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與圓有關(guān)的位置關(guān)系一、選擇題10.(2016安徽,10,4分)如圖,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿(mǎn)足∠PAB=∠PBC,則線(xiàn)段CP長(zhǎng)的最小值為()A. B.2 C. D.【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系;圓周角定理.【分析】首先證明點(diǎn)P在以AB為直徑的⊙O上,連接OC與⊙O交于點(diǎn)P,此時(shí)PC最小,利用勾股定理求出OC即可解決問(wèn)題.【解答】解:∵∠ABC=90°,∴∠ABP+∠PBC=90°,∵∠PAB=∠PBC,∴∠BAP+∠ABP=90°,∴∠APB=90°,∴點(diǎn)P在以AB為直徑的⊙O上,連接OC交⊙O于點(diǎn)P,此時(shí)PC最小,在RT△BCO中,∵∠OBC=90°,BC=4,OB=3,∴OC==5,∴PC=OC=OP=5﹣3=2.∴PC最小值為2.故選B.18.(2016湖南湘西,18,4分)在RT△ABC中,∠C=90°,BC=3cm,AC=4cm,以點(diǎn)C為圓心,以2.5cm為半徑畫(huà)圓,則⊙C與直線(xiàn)AB的位置關(guān)系是()A.相交B.相切C.相離D.不能確定【考點(diǎn)】直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系.【分析】過(guò)C作CD⊥AB于D,根據(jù)勾股定理求出AB,根據(jù)三角形的面積公式求出CD,得出d<r,根據(jù)直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)論.【解答】解:過(guò)C作CD⊥AB于D,如圖所示:∵在Rt△ABC中,∠C=90,AC=4,BC=3,∴AB==5,∵△ABC的面積=AC×BC=AB×CD,∴3×4=5CD,∴CD=2.4<2.5,即d<r,∴以2.5為半徑的⊙C與直線(xiàn)AB的關(guān)系是相交;故選A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系,用到的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理,三角形的面積公式;解此題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線(xiàn),并進(jìn)一步求出CD的長(zhǎng),注意:直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系有:相離,相切,相交.11.(2016?四川涼山州,11,4分)已知,一元二次方程x2﹣8x+15=0的兩根分別是⊙O1和⊙O2的半徑,當(dāng)⊙O1和⊙O2相切時(shí),O1O2的長(zhǎng)度是()A.2 B.8 C.2或8 D.2<O2O2<8【分析】先解方程求出⊙O1、⊙O2的半徑,再分兩圓外切和兩圓內(nèi)切兩種情況討論求解.【解答】解:∵⊙O1、⊙O2的半徑分別是方程x2﹣8x+15=0的兩根,解得⊙O1、⊙O2的半徑分別是3和5.∴①當(dāng)兩圓外切時(shí),圓心距O1O2=3+5=8;②當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí),圓心距O1O2=5﹣2=2.故選C.【點(diǎn)評(píng)】考查解一元二次方程﹣因式分解法和圓與圓的位置關(guān)系,同時(shí)考查綜合應(yīng)用能力及推理能力.注意:兩圓相切,應(yīng)考慮內(nèi)切或外切兩種情況是解本題的難點(diǎn).6.(2016上海,6,4分)如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=7,點(diǎn)D在邊沉BC上,CD=3,⊙A的半徑長(zhǎng)為3,⊙D與⊙A相交,且點(diǎn)B在⊙D外,那么⊙D的半徑長(zhǎng)r的取值范圍是()A.1<r<4B.2<r<4C.1<r<8D.2<r<8【答案】B.二、填空題16.(2016四川瀘州,16,3分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(1,0),B(,0),C(,0)(),點(diǎn)P在以D(4,4)為圓心,1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),且始終滿(mǎn)足∠BPC=90°,則的最大值是.【答案】6(2016湖南永州,20,4分)如圖,給定一個(gè)半徑長(zhǎng)為2的圓,圓心O到水平直線(xiàn)l的距離為d,即OM=d.我們把圓上到直線(xiàn)l的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)記為m.如d=0時(shí),l為經(jīng)過(guò)圓心O的一條直線(xiàn),此時(shí)圓上有四個(gè)到直線(xiàn)l的距離等于1的點(diǎn),即m=4,由此可知:(1)當(dāng)d=3時(shí),m=1;(2)當(dāng)m=2時(shí),d的取值范圍是0<d<3.【考點(diǎn)】直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系.【分析】根據(jù)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系和直線(xiàn)與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)以及命題中的數(shù)據(jù)分析即可得到答案.【解答】解:(1)當(dāng)d=3時(shí),∵3>2,即d>r,∴直線(xiàn)與圓相離,則m=1,故答案為:1;(2)當(dāng)m=2時(shí),則圓上到直線(xiàn)l的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)記為2,∴直線(xiàn)與圓相交或相切或相離,∴0<d<3,∴d的取值范圍是0<d<3,故答案為:0<d<3.三、解答題24.(2016湖北省十堰市,24,10分)如圖1,AB為半圓O的直徑,D為BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),DC為半圓O的切線(xiàn),切點(diǎn)為C.(1)求證:∠ACD=∠B;(2)如圖2,∠BDC的平分線(xiàn)分別交AC,BC于點(diǎn)E,F(xiàn);①求tan∠CFE的值;②若AC=3,BC=4,求CE的長(zhǎng).【考點(diǎn)】切線(xiàn)的性質(zhì).【分析】(1)利用等角的余角相等即可證明.(2)①只要證明∠CEF=∠CFE即可.