廣東省東莞市大朗鎮(zhèn)佳美學(xué)校2023-2024學(xué)年九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)開學(xué)測(cè)試試卷

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廣東省東莞市大朗鎮(zhèn)佳美學(xué)校2023-2024學(xué)年九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)開學(xué)測(cè)試試卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1．下列圖案中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

A．B．C．D．

2．若分式無(wú)意義，則x的取值范圍是（）

A．x≠3B．x＝3C．x＜3D．x＞3

3．已知x＞y，則下列不等式不成立的是（）

A．x+9＞y+9B．x﹣5＜y﹣5C．﹣6x＜﹣6yD．16x＞16y

4．（2023八下·龍崗期中）已知一個(gè)等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為1：4，則這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為（）

A．20°或100°B．120°C．20°或120°D．36°

5．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A．（-2，1）B．（-2，-1）C．（2，1）D．（2，-1）

6．（2023八下·安國(guó)期末）下列從左到右的變形是因式分解且分解正確的是（）

A．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2B．x2+2x+1＝x（x+2）+1

C．4x2+8x+4＝4（x2+2x+1）D．﹣8x2+8x﹣2＝﹣2（2x﹣1）2

7．如圖，在中，，，邊的垂直平分線交于，交于點(diǎn)，若，則的周長(zhǎng)為（）

A．14B．12C．11D．19

8．如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，下列條件不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（）

A．AB∥DC，AD∥BCB．AB＝DC，AD＝BC

C．AB∥DC，AD＝BCD．OA＝OC，OB＝OD

9．（2023·鄂爾多斯模擬）小明坐滴滴打車前去火車高鐵站，小明可以選擇兩條不同路線：路線A的全程是25千米，但交通比較擁堵，路線B的全程比路線A的全程多7千米，但平均車速比走路線A時(shí)能提高60%，若走路線B的全程能比走路線A少用15分鐘．若設(shè)走路線A時(shí)的平均速度為x千米/小時(shí)，根據(jù)題意，可列分式方程（）

A．=15B．=15

C．=D．=

10．用總長(zhǎng)為a米的材料做成如圖所示的矩形窗框，設(shè)窗框的寬為x米，窗框的面積為y平方米，y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖，則a的值是（）

A．16B．12C．8D．4

二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）

11．分解因式：a3b﹣ab3=

12．已知a，b，c為三角形的三邊，且滿足，這個(gè)三角形是三角形．

13．（2023九上·北京開學(xué)考）如圖，，兩點(diǎn)被池塘隔開，在外選一點(diǎn)，連接和．分別取，的中點(diǎn)，，測(cè)得，兩點(diǎn)間的距離為，則、兩點(diǎn)間的距離為．

14．（2023九上·二道期末）如果最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，那么x的值為．

15．（2023八上·江都期中）如圖，在中，，，，AD是的平分線.若P，Q分別是AD和AC上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是.

三、解答題一（本大題共3小題，16題10分，17、18題各7分，共24分）

16．

（1）計(jì)算：﹣﹣+|﹣2|．

（2）解方程：（1）x2﹣2x﹣8＝0．

17．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中a從﹣3，﹣2，﹣1中取一個(gè)你認(rèn)為合適的數(shù)代入求值．

18．已知x1=﹣1是方程x2+mx﹣5=0的一個(gè)根，求m的值及方程的另一根x2．

四、解答題二（本大題共3小題，每小題9分，共27分）

19．如圖，在ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線AC上，且AE=CF，連接DE、EB、BF、FD.

求證：

（1）△ADE≌△CBF；

（2）四邊形DEBF平行四邊形．

20．臺(tái)風(fēng)“杜蘇芮”牽動(dòng)著全國(guó)人民的心，某單位開展了“一方有難，八方支援”賑災(zāi)捐款活動(dòng)，第一天收到捐款3000元，第三天收到捐款4320元．

（1）如果第二天、第三天收到捐款的增長(zhǎng)率相同，求捐款增長(zhǎng)率；

（2）按照（1）中收到的捐款的增長(zhǎng)速度，第四天該單位能收到多少捐款？

21．如圖，直線y1＝x+1交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，直線y2＝﹣2x+4交x、y軸于點(diǎn)C、D，兩直線交于點(diǎn)E．

（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）求ACE面積；

（3）根據(jù)圖象直接回答：當(dāng)x為何值時(shí)，y1＜y2？

五、解答題（三）（本大題共2小題，每小題12分，共24分）

22．（2023八下·阿拉善盟期末）如圖①，將一張矩形紙片ABCD沿著對(duì)角線BD向上折疊，頂點(diǎn)C落到點(diǎn)E處，BE交AD于點(diǎn)F．

（1）求證：△BDF是等腰三角形．

（2）如圖②，過點(diǎn)D作DG//BE，交BC于點(diǎn)G，連接FG交BD于點(diǎn)O．

①判斷四邊形BFDG的形狀，并說明理由；

②若AB＝6，AD＝8，求FG的長(zhǎng)．

23．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以4cm/秒的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2cm/秒的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D，E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（0＜t≤15）．過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE，EF．

（1）填空：AE=cm，DF=cm；(用含t的代數(shù)式表示)

（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，請(qǐng)說明理由；

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？請(qǐng)說明理由．

答案解析部分

1．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形；中心對(duì)稱及中心對(duì)稱圖形

【解析】【解答】解：A、此選項(xiàng)中的圖案既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、此選項(xiàng)中的圖案既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

C、此選項(xiàng)中的圖案是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、此選項(xiàng)中的圖案是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意.

