28.與圓有關(guān)的位置關(guān)系C

與圓有關(guān)的位置關(guān)系一、選擇題12．（2016海南，12，3分）如圖，AB是⊙O的直徑，直線PA與⊙O相切于點(diǎn)A，PO交⊙O于點(diǎn)C，連接BC．若∠P=40°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．20°B．25°C．40°D．50°【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)．【分析】利用切線的性質(zhì)和直角三角形的兩個銳角互余的性質(zhì)得到圓心角∠PAO的度數(shù)，然后利用圓周角定理來求∠ABC的度數(shù)．【解答】解：如圖，∵AB是⊙O的直徑，直線PA與⊙O相切于點(diǎn)A，∴∠PAO=90°．又∵∠P=40°，∴∠∠PAO=50°，∴∠ABC=∠PAO=25°．故選：B．13．（2016湖北宜昌，13，3分）在公園的O處附近有E、F、G、H四棵樹，位置如圖所示（圖中小正方形的邊長均相等）現(xiàn)計劃修建一座以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓形水池，要求池中不留樹木，則E、F、G、H四棵樹中需要被移除的為（）A．E、F、GB．F、G、HC．G、H、ED．H、E、F【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．【專題】應(yīng)用題．【分析】根據(jù)網(wǎng)格中兩點(diǎn)間的距離分別求出，OE，OF，OG，OH然后和OA比較大小．最后得到哪些樹需要移除．【解答】解：∵OA==，∴OE=2＜OA，所以點(diǎn)E在⊙O內(nèi)，OF=2＜OA，所以點(diǎn)E在⊙O內(nèi)，OG=1＜OA，所以點(diǎn)E在⊙O內(nèi)，OH==2＞OA，所以點(diǎn)E在⊙O外，故選A（2016?無錫，6，3分）如圖，AB是⊙O的直徑，AC切⊙O于A，BC交⊙O于點(diǎn)D，若∠C=70°，則∠AOD的度數(shù)為（）A．70°B．35°C．20°D．40°【分析】先依據(jù)切線的性質(zhì)求得∠CAB的度數(shù)，然后依據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)得到∠CBA的度數(shù)，然后由圓周角定理可求得∠AOD的度數(shù)．【解答】解：∵AC是圓O的切線，AB是圓O的直徑，∴AB⊥AC．∴∠CAB=90°．又∵∠C=70°，∴∠CBA=20°．∴∠DOA=40°．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)，求得∠CBA=20°是解題的關(guān)鍵．6．（2016湖北荊州，6，3分）如圖，過⊙O外一點(diǎn)P引⊙O的兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別是A、B，OP交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)D是優(yōu)弧上不與點(diǎn)A、點(diǎn)C重合的一個動點(diǎn)，連接AD、CD，若∠APB=80°，則∠ADC的度數(shù)是（）A．15°B．20°C．25°D．30°【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和，可得∠BOA，根據(jù)等弧所對的圓周角相等，根據(jù)圓周角定理，可得答案．【解答】解；如圖，由四邊形的內(nèi)角和定理，得∠BOA=360°﹣90°﹣90°﹣80°=100°，由=，得∠AOC=∠BOC=50°．由圓周角定理，得∠ADC=∠AOC=25°，故選：C．二、填空題14．（2016內(nèi)蒙古呼和浩特，14，3分）在周長為26π的⊙O中，CD是⊙O的一條弦，AB是⊙O的切線，且AB∥CD，若AB和CD之間的距離為18，則弦CD的長為24．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)．【分析】如圖，設(shè)AB與⊙O相切于點(diǎn)F，連接OF，OD，延長FO交CD于點(diǎn)E，首先證明OE⊥CD，在RT△EOD中，利用勾股定理即可解決問題．【解答】解：如圖，設(shè)AB與⊙O相切于點(diǎn)F，連接OF，OD，延長FO交CD于點(diǎn)E．∵2πR=26π，∴R=13，∴OF=OD=13，∵AB是⊙O切線，∴OF⊥AB，∵AB∥CD，∴EF⊥CD即OE⊥CD，∴CE=ED，∵EF=18，OF=13，∴OE=5，在RT△OED中，∵∠OED=90°，OD=13，OE=5，∴ED===12，∴CD=2ED=24．