②由△DCA∽△DBC,得===,設(shè)DC=3k,DB=4k,由CD2=DA?DB,得9k2=(4k﹣5)?4k,由此求出DC,DB,再由△DCE∽△DBF,得=,設(shè)EC=CF=x,列出方程即可解決問(wèn)題.【解答】(1)證明:如圖1中,連接OC.∵OA=OC,∴∠1=∠2,∵CD是⊙O切線(xiàn),∴OC⊥CD,∴∠DCO=90°,∴∠3+∠2=90°,∵AB是直徑,∴∠1+∠B=90°,∴∠3=∠B.(2)解:①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE,∠CFE=∠B+∠FDB,∵∠CDE=∠FDB,∠ECD=∠B,∴∠CEF=∠CFE,∵∠ECF=90°,∴∠CEF=∠CFE=45°,∴tan∠CFE=tan45°=1.②在RT△ABC中,∵AC=3,BC=4,∴AB==5,∵∠CDA=∠BDC,∠DCA=∠B,∴△DCA∽△DBC,∴===,設(shè)DC=3k,DB=4k,∵CD2=DA?DB,∴9k2=(4k﹣5)?4k,∴k=,∴CD=,DB=,∵∠CDE=∠BDF,∠DCE=∠B,∴△DCE∽△DBF,∴=,設(shè)EC=CF=x,∴=,∴x=.∴CE=.(2016廣東梅州,20,9分)如圖,點(diǎn)D在⊙O的直徑AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上,點(diǎn)C在⊙O上,AC=CD,∠ACD=120°.(1)求證:CD是⊙O的切線(xiàn);(2)若⊙O的半徑為2,求圖中陰影部分的面積.(1)證明:連接OC.………1分∵AC=CD,∠ACD=120°,∴∠CAD=∠D=30°.………2分∵OA=OC,∴∠2=∠CAD=30°.(或∠ACO=∠CAD=30°)……………3分∴∠OCD=∠ACD—∠ACO=90°,即OC⊥CD.∴CD是⊙O的切線(xiàn).………4分(2)解:由(1)知∠2=∠CAD=30°.(或∠ACO=∠CAD=30°),∴∠1=60°.(或∠COD=60°)…5分∴.………6分在Rt△OCD中,∵,∴.………7分∴,…8分∴圖中陰影部分的面積為.…9分20.(2016四川資陽(yáng),20,8分)如圖,在⊙O中,點(diǎn)C是直徑AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線(xiàn),切點(diǎn)為D,連結(jié)BD.(1)求證:∠A=∠BDC;(2)若CM平分∠ACD,且分別交AD、BD于點(diǎn)M、N,當(dāng)DM=1時(shí),求MN的長(zhǎng).【分析】(1)由圓周角推論可得∠A+∠ABD=90°,由切線(xiàn)性質(zhì)可得∠CDB+∠ODB=90°,而∠ABD=∠ODB,可得答案;(2)由角平分線(xiàn)及三角形外角性質(zhì)可得∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM,即∠DMN=∠DNM,根據(jù)勾股定理可求得MN的長(zhǎng).【解答】解:(1)如圖,連接OD,∵AB為⊙O的直徑,∴∠ADB=90°,即∠A+∠ABD=90°,又∵CD與⊙O相切于點(diǎn)D,∴∠CDB+∠ODB=90°,∵OD=OB,∴∠ABD=∠ODB,∴∠A=∠BDC;(2)∵CM平分∠ACD,∴∠DCM=∠ACM,又∵∠A=∠BDC,∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM,即∠DMN=∠DNM,∵∠ADB=90°,DM=1,∴DN=DM=1,∴MN==.(2016青海西寧,26,10分)如圖11,為⊙上一點(diǎn),點(diǎn)在直徑的延長(zhǎng)線(xiàn)上,且.(1)求證:是⊙的切線(xiàn);(2)過(guò)點(diǎn)作⊙的切線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn),,.求的長(zhǎng).(1)證明:連結(jié)∵∴∵∴又∵是的直徑∴(直徑所對(duì)的圓周角是直角)∴∴即∴∵是半徑∴是的切線(xiàn)(經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn))(2)解:∵,∴∽ ∴∵∴ ∵,是的切線(xiàn)∴∴ 即解得23.(2016四川宜賓,23,10分)如圖1,在△APE中,∠PAE=90°,PO是△APE的角平分線(xiàn),以O(shè)為圓心,OA為半徑作圓交AE于點(diǎn)G.(1)求證:直線(xiàn)PE是⊙O的切線(xiàn);(2)在圖2中,設(shè)PE與⊙O相切于點(diǎn)H,連結(jié)AH,點(diǎn)D是⊙O的劣弧上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線(xiàn),交PA于點(diǎn)B,交PE于點(diǎn)C,已知△PBC的周長(zhǎng)為4,tan∠EAH=,求EH的長(zhǎng).【考點(diǎn)】切線(xiàn)的判定與性質(zhì).【分析】(1)作OH⊥PE,由PO是∠APE的角平分線(xiàn),得到∠APO=∠EPO,判斷出△PAO≌△PHO,得到OH=OA,用“圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑”來(lái)得出直線(xiàn)PE是⊙O的切線(xiàn);(2)先利用切線(xiàn)的性質(zhì)和△PBC的周長(zhǎng)為4求出PA=2,再用三角函數(shù)求出OA,AG,然后用三角形相似,得到EH=2EG,AE=2EH,用勾股定理求出EG,最后用切割線(xiàn)定理即可.【解答】證明:(1)如圖1,作OH⊥PE,∴∠OHP=90°,∵∠PAE=90,∴∠OHP=∠OAP,∵PO是∠APE的角平分線(xiàn),∴∠APO=∠EPO,在△PAO和△PHO中,∴△PAO≌△PHO,∴OH=OA,∵OA是⊙O的半徑,∴OH是⊙O的半徑,∵OH⊥PE,∴直線(xiàn)PE是⊙O的切線(xiàn).(2)如圖2,連接GH,∵BC,PA,PB是⊙O的切線(xiàn),∴DB=DA,DC=CH,∵△PBC的周長(zhǎng)為4,∴PB+PC+BC=4,∴PB+PC+DB+DC=4,∴PB+AB+PC+CH=4,∴PA+PH=4,∵PA,PH是⊙O的切線(xiàn),∴PA=PH,∴PA=2,由(1)得,△PAO≌△PHO,∴∠OFA=90°,∴∠EAH+∠AOP=90°,∵∠OAP=90°,∴∠AOP+∠APO=90°,∴∠APO=∠EAH,∵tan∠EAH=,∴tan∠APO==,∴OA=PA=1,∴AG=2,∵∠AHG=90°,∵tan∠EAH==,∵△EGH∽△EHA,∴===,∴EH=2EG,AE=2EH,∴AE=4EG,∵AE=EG+AG,∴EG+AG=4EG,∴EG=AG=,∵EH是⊙O的切線(xiàn),EGA是⊙O的割線(xiàn),∴EH2=EG×EA=EG×(EG+AG)=×(+2)=,∴EH=.(2016湖南婁底,25,10分)如圖所示,在Rt△ABC與Rt△OCD中,∠ACB=∠DCO=90°,O為AB的中點(diǎn).(1)求證:∠B=∠ACD.