故答案為：B.

【分析】把一個(gè)平面圖形，沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合的平面圖形就是軸對(duì)稱圖形；把一個(gè)平面圖形，繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，能與自身重合的圖形就是中心對(duì)稱圖形，根據(jù)定義即可一一判斷得出答案.

2．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】分式有意義的條件

【解析】【解答】解：由題意得x-3=0，

解得x=3.

故答案為：B.

【分析】當(dāng)分式的分母等于0的時(shí)候，分式?jīng)]有意義，據(jù)此列出方程，求解即可.

3．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】不等式的性質(zhì)

【解析】【解答】解：A、∵x＞y，∴x+9＞y+9，故此選項(xiàng)成立，不符合題意；

B、∵x＞y，∴x-5＞y-5，故此選項(xiàng)不成立，符合題意；

C、∵x＞y，∴-6x＜-6y，故此選項(xiàng)成立，不符合題意；

D、∵x＞y，∴16x＞16y，故此選項(xiàng)成立，不符合題意.

故答案為：B.

【分析】不等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)或式子，不等號(hào)的方向不改變；不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不改變；不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，據(jù)此一一判斷得出答案.

4．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：設(shè)兩內(nèi)角的度數(shù)為x、4x；

當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫閤時(shí)，x+4x+4x=180°，x=20°；

當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫?x時(shí)，4x+x+x=180°，x=30，4x=120；

因此等腰三角形的頂角度數(shù)為20°或120°．

故選C．

【分析】本題難度中等，考查等腰三角形的性質(zhì)．因?yàn)樗杀壤膬?nèi)角，可能是頂角，也可能是底角，因此要分類求解．

5．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)y=a（x-h）^2+k的圖象

【解析】【解答】解：拋物線y=(x-2)2-1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1）.

故答案為：D.

【分析】由拋物線的頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）可直接得出答案.

6．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】因式分解的定義

【解析】【解答】解：A.（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2是多項(xiàng)式乘法，不符合題意；

B.x2+2x+1＝x（x+2）+1有和的形式不是因式分解，不符合題意；

C.4x2+8x+4＝4（x2+2x+1）利用提公因式法因式分解，但沒分解徹底分解錯(cuò)誤，不符合題意；

D.﹣8x2+8x﹣2＝﹣2（2x﹣1）2先提公因式，然后用完全平方公式因式分解，且分解正確，故符合題意．

故答案為：D．

【分析】利用因式分解的定義及提公因式和公式法逐項(xiàng)判斷即可。

7．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵DE是BC的垂直平分線，

∴BE=CE，

∴△ACE的周長(zhǎng)為AE+CE+AC=AE+BE+AC=AB+AC=8+6=14.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等得BE=CE，進(jìn)而根據(jù)三角形周長(zhǎng)計(jì)算方法、等量代換及線段的和差將△ACE的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為AB+AC，從而代入計(jì)算即可.

8．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的判定

【解析】【解答】解：A、當(dāng)AB∥DC，AD∥BC時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、當(dāng)AB=DC，AD=BC時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、當(dāng)AB∥DC，AD=BC時(shí)，四邊形ABCD也可以是等腰梯形，故此選項(xiàng)符合題意；

D、當(dāng)OA=OC，OB=OD時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，即可一一判斷得出答案.

9．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】分式方程的實(shí)際應(yīng)用

【解析】【解答】解：設(shè)走路線A時(shí)的平均速度為x千米/小時(shí)，根據(jù)題意得：﹣=．故答案為：D．

【分析】由題意可得相等關(guān)系：走路線A時(shí)所用的時(shí)間-走路線B時(shí)所用的時(shí)間=走路線B的全程能比走路線A少用時(shí)間（15分鐘），根據(jù)相等關(guān)系列方程即可。

10．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】通過函數(shù)圖象獲取信息并解決問題；二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用-幾何問題

【解析】【解答】解：由圖象可知，當(dāng)x=2時(shí)，y有最大，最大值為4，

∴當(dāng)x=2米，窗框的最大面積是4平方米，根據(jù)矩形面積計(jì)算公式，另一邊為4÷2=2(米)，

∴材料總長(zhǎng)a=3×2+3×2=12(米).

故答案為：B.