故答案為24．18．（2分）（2016?無錫，18，2分）如圖，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，點(diǎn)C從A點(diǎn)出發(fā)，在邊AO上以2cm/s的速度向O點(diǎn)運(yùn)動，與此同時，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，在邊BO上以1.5cm/s的速度向O點(diǎn)運(yùn)動，過OC的中點(diǎn)E作CD的垂線EF，則當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動了s時，以C點(diǎn)為圓心，1.5cm為半徑的圓與直線EF相切．【分析】當(dāng)以點(diǎn)C為圓心，1.5cm為半徑的圓與直線EF相切時，即CF=1.5cm，又因?yàn)椤螮FC=∠O=90°，所以△EFC∽△DCO，利用對應(yīng)邊的比相等即可求出EF的長度，再利用勾股定理列出方程即可求出t的值，要注意t的取值范圍為0≤t≤4．【解答】解：當(dāng)以點(diǎn)C為圓心，1.5cm為半徑的圓與直線EF相切時，此時，CF=1.5，∵AC=2t，BD=t，∴OC=8﹣2t，OD=6﹣t，∵點(diǎn)E是OC的中點(diǎn)，∴CE=OC=4﹣t，∵∠EFC=∠O=90°，∠FCE=∠DCO∴△EFC∽△DCO∴=∴EF===由勾股定理可知：CE2=CF2+EF2，∴（4﹣t）2=+，解得：t=或t=，∵0≤t≤4，∴t=．故答案為：【點(diǎn)評】本題考查圓的切線性質(zhì)，主要涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，切線的性質(zhì)等知識，題目綜合程度較高，很好地考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力．24．(2016浙江溫州，24，14分)如圖，在射線BA，BC，AD，CD圍成的菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6，O是射線BD上一點(diǎn)，⊙O與BA，BC都相切，與BO的延長線交于點(diǎn)M．過M作EF⊥BD交線段BA（或射線AD）于點(diǎn)E，交線段BC（或射線CD）于點(diǎn)F．以EF為邊作矩形EFGH，點(diǎn)G，H分別在圍成菱形的另外兩條射線上．（1）求證：BO=2OM．（2）設(shè)EF＞HE，當(dāng)矩形EFGH的面積為24時，求⊙O的半徑．（3）當(dāng)HE或HG與⊙O相切時，求出所有滿足條件的BO的長．【考點(diǎn)】圓的綜合題．【分析】（1）設(shè)⊙O切AB于點(diǎn)P，連接OP，由切線的性質(zhì)可知∠OPB=90°．先由菱形的性質(zhì)求得∠OBP的度數(shù)，然后依據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)證明即可；（2）設(shè)GH交BD于點(diǎn)N，連接AC，交BD于點(diǎn)Q．先依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值求得BD的長，設(shè)⊙O的半徑為r，則OB=2r，MB=3r．當(dāng)點(diǎn)E在AB上時．在Rt△BEM中，依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可得到EM的長（用含r的式子表示），由圖形的對稱性可得到EF、ND、BM的長（用含r的式子表示，從而得到MN=18﹣6r，接下來依據(jù)矩形的面積列方程求解即可；當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上時．BM=3r，則MD=18﹣3r，最后由MB=3r=12列方程求解即可；（3）先根據(jù)題意畫出符合題意的圖形，①如圖4所示，點(diǎn)E在AD上時，可求得DM=r，BM=3r，然后依據(jù)BM+MD=18，列方程求解即可；②如圖5所示；依據(jù)圖形的對稱性可知得到OB=BD；③如圖6所示，可證明D與O重合，從而可求得OB的長；④如圖7所示：先求得DM=r，OMB=3r，由BM﹣DM=DB列方程求解即可．【解答】解：（1）如圖1所示：設(shè)⊙O切AB于點(diǎn)P，連接OP，則∠OPB=90°．∵四邊形ABCD為菱形，∴∠ABD=∠ABC=30°．