(2)已知點(diǎn)E在AB上,且BC2=AB?BE.(i)若tan∠ACD=,BC=10,求CE的長(zhǎng);(ii)試判定CD與以A為圓心、AE為半徑的⊙A的位置關(guān)系,并請(qǐng)說(shuō)明理由.【分析】(1)因?yàn)椤螦CB=∠DCO=90°,所以∠ACD=∠OCB,又因?yàn)辄c(diǎn)O是Rt△ACB中斜邊AB的中點(diǎn),所以O(shè)C=OB,所以∠OCB=∠B,利用等量代換可知∠ACD=∠B;(2)(i)因?yàn)锽C2=AB?BE,所以△ABC∽△CBE,所以∠ACB=∠CEB=90°,因?yàn)閠an∠ACD=tan∠B,利用勾股定理即可求出CE的值;(ii)過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD于點(diǎn)F,易證∠DCA=∠ACE,所以CA是∠DCE的平分線(xiàn),所以AF=AE,所以直線(xiàn)CD與⊙A相切.【解答】解:(1)∵∠ACB=∠DCO=90°,∴∠ACB﹣∠ACO=∠DCO﹣∠ACO,即∠ACD=∠OCB,又∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn),∴OC=OB,∴∠OCB=∠B,∴∠ACD=∠B,(2)(i)∵BC2=AB?BE,∴=,∵∠B=∠B,∴△ABC∽△CBE,∴∠ACB=∠CEB=90°,∵∠ACD=∠B,∴tan∠ACD=tan∠B=,設(shè)BE=4x,CE=3x,由勾股定理可知:BE2+CE2=BC2,∴(4x)2+(3x)2=100,∴解得x=2,∴CE=6;(ii)過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD于點(diǎn)F,∵∠CEB=90°,∴∠B+∠ECB=90°,∵∠ACE+∠ECB=90°,∴∠B=∠ACE,∵∠ACD=∠B,∴∠ACD=∠ACE,∴CA平分∠DCE,∵AF⊥CE,AE⊥CE,∴AF=AE,∴直線(xiàn)CD與⊙A相切.(2016新疆內(nèi)高班,22,11分)如圖,在△ABC,AB=AC,以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E,點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上,且∠CBF=∠CAB.(1)求證:直線(xiàn)BF是⊙O的切線(xiàn);(2)若AB=5,sin∠CBF=,求BC和BF的長(zhǎng).【分析】(1)連接AE,利用直徑所對(duì)的圓周角是直角,從而判定直角三角形,利用直角三角形兩銳角相等得到直角,從而證明∠ABF=90°.(2)利用已知條件證得△AGC∽△ABF,利用比例式求得線(xiàn)段的長(zhǎng)即可.【解答】(1)證明:連接AE,∵AB是⊙O的直徑,∴∠AEB=90°,∴∠1+∠2=90°.∵AB=AC,∴∠1=∠CAB.∵∠CBF=∠CAB,∴∠1=∠CBF∴∠CBF+∠2=90°即∠ABF=90°∵AB是⊙O的直徑,∴直線(xiàn)BF是⊙O的切線(xiàn).(2)解:過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于G.∵sin∠CBF=,∠1=∠CBF,∴sin∠1=,∵在Rt△AEB中,∠AEB=90°,AB=5,∴BE=AB?sin∠1=,∵AB=AC,∠AEB=90°,∴BC=2BE=2,在Rt△ABE中,由勾股定理得AE==2,∴sin∠2===,cos∠2===,在Rt△CBG中,可求得GC=4,GB=2,∴AG=3,∵GC∥BF,∴△AGC∽△ABF,∴∴BF==(2016湖南永州,25,10分)如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,AB為直徑,過(guò)點(diǎn)B的切線(xiàn)與AC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)D,E是BD中點(diǎn),連接CE.(1)求證:CE是⊙O的切線(xiàn);(2)若AC=4,BC=2,求BD和CE的長(zhǎng).【分析】(1)連接OC,由弦切角定理和切線(xiàn)的性質(zhì)得出∠CBE=∠A,∠ABD=90°,由圓周角定理得出∠ACB=90°,得出∠ACO+∠BCO=90°,∠BCD=90°,由直角三角形斜邊上的中線(xiàn)性質(zhì)得出CE=BD=BE,得出∠BCE=∠CBE=∠A,證出∠ACO=∠BCE,得出∠BCE+∠BCO=90°,得出CE⊥OC,即可得出結(jié)論;(2)由勾股定理求出AB,再由三角函數(shù)得出tanA===,求出BD=AB=,即可得出CE的長(zhǎng).【解答】(1)證明:連接OC,如圖所示:∵BD是⊙O的切線(xiàn),∴∠CBE=∠A,∠ABD=90°,∵AB是⊙O的直徑,∴∠ACB=90°,∴∠ACO+∠BCO=90°,∠BCD=90°,∵E是BD中點(diǎn),∴CE=BD=BE,∴∠BCE=∠CBE=∠A,∵OA=OC,∴∠ACO=∠A,∴∠ACO=∠BCE,∴∠BCE+∠BCO=90°,即∠OCE=90°,CE⊥OC,∴CE是⊙O的切線(xiàn);(2)解:∵∠ACB=90°,∴AB===2,∵tanA====,∴BD=AB=,∴CE=BD=.(2016江蘇蘇州,27,10分)如圖,在矩形ABCD中,AB=6cm,AD=8cm,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿對(duì)角線(xiàn)BD向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng),速度為4cm/s,過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BD交BC于點(diǎn)Q,以PQ為一邊作正方形PQMN,使得點(diǎn)N落在射線(xiàn)PD上,點(diǎn)O從點(diǎn)D出發(fā),沿DC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),速度為3m/s,以O(shè)為圓心,0.8cm為半徑作⊙O,點(diǎn)P與點(diǎn)O同時(shí)出發(fā),設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(單位:s)(0<t<).(1)如圖1,連接DQ平分∠BDC時(shí),t的值為;(2)如圖2,連接CM,若△CMQ是以CQ為底的等腰三角形,求t的值;(3)請(qǐng)你繼續(xù)進(jìn)行探究,并解答下列問(wèn)題:①證明:在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,點(diǎn)O始終在QM所在直線(xiàn)的左側(cè);②如圖3,在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)QM與⊙O相切時(shí),求t的值;并判斷此時(shí)PM與⊙O是否也相切?