28.與圓有關(guān)的位置關(guān)系B

與圓有關(guān)的位置關(guān)系一、選擇題10．（2016安徽，10，4分）如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內(nèi)部的一個動點，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值為（）A． B．2 C． D．【考點】點與圓的位置關(guān)系；圓周角定理．【分析】首先證明點P在以AB為直徑的⊙O上，連接OC與⊙O交于點P，此時PC最小，利用勾股定理求出OC即可解決問題．【解答】解：∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴點P在以AB為直徑的⊙O上，連接OC交⊙O于點P，此時PC最小，在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，∴OC==5，∴PC=OC=OP=5﹣3=2．∴PC最小值為2．故選B．18．（2016湖南湘西，18，4分）在RT△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，以點C為圓心，以2.5cm為半徑畫圓，則⊙C與直線AB的位置關(guān)系是（）A．相交B．相切C．相離D．不能確定【考點】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】過C作CD⊥AB于D，根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)三角形的面積公式求出CD，得出d＜r，根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)論．【解答】解：過C作CD⊥AB于D，如圖所示：∵在Rt△ABC中，∠C=90，AC=4，BC=3，∴AB==5，∵△ABC的面積=AC×BC=AB×CD，∴3×4=5CD，∴CD=2.4＜2.5，即d＜r，∴以2.5為半徑的⊙C與直線AB的關(guān)系是相交；故選A．【點評】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，用到的知識點是勾股定理，三角形的面積公式；解此題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線，并進(jìn)一步求出CD的長，注意：直線和圓的位置關(guān)系有：相離，相切，相交．11．（2016?四川涼山州，11，4分）已知，一元二次方程x2﹣8x+15=0的兩根分別是⊙O1和⊙O2的半徑，當(dāng)⊙O1和⊙O2相切時，O1O2的長度是（）A．2 B．8 C．2或8 D．2＜O2O2＜8【分析】先解方程求出⊙O1、⊙O2的半徑，再分兩圓外切和兩圓內(nèi)切兩種情況討論求解．【解答】解：∵⊙O1、⊙O2的半徑分別是方程x2﹣8x+15=0的兩根，解得⊙O1、⊙O2的半徑分別是3和5．∴①當(dāng)兩圓外切時，圓心距O1O2=3+5=8；②當(dāng)兩圓內(nèi)切時，圓心距O1O2=5﹣2=2．故選C．【點評】考查解一元二次方程﹣因式分解法和圓與圓的位置關(guān)系，同時考查綜合應(yīng)用能力及推理能力．注意：兩圓相切，應(yīng)考慮內(nèi)切或外切兩種情況是解本題的難點．6．(2016上海，6，4分)如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，點D在邊沉BC上，CD＝3，⊙A的半徑長為3，⊙D與⊙A相交，且點B在⊙D外，那么⊙D的半徑長r的取值范圍是()A．1＜r＜4B．2＜r＜4C．1＜r＜8D．2＜r＜8【答案】B．二、填空題16.(2016四川瀘州，16，3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（1，0），B（，0），C（，0）（），點P在以D（4，4）為圓心，1為半徑的圓上運動，且始終滿足∠BPC=90°，則的最大值是.【答案】6（2016湖南永州，20，4分）如圖，給定一個半徑長為2的圓，圓心O到水平直線l的距離為d，即OM=d．我們把圓上到直線l的距離等于1的點的個數(shù)記為m．如d=0時，l為經(jīng)過圓心O的一條直線，此時圓上有四個到直線l的距離等于1的點，即m=4，由此可知：（1）當(dāng)d=3時，m=1；（2）當(dāng)m=2時，d的取值范圍是0＜d＜3．【考點】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系和直線與圓的交點個數(shù)以及命題中的數(shù)據(jù)分析即可得到答案．【解答】解：（1）當(dāng)d=3時，∵3＞2，即d＞r，∴直線與圓相離，則m=1，故答案為：1；（2）當(dāng)m=2時，則圓上到直線l的距離等于1的點的個數(shù)記為2，∴直線與圓相交或相切或相離，∴0＜d＜3，∴d的取值范圍是0＜d＜3，故答案為：0＜d＜3．三、解答題24．（2016湖北省十堰市，24，10分）如圖1，AB為半圓O的直徑，D為BA的延長線上一點，DC為半圓O的切線，切點為C．（1）求證：∠ACD=∠B；（2）如圖2，∠BDC的平分線分別交AC，BC于點E，F(xiàn)；①求tan∠CFE的值；②若AC=3，BC=4，求CE的長．【考點】切線的性質(zhì)．【分析】（1）利用等角的余角相等即可證明．（2）①只要證明∠CEF=∠CFE即可．②由△DCA∽△DBC，得===，設(shè)DC=3k，DB=4k，由CD2=DA?DB，得9k2=（4k﹣5）?4k，由此求出DC，DB，再由△DCE∽△DBF，得=，設(shè)EC=CF=x，列出方程即可解決問題．【解答】（1）證明：如圖1中，連接OC．