第九章微分方程

第九章微分方程第1頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1一條曲線通過(guò)點(diǎn)(1，2),且該曲線上任一點(diǎn)M(x,y)處的切線斜率為3x2，求這條曲線方程。由y(1)=2，得C=1.即所求的曲線方程為

y=x3+1第2頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2一列車在直線軌道上以20m/s的速度行駛，當(dāng)制動(dòng)時(shí)，列車獲得的加速度是-0.4m/s2，問(wèn)制動(dòng)后，列車行駛了多少時(shí)間才停??？且列車行駛了多少距離？第3頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定義1

凡表示自變量、未知函數(shù)及其未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方程稱為微分方程。

未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程。未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程稱為偏微分方程。定義2微分方程中出現(xiàn)未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，稱為微分方程的階。定義3

若把一個(gè)函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)代入微分方程中能使方程成為恒等式，稱此函數(shù)為微分方程的解（或積分曲線）。第4頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定義4

若微分方程的解中含有一些獨(dú)立的任意常數(shù)，當(dāng)常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相同時(shí)，就稱此解為微分方程的通解（或通積分）。定義5

確定微分方程通解中的任意常數(shù)的值的條件稱為定解條件（或初始條件）。。

稱不含任意常數(shù)的解為微分方程的特解。第5頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一般地，n階微分方程其通解為方程的初始條件為：

初值問(wèn)題（柯西問(wèn)題）第6頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月建立微分方程舉例1利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立微分方程例以點(diǎn)A(0,a)為起點(diǎn)，在第一象限內(nèi)求一曲線，使曲線上任一點(diǎn)P處所作切線與x軸交于T，且|PT|=|OT|第7頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例某種氣體的氣壓p對(duì)于溫度T的變化率與氣壓成正比，與溫度的平方成反比，求函數(shù)p(T)滿足的微分方程。2利用物理意義建立微分方程第8頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例某個(gè)地區(qū)人口總數(shù)N是時(shí)間t的函數(shù),N=N(t).若這個(gè)地區(qū)人口的出生率為n(此時(shí)單位時(shí)間出生數(shù)為nN),死亡率為m(此時(shí)單位時(shí)間死亡數(shù)為mN).現(xiàn)考察任一時(shí)刻的人口總數(shù).微元法:[t,t+dt]時(shí)間段內(nèi),人口增量=這段時(shí)間內(nèi)出生的人數(shù)-死亡的人數(shù)dN=nNdt-mNdt3利用微元法建立微分方程第9頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例一個(gè)容器中裝有體積V0m3的溶液，溶液中含有某種溶質(zhì)x0，現(xiàn)以Qm3/s流量向容器中注入清水（設(shè)容器中裝有攪拌器使溶解均勻），并以同樣流量從容器排出溶液，求溶液中溶質(zhì)含量x隨時(shí)間變化的規(guī)律x(t)。第10頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一階微分方程可分離變量微分方程一階線性微分方程齊次型方程伯努利方程第11頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月可分離變量的微分方程f(x,y)可表示成一個(gè)x的函數(shù)與一個(gè)y的函數(shù)的乘積,(分離變量法)第12頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1解:分離變量一般得到的y是x的一個(gè)隱函數(shù)第13頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2解:分離變量把初始條件代入通解得特解(1+y2)=2(1+x2)第14頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月法1:可以先求通解再求特解法2:可以直接對(duì)方程兩邊同時(shí)求變上限定積分

第15頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3解:設(shè)曲線y=y(x)與橢圓族中的任一橢圓的交點(diǎn)為M(x,y),則曲線y=y(x)在交點(diǎn)M處的切線斜率為k1=y’,橢圓在該點(diǎn)處的切線斜率為由k1k2=-1.可得第16頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第17頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5第18頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1建立共焦拋物線族（其中C為任意常數(shù)）所滿足的微分方程。第19頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一階線性微分方程定義：形如的方程，稱為一階線性微分方程。稱為一階線性齊次方程,否則稱為一階線性非齊次方程。