說(shuō)明理由.【分析】(1)先利用△PBQ∽△CBD求出PQ、BQ,再根據(jù)角平分線(xiàn)性質(zhì),列出方程解決問(wèn)題.(2)由△QTM∽△BCD,得=列出方程即可解決.(3)①如圖2中,由此QM交CD于E,求出DE、DO利用差值比較即可解決問(wèn)題.②如圖3中,由①可知⊙O只有在左側(cè)與直線(xiàn)QM相切于點(diǎn)H,QM與CD交于點(diǎn)E.由△OHE∽△BCD,得=,列出方程即可解決問(wèn)題.利用反證法證明直線(xiàn)PM不可能由⊙O相切.【解答】(1)解:如圖1中,∵四邊形ABCD是矩形,∴∠A=∠C=∠ADC=∠ABC=90°,AB=CD=6.AD=BC=8,∴BD===10,∵PQ⊥BD,∴∠BPQ=90°=∠C,∵∠PBQ=∠DBC,∴△PBQ∽△CBD,∴==,∴==,∴PQ=3t,BQ=5t,∵DQ平分∠BDC,QP⊥DB,QC⊥DC,∴QP=QC,∴3t=6﹣5t,∴t=,故答案為.(2)解:如圖2中,作MT⊥BC于T.∵M(jìn)C=MQ,MT⊥CQ,∴TC=TQ,由(1)可知TQ=(8﹣5t),QM=3t,∵M(jìn)Q∥BD,∴∠MQT=∠DBC,∵∠MTQ=∠BCD=90°,∴△QTM∽△BCD,∴=,∴=,∴t=(s),∴t=s時(shí),△CMQ是以CQ為底的等腰三角形.(3)①證明:如圖2中,由此QM交CD于E,∵EQ∥BD,∴=,∴EC=(8﹣5t),ED=DC﹣EC=6﹣(8﹣5t)=t,∵DO=3t,∴DE﹣DO=t﹣3t=t>0,∴點(diǎn)O在直線(xiàn)QM左側(cè).②解:如圖3中,由①可知⊙O只有在左側(cè)與直線(xiàn)QM相切于點(diǎn)H,QM與CD交于點(diǎn)E.∵EC=(8﹣5t),DO=3t,∴OE=6﹣3t﹣(8﹣5t)=t,∵OH⊥MQ,∴∠OHE=90°,∵∠HEO=∠CEQ,∴∠HOE=∠CQE=∠CBD,∵∠OHE=∠C=90°,∴△OHE∽△BCD,∴=,∴=,∴t=.∴t=s時(shí),⊙O與直線(xiàn)QM相切.連接PM,假設(shè)PM與⊙O相切,則∠OMH=PMQ=22.5°,在MH上取一點(diǎn)F,使得MF=FO,則∠FMO=∠FOM=22.5°,∴∠OFH=∠FOH=45°,∴OH=FH=0.8,F(xiàn)O=FM=0.8,∴MH=0.8(+1),由=得到HE=,由=得到EQ=,∴MH=MQ﹣HE﹣EQ=4﹣﹣=,∴0.8(+1)≠,矛盾,∴假設(shè)不成立.∴直線(xiàn)MQ與⊙O不相切.25.(2016北京,25,5分)如圖,AB為QUOTE于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作QUOTE的切線(xiàn),交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.(1)求證:AC∥DE:(2)連接CD,若OA=AE=a,寫(xiě)出求四邊形ACDE面積的思路??键c(diǎn):圓的切線(xiàn)的性質(zhì)定理,垂徑定理,多邊形面積的計(jì)算。解析:(1)證明:QUOTEED與QUOTE相切于DQUOTEQUOTEF為弦AC的中點(diǎn)QUOTE,QUOTE(2)解:①四邊形DFAE為直角梯形,上底為AF,下底為DE,高為DF,有條件比較容易在直角三角形DOE中計(jì)算出DE長(zhǎng)為QUOTE,DF=,AF=QUOTE,所以可以求出四邊形DFAE的面積為QUOTE;②在三角形CDF中,QUOTE,且DF=a/2,FC=AF=QUOTE,進(jìn)而可以求解在三角形CDF的面積為QUOTE;③四邊形ACDE就是由四邊形DFAE和三角形CDF組成的,進(jìn)而可以得到四邊形ACDE的面積就等于他們的面積和,為QUOTE(本題也可以通過(guò)證明四邊形ACDE為平行四邊形,進(jìn)而通過(guò)平行四邊形面積公式求解,主要思路合理即可)。27.2016甘肅省定西市如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在BC上,BD=DC,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC,垂足為E,⊙O經(jīng)過(guò)A,B,D三點(diǎn). (1)求證:AB是⊙O的直徑; (2)判斷DE與⊙O的位置關(guān)系,并加以證明; (3)若⊙O的半徑為3,∠BAC=60°,求DE的長(zhǎng). 【分析】(1)連接AD,由AB=AC,BD=CD,利用等腰三角形三線(xiàn)合一性質(zhì)得到AD⊥BC,利用90°的圓周角所對(duì)的弦為直徑即可得證; (2)DE與圓O相切,理由為:連接OD,由O、D分別為AB、CB中點(diǎn),利用中位線(xiàn)定理得到OD與AC平行,利用兩直線(xiàn)平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠ODE為直角,再由OD為半徑,即可得證; (3)由AB=AC,且∠BAC=60°,得到三角形ABC為等邊三角形,連接BF,DE為三角形CBF中位線(xiàn),求出BF的長(zhǎng),即可確定出DE的長(zhǎng). 【解答】(1)證明:連接AD, ∵AB=AC,BD=DC, ∴AD⊥BC, ∴∠ADB=90°, ∴AB為圓O的直徑; (2)DE與圓O相切,理由為: 證明:連接OD, ∵O、D分別為AB、BC的中點(diǎn), ∴OD為△ABC的中位線(xiàn), ∴OD∥BC, ∵DE⊥BC, ∴DE⊥OD, ∵OD為圓的半徑, ∴DE與圓O相切; (3)解:∵AB=AC,∠BAC=60°, ∴△ABC為等邊三角形, ∴AB=AC=BC=6, 連接BF, ∵AB為圓O的直徑, ∴∠AFB=∠DEC=90°, ∴AF=CF=3,DE∥BF, ∵D為BC中點(diǎn), ∴E為CF中點(diǎn),即DE為△BCF中位線(xiàn), 在Rt△ABF中,AB=6,AF=3, 根據(jù)勾股定理得:BF==3, 則DE=BF=. 【點(diǎn)評(píng)】此題屬于圓的綜合題,涉及的知識(shí)有:直線(xiàn)與圓相切的判定與性質(zhì),圓周角定理,等腰三角形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),以及平行線(xiàn)的性質(zhì),熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵. 22.(2016廣東深圳,22,9分)如圖,已知⊙O的半徑為2,AB為直徑,CD為弦,AB與CD交于點(diǎn)M,將弧CD沿著CD翻折后,點(diǎn)A與圓心O重合,延長(zhǎng)OA至P,使AP=OA,鏈接PC。求CD的長(zhǎng);求證:PC是⊙O的切線(xiàn);點(diǎn)G為弧ADB的中點(diǎn),在PC延長(zhǎng)線(xiàn)上有一動(dòng)點(diǎn)Q,連接QG交AB于點(diǎn)E,交弧BC于點(diǎn)F(F與B、C不重合)。問(wèn)GE?GF是否為定值?