【分析】由圖象可知：x=2時(shí)，面積最大為y=4，根據(jù)圖形是矩形，由面積公式易得另一邊為2米，從而得出a的值.

11．【答案】ab（a+b）（a﹣b）

【知識(shí)點(diǎn)】因式分解﹣綜合運(yùn)用提公因式與公式法

【解析】解：a3b﹣ab3，

=ab（a2﹣b2），

=ab（a+b）（a﹣b）．

【分析】先觀察原式，找到公因式ab后，提出公因式后發(fā)現(xiàn)a2﹣b2符合平方差公式，利用平方差公式繼續(xù)分解即可．

12．【答案】直角

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理的逆定理；非負(fù)數(shù)之和為0

【解析】【解答】解：∵，

∴，

解得，

∵a、b、c是三角形的三邊長(zhǎng)，且a2+b2=52+122=169=c2=132，

∴△ABC是直角三角形.

故答案為：直角.

【分析】由算術(shù)平方根的非負(fù)性、絕對(duì)值的非負(fù)性及偶數(shù)次冪的非負(fù)性，及幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則每一個(gè)數(shù)都等于0可求出a、b、c的值，進(jìn)而根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ABC是直角三角形.

13．【答案】60

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的中位線定理

【解析】【解答】解：∵點(diǎn)D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)，

∴DE是ABC的中位線，

∴AB＝2DE，

∵DE＝30m，

∴AB＝60m，

故答案為：60．

【分析】先求出DE是ABC的中位線，再求出AB＝2DE，最后計(jì)算求解即可。

14．【答案】3

【知識(shí)點(diǎn)】同類二次根式

【解析】【解答】解：由題意可得：2x-1=5，

解得：x=3．

當(dāng)x=3時(shí)，與都是最簡(jiǎn)二次根式．

故答案為：3．

【分析】先求出2x-1=5，再求出x=3，最后求解即可。

15．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短；三角形的面積；角平分線的性質(zhì)；勾股定理

【解析】【解答】如圖，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵是的平分線，

∴，這時(shí)有最小值，即的長(zhǎng)度，

∵，，，

∴.

∵，

∴，即的最小值為.

故答案為.

【分析】過點(diǎn)C作CM⊥AB，交AB于點(diǎn)N，交AD于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q，利用角平分線的性質(zhì)可證得PQ=PM，要使PC+PQ的值最小，則CM最短，因此當(dāng)CM⊥AB時(shí)，CM的值最?。焕霉垂啥ɡ砬蟪鯝B的長(zhǎng)，再利用三角形的面積公式求出CM的長(zhǎng)即可.

16．【答案】（1）解：原式

=1；

（2）解：∵x2-2x-8=0，

∴(x-4)(x+2)=0，

∴x-4=0或x+2=0，

∴.

【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；因式分解法解一元二次方程

【解析】【分析】（1）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)、0指數(shù)冪的性質(zhì)、分母有理化及絕對(duì)值的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)，再合并同類二次根式及進(jìn)行有理數(shù)加減法運(yùn)算即可；

（2）此方程是一元二次方程的一般形式，方程的左邊易于利用十字相乘法分解因式，故此題利用因式分解法求解，根據(jù)兩個(gè)因式的乘積等于0，則至少有一個(gè)因式為0，從而將方程降次為兩個(gè)一元一次方程，解一元一次方程可求出原方程的解.

17．【答案】解：原式

，

∵且

∴

∴，

將代入得：原式=-（-3）-1=2.

【知識(shí)點(diǎn)】分式的化簡(jiǎn)求值

【解析】【分析】先通分計(jì)算括號(hào)內(nèi)異分母分式的減法，同時(shí)將除式的分子、分母分別分解因式，并將除法轉(zhuǎn)變?yōu)槌朔ǎM(jìn)而將括號(hào)內(nèi)計(jì)算的結(jié)果的分子分解因式，然后約分化為最簡(jiǎn)形式；根據(jù)選出符合原式有意義的a的值，代入化簡(jiǎn)結(jié)果計(jì)算可得答案.

18．【答案】解：由題可知：x1=-1為方程x2+mx﹣5=0的一個(gè)根

∴（-1）2+（-1）×m-5=0

∴m=-4，

當(dāng)m=-4時(shí)，方程可化為x2-4x-5=0.

∴(x-5)(x+1)=0，

∴x-5=0或x+1=0，

解得：x1=-1，x2=5

∴方程的另一個(gè)根為x2=5.

【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程

【解析】【分析】根據(jù)方程根的概念，將x1=-1代入方程x2+mx﹣5=0可求出m的值，然后將m的值代回原方程可得關(guān)于x的一元二次方程，再利用因式分解法解此方程可求出x2的值.

19．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，AD//BC，

∴∠DAE=∠BCF，

在△ADE和△CBF中

∴△ADE≌△CBF(SAS)；

（2）證明：∵△ADE≌△CBF；

∴DE=BF，∠AED=∠BFC，

∵∠AED十∠DEF=180°，

∴∠BFC十∠BFE=180°，

∴∠DEF=∠BFE，

∴DE//BF，

∵DE=BF，

∴四邊形DEBF是平行四邊形.