稱為自由項(xiàng)第20頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一階線性齊次微分方程的通解第21頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月即得通解對(duì)應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解第22頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例6解:常數(shù)變易法,設(shè)代入非齊次方程中得第23頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例7則通解為第24頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例9第25頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例10有一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，從液面由靜止?fàn)顟B(tài)開(kāi)始垂直下沉，設(shè)在沉降過(guò)程中質(zhì)點(diǎn)所受的阻力與沉降速度v成正比，比例系數(shù)為k(k>0)，試求質(zhì)點(diǎn)下沉速度v及位置x與沉降時(shí)間t的關(guān)系。第26頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月.Mkvmg解:設(shè)豎直向下為正,由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律得一階線性非齊次方程第27頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第28頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月齊次方程的微分方程稱為齊次方程.2.解法作變量代換代入原式可分離變量的方程1.定義第29頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第30頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例12第31頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第32頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例13第33頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例14解：變形為代入方程得第34頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

可化為齊次的方程為齊次方程.（其中h和k是待定的常數(shù)）否則為非齊次方程.2.解法1.定義第35頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月有唯一一組解.得通解代回第36頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解代入原方程得第37頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月分離變量法得得原方程的通解方程變?yōu)榈?8頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第39頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月伯努利(Bernoulli)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式伯努利方程解法:

需經(jīng)過(guò)變量代換化為線性微分方程.第40頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月求出通解后，將代入即得代入上式第41頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解例15第42頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例16解：變形為第43頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程:解:整理得代入原方程化為第44頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：整理得第45頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解代入原式總結(jié)第46頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第47頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月小結(jié)加油?。】煞蛛x變量微分方程一階線性微分方程齊次型方程伯努利方程第48頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

可降階的高階微分方程本節(jié)介紹通過(guò)變量代換將特殊的高階微分方程化成一階微分方程的降階法.一.型方程二.型方程三.型方程第49頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

兩邊積分:連續(xù)積分n次得出含有n個(gè)任意常數(shù)的通解.再積分:一.型方程第50頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例:逐次積分得:第51頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月特點(diǎn)：二階方程不顯含因變量y,二.型方程方程變?yōu)榻獬鲞@個(gè)一階方程的通解:則原方程的通解為:第52頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2解：令,則方程變?yōu)?因?yàn)榉植糠e分可得結(jié)果第53頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例:解：令,則方程變?yōu)?第54頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例:因?yàn)閯t因?yàn)樗筇亟鉃?解：令,則第55頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3解：以繩索的最低端為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，如圖設(shè)曲線方程為y=y(x)，在曲線上任取一點(diǎn)M，分析弧段OM的受力情況OMHmgT

根據(jù)受力平衡，可得第56頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月令,直接積分即可第57頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月特點(diǎn)：方程不顯含自變量x,三.型方程令,方程變?yōu)?解出這個(gè)以y為自變量的一階方程的通解:則原方程的通解為:第58頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例:解：令,則方程變?yōu)?即:或者第59頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月的通解為:其通解為:即其通解為:第60頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例6解：令,則方程變?yōu)?代入上式得利用公式可得第61頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月分離變量湊微分得積分得第62頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例:此題看作類型二和類型三皆可,經(jīng)過(guò)嘗試用前者簡(jiǎn)單解：令

,則方程變?yōu)?即:第63頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例8脫離速度問(wèn)題解：以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系OF(r)r根據(jù)牛二律方程簡(jiǎn)化為第64頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月方程變?yōu)閮蛇呁瑫r(shí)變上限定積分得第65頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例：第66頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第67頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解例則由牛頓第二定律得第68頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解平衡位置處重物的受力分析以平衡位置處為坐標(biāo)原點(diǎn)O，豎直向下為x軸正向。設(shè)t時(shí)刻物體的位移為x(t)此時(shí)物體的受力分析第69頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月物體自由振動(dòng)的微分方程第70頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二階線性微分方程二階線性齊次微分方程二階線性非齊次微分方程線性微分方程n階線性微分方程第71頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)1.二階齊次方程解的結(jié)構(gòu):即齊次方程的任何兩個(gè)解的線性組合仍是齊次方程的解。第72頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證明：?jiǎn)栴}:反例：第73頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例如線性無(wú)關(guān)線性相關(guān)第74頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月特別地:例如第75頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月是方程的通解。第76頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu):即非齊次方程的任何兩個(gè)解的差是所對(duì)應(yīng)的齊次方程的解。第77頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證明：第78頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月非齊次的解齊次的通解第79頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證明：第80頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第81頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月n階線性非齊次微分方程的通解非齊次的解齊次的通解第82頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解的疊加原理第83頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證明：第84頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二階線性微分方程n階線性微分方程第85頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月n階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式第86頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一.二階常系數(shù)線性齊次方程一般形式:p,q為常數(shù)