∵OA=OC，∴∠1=∠2，∵CD是⊙O切線，∴OC⊥CD，∴∠DCO=90°，∴∠3+∠2=90°，∵AB是直徑，∴∠1+∠B=90°，∴∠3=∠B．（2）解：①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE，∠CFE=∠B+∠FDB，∵∠CDE=∠FDB，∠ECD=∠B，∴∠CEF=∠CFE，∵∠ECF=90°，∴∠CEF=∠CFE=45°，∴tan∠CFE=tan45°=1．②在RT△ABC中，∵AC=3，BC=4，∴AB==5，∵∠CDA=∠BDC，∠DCA=∠B，∴△DCA∽△DBC，∴===，設(shè)DC=3k，DB=4k，∵CD2=DA?DB，∴9k2=（4k﹣5）?4k，∴k=，∴CD=，DB=，∵∠CDE=∠BDF，∠DCE=∠B，∴△DCE∽△DBF，∴=，設(shè)EC=CF=x，∴=，∴x=．∴CE=．（2016廣東梅州，20，9分）如圖，點D在⊙O的直徑AB的延長線上，點C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．（1）證明：連接OC．………1分∵AC=CD，∠ACD=120°，∴∠CAD=∠D=30°．………2分∵OA=OC，∴∠2=∠CAD=30°．（或∠ACO=∠CAD=30°）……………3分∴∠OCD=∠ACD—∠ACO=90°，即OC⊥CD．∴CD是⊙O的切線．………4分（2）解：由（1）知∠2=∠CAD=30°．（或∠ACO=∠CAD=30°），∴∠1=60°．（或∠COD=60°）…5分∴．………6分在Rt△OCD中，∵，∴．………7分∴，…8分∴圖中陰影部分的面積為．…9分20．（2016四川資陽，20，8分）如圖，在⊙O中，點C是直徑AB延長線上一點，過點C作⊙O的切線，切點為D，連結(jié)BD．（1）求證：∠A=∠BDC；（2）若CM平分∠ACD，且分別交AD、BD于點M、N，當(dāng)DM=1時，求MN的長．【分析】（1）由圓周角推論可得∠A+∠ABD=90°，由切線性質(zhì)可得∠CDB+∠ODB=90°，而∠ABD=∠ODB，可得答案；（2）由角平分線及三角形外角性質(zhì)可得∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，根據(jù)勾股定理可求得MN的長．【解答】解：（1）如圖，連接OD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，即∠A+∠ABD=90°，又∵CD與⊙O相切于點D，∴∠CDB+∠ODB=90°，∵OD=OB，∴∠ABD=∠ODB，∴∠A=∠BDC；（2）∵CM平分∠ACD，∴∠DCM=∠ACM，又∵∠A=∠BDC，∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，∵∠ADB=90°，DM=1，∴DN=DM=1，∴MN==．（2016青海西寧，26，10分）如圖11，為⊙上一點，點在直徑的延長線上，且．（1）求證：是⊙的切線；（2）過點作⊙的切線交的延長線于點，，．求的長．（1）證明：連結(jié)∵∴∵∴又∵是的直徑∴（直徑所對的圓周角是直角）∴∴即∴∵是半徑∴是的切線（經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線）（2）解：∵，∴∽ ∴∵∴ ∵，是的切線∴∴ 即解得23．（2016四川宜賓，23，10分）如圖1，在△APE中，∠PAE=90°，PO是△APE的角平分線，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓交AE于點G．（1）求證：直線PE是⊙O的切線；（2）在圖2中，設(shè)PE與⊙O相切于點H，連結(jié)AH，點D是⊙O的劣弧上一點，過點D作⊙O的切線，交PA于點B，交PE于點C，已知△PBC的周長為4，tan∠EAH=，求EH的長．【考點】切線的判定與性質(zhì)．【分析】（1）作OH⊥PE，由PO是∠APE的角平分線，得到∠APO=∠EPO，判斷出△PAO≌△PHO，得到OH=OA，用“圓心到直線的距離等于半徑”來得出直線PE是⊙O的切線；（2）先利用切線的性質(zhì)和△PBC的周長為4求出PA=2，再用三角函數(shù)求出OA，AG，然后用三角形相似，得到EH=2EG，AE=2EH，用勾股定理求出EG，最后用切割線定理即可．【解答】證明：（1）如圖1，作OH⊥PE，∴∠OHP=90°，∵∠PAE=90，∴∠OHP=∠OAP，∵PO是∠APE的角平分線，∴∠APO=∠EPO，在△PAO和△PHO中，∴△PAO≌△PHO，∴OH=OA，∵OA是⊙O的半徑，∴OH是⊙O的半徑，∵OH⊥PE，∴直線PE是⊙O的切線．（2）如圖2，連接GH，∵BC，PA，PB是⊙O的切線，∴DB=DA，DC=CH，∵△PBC的周長為4，∴PB+PC+BC=4，∴PB+PC+DB+DC=4，∴PB+AB+PC+CH=4，∴PA+PH=4，∵PA，PH是⊙O的切線，∴PA=PH，∴PA=2，由（1）得，△PAO≌△PHO，∴∠OFA=90°，∴∠EAH+∠AOP=90°，∵∠OAP=90°，∴∠AOP+∠APO=90°，∴∠APO=∠EAH，∵tan∠EAH=，∴tan∠APO==，∴OA=PA=1，∴AG=2，∵∠AHG=90°，∵tan∠EAH==，∵△EGH∽△EHA，∴===，∴EH=2EG，AE=2EH，∴AE=4EG，∵AE=EG+AG，∴EG+AG=4EG，∴EG=AG=，∵EH是⊙O的切線，EGA是⊙O的割線，∴EH2=EG×EA=EG×（EG+AG）=×（+2）=，∴EH=．（2016湖南婁底，25，10分）如圖所示，在Rt△ABC與Rt△OCD中，∠ACB=∠DCO=90°，O為AB的中點．（1）求證：∠B=∠ACD．（2）已知點E在AB上，且BC2=AB?BE．（i）若tan∠ACD=，BC=10，求CE的長；（ii）試判定CD與以A為圓心、AE為半徑的⊙A的位置關(guān)系，并請說明理由．