∴OB=2OP．∵OP=OM，∴BO=2OP=2OM．（2）如圖2所示：設(shè)GH交BD于點(diǎn)N，連接AC，交BD于點(diǎn)Q．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．∴BD=2BQ=2AB?cos∠ABQ=AB=18．設(shè)⊙O的半徑為r，則OB=2r，MB=3r．∵EF＞HE，∴點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H均在菱形的邊上．①如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)E在AB上時．在Rt△BEM中，EM=BM?tan∠EBM=r．由對稱性得：EF=2EM=2r，ND=BM=3r．∴MN=18﹣6r．∴S矩形EFGH=EF?MN=2r（18﹣6r）=24．解得：r1=1，r2=2．當(dāng)r=1時，EF＜HE，∴r=1時，不合題意舍當(dāng)r=2時，EF＞HE，∴⊙O的半徑為2．∴BM=3r=6．如圖3所示：當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上時．BM=3r，則MD=18﹣3r．由對稱性可知：NB=MD=6．∴MB=3r=18﹣6=12．解得：r=4．綜上所述，⊙O的半徑為2或4．（3）解設(shè)GH交BD于點(diǎn)N，⊙O的半徑為r，則BO=2r．當(dāng)點(diǎn)E在邊BA上時，顯然不存在HE或HG與⊙O相切．①如圖4所示，點(diǎn)E在AD上時．∵HE與⊙O相切，∴ME=r，DM=r．∴3r+r=18．解得：r=9﹣3．∴OB=18﹣6．②如圖5所示；由圖形的對稱性得：ON=OM，BN=DM．∴OB=BD=9．③如圖6所示．∵HG與⊙O相切時，MN=2r．∵BN+MN=BM=3r．∴BN=r．∴DM=FM=GN=BN=r．∴D與O重合．∴BO=BD=18．④如圖7所示：∵HE與⊙O相切，∴EM=r，DM=r．∴3r﹣r=18．∴r=9+3．∴OB=2r=18+6．綜上所述，當(dāng)HE或GH與⊙O相切時，OB的長為18﹣6或9或18或18+6．16．（2016四川攀枝花，16，4分）如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D為BC邊的中點(diǎn)，以AD上一點(diǎn)O為圓心的⊙O和AB、BC均相切，則⊙O的半徑為．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)．【分析】過點(diǎn)0作OE⊥AB于點(diǎn)E，OF⊥BC于點(diǎn)F．根據(jù)切線的性質(zhì)，知OE、OF是⊙O的半徑；然后由三角形的面積間的關(guān)系（S△ABO+S△BOD=S△ABD=S△ACD）列出關(guān)于圓的半徑的等式，求得圓的半徑即可．【答案】解：過點(diǎn)0作OE⊥AB于點(diǎn)E，OF⊥BC于點(diǎn)F．∵AB、BC是⊙O的切線，∴點(diǎn)E、F是切點(diǎn)，∴OE、OF是⊙O的半徑；∴OE=OF；在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，∴由勾股定理，得BC=4；又∵D是BC邊的中點(diǎn)，∴S△ABD=S△ACD，又∵S△ABD=S△ABO+S△BOD，∴AB?OE+BD?OF=CD?AC，即5×OE+2×0E=2×3，解得OE=，∴⊙O的半徑是．故答案為：．三、解答題23．(2016遼寧大連，23，10分)如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，∠A=2∠BCD，點(diǎn)E在AB的延長線上，∠AED=∠ABC（1）求證：DE與⊙O相切；（2）若BF=2，DF=，求⊙O的半徑．【考點(diǎn)】切線的判定．【分析】（1）連接OD，由AB是⊙O的直徑，得到∠ACB=90°，求得∠A+∠ABC=90°，等量代換得到∠BOD=∠A，推出∠ODE=90°，即可得到結(jié)論；（2）連接BD，過D作DH⊥BF于H，由弦且角動量得到∠BDE=∠BCD，推出△ACF與△FDB都是等腰三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到FH=BH=BF=1，則FH=1，根據(jù)勾股定理得到HD==3，然后根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：連接OD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∵∠BOD=2∠BCD，∠A=2∠BCD，∴∠BOD=∠A，∵∠AED=∠ABC，∴∠BOD+∠AED=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，∴DE與⊙O相切；（2）解：連接BD，過D作DH⊥BF于H，∵DE與⊙O相切，∴∠BDE=∠BCD，∵∠AED=∠ABC，∴∠AFC=∠DBF，∵∠AFC=∠DFB，∴△ACF與△FDB都是等腰三角形，∴FH=BH=BF=1，則FH=1，∴HD==3，在Rt△ODH中，OH2+DH2=OD2，即（OD﹣1）2+32=OD2，∴OD=5，∴⊙O的半徑是5．