二階常系數(shù)線性微分方程分析由方程特點(diǎn)可看出:為同一類型函數(shù),之間相差常數(shù)因子.因此假設(shè)當(dāng)滿足(2)時(shí),是(1)的一個(gè)特解.特征方程特征根根據(jù)特征根的三種不同情形,方程(1)的通解有三種情形.第87頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.特征根為相異實(shí)根:則(1)的通解為得到第88頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.特征根為二重根:是(1)的一個(gè)特解,求另一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解.取得到另一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解則(1)的通解為第89頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性無(wú)關(guān)特解3.特征根為共軛復(fù)根:是(1)的兩個(gè)特解,則(1)的通解為第90頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第91頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第92頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第93頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例:則通解為第94頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例:則通解為則特解為第95頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例:則通解為第96頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注:上述解法可推廣到n階常系數(shù)線性齊次方程:特征方程第97頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例14:第98頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月特征根為故所求通解為解特征方程為例15第99頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

二階常系數(shù)線性非齊次方程一般形式:p,q為常數(shù)由解的結(jié)構(gòu)可知,(1)的通解是:故只要求出(1)的一個(gè)特解.待定系數(shù)法1.型2.型第100頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月代入(1)式并整理得:1.型第101頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(1).當(dāng)不是特征根時(shí):則設(shè)(2).當(dāng)是特征單根時(shí):因此是m

次多項(xiàng)式,

是m+1次多項(xiàng)式,則設(shè)第102頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(3).當(dāng)是特征重根時(shí):因此是m次多項(xiàng)式,

是m+2次多項(xiàng)式,則設(shè)第103頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例6:求型,由于不是特征根,將代入方程得:第104頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由于是特征二重根,則設(shè)將代入方程得:因此通解為:例7:求的通解.則對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為第105頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.型此時(shí)設(shè)特解為:不是特征根是特征根n次多項(xiàng)式第106頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例8:求的一個(gè)特解.由于不是特征根,則設(shè)將代入方程得:第107頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第108頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：要利用疊加原理將等號(hào)右邊拆開(kāi)第109頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例：寫出微分方程的特解的形式.

設(shè)的特解為解：設(shè)的特解為則所求特解為第110頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例10兩邊對(duì)x求導(dǎo)兩邊再對(duì)x求導(dǎo)第111頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例11解：由反函數(shù)求導(dǎo)公式第112頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月n階線性常系數(shù)非齊次微分方程第113頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月不是特征根是s重特征根n次多項(xiàng)式第114頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第115頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例：第116頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月建立微分方程舉例例1單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)在力F作用下離開(kāi)原點(diǎn)O作直線運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)與運(yùn)動(dòng)方向同向，且大小與點(diǎn)O到質(zhì)點(diǎn)的距離成反比，比例系數(shù)為k1，介質(zhì)阻力與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度成正比，比例系數(shù)為k2，試建立質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程。OFf解：設(shè)t時(shí)刻物體的位移為x(t)第117頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2設(shè)有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，假定運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只受到兩個(gè)力作用：一是拉力，方向與運(yùn)動(dòng)方向一致，大小正比于時(shí)間t（比例系數(shù)為k1）；另一是阻力，方向與運(yùn)動(dòng)方向相反，大小與速度成正比（比例系數(shù)為k2）。設(shè)運(yùn)動(dòng)之初速為v0=0，求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度v(t)。OFf解：設(shè)以運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎虻?18頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一階微分方程第119頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例：第120頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例：第121頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第122頁(yè)，課件共134頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月須討論