Euler歐拉-My數(shù)位學習課件

Euler(歐拉)Euler（1707～1783）生於Basel(巴塞爾)，卒於SaintPetersburg(聖彼得堡)。瑞士數(shù)學家。Euler生於公元1707年4月15日，但隨即其家庭就搬到Basel近郊的Riehen。Euler的父親PaulEuler是一名加爾文教派的教師。大學求學期間在JacobBernoulli家住過。Paul期望Euler成為神學家。1Euler(歐拉)Euler（1707～1783）生於Ba柏努力家族2柏努力家族2Euler與Bernoulli家族Euler常與JohannIBernoulli學習數(shù)學，而與DanielI(丹尼爾I)私交不錯。JacobII(傑可布II)與Euler的孫女結(jié)婚。Euler讀大學時既接觸Bernoulli家族，這個宣傳數(shù)學真理的家族。JohannBernoulli勸Paul說「Euler註定要成為大數(shù)學家，而非Riehen的鄉(xiāng)村牧師?！?Euler與Bernoulli家族Euler常與JohaLeonhardPaulEuler

4LeonhardPaulEuler4舊瑞士的10法朗鈔票5舊瑞士的10法朗鈔票5Euler的求學過程1722年(15歲)，完成大學學業(yè)。1723年，拿到碩士學位，論文為探討並比較笛卡兒和牛頓的哲學差異。1726年，在Basel大學取得博士學位。1727年，第一篇論文「onisochronouscurvesinaresistingmedium」解出當年巴黎科學院所提出之「關(guān)於船桅的問題」。6Euler的求學過程1722年(15歲)，完成大學學業(yè)。Euler的學術(shù)生涯1727~1741年：俄國聖彼得堡科學院時期。聖彼得堡科學院(AcademyofSciencesofSt.Petersburg)是彼得大帝受萊布尼茲(Leibniz,1647~1716)的建議所設(shè)立。1741~1766年：德國柏林科學院時期。經(jīng)Leibniz多年亟力倡導(dǎo)，於1700年成立柏林科學院（BerlinAcademyofScience）1766~1783年：聖彼得堡科學院時期。7Euler的學術(shù)生涯1727~1741年：俄國聖彼得堡科學院1727~1741年：俄國聖彼得堡科學院1727年DanielIBernoulli獲邀講學研究，推薦Euler擔任他的醫(yī)學研究助理。海軍上尉軍官，數(shù)學研究部門。1733年成為科學院之數(shù)學研究的靈魂人物。與宮廷畫家Gsell的女兒Catharina結(jié)婚。多產(chǎn)的數(shù)學家(共生13個但只有5個沒在幼時夭折。)1735年贏得巴黎科學院的獎金，但右眼失明。完成近90種著作，含1736年的二卷力學經(jīng)典『力學或運動科學的分析解說』1738及1740年拿到巴黎科學院研究大獎。81727~1741年：俄國聖彼得堡科學院1727年Dani前蘇聯(lián)郵票（1957年）1957stampoftheformerSovietUnioncommemoratingthe250thbirthdayofEuler.Thetextsays:250yearsfromthebirthofthegreatmathematicianandacademician,LeonhardEuler.右眼失明9前蘇聯(lián)郵票（1957年）1957stampofthe1741~1766年：德國柏林科學院1741年受德國斐特列大帝(FrederichtheGreat)之邀請。IcandojustwhatIwish(inmyresearch).Thekingcallsmehisprofessor,andIthinkIamthehappiestmanintheworld.造幣、水管鋪設(shè)、運河開挖、年金計算等在柏林24年寫了380篇論文，涵蓋變分法、行星運行軌跡、重兵器設(shè)計、砲彈軌跡計算、船舶設(shè)計、月球運動、差分方程等斐特列大帝諷稱Euler為『數(shù)學的獨眼龍』101741~1766年：德國柏林科學院1741年受德國斐特列大德國StampoftheformerGermanDemocraticRepublic

honoringEuleronthe200thanniversaryofhisdeath.Inthemiddle,itshowshispolyhedralformula