【分析】（1）因為∠ACB=∠DCO=90°，所以∠ACD=∠OCB，又因為點O是Rt△ACB中斜邊AB的中點，所以O(shè)C=OB，所以∠OCB=∠B，利用等量代換可知∠ACD=∠B；（2）（i）因為BC2=AB?BE，所以△ABC∽△CBE，所以∠ACB=∠CEB=90°，因為tan∠ACD=tan∠B，利用勾股定理即可求出CE的值；（ii）過點A作AF⊥CD于點F，易證∠DCA=∠ACE，所以CA是∠DCE的平分線，所以AF=AE，所以直線CD與⊙A相切．【解答】解：（1）∵∠ACB=∠DCO=90°，∴∠ACB﹣∠ACO=∠DCO﹣∠ACO，即∠ACD=∠OCB，又∵點O是AB的中點，∴OC=OB，∴∠OCB=∠B，∴∠ACD=∠B，（2）（i）∵BC2=AB?BE，∴=，∵∠B=∠B，∴△ABC∽△CBE，∴∠ACB=∠CEB=90°，∵∠ACD=∠B，∴tan∠ACD=tan∠B=，設(shè)BE=4x，CE=3x，由勾股定理可知：BE2+CE2=BC2，∴（4x）2+（3x）2=100，∴解得x=2，∴CE=6；（ii）過點A作AF⊥CD于點F，∵∠CEB=90°，∴∠B+∠ECB=90°，∵∠ACE+∠ECB=90°，∴∠B=∠ACE，∵∠ACD=∠B，∴∠ACD=∠ACE，∴CA平分∠DCE，∵AF⊥CE，AE⊥CE，∴AF=AE，∴直線CD與⊙A相切．（2016新疆內(nèi)高班，22，11分）如圖，在△ABC，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且∠CBF=∠CAB．（1）求證：直線BF是⊙O的切線；（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的長．【分析】（1）連接AE，利用直徑所對的圓周角是直角，從而判定直角三角形，利用直角三角形兩銳角相等得到直角，從而證明∠ABF=90°．（2）利用已知條件證得△AGC∽△ABF，利用比例式求得線段的長即可．【解答】（1）證明：連接AE，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=90°，∴∠1+∠2=90°．∵AB=AC，∴∠1=∠CAB．∵∠CBF=∠CAB，∴∠1=∠CBF∴∠CBF+∠2=90°即∠ABF=90°∵AB是⊙O的直徑，∴直線BF是⊙O的切線．（2）解：過點C作CG⊥AB于G．∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，∴sin∠1=，∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，∴BE=AB?sin∠1=，∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC=2BE=2，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE==2，∴sin∠2===，cos∠2===，在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，∴AG=3，∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF，∴∴BF==（2016湖南永州，25，10分）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB為直徑，過點B的切線與AC的延長線交于點D，E是BD中點，連接CE．（1）求證：CE是⊙O的切線；（2）若AC=4，BC=2，求BD和CE的長．【分析】（1）連接OC，由弦切角定理和切線的性質(zhì)得出∠CBE=∠A，∠ABD=90°，由圓周角定理得出∠ACB=90°，得出∠ACO+∠BCO=90°，∠BCD=90°，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CE=BD=BE，得出∠BCE=∠CBE=∠A，證出∠ACO=∠BCE，得出∠BCE+∠BCO=90°，得出CE⊥OC，即可得出結(jié)論；（2）由勾股定理求出AB，再由三角函數(shù)得出tanA===，求出BD=AB=，即可得出CE的長．【解答】（1）證明：連接OC，如圖所示：∵BD是⊙O的切線，∴∠CBE=∠A，∠ABD=90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCO=90°，∠BCD=90°，∵E是BD中點，∴CE=BD=BE，∴∠BCE=∠CBE=∠A，∵OA=OC，∴∠ACO=∠A，∴∠ACO=∠BCE，∴∠BCE+∠BCO=90°，即∠OCE=90°，CE⊥OC，∴CE是⊙O的切線；（2）解：∵∠ACB=90°，∴AB===2，∵tanA====，∴BD=AB=，∴CE=BD=．（2016江蘇蘇州，27，10分）如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，點P從點B出發(fā)，沿對角線BD向點D勻速運動，速度為4cm/s，過點P作PQ⊥BD交BC于點Q，以PQ為一邊作正方形PQMN，使得點N落在射線PD上，點O從點D出發(fā)，沿DC向點C勻速運動，速度為3m/s，以O(shè)為圓心，0.8cm為半徑作⊙O，點P與點O同時出發(fā)，設(shè)它們的運動時間為t（單位：s）（0＜t＜）．（1）如圖1，連接DQ平分∠BDC時，t的值為；（2）如圖2，連接CM，若△CMQ是以CQ為底的等腰三角形，求t的值；（3）請你繼續(xù)進(jìn)行探究，并解答下列問題：①證明：在運動過程中，點O始終在QM所在直線的左側(cè)；②如圖3，在運動過程中，當(dāng)QM與⊙O相切時，求t的值；并判斷此時PM與⊙O是否也相切？說明理由．【分析】（1）先利用△PBQ∽△CBD求出PQ、BQ，再根據(jù)角平分線性質(zhì)，列出方程解決問題．