn)到軸的距離為D．的角平分線所在直線的傾斜角為三、填空題5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則面積最大值為_______.6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知A，B，C分別是橢圓上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則面積最大值為_____________.7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓，分別為橢圓左右焦點(diǎn)，過(guò)作兩條互相平行的弦，分別與橢圓交于四點(diǎn)，若當(dāng)兩條弦垂直于軸時(shí)，點(diǎn)所形成的平行四邊形面積最大，則橢圓離心率的取值范圍為______________.8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)了它們的光學(xué)性質(zhì)．比如橢圓，他發(fā)現(xiàn)如果把橢圓焦點(diǎn)F一側(cè)做成鏡面，并在F處放置光源，那么經(jīng)過(guò)橢圓鏡面反射的光線全部都會(huì)經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)．設(shè)橢圓方程為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓上的點(diǎn)A和點(diǎn)B反射后，滿足，則該橢圓的離心率為_________．四、解答題9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓C：的左焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線的傾斜角為60o,.(1)求橢圓C的離心率；(2)如果|AB|=，求橢圓C的方程.10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）橢圓有兩個(gè)頂點(diǎn)過(guò)其焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求直線的方程；（2）當(dāng)點(diǎn)異于兩點(diǎn)時(shí)，證明：為定值．11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知、分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，、在橢圓上，且，設(shè)直線、的斜率分別為、，證明：為定值．12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓：（）的左右焦點(diǎn)分別為，，分別為左右頂點(diǎn)，直線：與橢圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，是橢圓的上頂點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上．(3)設(shè)直線的斜率分別為，證明：為定值．13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知的左、右頂點(diǎn)為、，右焦點(diǎn)為，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線、與橢圓分別交于點(diǎn)、，其中，，．（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡；（2）設(shè)，，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)，求證：直線必過(guò)軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與無(wú)關(guān)）．14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，橢圓：，a，b為常數(shù))，動(dòng)圓，．點(diǎn)分別為的左，右頂點(diǎn)，與相交于A，B，C，D四點(diǎn)．(1)求直線與直線交點(diǎn)M的軌跡方程;(2)設(shè)動(dòng)圓與相交于四點(diǎn)，其中，．若矩形與矩形的面積相等，證明：為定值．15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓左頂點(diǎn)為，為原點(diǎn)，，是直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，直線和分別與橢圓交于，兩點(diǎn)（1）若，求的面積的最小值；（2）若，，三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)的值.16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓:的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，左、右頂點(diǎn)分別為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)（不與點(diǎn)重合）.（1）求橢圓的方程及離心率；（2）求四邊形面積的最大值；（3）若直線與直線相交于點(diǎn)，判斷點(diǎn)是否位于一條定直線上？若是，寫出該直線的方程.（結(jié)論不要求證明）17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓C上的一點(diǎn)，當(dāng)PF1⊥F1F2時(shí)，|PF2|＝2|PF1|．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）過(guò)點(diǎn)Q（﹣4，0）的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)M′，證明：直線NM′過(guò)定點(diǎn)．18．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且．（Ⅰ）求橢圓C的方程：（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓C于點(diǎn),直線分別交直線于點(diǎn)．求的值．19．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓（）的焦距等于其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，為橢圓的上、下頂點(diǎn)，且（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于異于的兩點(diǎn)，直線交于點(diǎn)．求證：點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值3．20．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，離心率為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)M，N為橢圓C上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且，記直線AM，BN的斜率分別為，且,求直線的方程.21．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知：如圖，橢圓，分別是其左、右焦點(diǎn)，是過(guò)橢圓上一點(diǎn)的切線，是直線上的兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)）．求證：．（人射角等于反射角）22．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）生活中，橢圓有很多光學(xué)性質(zhì)，如從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線射到橢圓鏡面后反射，反射光線經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn).現(xiàn)橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，從下焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)過(guò)橢圓鏡面反射到上焦點(diǎn)，這束光線的總長(zhǎng)度為4，且反射點(diǎn)與焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積最大值為，已知橢圓的離心率e.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若從橢圓C中心O出發(fā)的兩束光線OM、ON，分別穿過(guò)橢圓上的A、B點(diǎn)后射到直線上的M、N兩點(diǎn)，若AB連線過(guò)橢圓的上焦點(diǎn)，試問(wèn)，直線BM與直線AN能交于一定點(diǎn)嗎？若能，求出此定點(diǎn)：若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.23．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）歐幾里得生活的時(shí)期人們就發(fā)現(xiàn)了橢圓有如下的光學(xué)性質(zhì)：由橢圓一焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射后必經(jīng)過(guò)另一焦點(diǎn)現(xiàn)有一橢圓，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，從一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的一條光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁上一點(diǎn)反射之后恰好與軸垂直，且．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知為該橢圓的左頂點(diǎn)，若斜率為且不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，且滿足．①證明：直線過(guò)定點(diǎn)；②若，求的值．24．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）歷史上第一個(gè)研究圓錐曲線的是梅納庫(kù)莫斯（公元前375年-325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：如圖甲，從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，其中法線表示與橢圓C的切線垂直且過(guò)相應(yīng)切點(diǎn)的直線，如圖乙，橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，由發(fā)出的光經(jīng)橢圓兩次反