如果是,求出該定值;如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由。解:(1)如答圖1,連接OC∵沿CD翻折后,A與O重合∴OM=OA=1,CD⊥OA∵OC=2∴CD=2CM=2=2∵PA=OA=2,AM=OM=1,CM=又∵CMP=∠OMC=90°∴PC==2∵OC=2,PO=4∴PC+OC=PO∴∠PCO=90°∴PC與☉O相切GE·GF為定值,證明如下:如答圖2,連接GA、AF、GB∵G為中點(diǎn)∴∴∠BAG=∠AFG∵∠AGE=∠FGA∴△AGE∽△FGA∴∴GE·GF=AG∵AB為直徑,AB=4∴∠BAG=∠ABG=45°∴AG=2∴GE·GF=AG=8[注]第(2)題也可以利用相似倒角證∠PCO=90°第(3)題也可以證△GBE∽△GFB19.(滿(mǎn)分8分) 如圖,AB是半圓O的直徑,點(diǎn)P是BA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),PC是⊙O的切線(xiàn),切點(diǎn)為C.過(guò)點(diǎn)B作BD⊥PC交PC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D,連接BC.求證:(1)∠PBC=∠CBD;(2)BC2=AB·BDDCPAOB (第19題)【考點(diǎn)】切線(xiàn)的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì).【分析】(1)連接OC,運(yùn)用切線(xiàn)的性質(zhì),可得出∠OCD=90°,從而證明OC∥BD,得到∠CBD=∠OCB,再根據(jù)半徑相等得出∠OCB=∠PBC,等量代換得到∠PBC=∠CBD.(2)連接AC.要得到BC2=AB·BD,需證明△ABC∽△CBD,故從證明∠ACB=∠BDC,∠PBC=∠CBD入手.【解答】證明:(1)連接OC,∵PC是⊙O的切線(xiàn),∴∠OCD=90°.……………1分又∵BD⊥PC∴∠BDP=90°∴OC∥BD.∴∠CBD=∠OCB.∴OB=OC.∴∠OCB=∠PBC.∴∠PBC=∠CBD.………..4分DCPAOB(2)連接AC.∵AB是直徑,∴∠BDP=90°.又∵∠BDC=90°,∴∠ACB=∠BDC.∵∠PBC=∠CBD,∴△ABC∽△CBD.……6分∴=.∴BC2=AB·BD.………….……………8分DCPAOB25.(2016廣西賀州,25,10分)如圖,在△ABC中,E是AC邊上的一點(diǎn),且AE=AB,∠BAC=2∠CBE,以AB為直徑作⊙O交AC于點(diǎn)D,交BE于點(diǎn)F.(1)求證:BC是⊙O的切線(xiàn);(2)若AB=8,BC=6,求DE的長(zhǎng).【答案】(1)證明:∵AE=AB,∴△ABE是等腰三角形******************1分∴∠ABE=eq\F(1,2)(180°-∠BAC)=90°-eq\F(1,2)∠BAC******************2分∵∠BAC=2∠CBE,∴∠CBE=eq\F(1,2)∠BAC******************3分∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=(90°-eq\F(1,2)∠BAC)+eq\F(1,2)∠BAC=90°∴BC是⊙O的切線(xiàn)******************5分(2)連接BD******************6分∵AB是⊙O的直徑∴∠ADB=90°******************7分由(1)可知,∠ABC=90°,又∵∠A=∠A∴△ABD∽△ACB∴eq\F(AD,AB)=eq\F(AB,AC)******************8分在Rt△ABC中,∵AB=8,BC=6,∴AC=eq\R(AB2+BC2)=eq\R(82+62)=10******************9分∴eq\F(AD,8)=eq\F(8,10),解得AD=6.4∵AE=AB=8∴DE=AE-AD=8-6.4=1.6******************10分25.(2016河北,20,10分)如圖,半圓O的直徑AB=4,以長(zhǎng)為2的弦PQ為直徑,向點(diǎn)O方向作半圓M,其中P點(diǎn)在AQ(?。┥锨也慌cA點(diǎn)重合,但Q點(diǎn)可與B點(diǎn)重合.發(fā)現(xiàn)AP(?。┑拈L(zhǎng)與QB(?。┑拈L(zhǎng)之和為定值l,求l;思考點(diǎn)M與AB的最大距離為_(kāi)______,此時(shí)點(diǎn)P,A間的距離為_(kāi)______;點(diǎn)M與AB的最小距離為_(kāi)_______,此時(shí)半圓M的弧與AB所圍成的封閉圖形面積為_(kāi)_______.探究當(dāng)半圓M與AB相切時(shí),求AP(弧)的長(zhǎng).(注:結(jié)果保留π,cos35°=,cos55°=)第25題圖備用圖解析:圖畫(huà)好,就好求。最大距離就是OM,當(dāng)OM⊥AB時(shí),利用角和邊的關(guān)系,△AOP是等邊三角形,點(diǎn)M與AB的最小距離,Q與B重合,面積,扇形減三角形。相切,兩種情況,左邊和右邊,對(duì)稱(chēng)的,畫(huà)好圖,根據(jù)cos35°=,cos55°=,以及已知角,求所需要的角。知識(shí)點(diǎn):圓 18.(2016河南,18,9分)如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=900,點(diǎn)M是AC的中點(diǎn),以AB為直徑作⊙O分別交AC、BM于點(diǎn)D、E(1)求證:MD=ME(2)填空:①若AB=6,當(dāng)AD=2DM時(shí),DE=;②連接OD,OE,當(dāng)∠A的度數(shù)為時(shí),四邊形ODME是菱形。證明:在Rt△ABC中,∵點(diǎn)M是AC的中點(diǎn),∴MA=MB,∴∠A=∠MBA.…2分∵四邊形ABED是圓內(nèi)接四邊形,∴∠ADE+∠ABE=1800,又∠ADE+∠MDE=1800,∴∠MDE=∠MBA.同理可證:∠MED=∠A,……………………4分∴∠MDE=∠MED,∴MD=ME……………………5分(2)①填2;……………………7分解答:由MD=ME,又MA=MB,∴DE∥AB;,又AD=2DM,∴,∴,∴DE=2②填60;…………9分解答:當(dāng)∠A=600時(shí),△AOD是等邊三角形,這時(shí)∠DOE=600,△ODE和△MDE都是等邊三角形,且全等。四邊形ODME是菱形。25.(2016湖南衡陽(yáng),25,10分)在平面直角坐標(biāo)中,△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(﹣,0)、B(,0)、C(0,3).(1)求△ABC內(nèi)切圓⊙D的半徑.(2)過(guò)點(diǎn)E(0,﹣1)的直線(xiàn)與⊙D相切于點(diǎn)F(點(diǎn)F在第一象限),求直線(xiàn)EF的解析式.