（2）由△QTM∽△BCD，得=列出方程即可解決．（3）①如圖2中，由此QM交CD于E，求出DE、DO利用差值比較即可解決問題．②如圖3中，由①可知⊙O只有在左側(cè)與直線QM相切于點H，QM與CD交于點E．由△OHE∽△BCD，得=，列出方程即可解決問題．利用反證法證明直線PM不可能由⊙O相切．【解答】（1）解：如圖1中，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=∠ADC=∠ABC=90°，AB=CD=6．AD=BC=8，∴BD===10，∵PQ⊥BD，∴∠BPQ=90°=∠C，∵∠PBQ=∠DBC，∴△PBQ∽△CBD，∴==，∴==，∴PQ=3t，BQ=5t，∵DQ平分∠BDC，QP⊥DB，QC⊥DC，∴QP=QC，∴3t=6﹣5t，∴t=，故答案為．（2）解：如圖2中，作MT⊥BC于T．∵M(jìn)C=MQ，MT⊥CQ，∴TC=TQ，由（1）可知TQ=（8﹣5t），QM=3t，∵M(jìn)Q∥BD，∴∠MQT=∠DBC，∵∠MTQ=∠BCD=90°，∴△QTM∽△BCD，∴=，∴=，∴t=（s），∴t=s時，△CMQ是以CQ為底的等腰三角形．（3）①證明：如圖2中，由此QM交CD于E，∵EQ∥BD，∴=，∴EC=（8﹣5t），ED=DC﹣EC=6﹣（8﹣5t）=t，∵DO=3t，∴DE﹣DO=t﹣3t=t＞0，∴點O在直線QM左側(cè)．②解：如圖3中，由①可知⊙O只有在左側(cè)與直線QM相切于點H，QM與CD交于點E．∵EC=（8﹣5t），DO=3t，∴OE=6﹣3t﹣（8﹣5t）=t，∵OH⊥MQ，∴∠OHE=90°，∵∠HEO=∠CEQ，∴∠HOE=∠CQE=∠CBD，∵∠OHE=∠C=90°，∴△OHE∽△BCD，∴=，∴=，∴t=．∴t=s時，⊙O與直線QM相切．連接PM，假設(shè)PM與⊙O相切，則∠OMH=PMQ=22.5°，在MH上取一點F，使得MF=FO，則∠FMO=∠FOM=22.5°，∴∠OFH=∠FOH=45°，∴OH=FH=0.8，F(xiàn)O=FM=0.8，∴MH=0.8（+1），由=得到HE=，由=得到EQ=，∴MH=MQ﹣HE﹣EQ=4﹣﹣=，∴0.8（+1）≠，矛盾，∴假設(shè)不成立．∴直線MQ與⊙O不相切．25.（2016北京，25，5分）如圖，AB為QUOTE于點D，過點D作QUOTE的切線，交BA的延長線于點E.(1)求證：AC∥DE:(2)連接CD，若OA＝AE＝a，寫出求四邊形ACDE面積的思路?？键c：圓的切線的性質(zhì)定理，垂徑定理，多邊形面積的計算。解析：（1）證明：QUOTEED與QUOTE相切于DQUOTEQUOTEF為弦AC的中點QUOTE，QUOTE（2）解：①四邊形DFAE為直角梯形，上底為AF，下底為DE，高為DF，有條件比較容易在直角三角形DOE中計算出DE長為QUOTE，DF=，AF=QUOTE，所以可以求出四邊形DFAE的面積為QUOTE；②在三角形CDF中，QUOTE，且DF=a/2,FC=AF=QUOTE，進(jìn)而可以求解在三角形CDF的面積為QUOTE；③四邊形ACDE就是由四邊形DFAE和三角形CDF組成的，進(jìn)而可以得到四邊形ACDE的面積就等于他們的面積和，為QUOTE（本題也可以通過證明四邊形ACDE為平行四邊形，進(jìn)而通過平行四邊形面積公式求解，主要思路合理即可）。27．2016甘肅省定西市如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在BC上，BD=DC，過點D作DE⊥AC，垂足為E，⊙O經(jīng)過A，B，D三點． （1）求證：AB是⊙O的直徑； （2）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并加以證明； （3）若⊙O的半徑為3，∠BAC=60°，求DE的長． 【分析】（1）連接AD，由AB=AC，BD=CD，利用等腰三角形三線合一性質(zhì)得到AD⊥BC，利用90°的圓周角所對的弦為直徑即可得證； （2）DE與圓O相切，理由為：連接OD，由O、D分別為AB、CB中點，利用中位線定理得到OD與AC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到∠ODE為直角，再由OD為半徑，即可得證； （3）由AB=AC，且∠BAC=60°，得到三角形ABC為等邊三角形，連接BF，DE為三角形CBF中位線，求出BF的長，即可確定出DE的長． 【解答】（1）證明：連接AD， ∵AB=AC，BD=DC， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=90°， ∴AB為圓O的直徑； （2）DE與圓O相切，理由為： 證明：連接OD， ∵O、D分別為AB、BC的中點， ∴OD為△ABC的中位線， ∴OD∥BC， ∵DE⊥BC， ∴DE⊥OD， ∵OD為圓的半徑， ∴DE與圓O相切； （3）解：∵AB=AC，∠BAC=60°， ∴△ABC為等邊三角形， ∴AB=AC=BC=6， 連接BF， ∵AB為圓O的直徑， ∴∠AFB=∠DEC=90°， ∴AF=CF=3，DE∥BF， ∵D為BC中點， ∴E為CF中點，即DE為△BCF中位線， 在Rt△ABF中，AB=6，AF=3， 根據(jù)勾股定理得：BF==3， 則DE=BF=． 【點評】此題屬于圓的綜合題，涉及的知識有：直線與圓相切的判定與性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 22.（2016廣東深圳，22，9分）如圖，已知⊙O的半徑為2，AB為直徑，CD為弦，AB與CD交于點M，將弧CD沿著CD翻折后，點A與圓心O重合，延長OA至P，使AP=OA，鏈接PC。求CD的長；求證：PC是⊙O的切線；點G為弧ADB的中點，在PC延長線上有一動點Q，連接QG交AB于點E，交弧BC于點F（F與B、C不重合）。