V?E+F=2.11德國StampoftheformerGermanD1766~1783年：聖彼得堡科學院1771年，家遭到大火侵襲，後又遭洪水侵襲，間接造成雙眼失明。Euler以堅強樂觀的態(tài)度面對一切。數(shù)學史家E.T.Bell說：『那個時代整個數(shù)學領(lǐng)域的主要公式都完全精準的裝在他的腦海中』。Euler的作品有一半以上是全盲時完成的。1776年愛妻過世，隔年再婚，對象為前妻的同父異母的妹妹。121766~1783年：聖彼得堡科學院1771年，家遭到大火侵1753年的畫像131753年的畫像13

1783年9月18日，77歲Euler在計算完『氣球升高的定律』及『天王星運行的軌跡』後，在與孫子玩耍中安詳?shù)碾x開人間。Euler以每年800頁的寫作速度發(fā)表極高水準的論文。著作及論文計有560餘種。法國物理學家J.A.Condorcet(1743~1794)對Euler的評語：『Euler停止計算，便停止生命』…ilcessadecalculeretdevivre—…141783年9月18日，77歲Euler在計算完『氣球升高的葬於俄羅斯Euler'sgraveattheAlexanderNevskyLavra.15葬於俄羅斯Euler'sgraveattheAlexEuler—全能的大師(1)天文方面：1753年出版『月球運動理論』；1774年發(fā)表『行星與彗星運動理論』。光學方面：1771年發(fā)表3大冊『屈光學』。聲學方面：研究過聲音的傳播理論及和諧問題，為傅立葉(Fourier,1768~1830)鋪路。力學方面：1736年出版『力學或運動科學的分析解說』，首次將數(shù)學分析的方法引入力學中。1765年著作『剛體運動理論』。16Euler—全能的大師(1)天文方面：1753年出版『月球運Euler—全能的大師(2)流體力學方面：1741年出版二卷『航海學』；1757年發(fā)表『流體的平衡之ㄧ般原理』、『流體運動的一般原理』、『流體運動理論續(xù)篇』；1761年出版『流體運動原理』。熱力學方面：1738年以『火的論述』得到科學院獎金。數(shù)學方面：有「分析學的化身」之封號。17Euler—全能的大師(2)流體力學方面：1741年出版二卷Euler—數(shù)學成就(1)數(shù)學符號：1734年用函數(shù)f(x)1736年圓周率π、自然指數(shù)底數(shù)e1748年正餘弦sin、cos1753年正切tan1755年自變數(shù)增量Δx、級數(shù)和Σ1777年單位虛數(shù)

18Euler—數(shù)學成就(1)數(shù)學符號：18Euler—數(shù)學成就(2)經(jīng)典名著：1741年『求證最大值和最小值的曲線方法或等周問題的解答』。1748年『無窮分析引論』，簡稱『引論』可比美歐幾里得(Euclid)之『幾何原本』。1755年『微分原理』。1768~1770年『積分原理』。19Euler—數(shù)學成就(2)經(jīng)典名著：19『無窮分析引論』(1)Euler首先將「函數(shù)」置於微積分發(fā)展的中心。使函數(shù)成為近代數(shù)學發(fā)展的研究對象?！负瘮?shù)」的觀念源自文藝復(fù)興時期的伽利略(G.Galilei,1564~1645)。首先找出自由落體之移動距離S與時間t之關(guān)係：

萊布尼茲(Leibniz,1646~1716)首次將「函數(shù),function」引入數(shù)學中，表示附屬於曲線上之各種幾何數(shù)量。20『無窮分析引論』(1)Euler首先將「函數(shù)」置於微積分發(fā)展『無窮分析引論』(2)約翰、柏努力(J.Bernoulli)首先從解析的角度定義函數(shù)，1718年將函數(shù)定義為：變數(shù)x與常數(shù)所構(gòu)成的任何表示式，並以Φ(x)表示x的函數(shù)。Euler在「引論」中定函數(shù)為：一個變量的函數(shù)是由此變量及常數(shù)任意組合的解析表示。他的解析表示指所有代數(shù)式、指數(shù)式、對數(shù)式、三角函數(shù)。代數(shù)式又分為(1)有理函數(shù)：只含變數(shù)之四則運算(2)無理式：含根式。定義超越函數(shù)：非代數(shù)式之函數(shù)。21『無窮分析引論』(2)約翰、柏努力(J.Bernoull『無窮分析引論』(3)1755年在「微分原理」中更廣義的定義函數(shù)：若某些量與其他量有關(guān)，後者有變化時，前者跟著變化，則前者的量稱為後者的量的函數(shù)。1768~1770年在「積分原理」中更定函數(shù)為：在xy平面上徒手畫出的曲線所表示的y與x之關(guān)係。22『無窮分析引論』(3)1755年在「微分原理」中更廣義的定義『無窮分析引論』(4)首次將「對數(shù)」用冪級數(shù)來定義。並得數(shù)e用無窮級數(shù)展開式研究三角函數(shù)性質(zhì)。導(dǎo)出複角、積化和差、和差化積、隸美弗(DeMoivreRule)及Euler公式23『無窮分析引論』(4)首次將「對數(shù)」用冪級數(shù)來定義。並得數(shù)e掛在聖彼得堡科學院大門口"themostremarkableformulainmathematics"byRichardFeynman

