常系數(shù)線性微分方程組和常系數(shù)線性差方程組的解法

常系數(shù)線性微分方程組和常系數(shù)線性差方程組的解法

方程（組）和方程（組）的一般含義除一般含義外，文本提供了另一種解決方案，并描述了方程的非齊次線性方程。在這項工作中，我們討論了這個問題，并提供了一種非線性線性方程的解決方案，而不是非線性差分方程。下面仍沿用文和文的概念與符號。設(shè)f(λ)為m次實系數(shù)多項式,把微分方程組f(D)x=0(其中D為微分算子,x為實變數(shù)t的m維未知向量函數(shù))滿足初始條件x(′)(0)=(0,…,0,1,0,…,0)T,i=0,…,m-1的解記為af(t).而把差分方程組f(E)x=0(其中E為平移算子,x為非負(fù)整變數(shù)n的m維未知向量函數(shù))滿足初始條件x(i)=(0,…,0,1,0,…,0)T,i=0,…,m-1的解記為a*f(n)易知α*f(n)=dndtnαf(t)|t=0(1)設(shè)p1(t),…,pm(t)為微分方程f(D)x=0的一個基本解組,則αf(t)=(p1(0)?p(m-1)1(0)???pm(0)?p(m-1)m(0))-1(p1(t)?pm(t))(2)由文和文的方法,易得如下定理1。定理1設(shè)f(λ)為m次實系數(shù)多項式,其互不相同的實根分別為λ1,…,λs1,互不相同的虛根分別為λs1+1???λs1+s2?ˉλs1+1???ˉλs1+s2?λi為多項式f(λ)的mi重根,i=1,…,s1+s2,(m1+…+ms1+2(ms1+1+…+ms1+s2)=m),多項式fij(λ)=f(λ)(λ-λi)j=m-j∑k=0b(k)ijλm-j-k?i=1???s1+s2?j=1???mi(3)而向量ci1=1f(m1-1)i1(λi)(b(m-1)i1???b(0)i1)Τ?i=1?2???s1+s2(4)cij=1f(mi-j)ij(λi)[(b(m-j)ij???b(1-j)ij)Τ-mi-1∑r=mi-j+1f(r)ij(λi)ci,mi-r],i=1,…,s1+s2,j=1,…,mi(5)(這里,當(dāng)k<0時,定義b(k)ij=0,則αf(t)=C1β1(t)+2Re[C2β2(t)],其中矩陣C1=(c11,…,c1m1,…,cs11,…,cs1ms1),(6)C2=(cs1+1,1,…,cs1+1,ms1+1,…,cs1+s2,1,…,cs1+s2,ms1+s2),(7)向量函數(shù)β1(t)=(tm1-1eλ1t,…,eλ1t,…,tms1-1eλs1t,…,eλs1t)T(8)β2(t)=(tms1+1-1eλs1+1t,…,eλs1+1t,…,tms1+s2-1eλs1+s2t,…,eλs1+s2t)T(9)證根據(jù)文的方法,由(3)式易得多項式fij(λ)的共軛多項式為ˉfij(λ)=f(λ)(λ-ˉλi)j=m-j∑k=0ˉb(k)ijλm-j-k?i=s1+1???s1+s2?j=1???mi(10)由(4)易得向量ci1的共軛向量為為ˉci1=1ˉf(m1-1)(λi)(ˉb(m-1)i1???ˉb(0)i1)Τ?i=s1+1???s1+s2(11)由(5)得向量cij的共軛向量為ˉcij=1ˉfij(mi-j)(λi)[(ˉb(mi-j)ij???ˉb(1-j)ij)Τ-mi-1∑r=mi-j+1ˉf(r)ij(ˉλi)ˉci?mi-r],i=s1+1,…,s1+s2,j=2,…,mi(12)由(7)式得,矩陣C2的共軛矩陣為ˉC=(ˉcs1+1?1???ˉcs1+1?ms1+1???ˉcs1+s2?1???ˉcs1+s2?ms1+s2)(13)由(9)式得,向量函數(shù)β2(t)的共軛向量函數(shù)為ˉβ2(t)=(tms1+1-1eˉλs1+1t???eˉλs1+1t???tms1+s2-1eˉλs1+s2t???eˉλs1+s2t)Τ(14)根據(jù)文和公式(2),由(3)～(14)式可得αf(t)=(C1?C2?ˉC2)|β1(t)β2(t)ˉβ2(t)|=C1β1(t)+C2β2(t)+ˉC2β2(t)=C1β1(t)+2Re[C2β2(t)]定理2在定理1的條件下α*f(n)=C1β*1(n)+2Re[C2β*2(n)]其中矩陣C1,C2同定理1,而向量函數(shù)β*1(n)=((n)m1-1λn-m1+11,…,(n)0λn1,…,(n)ms1-1λn-ms1+1,…,(n)0λns1)T,β*2(n)=((n)ms1+1-1λn-ms1+1+1s1+1,…,(n)0λns1+1,…,(n)ms1+s2-1λn-ms1+s2+1s1+s2,…,(n)0λns1+s2)T定理3設(shè)A為m階實矩陣,x0為m維實向量,?(λ)為矩陣A的特征多項式,m維實值向量函數(shù)b(t)的各分量均為擬多項式,實系數(shù)l次多項式Ψ(λ)使Ψ(D)b(t)=0,向量x(0)0=x0,x(i+1)0=Ax(i)0+b(i)(0),i=0,…,m+l-2多項式f(λ)=?(λ)Ψ(λ),則初值問題{dxdt=Ax+b(t)?x(0)=x0(15)的解為x=(x0(0),…,x0(m+l-1))αf(t)(16)證易知,初值問題(15)的解即為初值問題{f(D)x=0?x(i)(0)=x0(i)?i=0???m+l-1(17)的解,而初值問題(17)的解可由(16)式表出。定理4設(shè)A為m階實矩陣,b(n)為m維實值向量函數(shù),且實系數(shù)l次多項式Ψ(λ)使得Ψ(E)b(n)=0,向量x0(0)=x0,x0(i+1)=Ax0(i)+b(i),i=0,…,m+l-2,多項式f(λ)=?(λ)Ψ(λ),則初值問題{x(n+1)=Ax(n)+b(n)?x(0)=x0(18)的解為x(n)=(x0(0),…,x0(m+l-1))α*f(n)(19)證易知,初值問題(18)的解