【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．21．（8分）（2016?沈陽，21，8分）如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別于BC，AC相交于點(diǎn)D，E，BD=CD，過點(diǎn)D作⊙O的切線交邊AC于點(diǎn)F．（1）求證：DF⊥AC；（2）若⊙O的半徑為5，∠CDF=30°，求的長（結(jié)果保留π）．【分析】（1）連接OD，由切線的性質(zhì)即可得出∠ODF=90°，再由BD=CD，OA=OB可得出OD是△ABC的中位線，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)即可得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出∠CFD=∠ODF=90°，從而證出DF⊥AC；（2）由∠CDF=30°以及∠ODF=90°即可算出∠ODB=60°，再結(jié)合OB=OD可得出△OBD是等邊三角形，根據(jù)弧長公式即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：連接OD，如圖所示．∵DF是⊙O的切線，D為切點(diǎn)，∴OD⊥DF，∴∠ODF=90°．∵BD=CD，OA=OB，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC，∴∠CFD=∠ODF=90°，∴DF⊥AC．（2）解：∵∠CDF=30°，由（1）得∠ODF=90°，∴∠ODB=180°﹣∠CDF﹣∠ODF=60°．∵OB=OD，∴△OBD是等邊三角形，∴∠BOD=60°，∴的長===π．【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì)、弧長公式、平行線的性質(zhì)、三角形中位線定理以及等邊三角形的判斷，解題的關(guān)鍵是：（1）求出∠CFD=∠ODF=90°；（2）找出△OBD是等邊三角形．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，通過角的計算找出90°的角是關(guān)鍵．24．(2016浙江溫州，24，14分)如圖，在射線BA，BC，AD，CD圍成的菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6，O是射線BD上一點(diǎn)，⊙O與BA，BC都相切，與BO的延長線交于點(diǎn)M．過M作EF⊥BD交線段BA（或射線AD）于點(diǎn)E，交線段BC（或射線CD）于點(diǎn)F．以EF為邊作矩形EFGH，點(diǎn)G，H分別在圍成菱形的另外兩條射線上．（1）求證：BO=2OM．（2）設(shè)EF＞HE，當(dāng)矩形EFGH的面積為24時，求⊙O的半徑．（3）當(dāng)HE或HG與⊙O相切時，求出所有滿足條件的BO的長．【考點(diǎn)】圓的綜合題．【分析】（1）設(shè)⊙O切AB于點(diǎn)P，連接OP，由切線的性質(zhì)可知∠OPB=90°．先由菱形的性質(zhì)求得∠OBP的度數(shù)，然后依據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)證明即可；（2）設(shè)GH交BD于點(diǎn)N，連接AC，交BD于點(diǎn)Q．先依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值求得BD的長，設(shè)⊙O的半徑為r，則OB=2r，MB=3r．當(dāng)點(diǎn)E在AB上時．在Rt△BEM中，依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可得到EM的長（用含r的式子表示），由圖形的對稱性可得到EF、ND、BM的長（用含r的式子表示，從而得到MN=18﹣6r，接下來依據(jù)矩形的面積列方程求解即可；當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上時．