In1988,readersoftheMathematicalIntelligencervotedit"theMostBeautifulMathematicalFormulaEver".24掛在聖彼得堡科學院大門口24『無窮分析引論』(5)Euler首次用sinx之展開式來表示π。1698年JacobBernoulli曾在「無窮級數(shù)論文集」中證明Jacob曾以絕望的口吻說：「假如任何人發(fā)現(xiàn)此種讓我們落荒而逃的解答，請與我們連絡(luò)，我們將感激不盡。」25『無窮分析引論』(5)Euler首次用sinx之展開式來表示『無窮分析引論』(6)1734年於聖彼得堡的第一年，利用sinx算出26『無窮分析引論』(6)1734年於聖彼得堡的第一年，利用si『無窮分析引論』(7)在「引數(shù)」中導(dǎo)出連分數(shù)的結(jié)論：『每個有理數(shù)均可寫成有限繁分數(shù)，而無理數(shù)則可寫成無限繁分數(shù)』27『無窮分析引論』(7)在「引數(shù)」中導(dǎo)出連分數(shù)的結(jié)論：『每個有『無窮分析引論』(8)28『無窮分析引論』(8)28微分原理(1)定義：微分是確定函數(shù)得到無窮小增量與變量的那些無窮小增量之比的方法，它們是變量的函數(shù)。Euler把該書定位為純粹的分析學，故整本書無圖形。微分的處裡方式：對函數(shù)用無窮級數(shù)展開，再忽略較高之無窮小項。Euler的解釋:『無窮小量同有限量相比較變?yōu)榱悖b於考慮有限量因而可以將其捨棄?！?、『從而無窮小的分析忽略數(shù)學的嚴格性的反對意見消失了，…，因為沒有捨棄別的甚麼只是根本就沒有甚麼』。29微分原理(1)定義：微分是確定函數(shù)得到無窮小增量與變量的那些微分原理(2)Ex:30微分原理(2)30微分原理(3)Ex:Ex:31微分原理(3)Ex:31積分原理Euler定義積分為：它是以某量的給定的微分關(guān)係中求出量本身的方法。既積分為微分的逆運算，而不把積分看成求面積的方法。Euler列舉的反導(dǎo)數(shù)公式如：32積分原理Euler定義積分為：它是以某量的給定的微分關(guān)係中求三角級數(shù)(1)1807年法國數(shù)學家傅利葉(JosephFourior,1768~1830)在探討熱傳導(dǎo)的論文中宣告：『在一區(qū)間上之任意定義的週期函數(shù)都可以寫成正、餘旋函數(shù)之和』。33三角級數(shù)(1)1807年法國數(shù)學家傅利葉(JosephFo三角級數(shù)(2)Euler在1753年發(fā)表函數(shù)值為1且週期為1的週期函數(shù)的sin,cos展開式。1777年Euler研究天文時得到34三角級數(shù)(2)Euler在1753年發(fā)表函數(shù)值為1且週期為1數(shù)論(1)費馬(PierreFermat,1601~1665)：法國數(shù)學家。費馬小定理：『若p為質(zhì)數(shù)且a,p互質(zhì)，則p能整除』Ex:證，12不整除

