2022-2023學(xué)年北京市大興區(qū)高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期末檢測(cè)數(shù)學(xué)試題【含答案】

大興區(qū)2022～2023學(xué)年度第二學(xué)期期末檢測(cè)試卷高一數(shù)學(xué)2023.07考生須知1．本試卷共4頁(yè)，共兩部分，21道小題.滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.2．在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫學(xué)校名稱、班級(jí)、姓名和準(zhǔn)考證號(hào).3．試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.4．在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他題用黑色字跡簽字筆作答.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.復(fù)數(shù)（）A.0 B.2 C. D.【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】.故選：C2.已知向量與，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及平面向量基本定理計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)榕c，又，所以，所以.

故選：A3.某學(xué)校現(xiàn)有小學(xué)和初中學(xué)生共2000人，為了解學(xué)生的體質(zhì)健康合格情況，決定采用分層抽樣的方法從全校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為400的樣本，其中被抽到的初中學(xué)生人數(shù)為180，那么這所學(xué)校的初中學(xué)生人數(shù)為（）A.800 B.900 C.1000 D.1100【答案】B【分析】確定樣本容量與總體容量的比值，根據(jù)分層抽樣的方法得出答案.【詳解】樣本容量與總體容量的比值為，設(shè)這所學(xué)校的初中學(xué)生人數(shù)為則被抽到的初中學(xué)生人數(shù)為，那么這所學(xué)校的初中學(xué)生人數(shù)為故選：B.4.已知在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（）A.3 B.4C.5 D.【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式即可得解.【詳解】因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，.故選：C.5.已知平面，，直線，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】若且得不到，此時(shí)與可能相交，故充分性不成立，若又，則，故必要性成立，所以“”是“”的必要而不充分條件.故選：B6.設(shè)，為非零向量，且滿足，則（）A.0 B.－1 C.1 D.2【答案】A【分析】將兩邊平方即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，即，所?故選：A.7.在中，，，，則（）A. B. C.5 D.7【答案】D【分析】由余弦定理及題干所給條件，代入求解即可.【詳解】因?yàn)?，所?由余弦定理，得，解得.故選：D.8.某校舉辦知識(shí)競(jìng)賽，將人的成績(jī)整理后畫出的頻率分布直方圖如下．則根據(jù)頻率分布直方圖，下列結(jié)論正確的是（）A.中位數(shù)估計(jì)為 B.眾數(shù)估計(jì)為C.平均數(shù)估計(jì)為 D.第百分位數(shù)估計(jì)為【答案】C【分析】設(shè)頻率分布直方圖中與所對(duì)應(yīng)的縱軸為，根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為得到方程，求出，再根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)及眾數(shù)的計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得.【詳解】設(shè)頻率分布直方圖中與所對(duì)應(yīng)的縱軸為，則，解得，所以平均數(shù)為，故C正確；眾數(shù)為，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以中位?shù)為，故A錯(cuò)誤；因?yàn)椋诎俜治粩?shù)估計(jì)為，故D錯(cuò)誤；故選：C9.已知邊長(zhǎng)為的正方形，點(diǎn)是邊上動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】建立平面直角坐標(biāo)，設(shè)，，利用坐標(biāo)法表示，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，，則，，所以，所以當(dāng)或時(shí)取得最大值.故選：B10.已知點(diǎn)P在棱長(zhǎng)為2的正方體表面運(yùn)動(dòng)，且，則線段AP的長(zhǎng)的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】D【分析】作出正方體的對(duì)角線的中垂面截正方體所得截面多邊形，再分段求出AP的長(zhǎng)范圍作答.