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】（1）由平行四邊形的對(duì)邊平行且相等得AD=BC，AD//BC，由二直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得∠DAE=∠BCF，從而可用SAS判斷出△ADE≌△CBF；

（2）由全等三角形的性質(zhì)得DE=BF，∠AED=∠BFC，由鄰補(bǔ)角定義及等角的補(bǔ)角相等得∠DEF=∠BFE，再由內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行得DE∥BF，最后由一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得結(jié)論.

20．【答案】（1）解：設(shè)捐款增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意列方程得，

3000×(1+x)2=4320，

解得x1=0.2，

x2=-2.2(不合題意，舍去)；

答：捐款增長(zhǎng)率為20%；

（2）解：第四天收到捐款為：

4320×(1+20%)=5184(元)，

答：該單位四天能收到5184元捐款.

【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用-百分率問題

【解析】【分析】（1）設(shè)捐款增長(zhǎng)率為x，此題是一道平均增長(zhǎng)率的問題，根據(jù)公式a(1+x)n=p，其中a是平均增長(zhǎng)開始的量，x是增長(zhǎng)率，n是增長(zhǎng)次數(shù)，P是增長(zhǎng)結(jié)束達(dá)到的量，根據(jù)公式列出方程，進(jìn)而再利用直接開平方法求解并檢驗(yàn)可得答案；

（2）用第三天收到的捐款數(shù)×（1+20％）=第四天收到的捐款錢數(shù)，列式計(jì)算可得答案.

21．【答案】（1）解：，

得，

∴；

（2）解：當(dāng)y1=x+1=0時(shí)，解得：x=-1，

∴A(-1，0)，

當(dāng)y2=-2x十4=0時(shí)，解得：x=2，

∴

∴AC=2-(-1)=3，

∴

=3；

（3）解：由圖象可知，當(dāng)x<1時(shí)，y1<y2.

【知識(shí)點(diǎn)】?jī)梢淮魏瘮?shù)圖象相交或平行問題

【解析】【分析】（1）聯(lián)立兩函數(shù)解析式組成的方程組，求解可得其交點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）分別令兩函數(shù)解析式中的y=0，算出對(duì)應(yīng)的x的值，可得點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，從而可得AC的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式，由S△ACE=AC×yE，列式計(jì)算即可；

（3）從圖象看，求y1＜y2時(shí)x的取值，就是求直線y1＝x+1的圖象在直線y2＝﹣2x+4的圖象的下方部分相應(yīng)的自變量的取值范圍.

22．【答案】（1）證明：由折疊性質(zhì)可得，∠DBC＝∠DBE，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD//BC，

∴∠DBC＝∠ADB，

∴∠DBE＝∠ADB，

∴BF＝DF，

∴△BDF是等腰三角形；

（2）解：①四邊形BFDG是菱形，理由如下：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD//BC，即FD//BG，

又∵DG//BF，

∴四邊形BFDG是平行四邊形，

又∵DF＝BF，

∴四邊形BFDG是菱形，

②∵在Rt△ADB中，AB＝6，AD＝8，

，

∵由①可知四邊形BFDG是菱形，

∴GF⊥BD，F(xiàn)G＝2FO，OB＝OD，

∴BO＝5，

設(shè)DF＝BF＝x，則AF=AD-DF=8-x，

在Rt△ABF中，

，

即

解得

即，

菱形的面積，

．

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；菱形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的判定方法求解即可；

（2）①先由四邊形ABCD是矩形，證出四邊形BFDG是平行四邊形，由DF＝BF，即可證出四邊形BFDG是菱形；

②在Rt△ADB中，AB＝6，AD＝8，利用勾股定理得出BD的值，由①可知四邊形BFDG是菱形，得出BO的值，設(shè)DF＝BF＝x，則AF=AD-DF=8-x，利用勾股定理逆定理列出方程求出x的值，再利用菱形的面積求解即可。

23．【答案】（1）2t；2t

（2）解：能

∵∠B=90°，DF⊥BC

∵DF//AB

又∵DF=AE

∴四邊形AEFD是平行四邊形

當(dāng)AD=AE時(shí)，平行四邊形AEFD是菱形

∵AC=60cm

∴AD=AC-CD=60-4t

∵AE=2t

∴60-4t=2t

解得：t=10

即當(dāng)t=10時(shí)，四邊形AEFD能夠成為菱形；

（3）解：當(dāng)t=或者t=12時(shí)，△DEF為直角三角形，理由如下：

①若∠EDF=90°，則DE//BC

∴∠ADE=∠C=30°

∴AD=2AE

即：60-4t=2×2t

解得：t=

②當(dāng)∠DEF=90°時(shí)，則DE⊥EF

又∵四邊形AEFD是平行四邊形

∴AD//EF

∴DE⊥AD

∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°

∵∠A=60°

∴∠DEA=30°

∴AD=AE

∴60-4t=×2t=t

解得：t=12

③當(dāng)∠DFE=90°時(shí)，D點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)，E點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)D，E，F(xiàn)共線

