拋物線方程及性質(zhì)的應(yīng)用

第2章2.4.2第2課時一、選擇題(每小題5分，共20分)1．過拋物線y2＝4x的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，它們的橫坐標(biāo)之和等于5，則這樣的直線()A．有且僅有一條 B．有且僅有兩條C．有無窮多條 D．不存在解析：由定義|AB|＝5＋2＝7，∵|AB|min＝4，∴這樣的直線有且僅有兩條．答案：B2．在同一坐標(biāo)系中，方程a2x2＋b2y2＝1與ax＋by2＝0(a>b>0)的曲線大致為()解析：方法一：將方程a2x2＋b2y2＝1與ax＋by2＝0轉(zhuǎn)化為eq\f(x2,\f(1,a2))＋eq\f(y2,\f(1,b2))＝1，y2＝－eq\f(a,b)x.因為a>b>0，所以eq\f(1,b)>eq\f(1,a)>0.所以橢圓的焦點在y軸上；拋物線的焦點在x軸上，且開口向左．故選D.方法二：方程ax＋by2＝0中，將y換成－y，其結(jié)果不變，即ax＋by2＝0的圖形關(guān)于x軸對稱，排除B、C，又橢圓的焦點在y軸上，排除A.故選D.答案：D3．已知直線y＝k(x＋2)(k>0)與拋物線C：y2＝8x相交于A、B兩點，F(xiàn)為C的焦點，若|FA|＝2|FB|，則k＝()\f(1,3) \f(2\r(2),3)\f(2,3) \f(\r(2),3)解析：過A、B作拋物線準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為A1、B1，由拋物線定義可知，AA1＝AF，BB1＝BF，又∵2|BF|＝|AF|，∴|AA1|＝2|BB1|，即B為AC的中點．從而yA＝2yB，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,y2＝8x))?消去x得y2－eq\f(8,k)y＋16＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(yA＋yB＝\f(8,k)，,yA·yB＝16))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3yB＝\f(8,k)，,2y\o\al(2,B)＝16，))，消去yB得k＝eq\f(2\r(2),3).故選B.答案：B4．已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()A．2 B．3\f(11,5) \f(37,16)解析：∵直線l2：x＝－1恰為拋物線y2＝4x準(zhǔn)線，∴P到l2的距離d2＝|PF|(F(1,0)為拋物線焦點)，所以P到l1、l2距離之和最小值為F到l1距離eq\f(|4×1－3×0＋6|,\r(32＋42))＝2，故選A.答案：A二、填空題(每小題5分，共10分)5．已知直線x－y－1＝0與拋物線y＝ax2相切，則a＝________.解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－1＝0,y＝ax2))，得ax2－x＋1＝0，Δ＝1－4a＝0，得a＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)6．直線y＝x＋b交拋物線y＝eq\f(1,2)x2于A、B兩點，O為拋物線的頂點，且OA⊥OB，則b的值為________．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋b,y＝\f(1,2)x2))，得x2－2x－2b＝0，Δ＝(－2)2＋8b>0，設(shè)直線與拋物線的兩交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)．由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝2，x1x2＝－2b，于是y1y2＝eq\f(1,4)(x1x2)2＝b2，由OA⊥OB知x1x2＋y1y2＝0，故b2－2b＝0，解得b＝2或b＝0(不合題意，舍去)．b＝2適合Δ>0.答案：2三、解答題(每小題10分，共20分)7．設(shè)過拋物線y2＝2px的焦點且傾斜角為eq\f(π,4)的直線交拋物線于A、B兩點，若弦AB的中垂線恰好過點Q(5,0)，求拋物線的方程．解析：弦AB中點為M，MQ為AB的中垂線，AB的斜率為1，則lMQ：y＝－x＋5.設(shè)lAB：y＝x－eq\f(p,2).聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－\f(p,2)，,y2＝2px.))得x2－3px＋eq\f(p2,4)＝0，∴x1＋x2＝3p.①聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋5,y＝x－\f(p,2)))，得2x＝5＋eq\f(p,2)，則x1＋x2＝5＋eq\f(p,2)②聯(lián)立①②，解得p＝2，∴拋物線方程為y2＝4x.8．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)過點A(1，－2)．(1)求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；(2)是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點)的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點，且直線OA與l的距離等于eq\f(\r(5),5)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．解析：(1)將(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，∴p＝2，故所求的拋物線方程為y2＝4x，其準(zhǔn)線方程為x＝－1；(2)假設(shè)存在符合題意的直線l，其方程為y＝－2x＋t，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x,y＝－2x＋t))得y2＋2y－2t＝0，因為直線l與拋物線C有公共點，所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－eq\f(1,2).另一方面，由直線OA與直線l的距離等于eq\f(\r(5),5)可得eq\f(|t|,\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，∴t＝±1，由于－1?eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))，1∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))，所以符合題意的直線l存在，其方程為y＝－2x＋1.尖子生題庫☆☆☆9．(10分)已知拋物線C1：y2＝4px(p>0)，焦點為F2，其準(zhǔn)線與x軸交于點F1；橢圓C2：分別以F1、F2為左、右焦點，其離心率e＝eq\f(1,2)；且拋物線C1和橢圓C2的一個交點記為M.(1)當(dāng)p＝1時，求橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)在(1)的條件下，若直線l經(jīng)過橢圓C2的右焦點F2，且與拋物線C1相交于A，B兩點，若弦長|AB|等于△MF1F2的周長，求直線l解析：(1)eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1；(2)①若直線l的斜率不存在，則l：x＝1，且A(1,2)，B(1，－2)，∴|AB|＝4又∵△MF1F2的周長等于|MF1|＋|MF2|＋|F1F＝2a＋2c＝6≠|(zhì)∴直線l的斜率必存在．②設(shè)直線l的斜率為k，則l：y＝k(x－1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x,y＝kx－1))，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，∵直線l與拋物線C1有兩個交點A，B，∴Δ＝[－(2k2＋4)]2－4k4＝16k2＋16>0，且k≠0設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則可得x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)，x1x2＝1于是|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(1＋k2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(4,k2)))2－4)))＝eq\r(