問GE?GF是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，請說明理由。解：(1)如答圖1，連接OC∵沿CD翻折后，A與O重合∴OM=OA=1，CD⊥OA∵OC=2∴CD=2CM=2=2∵PA=OA=2,AM=OM=1,CM=又∵CMP=∠OMC=90°∴PC==2∵OC=2,PO=4∴PC+OC=PO∴∠PCO=90°∴PC與☉O相切GE·GF為定值，證明如下：如答圖2，連接GA、AF、GB∵G為中點∴∴∠BAG=∠AFG∵∠AGE=∠FGA∴△AGE∽△FGA∴∴GE·GF=AG∵AB為直徑，AB=4∴∠BAG=∠ABG=45°∴AG=2∴GE·GF=AG=8[注]第（2）題也可以利用相似倒角證∠PCO=90°第（3）題也可以證△GBE∽△GFB19.（滿分8分） 如圖，AB是半圓O的直徑，點P是BA延長線上一點，PC是⊙O的切線，切點為C.過點B作BD⊥PC交PC的延長線于點D，連接BC.求證：（1）∠PBC=∠CBD;（2）BC2=AB·BDDCPAOB （第19題）【考點】切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì).【分析】（1）連接OC，運用切線的性質(zhì)，可得出∠OCD=90°，從而證明OC∥BD，得到∠CBD=∠OCB，再根據(jù)半徑相等得出∠OCB=∠PBC，等量代換得到∠PBC=∠CBD.（2）連接AC.要得到BC2=AB·BD，需證明△ABC∽△CBD，故從證明∠ACB=∠BDC，∠PBC=∠CBD入手.【解答】證明：（1）連接OC，∵PC是⊙O的切線，∴∠OCD=90°.……………1分又∵BD⊥PC∴∠BDP=90°∴OC∥BD.∴∠CBD=∠OCB.∴OB=OC.∴∠OCB=∠PBC.∴∠PBC=∠CBD.………..4分DCPAOB（2）連接AC.∵AB是直徑，∴∠BDP=90°.又∵∠BDC=90°，∴∠ACB=∠BDC.∵∠PBC=∠CBD,∴△ABC∽△CBD.……6分∴=.∴BC2=AB·BD.………….……………8分DCPAOB25．（2016廣西賀州，25，10分）如圖，在△ABC中，E是AC邊上的一點，且AE＝AB，∠BAC＝2∠CBE，以AB為直徑作⊙O交AC于點D，交BE于點F．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若AB＝8，BC＝6，求DE的長．【答案】（1）證明：∵AE＝AB，∴△ABE是等腰三角形******************1分∴∠ABE＝eq\F(1,2)(180°－∠BAC)＝90°－eq\F(1,2)∠BAC******************2分∵∠BAC＝2∠CBE，∴∠CBE＝eq\F(1,2)∠BAC******************3分∴∠ABC＝∠ABE＋∠CBE＝(90°－eq\F(1,2)∠BAC)＋eq\F(1,2)∠BAC＝90°∴BC是⊙O的切線******************5分（2）連接BD******************6分∵AB是⊙O的直徑∴∠ADB＝90°******************7分由（1）可知，∠ABC＝90°，又∵∠A＝∠A∴△ABD∽△ACB∴eq\F(AD,AB)＝eq\F(AB,AC)******************8分在Rt△ABC中，∵AB＝8，BC＝6，∴AC＝eq\R(AB2＋BC2)＝eq\R(82＋62)＝10******************9分∴eq\F(AD,8)＝eq\F(8,10)，解得AD＝6.4∵AE＝AB＝8∴DE＝AE－AD＝8－6.4＝1.6******************10分25.（2016河北，20，10分）如圖，半圓O的直徑AB=4，以長為2的弦PQ為直徑，向點O方向作半圓M，其中P點在AQ（?。┥锨也慌cA點重合，但Q點可與B點重合.發(fā)現(xiàn)AP（?。┑拈L與QB（?。┑拈L之和為定值l，求l；思考點M與AB的最大距離為_______，此時點P，A間的距離為_______；點M與AB的最小距離為________，此時半圓M的弧與AB所圍成的封閉圖形面積為________.探究當(dāng)半圓M與AB相切時，求AP（弧）的長.（注：結(jié)果保留π，cos35°=，cos55°=）第25題圖備用圖解析：圖畫好，就好求。最大距離就是OM，當(dāng)OM⊥AB時，利用角和邊的關(guān)系，△AOP是等邊三角形，點M與AB的最小距離，Q與B重合，面積，扇形減三角形。相切，兩種情況，左邊和右邊，對稱的，畫好圖，根據(jù)cos35°=，cos55°=，以及已知角，求所需要的角。知識點：圓 18．（2016河南，18,9分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=900,點M是AC的中點，以AB為直徑作⊙O分別交AC、BM于點D、E（1）求證：MD=ME（2）填空：①若AB=6，當(dāng)AD=2DM時，DE=；②連接OD，OE，當(dāng)∠A的度數(shù)為時，四邊形ODME是菱形。證明：在Rt△ABC中，∵點M是AC的中點，∴MA=MB,∴∠A=∠MBA.…2分∵四邊形ABED是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ADE+∠ABE=1800，又∠ADE+∠MDE=1800，∴∠MDE=∠MBA.同理可證：∠MED=∠A,……………………4分∴∠MDE=∠MED,∴MD=ME……………………5分（2）①填2；……………………7分解答：由MD=ME,又MA=MB,∴DE∥AB；,又AD=2DM，∴,∴,∴DE=2②填60；…………9分解答：當(dāng)∠A=600時,△AOD是等邊三角形，這時∠DOE=600,△ODE和△MDE都是等邊三角形，且全等。四邊形ODME是菱形。25．