35數(shù)論(1)費馬(PierreFermat,1601~166數(shù)論(2)費馬大定理(1637年提出)：『若整數(shù)無非零整數(shù)解』。1700年Euler證明n=3於1994年被美國普林斯頓大學數(shù)學教授安德魯、懷爾斯(A.Wiles，英國數(shù)學家)解決。證明長達200頁。1963年懷爾斯10歲，一天從學校漫步回家時，決定到路上的小圖書館去，懷爾斯被一本書所吸引住，這本書只有一個問題卻沒有解答。36數(shù)論(2)費馬大定理(1637年提出)：『若整數(shù)數(shù)論(3)30年後懷爾斯回憶說：它看上去如此簡單，但歷史上所有大數(shù)學家都未能解決它。這裡正擺著一個我—一個十歲的孩子能理解的問題，從那個時刻起，我知道我永遠不會放棄它，我必須解決它。費馬—十七世紀的業(yè)餘數(shù)學家，在一本關(guān)於古希臘數(shù)學家工作的書頁「算術(shù)」的空白處記下：不可能將一個立方數(shù)寫成兩個立方數(shù)的和，或者將一個4次冪寫成兩個4次冪之和，總的來說，不可能將一個高於2次的冪寫成兩個同樣次冪的和。37數(shù)論(3)30年後懷爾斯回憶說：它看上去如此簡單，但歷史上所數(shù)論(4)費馬—喜歡惡作劇的天才草草寫下一個附加的評註：我有一個對這個命題的十分美妙的証明，這裏空白太小，寫不下。證明是一個偶像，數(shù)學家在這個偶像前折磨自己—阿瑟、愛丁頓(A.Eddington,1882-1964)英國物理學家。1908年德國實業(yè)家—保羅、沃爾夫斯凱爾(PaulWolfskehl)，在大學裏學過數(shù)學，且與數(shù)學家常保持聯(lián)絡(luò)。感情強烈的他，迷戀一位漂亮女性卻被拒絕，因此訂下自殺計畫。自殺前在圖書室看到一篇關(guān)於庫默爾提出的一個假定所吸引，而忘記自殺。因此提供10萬馬克的獎金給證明費馬最後定理的人，規(guī)定到2007年9月13日止。38數(shù)論(4)費馬—喜歡惡作劇的天才草草寫下一個附加的評註：我有數(shù)論(5)懷爾斯的証明是利用50年代日本數(shù)學家谷山豐提出的一個猜想，不過當時並沒有人看出谷山猜想和費馬定理的關(guān)聯(lián)性。懷爾斯是用反證法：假設(shè)費馬定理是錯的，既費馬方程式是有解的話，就會存在谷山猜想中所討論的一條橢圓曲線(甜甜圈)，懷爾斯證明的關(guān)鍵就是說明不可能存在這樣的一條曲線。(代數(shù)問題用微分幾何解決)39數(shù)論(5)懷爾斯的証明是利用50年代日本數(shù)學家谷山豐提出的一數(shù)論(6)1750年左右的著作『論數(shù)的學說』定義:小於n且與n互質(zhì)之正整數(shù)個數(shù)。Ex:Euler定理：設(shè)1760年：若整數(shù)a與n互質(zhì)，則n整除費馬小定理為其特例。40數(shù)論(6)1750年左右的著作『論數(shù)的學說』定義40數(shù)論(7)友誼數(shù)(friendshipnumber)：二整數(shù)其一數(shù)之真因數(shù)之和等於另外一數(shù)。畢氏找出一對(220,284)。因為所以220的真因數(shù)有1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110，總和為284；284的真因數(shù)有1,2,4,71,142，總和為220。41數(shù)論(7)友誼數(shù)(friendshipnumber)：二整220284(1)畢達哥拉斯說：『朋友是你靈魂的倩影，就像220與284一樣親密?！贿@兩個數(shù)，都用全部的生命去成全對方

....西元1984年英國倫敦Viking出版了MartinGardner所著《MathematicalMagicShow》一書，書中提道說220與284在中世紀的占星術(shù)鑄件與護身符扮演增進情誼的角色。42220284(1)畢達哥拉斯說：『朋友是你靈魂的倩影，220284(2)在舊約聖經(jīng)《創(chuàng)世紀篇》第32章寫道「當夜，雅各在那裡住宿、就從他所有的物中拿禮物、要送給他哥哥以掃母山羊二百隻、公山羊二十隻、母綿羊二百隻、公綿羊二十隻、…」雅各給他哥哥以掃山羊220隻、綿羊220隻，雅各選擇220表達了對哥哥的摯愛。43220284(2)在舊約聖經(jīng)《創(chuàng)世紀篇》第32章寫道「當數(shù)論(8)阿拉伯數(shù)學家阿巴那(al-Banna,1256-1321)與1636年費馬找出另一對(17296,18416)。1638年笛卡兒(Decartes,1596-1665)發(fā)現(xiàn)一對(9363584,9437056)。1747-1750年間Euler一口氣發(fā)現(xiàn)了57對，如(122265,139815)44數(shù)論(8)阿拉伯數(shù)學家阿巴那(al-Banna,1256-1數(shù)論(9)Euler則在西元1747年，推導(dǎo)出「如果