∴當(dāng)∠DFE=90°時(shí)，△DEF不存在

綜上所述，當(dāng)t=或=12時(shí)，△DEF為直角三角形

【知識(shí)點(diǎn)】含30°角的直角三角形；平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：（1）△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，

∴∠C=30°，

∵點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以4cm/秒的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2cm/秒的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，

∴CD=4t，AE=2t，

∵DF⊥BC，

∴∠DFC=90°，

在Rt△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，

∴DF=CD=2t；

故答案為：2t，2t；

【分析】（1）先由三角形的內(nèi)角和定理算出∠C=30°，根據(jù)路程=速度乘以時(shí)間可得CD=4t，AE=2t，進(jìn)而根據(jù)含30°角直角三角形的性質(zhì)得DF=CD=2t；

（2）由同一平面內(nèi)垂直于同一直線的兩條直線互相平行，得DF∥AB，又DF=AB，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得四邊形AEFD是平行四邊形，當(dāng)AD=AE時(shí)，平行四邊形AEFD是菱形，據(jù)此列出方程，求解可得符合題意的t的值；

（3）分三種情況：①若∠EDF=90°，則DE∥BC，由平行線的性質(zhì)得∠ADE=∠C=30°，再根據(jù)含30°角直角三角形的性質(zhì)得AD=2AE，據(jù)此建立方程，求解可得答案；②當(dāng)∠DEF=90°時(shí)，則DE⊥EF，由平行四邊形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)得DE⊥AD，進(jìn)而根據(jù)含30°角直角三角形的性質(zhì)得AD=AE，據(jù)此建立方程，求解可得答案；③當(dāng)∠DFE=90°時(shí)，D點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)，E點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)D，E，F(xiàn)共線，△DEF不存在，綜上可得答案.

二一教育在線組卷平臺(tái)（）自動(dòng)生成1/1登錄二一教育在線組卷平臺(tái)助您教考全無(wú)憂

廣東省東莞市大朗鎮(zhèn)佳美學(xué)校2023-2024學(xué)年九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)開學(xué)測(cè)試試卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1．下列圖案中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形；中心對(duì)稱及中心對(duì)稱圖形

【解析】【解答】解：A、此選項(xiàng)中的圖案既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、此選項(xiàng)中的圖案既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

C、此選項(xiàng)中的圖案是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、此選項(xiàng)中的圖案是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意.

故答案為：B.

【分析】把一個(gè)平面圖形，沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合的平面圖形就是軸對(duì)稱圖形；把一個(gè)平面圖形，繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，能與自身重合的圖形就是中心對(duì)稱圖形，根據(jù)定義即可一一判斷得出答案.

2．若分式無(wú)意義，則x的取值范圍是（）

A．x≠3B．x＝3C．x＜3D．x＞3

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】分式有意義的條件

【解析】【解答】解：由題意得x-3=0，

解得x=3.

故答案為：B.

【分析】當(dāng)分式的分母等于0的時(shí)候，分式?jīng)]有意義，據(jù)此列出方程，求解即可.

3．已知x＞y，則下列不等式不成立的是（）

A．x+9＞y+9B．x﹣5＜y﹣5C．﹣6x＜﹣6yD．16x＞16y

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】不等式的性質(zhì)

【解析】【解答】解：A、∵x＞y，∴x+9＞y+9，故此選項(xiàng)成立，不符合題意；

B、∵x＞y，∴x-5＞y-5，故此選項(xiàng)不成立，符合題意；

C、∵x＞y，∴-6x＜-6y，故此選項(xiàng)成立，不符合題意；

D、∵x＞y，∴16x＞16y，故此選項(xiàng)成立，不符合題意.

故答案為：B.

【分析】不等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)或式子，不等號(hào)的方向不改變；不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不改變；不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，據(jù)此一一判斷得出答案.

4．（2023八下·龍崗期中）已知一個(gè)等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為1：4，則這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為（）

A．20°或100°B．120°C．20°或120°D．36°

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：設(shè)兩內(nèi)角的度數(shù)為x、4x；

當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫閤時(shí)，x+4x+4x=180°，x=20°；

當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫?x時(shí)，4x+x+x=180°，x=30，4x=120；

因此等腰三角形的頂角度數(shù)為20°或120°．

故選C．

【分析】本題難度中等，考查等腰三角形的性質(zhì)．因?yàn)樗杀壤膬?nèi)角，可能是頂角，也可能是底角，因此要分類求解．

5．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A．（-2，1）B．（-2，-1）C．（2，1）D．（2，-1）

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)y=a（x-h）^2+k的圖象

【解析】【解答】解：拋物線y=(x-2)2-1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1）.