（2016湖南衡陽，25，10分）在平面直角坐標(biāo)中，△ABC三個頂點坐標(biāo)為A（﹣，0）、B（，0）、C（0，3）．（1）求△ABC內(nèi)切圓⊙D的半徑．（2）過點E（0，﹣1）的直線與⊙D相切于點F（點F在第一象限），求直線EF的解析式．（3）以（2）為條件，P為直線EF上一點，以P為圓心，以2為半徑作⊙P．若⊙P上存在一點到△ABC三個頂點的距離相等，求此時圓心P的坐標(biāo)．【分析】（1）由A、B、C三點坐標(biāo)可知∠CBO=60°，又因為點D是△ABC的內(nèi)心，所以BD平分∠CBO，然后利用銳角三角函數(shù)即可求出OD的長度；（2）根據(jù)題意可知，DF為半徑，且∠DFE=90°，過點F作FG⊥y軸于點G，求得FG和OG的長度，即可求出點F的坐標(biāo)，然后將E和F的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中，即可求出直線EF的解析式；（3）⊙P上存在一點到△ABC三個頂點的距離相等，該點是△ABC的外接圓圓心，即為點D，所以DP=2，又因為點P在直線EF上，所以這樣的點P共有2個，且由勾股定理可知PF=3．【解答】解：（1）連接BD，∵B（，0），C（0，3），∴OB=，OC=3，∴tan∠CBO==，∴∠CBO=60°∵點D是△ABC的內(nèi)心，∴BD平分∠CBO，∴∠DBO=30°，∴tan∠DBO=，∴OD=1，∴△ABC內(nèi)切圓⊙D的半徑為1；（2）連接DF，過點F作FG⊥y軸于點G，∵E（0，﹣1）∴OE=1，DE=2，∵直線EF與⊙D相切，∴∠DFE=90°，DF=1，∴sin∠DEF=，∴∠DEF=30°，∴∠GDF=60°，∴在Rt△DGF中，∠DFG=30°，∴DG=，由勾股定理可求得：GF=，∴F（，），設(shè)直線EF的解析式為：y=kx+b，∴，∴直線EF的解析式為：y=x﹣1；（3）∵⊙P上存在一點到△ABC三個頂點的距離相等，∴該點必為△ABC外接圓的圓心，由（1）可知：△ABC是等邊三角形，∴△ABC外接圓的圓心為點D∴DP=2，設(shè)直線EF與x軸交于點H，∴令y=0代入y=x﹣1，∴x=，∴H（，0），∴FH=，當(dāng)P在x軸上方時，過點P1作P1M⊥x軸于M，由勾股定理可求得：P1F=3，∴P1H=P1F+FH=，∵∠DEF=∠HP1M=30°，∴HM=P1H=，P1M=5，∴OM=2，∴P1（2，5），當(dāng)P在x軸下方時，過點P2作P2N⊥x軸于點N，由勾股定理可求得：P2F=3，∴P2H=P2F﹣FH=，∴∠DEF=30°∴∠OHE=60°∴sin∠OHE=，∴P2N=4，令y=﹣4代入y=x﹣1，∴x=﹣，∴P2（﹣，﹣4），綜上所述，若⊙P上存在一點到△ABC三個頂點的距離相等，此時圓心P的坐標(biāo)為（2，5）或（﹣，﹣4）．23．（2016，23，10分）數(shù)學(xué)活動﹣旋轉(zhuǎn)變換（1）如圖①，在△ABC中，∠ABC=130°，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)50°得到△A′B′C，連接BB′，求∠A′B′B的大??；（2）如圖②，在△ABC中，∠ABC=150°，AB=3，BC=5，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′B′C，連接BB′，以A′為圓心，A′B′長為半徑作圓．（Ⅰ）猜想：直線BB′與⊙A′的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（Ⅱ）連接A′B，求線段A′B的長度；（3）如圖③，在△ABC中，∠ABC=α（90°＜α＜180°），AB=m，BC=n，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)2β角度（0°＜2β＜180°）得到△A′B′C，連接A′B和BB′，以A′為圓心，A′B′長為半徑作圓，問：角α與角β滿足什么條件時，直線BB′與⊙A′相切，請說明理由，并求此條件下線段A′B的長度（結(jié)果用角α或角β的三角函數(shù)及字母m、n所組成的式子表示）【考點】圓的綜合題．【分析】（1）根據(jù)∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C，只要求出∠A′B′B即可．（2）（Ⅰ）結(jié)論：直線BB′、是⊙A′的切線．只要證明∠A′B′B=90°即可．（Ⅱ）在RT△ABB′中，利用勾股定理計算即可．（3）如圖③中，當(dāng)α+β=180°時，直線BB′、是⊙A′的切線．只要證明∠A′B′B=90°即可解決問題．在△CBB′中求出BB′，再在RT△A′B′B中利用勾股定理即可．【解答】解；（1）如圖①中，∵△A′B′C是由△ABC旋轉(zhuǎn)得到，∴∠A′B′C=∠ABC=130°，CB=CB′，∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=50°，∴∠CBB′=∠CB′B=65°，∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=65°．（2）（Ⅰ）結(jié)論：直線BB′、是⊙A′的切線．理由：如圖②中，∵∠A′B′C=∠ABC=150°，CB=CB′，∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=60°，∴∠CBB′=∠CB′B=60°，∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=90°．∴AB′⊥BB′，∴直線BB′、是⊙A′的切線．（Ⅱ）∵在RT△ABB′中，∵∠AB′B=90°，BB′=BC=5，AB′=AB=3，∴A′B==．（3）如圖③中，當(dāng)α+β=180°時，直線BB′、是⊙A′的切線．