(3)以(2)為條件,P為直線(xiàn)EF上一點(diǎn),以P為圓心,以2為半徑作⊙P.若⊙P上存在一點(diǎn)到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,求此時(shí)圓心P的坐標(biāo).【分析】(1)由A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)可知∠CBO=60°,又因?yàn)辄c(diǎn)D是△ABC的內(nèi)心,所以BD平分∠CBO,然后利用銳角三角函數(shù)即可求出OD的長(zhǎng)度;(2)根據(jù)題意可知,DF為半徑,且∠DFE=90°,過(guò)點(diǎn)F作FG⊥y軸于點(diǎn)G,求得FG和OG的長(zhǎng)度,即可求出點(diǎn)F的坐標(biāo),然后將E和F的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中,即可求出直線(xiàn)EF的解析式;(3)⊙P上存在一點(diǎn)到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,該點(diǎn)是△ABC的外接圓圓心,即為點(diǎn)D,所以DP=2,又因?yàn)辄c(diǎn)P在直線(xiàn)EF上,所以這樣的點(diǎn)P共有2個(gè),且由勾股定理可知PF=3.【解答】解:(1)連接BD,∵B(,0),C(0,3),∴OB=,OC=3,∴tan∠CBO==,∴∠CBO=60°∵點(diǎn)D是△ABC的內(nèi)心,∴BD平分∠CBO,∴∠DBO=30°,∴tan∠DBO=,∴OD=1,∴△ABC內(nèi)切圓⊙D的半徑為1;(2)連接DF,過(guò)點(diǎn)F作FG⊥y軸于點(diǎn)G,∵E(0,﹣1)∴OE=1,DE=2,∵直線(xiàn)EF與⊙D相切,∴∠DFE=90°,DF=1,∴sin∠DEF=,∴∠DEF=30°,∴∠GDF=60°,∴在Rt△DGF中,∠DFG=30°,∴DG=,由勾股定理可求得:GF=,∴F(,),設(shè)直線(xiàn)EF的解析式為:y=kx+b,∴,∴直線(xiàn)EF的解析式為:y=x﹣1;(3)∵⊙P上存在一點(diǎn)到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,∴該點(diǎn)必為△ABC外接圓的圓心,由(1)可知:△ABC是等邊三角形,∴△ABC外接圓的圓心為點(diǎn)D∴DP=2,設(shè)直線(xiàn)EF與x軸交于點(diǎn)H,∴令y=0代入y=x﹣1,∴x=,∴H(,0),∴FH=,當(dāng)P在x軸上方時(shí),過(guò)點(diǎn)P1作P1M⊥x軸于M,由勾股定理可求得:P1F=3,∴P1H=P1F+FH=,∵∠DEF=∠HP1M=30°,∴HM=P1H=,P1M=5,∴OM=2,∴P1(2,5),當(dāng)P在x軸下方時(shí),過(guò)點(diǎn)P2作P2N⊥x軸于點(diǎn)N,由勾股定理可求得:P2F=3,∴P2H=P2F﹣FH=,∴∠DEF=30°∴∠OHE=60°∴sin∠OHE=,∴P2N=4,令y=﹣4代入y=x﹣1,∴x=﹣,∴P2(﹣,﹣4),綜上所述,若⊙P上存在一點(diǎn)到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,此時(shí)圓心P的坐標(biāo)為(2,5)或(﹣,﹣4).23.(2016,23,10分)數(shù)學(xué)活動(dòng)﹣旋轉(zhuǎn)變換(1)如圖①,在△ABC中,∠ABC=130°,將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°得到△A′B′C,連接BB′,求∠A′B′B的大??;(2)如圖②,在△ABC中,∠ABC=150°,AB=3,BC=5,將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′B′C,連接BB′,以A′為圓心,A′B′長(zhǎng)為半徑作圓.(Ⅰ)猜想:直線(xiàn)BB′與⊙A′的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;(Ⅱ)連接A′B,求線(xiàn)段A′B的長(zhǎng)度;(3)如圖③,在△ABC中,∠ABC=α(90°<α<180°),AB=m,BC=n,將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2β角度(0°<2β<180°)得到△A′B′C,連接A′B和BB′,以A′為圓心,A′B′長(zhǎng)為半徑作圓,問(wèn):角α與角β滿(mǎn)足什么條件時(shí),直線(xiàn)BB′與⊙A′相切,請(qǐng)說(shuō)明理由,并求此條件下線(xiàn)段A′B的長(zhǎng)度(結(jié)果用角α或角β的三角函數(shù)及字母m、n所組成的式子表示)【考點(diǎn)】圓的綜合題.【分析】(1)根據(jù)∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C,只要求出∠A′B′B即可.(2)(Ⅰ)結(jié)論:直線(xiàn)BB′、是⊙A′的切線(xiàn).只要證明∠A′B′B=90°即可.(Ⅱ)在RT△ABB′中,利用勾股定理計(jì)算即可.(3)如圖③中,當(dāng)α+β=180°時(shí),直線(xiàn)BB′、是⊙A′的切線(xiàn).只要證明∠A′B′B=90°即可解決問(wèn)題.在△CBB′中求出BB′,再在RT△A′B′B中利用勾股定理即可.【解答】解;(1)如圖①中,∵△A′B′C是由△ABC旋轉(zhuǎn)得到,∴∠A′B′C=∠ABC=130°,CB=CB′,∴∠CBB′=∠CB′B,∵∠BCB′=50°,∴∠CBB′=∠CB′B=65°,∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=65°.(2)(Ⅰ)結(jié)論:直線(xiàn)BB′、是⊙A′的切線(xiàn).理由:如圖②中,∵∠A′B′C=∠ABC=150°,CB=CB′,∴∠CBB′=∠CB′B,∵∠BCB′=60°,∴∠CBB′=∠CB′B=60°,∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=90°.∴AB′⊥BB′,∴直線(xiàn)BB′、是⊙A′的切線(xiàn).(Ⅱ)∵在RT△ABB′中,∵∠AB′B=90°,BB′=BC=5,AB′=AB=3,∴A′B==.(3)如圖③中,當(dāng)α+β=180°時(shí),直線(xiàn)BB′、是⊙A′的切線(xiàn).理由:∵∠A′B′C=∠ABC=α,CB=CB′,∴∠CBB′=∠CB′B,∵∠BCB′=2β,∴∠CBB′=∠CB′B=,∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=α﹣90°+β=180°﹣90°=90°.∴AB′⊥BB′,∴直線(xiàn)BB′、是⊙A′的切線(xiàn).