故答案為：D.

【分析】由拋物線的頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）可直接得出答案.

6．（2023八下·安國(guó)期末）下列從左到右的變形是因式分解且分解正確的是（）

A．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2B．x2+2x+1＝x（x+2）+1

C．4x2+8x+4＝4（x2+2x+1）D．﹣8x2+8x﹣2＝﹣2（2x﹣1）2

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】因式分解的定義

【解析】【解答】解：A.（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2是多項(xiàng)式乘法，不符合題意；

B.x2+2x+1＝x（x+2）+1有和的形式不是因式分解，不符合題意；

C.4x2+8x+4＝4（x2+2x+1）利用提公因式法因式分解，但沒分解徹底分解錯(cuò)誤，不符合題意；

D.﹣8x2+8x﹣2＝﹣2（2x﹣1）2先提公因式，然后用完全平方公式因式分解，且分解正確，故符合題意．

故答案為：D．

【分析】利用因式分解的定義及提公因式和公式法逐項(xiàng)判斷即可。

7．如圖，在中，，，邊的垂直平分線交于，交于點(diǎn)，若，則的周長(zhǎng)為（）

A．14B．12C．11D．19

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵DE是BC的垂直平分線，

∴BE=CE，

∴△ACE的周長(zhǎng)為AE+CE+AC=AE+BE+AC=AB+AC=8+6=14.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等得BE=CE，進(jìn)而根據(jù)三角形周長(zhǎng)計(jì)算方法、等量代換及線段的和差將△ACE的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為AB+AC，從而代入計(jì)算即可.

8．如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，下列條件不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（）

A．AB∥DC，AD∥BCB．AB＝DC，AD＝BC

C．AB∥DC，AD＝BCD．OA＝OC，OB＝OD

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的判定

【解析】【解答】解：A、當(dāng)AB∥DC，AD∥BC時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、當(dāng)AB=DC，AD=BC時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、當(dāng)AB∥DC，AD=BC時(shí)，四邊形ABCD也可以是等腰梯形，故此選項(xiàng)符合題意；

D、當(dāng)OA=OC，OB=OD時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，即可一一判斷得出答案.

9．（2023·鄂爾多斯模擬）小明坐滴滴打車前去火車高鐵站，小明可以選擇兩條不同路線：路線A的全程是25千米，但交通比較擁堵，路線B的全程比路線A的全程多7千米，但平均車速比走路線A時(shí)能提高60%，若走路線B的全程能比走路線A少用15分鐘．若設(shè)走路線A時(shí)的平均速度為x千米/小時(shí)，根據(jù)題意，可列分式方程（）

A．=15B．=15

C．=D．=

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】分式方程的實(shí)際應(yīng)用

【解析】【解答】解：設(shè)走路線A時(shí)的平均速度為x千米/小時(shí)，根據(jù)題意得：﹣=．故答案為：D．

【分析】由題意可得相等關(guān)系：走路線A時(shí)所用的時(shí)間-走路線B時(shí)所用的時(shí)間=走路線B的全程能比走路線A少用時(shí)間（15分鐘），根據(jù)相等關(guān)系列方程即可。

10．用總長(zhǎng)為a米的材料做成如圖所示的矩形窗框，設(shè)窗框的寬為x米，窗框的面積為y平方米，y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖，則a的值是（）

A．16B．12C．8D．4

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】通過函數(shù)圖象獲取信息并解決問題；二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用-幾何問題

【解析】【解答】解：由圖象可知，當(dāng)x=2時(shí)，y有最大，最大值為4，

∴當(dāng)x=2米，窗框的最大面積是4平方米，根據(jù)矩形面積計(jì)算公式，另一邊為4÷2=2(米)，

∴材料總長(zhǎng)a=3×2+3×2=12(米).

故答案為：B.

【分析】由圖象可知：x=2時(shí)，面積最大為y=4，根據(jù)圖形是矩形，由面積公式易得另一邊為2米，從而得出a的值.

二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）

11．分解因式：a3b﹣ab3=

【答案】ab（a+b）（a﹣b）

【知識(shí)點(diǎn)】因式分解﹣綜合運(yùn)用提公因式與公式法

【解析】解：a3b﹣ab3，

=ab（a2﹣b2），

=ab（a+b）（a﹣b）．

【分析】先觀察原式，找到公因式ab后，提出公因式后發(fā)現(xiàn)a2﹣b2符合平方差公式，利用平方差公式繼續(xù)分解即可．

12．已知a，b，c為三角形的三邊，且滿足，這個(gè)三角形是三角形．

【答案】直角

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理的逆定理；非負(fù)數(shù)之和為0

【解析】【解答】解：∵，

∴，

解得，

∵a、b、c是三角形的三邊長(zhǎng)，且a2+b2=52+122=169=c2=132，

∴△ABC是直角三角形.