【詳解】點(diǎn)在棱長(zhǎng)為2的正方體表面運(yùn)動(dòng)，且，則點(diǎn)的軌跡是線段的中垂面截正方體所得截面多邊形，分別取棱的中點(diǎn)，則，因此點(diǎn)在線段的中垂面上，點(diǎn)的軌跡是六邊形，如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，若點(diǎn)為線段中點(diǎn)，有，，于是點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)，，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，為鈍角，則，即，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，，，鈍角，則，即，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，由，邊上的高為，此時(shí)，由對(duì)稱性知，當(dāng)點(diǎn)在折線上時(shí)，，所以線段AP的長(zhǎng)的取值范圍是.故選：D【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：的三邊分別為a，b，c（a≥b≥c），若，則是銳角三角形；若，則是直角三角形；若，則是鈍角三角形.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.復(fù)數(shù)滿足為純虛數(shù)，則的實(shí)部為_(kāi)__________．【答案】【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義和復(fù)數(shù)的概念求解即可.【詳解】設(shè)（為虛數(shù)單位，），因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，解得，所以實(shí)部為，故答案為：12.對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，，，，，，，則第百分位數(shù)是___________．【答案】【分析】根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以第百分位?shù)為數(shù)據(jù)從小到大排列的第、兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即.故答案為：13.已知向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則，的夾角的余弦為_(kāi)__________．【答案】##【分析】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，利用坐標(biāo)法求解即可.【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，即，故，所以，即，的夾角的余弦為.故答案為：.14.一個(gè)鐵制的底面半徑為，側(cè)面積為的實(shí)心圓柱的體積為_(kāi)__________，將這個(gè)實(shí)心圓柱熔化后鑄成一個(gè)實(shí)心球體，則這個(gè)鐵球的半徑為_(kāi)__________．【答案】①.##②.【分析】設(shè)圓柱的高為，根據(jù)側(cè)面積求出高，再根據(jù)圓柱的體積公式計(jì)算可得，設(shè)球的半徑為，由球的體積與圓柱的體積相同得到方程，解得即可.【詳解】設(shè)圓柱的高為，因?yàn)榈酌姘霃剑瑐?cè)面積為，所以，解得，所以圓柱的體積，設(shè)球的半徑為，則，解得.故答案為：；15.如圖，已知菱形中，，，為邊的中點(diǎn)，將沿翻折成（點(diǎn)位于平面上方），連接和，為的中點(diǎn)，則在翻折過(guò)程中，給出下列四個(gè)結(jié)論：①平面平面；②與的夾角為定值；③三棱錐體積最大值為；④點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為；其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________．【答案】①②④【分析】①由題設(shè)結(jié)合線面垂直的判定證面，再由面面垂直的判定即可判斷正誤；②若是的中點(diǎn)，應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)有，可知與的夾角為或其補(bǔ)角，進(jìn)而求其大?。虎鄹鶕?jù)①②的分析，當(dāng)面時(shí)最大，求其最大值；④確定F的軌跡與到的軌跡相同，且到的軌跡為以中點(diǎn)為圓心，為半徑的半圓，即可求軌跡長(zhǎng)度.【詳解】對(duì)于①：由，，為邊的中點(diǎn)知且，易知，，而，面，故面，又面，所以面面，故①正確；對(duì)于②：若是的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，則且，而且，所以且，即為平行四邊形，故，所以與的夾角為或其補(bǔ)角，若為中點(diǎn)，即，由①分析易知，故與的夾角為，故②正確；對(duì)于③：由上分析知：翻折過(guò)程中當(dāng)面時(shí)，最大，此時(shí)，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：由②分析知：且，故的軌跡與到的軌跡相同，由①知：到的軌跡為以為圓心，為半徑的半圓，而為中點(diǎn)，故到的軌跡為以中點(diǎn)為圓心，為半徑的半圓，所以的軌跡長(zhǎng)度為，故④正確.故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：應(yīng)用線面、面面垂直的判定判斷面面垂直；根據(jù)線線角的定義，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)找到線線角的平面角并求大??；判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡，由圓的性質(zhì)及棱錐的體積公式求的最大體積以及F的軌跡的長(zhǎng)度.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16.已知向量，滿足，．（1）求；（2）若，求的坐標(biāo)；（3）若，求．【答案】（1）（2）或（3）【分析】（1）根據(jù)向量的模的坐標(biāo)公式計(jì)算即可；（2）設(shè)，再根據(jù)向量的模的坐標(biāo)公式及向量共線的坐標(biāo)公式計(jì)算即可；（3）由，得，再將平方開(kāi)再根號(hào)即可得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?