初中數(shù)學最短路徑問題課件

初中數(shù)學最短路徑問題初中數(shù)學最短路徑問題初中數(shù)學最短路徑問題課件說明本節(jié)課以數(shù)學史中的一個經(jīng)典問題——“將軍飲馬問題”為載體開展對“最短路徑問題”的課題研究，讓學生經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學的線段和最小問題，再利用軸對稱將線段和最小問題轉化為“兩點之間，線段最短”（或“三角形兩邊之和大于第三邊”）問題．第一頁，共25頁。初中數(shù)學最短路徑問題初中數(shù)學最短路徑問題初中數(shù)學最短路徑問題課件說明本節(jié)課以數(shù)學史中的一個經(jīng)典問題——“將軍飲馬問題”為載體開展對“最短路徑問題”的課題研究，讓學生經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學的線段和最小問題，再利用軸對稱將線段和最小問題轉化為“兩點之間，線段最短”（或“三角形兩邊之和大于第三邊”）問題．第二頁，共25頁。課件說明本節(jié)課以數(shù)學史中的一個經(jīng)典問題——“將軍飲第二頁，學習目標：能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題，體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉化思想．學習重點：利用軸對稱將最短路徑問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題．課件說明第三頁，共25頁。學習目標：課件說明第三頁，共25頁。

引言：

前面我們研究過一些關于“兩點的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}．現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié)將利用數(shù)學知識探究數(shù)學史中著名的“將軍飲馬問題”．引入新知第四頁，共25頁。引言：引入新知第四頁，共25頁。問題1

相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？探索新知BAl第五頁，共25頁。問題1相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久探索新知BA精通數(shù)學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題．這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”．你能將這個問題抽象為數(shù)學問題嗎？探索新知BAl第六頁，共25頁。精通數(shù)學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的探索新知B追問1

這是一個實際問題，你打算首先做什么？將A，B兩地抽象為兩個點，將河l抽象為一條直線．探索新知B··Al第七頁，共25頁。追問1這是一個實際問題，你打算首先做什么？將A，（1）從A地出發(fā)，到河邊l飲馬，然后到B地；（2）在河邊飲馬的地點有無窮多處，把這些地點與A，B連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A地到飲馬地點，再回到B地的路程之和；探索新知追問2

你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數(shù)學問題嗎？第八頁，共25頁。（1）從A地出發(fā)，到河邊l飲馬，然后到B地；探索新知探索新知追問2

你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數(shù)學問題嗎？（3）現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點．設C為直線上的一個動點，上面的問題就轉化為：當點C在l的什么位置時，

AC與CB的和最小（如圖）．BAlC第九頁，共25頁。探索新知追問2你能用自己的語言說明這個問題的意思，（3追問1

對于問題2，如何將點B“移”到l的另一側B′處，滿足直線l上的任意一點C，都保持CB與CB′的長度相等？探索新知問題2

如圖，點A，B在直線l的同側，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最??？B·lA·第十頁，共25頁。追問1對于問題2，如何探索新知問題2如圖，點A追問2

你能利用軸對稱的有關知識，找到上問中符合條件的點B′嗎？探索新知問題2

如圖，點A，B在直線l的同側，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最??？B·lA·第十一頁，共25頁。追問2你能利用軸對稱的探索新知問題2如圖，點A作法：（1）作點B關于直線l的對稱點B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點C．則點C即為所求．探索新知問題2

如圖，點A，B在直線l的同側，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最??？B·lA·B′C第十二頁，共25頁。作法：探索新知問題2如圖，點A，B在直線l的探索新知問題3

你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′C第十三頁，共25頁。探索新知問題3你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎？證明：如圖，在直線l上任取一點C′（與點C不重合），連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質(zhì)知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC

=AC+B′C=AB′，AC′+BC′

=AC′+B′C′．探索新知問題3

你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′CC′第十四頁，共25頁。證明：如圖，在直線l上任取一點C′（與點C不探索新知探索新知問題3

你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′CC′證明：在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．第十五頁，共25頁。探索新知問題3你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎？若直線l上任意一點（與點C不重合）與A，B兩點的距離和都大于AC+BC，就說明AC+BC最?。剿餍轮狟·lA·B′CC′追問1

證明AC+BC最短時，為什么要在直線l上任取一點C′（與點C不重合），證明AC+BC＜AC′+BC′？這里的“C′”的作用是什么？第十六頁，共25頁。若直線l上任意一點（與點探索新知B·lA·B′CC′探索新知追問2

回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問題的？B·lA·B′CC′第十七頁，共25頁。探索新知追問2回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的B造橋選址問題如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.喬早在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）BA第十八頁，共25頁。造橋選址問題如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座思維分析BA

1、如圖假定任選位置造橋ＭＮ，連接ＡＭ和ＢＮ，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？ＭＮ

2、利用線段公理解決問題我們遇到了什么障礙呢？第十九頁，共25頁。思維分析BA1、如圖假定任選位置造橋ＭＮ，連接我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉化到一側呢？什么圖形變換能幫助我們呢？思維火花各抒己見1、把A平移到岸邊.2、把B平移到岸邊.3、把橋平移到和A相連.4、把橋平移到和B相連.古有愚公移山，今有學子搬橋，呵呵!第二十頁，共25頁。我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋上述方法都能做到使AM+MN+BN不變呢？請檢驗.合作與交流1、2兩種方法改變了.怎樣調(diào)整呢？把A或B分別向下或上平移一個橋長那么怎樣確定橋的位置呢?第二十一頁，共25頁。上述方法都能做到使AM+MN+BN不變呢？請檢驗.合作與交流問題解決BAA1MN如圖，平移A到A1，使ＡA1等于河寬，連接A1Ｂ交河岸于Ｎ作橋ＭＮ，此時路徑ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.理由；另任作橋Ｍ１Ｎ１，連接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.Ｎ１Ｍ１由平移性質(zhì)可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.AM+MN+BN轉化為ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１轉化為ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由線段公理知A1N1+BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞AM+MN+BN第二十二頁，共25頁。問