BM=3r，則MD=18﹣3r，最后由MB=3r=12列方程求解即可；（3）先根據(jù)題意畫出符合題意的圖形，①如圖4所示，點(diǎn)E在AD上時，可求得DM=r，BM=3r，然后依據(jù)BM+MD=18，列方程求解即可；②如圖5所示；依據(jù)圖形的對稱性可知得到OB=BD；③如圖6所示，可證明D與O重合，從而可求得OB的長；④如圖7所示：先求得DM=r，OMB=3r，由BM﹣DM=DB列方程求解即可．【解答】解：（1）如圖1所示：設(shè)⊙O切AB于點(diǎn)P，連接OP，則∠OPB=90°．∵四邊形ABCD為菱形，∴∠ABD=∠ABC=30°．∴OB=2OP．∵OP=OM，∴BO=2OP=2OM．（2）如圖2所示：設(shè)GH交BD于點(diǎn)N，連接AC，交BD于點(diǎn)Q．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．∴BD=2BQ=2AB?cos∠ABQ=AB=18．設(shè)⊙O的半徑為r，則OB=2r，MB=3r．∵EF＞HE，∴點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H均在菱形的邊上．①如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)E在AB上時．在Rt△BEM中，EM=BM?tan∠EBM=r．由對稱性得：EF=2EM=2r，ND=BM=3r．∴MN=18﹣6r．∴S矩形EFGH=EF?MN=2r（18﹣6r）=24．解得：r1=1，r2=2．當(dāng)r=1時，EF＜HE，∴r=1時，不合題意舍當(dāng)r=2時，EF＞HE，∴⊙O的半徑為2．∴BM=3r=6．如圖3所示：當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上時．BM=3r，則MD=18﹣3r．由對稱性可知：NB=MD=6．∴MB=3r=18﹣6=12．解得：r=4．綜上所述，⊙O的半徑為2或4．（3）解設(shè)GH交BD于點(diǎn)N，⊙O的半徑為r，則BO=2r．當(dāng)點(diǎn)E在邊BA上時，顯然不存在HE或HG與⊙O相切．①如圖4所示，點(diǎn)E在AD上時．∵HE與⊙O相切，∴ME=r，DM=r．∴3r+r=18．解得：r=9﹣3．∴OB=18﹣6．②如圖5所示；由圖形的對稱性得：ON=OM，BN=DM．∴OB=BD=9．③如圖6所示．∵HG與⊙O相切時，MN=2r．∵BN+MN=BM=3r．∴BN=r．∴DM=FM=GN=BN=r．∴D與O重合．∴BO=BD=18．④如圖7所示：∵HE與⊙O相切，∴EM=r，DM=r．∴3r﹣r=18．∴r=9+3．∴OB=2r=18+6．綜上所述，當(dāng)HE或GH與⊙O相切時，OB的長為18﹣6或9或18或18+6．.(2016湖北咸寧，21，9分)如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)D，分別交AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn).（1）試判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若BD=2，BF=2，求陰影部分的面積（結(jié)果保留π）【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系，勾股定理，扇形面積，三角函數(shù).【分析】（1）連接OD，證明OD∥AC即可解決問題；（2）設(shè)⊙O的半徑為r，則OD=r，OB=r+2，在Rt△BDO中，OD2+BD2=OB2，求出r，利用S陰影=S△OBD-S扇形BDF即可解決問題.【解答】解：(1)BC與⊙O相切，理由如下：連接OD.∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠OAD.又∵∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC；…………2分∴∠BDO=∠C=90°，∴BC與⊙O相切.……4分（2）解：設(shè)⊙O的半徑為r，則OD=r，OB=r+2.由（1）知∠BDO=90°，∴OD2+BD2=OB2，即r2+(2)2=(r+2)2，解得r=2.…………5分∵tan∠BOD===,∴∠BOD=60°.…………………7分S陰影=S△OBD-S扇形BDF=×OD×BD-×πr2=2-π.22.