理由：∵∠A′B′C=∠ABC=α，CB=CB′，∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=2β，∴∠CBB′=∠CB′B=，∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=α﹣90°+β=180°﹣90°=90°．∴AB′⊥BB′，∴直線BB′、是⊙A′的切線．在△CBB′中∵CB=CB′=n，∠BCB′=2β，∴BB′=2?nsinβ，在RT△A′BB′中，A′B==．23．（2016江蘇宿遷，23，8分）如圖1，在△ABC中，點D在邊BC上，∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，⊙O是△ABD的外接圓． （1）求證：AC是⊙O的切線； （2）當(dāng)BD是⊙O的直徑時（如圖2），求∠CAD的度數(shù)． 【分析】（1）連接AO，延長AO交⊙O于點E，則AE為⊙O的直徑，連接DE，由已知條件得出∠ABC=∠CAD，由圓周角定理得出∠ADE=90°，證出∠AED=∠ABC=∠CAD，求出EA⊥AC，即可得出結(jié)論； （2）由圓周角定理得出∠BAD=90°，由角的關(guān)系和已知條件得出∠ABC=22.5°，由（1）知：∠ABC=∠CAD，即可得出結(jié)果． 【解答】（1）證明：連接AO，延長AO交⊙O于點E，則AE為⊙O的直徑，連接DE，如圖所示： ∵∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，∠ADB=∠ACB+∠CAD， ∴∠ABC=∠CAD， ∵AE為⊙O的直徑， ∴∠ADE=90°， ∴∠EAD=90°﹣∠AED， ∵∠AED=∠ABD， ∴∠AED=∠ABC=∠CAD， ∴∠EAD=90°﹣∠CAD， 即∠EAD+∠CAD=90°， ∴EA⊥AC， ∴AC是⊙O的切線； （2）解：∵BD是⊙O的直徑， ∴∠BAD=90°， ∴∠ABC+∠ADB=90°， ∵∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3， ∴4∠ABC=90°， ∴∠ABC=22.5°， 由（1）知：∠ABC=∠CAD， ∴∠CAD=22.5°． 【點評】本題考查了切線的判定、圓周角定理、角的互余關(guān)系；熟練掌握切線的判定方法，由圓周角定理得出直角是解決問題的關(guān)鍵． 25．（2016江蘇宿遷，25，10分）已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是邊AB上一動點（A、B兩點除外），將△CAD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α得到△CEF，其中點E是點A的對應(yīng)點，點F是點D的對應(yīng)點． （1）如圖1，當(dāng)α=90°時，G是邊AB上一點，且BG=AD，連接GF．求證：GF∥AC； （2）如圖2，當(dāng)90°≤α≤180°時，AE與DF相交于點M． ①當(dāng)點M與點C、D不重合時，連接CM，求∠CMD的度數(shù)； ②設(shè)D為邊AB的中點，當(dāng)α從90°變化到180°時，求點M運動的路徑長． 【分析】（1）欲證明GF∥AC，只要證明∠A=∠FGB即可解決問題． （2）①先證明A、D、M、C四點共圓，得到∠CMF=∠CAD=45°，即可解決問題． ②利用①的結(jié)論可知，點M在以AC為直徑的⊙O上，運動路徑是弧CD，利用弧長公式即可解決問題． 【解答】解：（1）如圖1中，∵CA=CB，∠ACB=90°， ∴∠A=∠ABC=45°， ∵△CEF是由△CAD旋轉(zhuǎn)逆時針α得到，α=90°， ∴CB與CE重合， ∴∠CBE=∠A=45°， ∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°， ∵BG=AD=BF， ∴∠BGF=∠BFG=45°， ∴∠A=∠BGF=45°， ∴GF∥AC． （2）①如圖2中，∵CA=CE，CD=CF， ∴∠CAE=∠CEA，∠CDF=∠CFD， ∵∠ACD=∠ECF， ∴∠ACE=∠CDF， ∵2∠CAE+∠ACE=180°，2∠CDF+∠DCF=180°， ∴∠CAE=∠CDF， ∴A、D、M、C四點共圓， ∴∠CMF=∠CAD=45°， ∴∠CMD=180°﹣∠CMF=135°． ②如圖3中，O是AC中點，連接OD、CM． ∵AD=DB，CA=CB， ∴CD⊥AB， ∴∠ADC=90°， 由①可知A、D、M、C四點共圓， ∴當(dāng)α從90°變化到180°時， 點M在以AC為直徑的⊙O上，運動路徑是弧CD， ∵OA=OC，CD=DA， ∴DO⊥AC， ∴∠DOC=90°， ∴的長==． ∴當(dāng)α從90°變化到180°時，點M運動的路徑長為． 【點評】本題考查幾何變換綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、弧長公式、四點共圓等知識，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)A、D、M、C四點共圓，最后一個問題的關(guān)鍵，正確探究出點M的運動路徑，記住弧長公式，屬于中考壓軸題． 22．（2016?四川達(dá)州，22，8分）如圖，已知AB為半圓O的直徑，C為半圓O上一點，連接AC，BC，過點O作OD⊥AC于點D，過點A作半圓O的切線交OD的延長線于點E，連接BD并延長交AE于點F．（1）求證：AE?BC=AD?AB；（2）若半圓O的直徑為10，sin∠BAC=，求AF的長．【分析】（1）只要證明△EAD∽△ABC即可解決問題．（2）作DM⊥AB于M，利用DM∥AE，得=，求出DM、BM即可解決問題．