故答案為：直角.

【分析】由算術(shù)平方根的非負(fù)性、絕對(duì)值的非負(fù)性及偶數(shù)次冪的非負(fù)性，及幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則每一個(gè)數(shù)都等于0可求出a、b、c的值，進(jìn)而根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ABC是直角三角形.

13．（2023九上·北京開學(xué)考）如圖，，兩點(diǎn)被池塘隔開，在外選一點(diǎn)，連接和．分別取，的中點(diǎn)，，測(cè)得，兩點(diǎn)間的距離為，則、兩點(diǎn)間的距離為．

【答案】60

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的中位線定理

【解析】【解答】解：∵點(diǎn)D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)，

∴DE是ABC的中位線，

∴AB＝2DE，

∵DE＝30m，

∴AB＝60m，

故答案為：60．

【分析】先求出DE是ABC的中位線，再求出AB＝2DE，最后計(jì)算求解即可。

14．（2023九上·二道期末）如果最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，那么x的值為．

【答案】3

【知識(shí)點(diǎn)】同類二次根式

【解析】【解答】解：由題意可得：2x-1=5，

解得：x=3．

當(dāng)x=3時(shí)，與都是最簡(jiǎn)二次根式．

故答案為：3．

【分析】先求出2x-1=5，再求出x=3，最后求解即可。

15．（2023八上·江都期中）如圖，在中，，，，AD是的平分線.若P，Q分別是AD和AC上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是.

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短；三角形的面積；角平分線的性質(zhì)；勾股定理

【解析】【解答】如圖，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵是的平分線，

∴，這時(shí)有最小值，即的長(zhǎng)度，

∵，，，

∴.

∵，

∴，即的最小值為.

故答案為.

【分析】過點(diǎn)C作CM⊥AB，交AB于點(diǎn)N，交AD于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q，利用角平分線的性質(zhì)可證得PQ=PM，要使PC+PQ的值最小，則CM最短，因此當(dāng)CM⊥AB時(shí)，CM的值最?。焕霉垂啥ɡ砬蟪鯝B的長(zhǎng)，再利用三角形的面積公式求出CM的長(zhǎng)即可.

三、解答題一（本大題共3小題，16題10分，17、18題各7分，共24分）

16．

（1）計(jì)算：﹣﹣+|﹣2|．

（2）解方程：（1）x2﹣2x﹣8＝0．

【答案】（1）解：原式

=1；

（2）解：∵x2-2x-8=0，

∴(x-4)(x+2)=0，

∴x-4=0或x+2=0，

∴.

【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；因式分解法解一元二次方程

【解析】【分析】（1）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)、0指數(shù)冪的性質(zhì)、分母有理化及絕對(duì)值的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)，再合并同類二次根式及進(jìn)行有理數(shù)加減法運(yùn)算即可；

（2）此方程是一元二次方程的一般形式，方程的左邊易于利用十字相乘法分解因式，故此題利用因式分解法求解，根據(jù)兩個(gè)因式的乘積等于0，則至少有一個(gè)因式為0，從而將方程降次為兩個(gè)一元一次方程，解一元一次方程可求出原方程的解.

17．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中a從﹣3，﹣2，﹣1中取一個(gè)你認(rèn)為合適的數(shù)代入求值．

【答案】解：原式

，

∵且

∴

∴，

將代入得：原式=-（-3）-1=2.

【知識(shí)點(diǎn)】分式的化簡(jiǎn)求值

【解析】【分析】先通分計(jì)算括號(hào)內(nèi)異分母分式的減法，同時(shí)將除式的分子、分母分別分解因式，并將除法轉(zhuǎn)變?yōu)槌朔ǎM(jìn)而將括號(hào)內(nèi)計(jì)算的結(jié)果的分子分解因式，然后約分化為最簡(jiǎn)形式；根據(jù)選出符合原式有意義的a的值，代入化簡(jiǎn)結(jié)果計(jì)算可得答案.

18．已知x1=﹣1是方程x2+mx﹣5=0的一個(gè)根，求m的值及方程的另一根x2．

【答案】解：由題可知：x1=-1為方程x2+mx﹣5=0的一個(gè)根

∴（-1）2+（-1）×m-5=0

∴m=-4，

當(dāng)m=-4時(shí)，方程可化為x2-4x-5=0.

∴(x-5)(x+1)=0，

∴x-5=0或x+1=0，

解得：x1=-1，x2=5

∴方程的另一個(gè)根為x2=5.

【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程

【解析】【分析】根據(jù)方程根的概念，將x1=-1代入方程x2+mx﹣5=0可求出m的值，然后將m的值代回原方程可得關(guān)于x的一元二次方程，再利用因式分解法解此方程可求出x2的值.

四、解答題二（本大題共3小題，每小題9分，共27分）

19．如圖，在ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線AC上，且AE=CF，連接DE、EB、BF、FD.