在△CBB′中∵CB=CB′=n,∠BCB′=2β,∴BB′=2?nsinβ,在RT△A′BB′中,A′B==.23.(2016江蘇宿遷,23,8分)如圖1,在△ABC中,點(diǎn)D在邊BC上,∠ABC:∠ACB:∠ADB=1:2:3,⊙O是△ABD的外接圓. (1)求證:AC是⊙O的切線(xiàn); (2)當(dāng)BD是⊙O的直徑時(shí)(如圖2),求∠CAD的度數(shù). 【分析】(1)連接AO,延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)E,則AE為⊙O的直徑,連接DE,由已知條件得出∠ABC=∠CAD,由圓周角定理得出∠ADE=90°,證出∠AED=∠ABC=∠CAD,求出EA⊥AC,即可得出結(jié)論; (2)由圓周角定理得出∠BAD=90°,由角的關(guān)系和已知條件得出∠ABC=22.5°,由(1)知:∠ABC=∠CAD,即可得出結(jié)果. 【解答】(1)證明:連接AO,延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)E,則AE為⊙O的直徑,連接DE,如圖所示: ∵∠ABC:∠ACB:∠ADB=1:2:3,∠ADB=∠ACB+∠CAD, ∴∠ABC=∠CAD, ∵AE為⊙O的直徑, ∴∠ADE=90°, ∴∠EAD=90°﹣∠AED, ∵∠AED=∠ABD, ∴∠AED=∠ABC=∠CAD, ∴∠EAD=90°﹣∠CAD, 即∠EAD+∠CAD=90°, ∴EA⊥AC, ∴AC是⊙O的切線(xiàn); (2)解:∵BD是⊙O的直徑, ∴∠BAD=90°, ∴∠ABC+∠ADB=90°, ∵∠ABC:∠ACB:∠ADB=1:2:3, ∴4∠ABC=90°, ∴∠ABC=22.5°, 由(1)知:∠ABC=∠CAD, ∴∠CAD=22.5°. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線(xiàn)的判定、圓周角定理、角的互余關(guān)系;熟練掌握切線(xiàn)的判定方法,由圓周角定理得出直角是解決問(wèn)題的關(guān)鍵. 25.(2016江蘇宿遷,25,10分)已知△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=2,D是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(A、B兩點(diǎn)除外),將△CAD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α得到△CEF,其中點(diǎn)E是點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn),點(diǎn)F是點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn). (1)如圖1,當(dāng)α=90°時(shí),G是邊AB上一點(diǎn),且BG=AD,連接GF.求證:GF∥AC; (2)如圖2,當(dāng)90°≤α≤180°時(shí),AE與DF相交于點(diǎn)M. ①當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C、D不重合時(shí),連接CM,求∠CMD的度數(shù); ②設(shè)D為邊AB的中點(diǎn),當(dāng)α從90°變化到180°時(shí),求點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng). 【分析】(1)欲證明GF∥AC,只要證明∠A=∠FGB即可解決問(wèn)題. (2)①先證明A、D、M、C四點(diǎn)共圓,得到∠CMF=∠CAD=45°,即可解決問(wèn)題. ②利用①的結(jié)論可知,點(diǎn)M在以AC為直徑的⊙O上,運(yùn)動(dòng)路徑是弧CD,利用弧長(zhǎng)公式即可解決問(wèn)題. 【解答】解:(1)如圖1中,∵CA=CB,∠ACB=90°, ∴∠A=∠ABC=45°, ∵△CEF是由△CAD旋轉(zhuǎn)逆時(shí)針α得到,α=90°, ∴CB與CE重合, ∴∠CBE=∠A=45°, ∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°, ∵BG=AD=BF, ∴∠BGF=∠BFG=45°, ∴∠A=∠BGF=45°, ∴GF∥AC. (2)①如圖2中,∵CA=CE,CD=CF, ∴∠CAE=∠CEA,∠CDF=∠CFD, ∵∠ACD=∠ECF, ∴∠ACE=∠CDF, ∵2∠CAE+∠ACE=180°,2∠CDF+∠DCF=180°, ∴∠CAE=∠CDF, ∴A、D、M、C四點(diǎn)共圓, ∴∠CMF=∠CAD=45°, ∴∠CMD=180°﹣∠CMF=135°. ②如圖3中,O是AC中點(diǎn),連接OD、CM. ∵AD=DB,CA=CB, ∴CD⊥AB, ∴∠ADC=90°, 由①可知A、D、M、C四點(diǎn)共圓, ∴當(dāng)α從90°變化到180°時(shí), 點(diǎn)M在以AC為直徑的⊙O上,運(yùn)動(dòng)路徑是弧CD, ∵OA=OC,CD=DA, ∴DO⊥AC, ∴∠DOC=90°, ∴的長(zhǎng)==. ∴當(dāng)α從90°變化到180°時(shí),點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何變換綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式、四點(diǎn)共圓等知識(shí),解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)A、D、M、C四點(diǎn)共圓,最后一個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵,正確探究出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑,記住弧長(zhǎng)公式,屬于中考?jí)狠S題. 22.(2016?四川達(dá)州,22,8分)如圖,已知AB為半圓O的直徑,C為半圓O上一點(diǎn),連接AC,BC,過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)A作半圓O的切線(xiàn)交OD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,連接BD并延長(zhǎng)交AE于點(diǎn)F.(1)求證:AE?BC=AD?AB;(2)若半圓O的直徑為10,sin∠BAC=,求AF的長(zhǎng).【分析】(1)只要證明△EAD∽△ABC即可解決問(wèn)題.(2)作DM⊥AB于M,利用DM∥AE,得=,求出DM、BM即可解決問(wèn)題.