【解答】（1）證明：∵AB為半圓O的直徑，∴∠C=90°，∵OD⊥AC，∴∠CAB+∠AOE=90°，∠ADE=∠C=90°，∵AE是切線，∴OA⊥AE，∴∠E+∠AOE=90°，∴∠E=∠CAB，∴△EAD∽△ABC，∴AE：AB=AD：BC，∴AE?BC=AD?AB．（2）解：作DM⊥AB于M，∵半圓O的直徑為10，sin∠BAC=，∴BC=AB?sin∠BAC=6，∴AC==8，∵OE⊥AC，∴AD=AC=4，OD=BC=3，∵sin∠MAD==，∴DM=，AM===，BM=AB﹣AM=，∵DM∥AE，∴=，∴AF=．【點評】本題考查切線的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形，學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考常考題型．24．（2016?四川樂山，24，10分）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC邊為直徑作⊙O交BC邊于點D，過點D作DE⊥AB于點E，ED、AC的延長線交于點F．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若EB=，且sin∠CFD=，求⊙O的半徑與線段AE的長．【分析】（1）連結(jié)OD，如圖，由AB=AC得到∠B=∠ACD，由OC=OD得到∠ODC=∠OCD，則∠B=∠ODC，于是可判斷OD∥AB，然后利用DE⊥AB得到OD⊥EF，然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；（2）在Rt△ODF利用正弦的定義得到sin∠OFD==，則可設(shè)OD=3x，OF=5x，所以AB=AC=6x，AF=8x，在Rt△AEF中由于sin∠AFE==，可得到AE=x，接著表示出BE得到x=，解得x=，于是可得到AE和OD的長．【解答】（1）證明：連結(jié)OD，如圖，∵AB=AC，∴∠B=∠ACD，∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，∴∠B=∠ODC，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切線；（2）解：在Rt△ODF，sin∠OFD==，設(shè)OD=3x，則OF=5x，∴AB=AC=6x，AF=8x，在Rt△AEF中，∵sin∠AFE==，∴AE=?8x=x，∵BE=AB﹣AE=6x﹣x=x，∴x=，解得x=，∴AE=?=6，OD=3?=，即⊙O的半徑長為．【點評】本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．靈活應(yīng)用三角函數(shù)的定義是解決（2）小題的關(guān)鍵．24．（2016?四川涼山州，24，8分）閱讀下列材料并回答問題：材料1：如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，記，那么三角形的面積為．①古希臘幾何學(xué)家海倫（Heron，約公元50年），在數(shù)學(xué)史上以解決幾何測量問題而聞名．他在《度量》一書中，給出了公式①和它的證明，這一公式稱海倫公式．我國南宋數(shù)學(xué)家秦九韶（約1202﹣﹣約1261），曾提出利用三角形的三邊求面積的秦九韶公式：．②下面我們對公式②進(jìn)行變形：=====．這說明海倫公式與秦九韶公式實質(zhì)上是同一公式，所以我們也稱①為海倫﹣﹣秦九韶公式．問題：如圖，在△ABC中，AB=13，BC=12，AC=7，⊙O內(nèi)切于△ABC，切點分別是D、E、F．（1）求△ABC的面積；（2）求⊙O的半徑．【分析】（1）由已知△ABC的三邊a=3，b=12，c=7，可知這是一個一般的三角形，故選用海倫﹣秦九韶公式求解即可；（2）由三角形的面積=lr，計算即可．【解答】解：（1）∵AB=13，BC=12，AC=7，∴p==16，∴==24；（2）∵△ABC的周長l=AB+BC+AC=32，∴S=lr=24，∴r==．【點評】此題考查了三角形面積的求解方法．此題難度不大，注意選擇適當(dāng)?shù)那蠼夥椒ㄊ顷P(guān)鍵．22.（2016隨州，22，8分）如圖，AB是⊙O的弦，點C為半徑OA的中點，過點C作CD⊥OA交弦AB于點E，連接BD,且DE=DB.（1）判斷BD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若CD=15，BE=10，tanA=,求⊙O的直徑.【答案】(1)BD為⊙O的切線證明：連接OB，∵CD⊥OA∴∠A+∠AEC=900又∵∠DEB=∠AEC∴∠A+∠DEB=900又∵OB=OA∴∠OBA=∠A∴∠OBA+∠DBE=900即∠DBO=900∴OB⊥BD∵∴BD為⊙O的切線（2）作DE⊥BE于F，∵DE=DB,∴EF=BE=×10=5易證：∠EDF=∠A在RtΔDEF中，∵tan∠EDF=tan∠A=∴DF=12，DE=∴CE=CD-DE=15-13=2易證：RtΔACE∽RtΔDFE∴AC=∴圓的直徑為：2OA=4AC=4×=(或19.2)說明：如果考生的解法與本解答不同，若合理請酌情給分。21．（2016四川內(nèi)江，21，10分）如圖9，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分線分別與AC，BC及AB的延長線相交于點D，E，F(xiàn)．⊙O是△BEF的外接圓，∠EBF的平分線交EF于點G，交⊙O于點H，連接BD，F(xiàn)H．(1)試判斷BD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)當(dāng)AB＝BE＝1時，求⊙O的面積；(3)在(2)的條件下，求HG·HB的值．DGDGHOCEFBA圖9DGHOCEFBA答案圖(1)直線BD與⊙O相切．理由如下：如圖，連接OB，∵