；【小?wèn)2詳解】設(shè)，由，，得，解得或，所以的坐標(biāo)為或；【小問(wèn)3詳解】若，則，故.17.已知．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【分析】（1）由兩角和的正切公式計(jì)算可得；（2）利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，再代入計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所?18.如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，M，N分別為，AC的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求證：．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，證明四邊形是平行四邊形，則，再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；（2）先根據(jù)面面垂直性質(zhì)證明平面，選①，證明，再根據(jù)線面垂直的判定定理證明平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證.選②，取的中點(diǎn)，連接，則且，，先證明，再證明，進(jìn)而得證.【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)镸，N分別為，AC的中點(diǎn)，所以且，又且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，選①，由（1）得，因?yàn)?，所以，又平面，所以平面，又平面，所?選②，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)镸，N分別為，AC的中點(diǎn)，所以且，，因?yàn)槠矫妫云矫?，又平面，所以，即，因?yàn)?，所以，又，所以，所以，所以，又，所?19.某工廠生產(chǎn)某款產(chǎn)品，該產(chǎn)品市場(chǎng)平級(jí)規(guī)定：評(píng)分在10分及以上的為一等品，低于10分的為二等品．下面是檢驗(yàn)員從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽樣的10件產(chǎn)品的評(píng)分：9.610.19.79.810.09.710.09.810.110.2經(jīng)計(jì)算得，其中為抽取的第件產(chǎn)品的評(píng)分，．（1）求這組樣本平均數(shù)和方差；（2）若廠家改進(jìn)生產(chǎn)線，使得生產(chǎn)出的每件產(chǎn)品評(píng)分均提高0.2．根據(jù)以上隨機(jī)抽取的10件產(chǎn)品改進(jìn)后的評(píng)分，估計(jì)改進(jìn)后該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品評(píng)分的平均數(shù)和方差；（3）在第（2）問(wèn)前提下，再?gòu)母倪M(jìn)后生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品，估計(jì)這10件產(chǎn)品的平均等級(jí)是否為一等品？說(shuō)明理由．【答案】（1）平均數(shù)，方差為，（2）平均數(shù)，方差為，（3）見(jiàn)解析【分析】（1）直接利用平均數(shù)的定義和方差的定義求解即可；（2）根據(jù)平均數(shù)的性質(zhì)和方差的性質(zhì)求解即可；（3）從平均數(shù)角度分析或從抽樣的隨機(jī)性角度分析即可.【小問(wèn)1詳解】樣本平均值為，樣本方差為，【小問(wèn)2詳解】因?yàn)楦倪M(jìn)后隨機(jī)抽取的10件產(chǎn)品是改進(jìn)前抽取的10件產(chǎn)品每個(gè)提高0.2分，所以估計(jì)改進(jìn)后生產(chǎn)的產(chǎn)品評(píng)分的平均數(shù)，方差為，【小問(wèn)3詳解】可以認(rèn)為是一等品，因?yàn)楦倪M(jìn)后該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品評(píng)分由樣本數(shù)據(jù)估計(jì)平均數(shù)為，所以可以認(rèn)為這10件產(chǎn)品平均等級(jí)為一等品，不一定是一等品，因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)具有隨機(jī)性，所以新樣本平均值不一定達(dá)到10分以上，所以新樣本平均等級(jí)不一定是一等品.20.在中，，是邊上的點(diǎn)，，．（1）求的大??；（2）求的值；（3）求的面積．【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用余弦定理計(jì)算可得；（2）令，依題意可得，表示出，，，在中利用正弦定理得到，再由兩角差的正弦公式展開(kāi)，即可求出；（3）首先由利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，再代入求出，最后由面積公式計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，由余弦定理，又，所?【小問(wèn)2詳解】如圖，令，因?yàn)?，所以，所以，，，在中，由正弦定理得，即，所以，即，所以，解得，?【小問(wèn)3詳解】由，所以.21.如圖，從長(zhǎng)、寬，高分別為，，的長(zhǎng)方體中截去部分幾何體后，所得幾何體為三棱錐．（1）求三棱錐的體積；（2）證明：三棱錐的每個(gè)面都是銳角三角形；（3）直接寫出一組，，的值，使得二面角是直二面角．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3），，（滿足或均可）（答案不唯一）【分析】（1）利用長(zhǎng)方體的體積減去四個(gè)角的三棱錐的體積即可得解；（2）三棱錐的每個(gè)面的三角形的三條邊均為，，，不妨設(shè)，則為最大邊，各面的最大角為，利用余弦定理得