求證：

（1）△ADE≌△CBF；

（2）四邊形DEBF平行四邊形．

【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，AD//BC，

∴∠DAE=∠BCF，

在△ADE和△CBF中

∴△ADE≌△CBF(SAS)；

（2）證明：∵△ADE≌△CBF；

∴DE=BF，∠AED=∠BFC，

∵∠AED十∠DEF=180°，

∴∠BFC十∠BFE=180°，

∴∠DEF=∠BFE，

∴DE//BF，

∵DE=BF，

∴四邊形DEBF是平行四邊形.

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】（1）由平行四邊形的對(duì)邊平行且相等得AD=BC，AD//BC，由二直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得∠DAE=∠BCF，從而可用SAS判斷出△ADE≌△CBF；

（2）由全等三角形的性質(zhì)得DE=BF，∠AED=∠BFC，由鄰補(bǔ)角定義及等角的補(bǔ)角相等得∠DEF=∠BFE，再由內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行得DE∥BF，最后由一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得結(jié)論.

20．臺(tái)風(fēng)“杜蘇芮”牽動(dòng)著全國(guó)人民的心，某單位開展了“一方有難，八方支援”賑災(zāi)捐款活動(dòng)，第一天收到捐款3000元，第三天收到捐款4320元．

（1）如果第二天、第三天收到捐款的增長(zhǎng)率相同，求捐款增長(zhǎng)率；

（2）按照（1）中收到的捐款的增長(zhǎng)速度，第四天該單位能收到多少捐款？

【答案】（1）解：設(shè)捐款增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意列方程得，

3000×(1+x)2=4320，

解得x1=0.2，

x2=-2.2(不合題意，舍去)；

答：捐款增長(zhǎng)率為20%；

（2）解：第四天收到捐款為：

4320×(1+20%)=5184(元)，

答：該單位四天能收到5184元捐款.

【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用-百分率問題

【解析】【分析】（1）設(shè)捐款增長(zhǎng)率為x，此題是一道平均增長(zhǎng)率的問題，根據(jù)公式a(1+x)n=p，其中a是平均增長(zhǎng)開始的量，x是增長(zhǎng)率，n是增長(zhǎng)次數(shù)，P是增長(zhǎng)結(jié)束達(dá)到的量，根據(jù)公式列出方程，進(jìn)而再利用直接開平方法求解并檢驗(yàn)可得答案；

（2）用第三天收到的捐款數(shù)×（1+20％）=第四天收到的捐款錢數(shù)，列式計(jì)算可得答案.

21．如圖，直線y1＝x+1交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，直線y2＝﹣2x+4交x、y軸于點(diǎn)C、D，兩直線交于點(diǎn)E．

（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）求ACE面積；

（3）根據(jù)圖象直接回答：當(dāng)x為何值時(shí)，y1＜y2？

【答案】（1）解：，

得，

∴；

（2）解：當(dāng)y1=x+1=0時(shí)，解得：x=-1，

∴A(-1，0)，

當(dāng)y2=-2x十4=0時(shí)，解得：x=2，

∴

∴AC=2-(-1)=3，

∴

=3；

（3）解：由圖象可知，當(dāng)x<1時(shí)，y1<y2.

【知識(shí)點(diǎn)】?jī)梢淮魏瘮?shù)圖象相交或平行問題

【解析】【分析】（1）聯(lián)立兩函數(shù)解析式組成的方程組，求解可得其交點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）分別令兩函數(shù)解析式中的y=0，算出對(duì)應(yīng)的x的值，可得點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，從而可得AC的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式，由S△ACE=AC×yE，列式計(jì)算即可；

（3）從圖象看，求y1＜y2時(shí)x的取值，就是求直線y1＝x+1的圖象在直線y2＝﹣2x+4的圖象的下方部分相應(yīng)的自變量的取值范圍.

五、解答題（三）（本大題共2小題，每小題12分，共24分）

22．（2023八下·阿拉善盟期末）如圖①，將一張矩形紙片ABCD沿著對(duì)角線BD向上折疊，頂點(diǎn)C落到點(diǎn)E處，BE交AD于點(diǎn)F．

（1）求證：△BDF是等腰三角形．

（2）如圖②，過點(diǎn)D作DG//BE，交BC于點(diǎn)G，連接FG交BD于點(diǎn)O．

①判斷四邊形BFDG的形狀，并說明理由；

②若AB＝6，AD＝8，求FG的長(zhǎng)．

【答案】（1）證明：由折疊性質(zhì)可得，∠DBC＝∠DBE，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD//BC，

∴∠DBC＝∠ADB，

∴∠DBE＝∠ADB，

∴BF＝DF，

∴△BDF是等腰三角形；

（2）解：①四邊形BFDG是菱形，理由如下：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD//BC，即FD//BG，

又∵DG//BF，

∴四邊形BFDG是平行四邊形，

又∵DF＝BF，

∴四邊形BFDG是菱形，

②∵在R