【解答】(1)證明:∵AB為半圓O的直徑,∴∠C=90°,∵OD⊥AC,∴∠CAB+∠AOE=90°,∠ADE=∠C=90°,∵AE是切線(xiàn),∴OA⊥AE,∴∠E+∠AOE=90°,∴∠E=∠CAB,∴△EAD∽△ABC,∴AE:AB=AD:BC,∴AE?BC=AD?AB.(2)解:作DM⊥AB于M,∵半圓O的直徑為10,sin∠BAC=,∴BC=AB?sin∠BAC=6,∴AC==8,∵OE⊥AC,∴AD=AC=4,OD=BC=3,∵sin∠MAD==,∴DM=,AM===,BM=AB﹣AM=,∵DM∥AE,∴=,∴AF=.【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線(xiàn)的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形,學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn),屬于中考??碱}型.24.(2016?四川樂(lè)山,24,10分)如圖,在△ABC中,AB=AC,以AC邊為直徑作⊙O交BC邊于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,ED、AC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F.(1)求證:EF是⊙O的切線(xiàn);(2)若EB=,且sin∠CFD=,求⊙O的半徑與線(xiàn)段AE的長(zhǎng).【分析】(1)連結(jié)OD,如圖,由AB=AC得到∠B=∠ACD,由OC=OD得到∠ODC=∠OCD,則∠B=∠ODC,于是可判斷OD∥AB,然后利用DE⊥AB得到OD⊥EF,然后根據(jù)切線(xiàn)的判定定理得到結(jié)論;(2)在Rt△ODF利用正弦的定義得到sin∠OFD==,則可設(shè)OD=3x,OF=5x,所以AB=AC=6x,AF=8x,在Rt△AEF中由于sin∠AFE==,可得到AE=x,接著表示出BE得到x=,解得x=,于是可得到AE和OD的長(zhǎng).【解答】(1)證明:連結(jié)OD,如圖,∵AB=AC,∴∠B=∠ACD,∵OC=OD,∴∠ODC=∠OCD,∴∠B=∠ODC,∴OD∥AB,∵DE⊥AB,∴OD⊥EF,∴EF是⊙O的切線(xiàn);(2)解:在Rt△ODF,sin∠OFD==,設(shè)OD=3x,則OF=5x,∴AB=AC=6x,AF=8x,在Rt△AEF中,∵sin∠AFE==,∴AE=?8x=x,∵BE=AB﹣AE=6x﹣x=x,∴x=,解得x=,∴AE=?=6,OD=3?=,即⊙O的半徑長(zhǎng)為.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線(xiàn)的判定定理:經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn).當(dāng)已知條件中明確指出直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)時(shí),常連接過(guò)該公共點(diǎn)的半徑,證明該半徑垂直于這條直線(xiàn).靈活應(yīng)用三角函數(shù)的定義是解決(2)小題的關(guān)鍵.24.(2016?四川涼山州,24,8分)閱讀下列材料并回答問(wèn)題:材料1:如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,記,那么三角形的面積為.①古希臘幾何學(xué)家海倫(Heron,約公元50年),在數(shù)學(xué)史上以解決幾何測(cè)量問(wèn)題而聞名.他在《度量》一書(shū)中,給出了公式①和它的證明,這一公式稱(chēng)海倫公式.我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶(約1202﹣﹣約1261),曾提出利用三角形的三邊求面積的秦九韶公式:.②下面我們對(duì)公式②進(jìn)行變形:=====.這說(shuō)明海倫公式與秦九韶公式實(shí)質(zhì)上是同一公式,所以我們也稱(chēng)①為海倫﹣﹣秦九韶公式.問(wèn)題:如圖,在△ABC中,AB=13,BC=12,AC=7,⊙O內(nèi)切于△ABC,切點(diǎn)分別是D、E、F.(1)求△ABC的面積;(2)求⊙O的半徑.【分析】(1)由已知△ABC的三邊a=3,b=12,c=7,可知這是一個(gè)一般的三角形,故選用海倫﹣秦九韶公式求解即可;(2)由三角形的面積=lr,計(jì)算即可.【解答】解:(1)∵AB=13,BC=12,AC=7,∴p==16,∴==24;(2)∵△ABC的周長(zhǎng)l=AB+BC+AC=32,∴S=lr=24,∴r==.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形面積的求解方法.此題難度不大,注意選擇適當(dāng)?shù)那蠼夥椒ㄊ顷P(guān)鍵.22.(2016隨州,22,8分)如圖,AB是⊙O的弦,點(diǎn)C為半徑OA的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA交弦AB于點(diǎn)E,連接BD,且DE=DB.(1)判斷BD與⊙O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;(2)若CD=15,BE=10,tanA=,求⊙O的直徑.【答案】(1)BD為⊙O的切線(xiàn)證明:連接OB,∵CD⊥OA∴∠A+∠AEC=900又∵∠DEB=∠AEC∴∠A+∠DEB=900又∵OB=OA∴∠OBA=∠A∴∠OBA+∠DBE=900即∠DBO=900∴OB⊥BD∵∴BD為⊙O的切線(xiàn)(2)作DE⊥BE于F,∵DE=DB,∴EF=BE=×10=5易證:∠EDF=∠A在RtΔDEF中,∵tan∠EDF=tan∠A=∴DF=12,DE=∴CE=CD-DE=15-13=2易證:RtΔACE∽R(shí)tΔDFE∴AC=∴圓的直徑為:2OA=4AC=4×=(或19.2)說(shuō)明:如果考生的解法與本解答不同,若合理請(qǐng)酌情給分。21.(2016四川內(nèi)江,21,10分)如圖9,在△ABC中,∠ABC=90°,AC的垂直平分線(xiàn)分別與AC,BC及AB的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)D,E,F(xiàn).⊙O是△BEF的外接圓,∠EBF的平分線(xiàn)交EF于點(diǎn)G,交⊙O于點(diǎn)H,連接BD,F(xiàn)H.(1)試判斷BD與⊙O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;(2)當(dāng)AB=BE=1時(shí),求⊙O的面積;(3)在(2)的條件下,求HG·HB的值.DGDGHOCEFBA圖9DGHOCEFBA答案圖(1)直線(xiàn)BD與⊙O相切.理由如下:如圖,連接OB,∵

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