都是質(zhì)數(shù)，其中m與n是整數(shù)，且1≦m≦n-1，則與就是親和數(shù)」，45數(shù)論(9)Euler則在西元1747年，推導(dǎo)出「如果45數(shù)論(10)完全數(shù)(perfectnumber)：一個整數(shù)等於它的真因數(shù)之和者。Ex:6=1+2+328=1+2+3+4+5+6+7496=1+2+3+…+318128=1+2+3+…+12733550336858986905646數(shù)論(10)完全數(shù)(perfectnumber)：一個整數(shù)數(shù)論(11)梅仙數(shù)(Mersennsnumber,法國數(shù)學家梅仙神父，1588-1648)：歐幾里得完全數(shù)定理：若且為質(zhì)數(shù)，則正整數(shù)為完全數(shù)。Euler完全數(shù)定理：若n為一偶數(shù)完全數(shù)，則n必為型式，其中與互質(zhì)。

47數(shù)論(11)梅仙數(shù)(Mersennsnumber,法國數(shù)學圖論(1)哥尼斯堡的七橋問題：18世紀初哥尼斯堡小鎮(zhèn)(今蘇俄的列寧格勒附近)，有一條河之支流環(huán)繞過一小島，有七座橋橫跨這兩隻流上。問題:在只允許走一次之情況下，能否找到一條路徑，可走遍每一座橋？為今日拓樸學(Topology)與圖論(GraphTheory)之先驅(qū)。48圖論(1)哥尼斯堡的七橋問題：18世紀初哥尼斯堡小鎮(zhèn)(今蘇俄哥尼斯堡的七橋MapofK?nigsberginEuler'stimeshowingtheactuallayoutofthesevenbridges,highlightingtheriverPregelandthebridges.49哥尼斯堡的七橋MapofK?nigsberginEu圖論(2)1736年Euler發(fā)表『與位置幾何有關(guān)的一個問題之解』解決這個問題。把問題簡化成點與線間的連結(jié)組合之「一筆畫」問題。50圖論(2)1736年Euler發(fā)表『與位置幾何有關(guān)的一個問題圖論(3)能否一筆畫之判斷準則：1.若連接路徑數(shù)目為奇數(shù)的點(奇數(shù)點)之數(shù)目大於2時，則所求之ㄧ筆畫路徑不存在。2.若奇數(shù)點的數(shù)目等於2時，則由任一奇數(shù)點出發(fā)，並由另一個奇數(shù)點結(jié)束。3.若所有的點皆為偶數(shù)點，則由任一點出發(fā)，皆可找到一筆畫路徑。51圖論(3)能否一筆畫之判斷準則：51圖論(4)十九世紀後期第八座橋樑建成(h)52圖論(4)十九世紀後期第八座橋樑建成(h)52圖論(5)1944年二次大戰(zhàn)期間被俄國空襲之後所繪製的地圖(現(xiàn)狀)：53圖論(5)1944年二次大戰(zhàn)期間被俄國空襲之後所繪製的地圖(問題下圖無法一筆畫，如何讓其一筆畫？是否能在一張紙上一筆畫圓心及圓？54問題下圖無法一筆畫，如何讓其一筆畫？54應(yīng)用「Euler環(huán)道」以色列的電力公司找出提高查表員的工作效率，結(jié)果查表工作時間縮減40%，原本24位員工，減少為15位。負責規(guī)劃各種導(dǎo)遊行程者。掃街車，如何有效率的清理道路兩側(cè)溝道。郵差如何避免兩次通過相同路徑。55應(yīng)用「Euler環(huán)道」以色列的電力公司找出提高查表員的工作效圖論(4)Euler的網(wǎng)絡(luò)公式：令V=網(wǎng)絡(luò)中頂點(既交點)個數(shù)R=網(wǎng)絡(luò)中