（2016湖南張家界，22，6分）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點(diǎn)，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，過點(diǎn)A作直線MN的垂線，垂足為點(diǎn)D，且∠BAC=∠CAD．（1）求證：直線MN是⊙O的切線；（2）若AD=4，AC=5，求⊙O的直徑．【答案】（1）證明：連接OC，因?yàn)镺A=OC，所以∠BAC=∠ACO．QUOTE…………１分因?yàn)锳C平分∠BAD，所以∠BAC=∠CAD，故∠ACO=∠CAD．所以O(shè)C//AD，又已知AD丄MN，所以O(shè)C丄MNQUOTE…………QUOTE…………2分所以，直線MN是⊙O的切線QUOTE…………QUOTE…………3分（2）解：已知AB是⊙O的直徑，則∠ACB=90°,又AD丄MN，則∠ADC=90°.在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠BAC=∠CAD，所以Rt△ABC∽Rt△ACD，則QUOTE…………QUOTE…………QUOTE…………5分已知AD=4，AC=5，則AB=，所以⊙O的直徑為.QUOTE…………QUOTE…………6分20．(2016云南，20，8分)(本小題滿分8分)如圖，為⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)C的直線交AB的延長線于點(diǎn)D，AE⊥DC，垂足為E，F(xiàn)是AE與⊙O的交點(diǎn)，AC平分∠BAE．(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)設(shè)AE＝6，∠D＝30°，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)證明：連接OC∵AC平分∠BAE∴∠OAC＝∠CAE又∵OC＝OA∴∠OCA＝∠OAC∴∠OAC＝∠CAE＝∠OCA∴OC∥AE又∵AE⊥DC∴OC⊥DE∵C是⊙O上一點(diǎn)，即OC是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線(2)∵∠D＝30°，AE⊥DC，AC平分∠BAE∴∠D＝∠OAC＝∠CAE＝∠OCA＝30°∴∠BOC＝60°在Rt△AEC中∵AE⊥DC，AE＝6∴AC＝DC＝4在Rt△OCD中∵∠D＝30°，∴OC＝4∵S陰影＝S△OCD－S扇形BOCS△OCD＝DC?OC＝×4×4＝8S扇形BOC＝＝＝∴S陰影＝S△OCD－S扇形BOC＝8－∴圖中陰影部分的面積為8－．23.(2016陜西23，8分）如圖，AB是⊙O的弦，過B作BC⊥AB交⊙O于點(diǎn)C，過C作⊙O的切線交AB的延長線于點(diǎn)D，取AD的中點(diǎn)E,過E作EF∥BC交DC的延長線與點(diǎn)F，連接AF并延長交BC的延長線于點(diǎn)G.求證：（1）FC=FG(2)AB2=BC.CG解：⑴證明：∵EF∥BC，AB⊥BG，∴EF⊥AD.又∵E是AD的中點(diǎn)，∴∠FAD＝∠D。………………（2分）又知GB⊥AB，∴∴∠1＝∠G。而∠1＝∠2，∴∠2＝∠G，∴FC=FG。…………（4分）⑵連接AC?！逜B⊥BG，∴AC是⊙O的直徑…………………（5分）又∵FD是⊙O的切線，切點(diǎn)為C，∴AC⊥DF?！唷?分）又知，∴∠1＝∠3.而由⑴可知∠1＝∠G，∴∠3＝∠G，∴△ABC∽△GBA……………（7分）∴，故…………（8分）24．（2016?廣東茂名，24，8分）如圖，在△ABC中，∠C=90°，D、F是AB邊上的兩點(diǎn)，以DF為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)E，連接EF，過F作FG⊥BC于點(diǎn)G，其中∠OFE=∠A．（1）求證：BC是⊙O的切線；（4分）（2）若sinB=，⊙O的半徑為r，求△EHG的面積（用含r的代數(shù)式表示）．（4分）【思路分析】（1）首先連接OE，由在△ABC中，∠C=90°，F(xiàn)G⊥BC，可得FG∥AC，又由∠OFE=∠A，易得EF平分∠BFG，繼而證得OE∥FG，證得OE⊥BC，則可得BC是⊙O的切線；（2）由在△OBE中，sinB=，⊙O的半徑為r，可求得OB，BE的長，然后由在△BFG中，求得BG，F(xiàn)G的長，則可求得EG的長，易證得△EGH∽△FGE，然后由相似三角形面積比等于相似比的平方，求得答案．【解答】（1）證明：連接OE，∵在△ABC中，∠C=90°，F(xiàn)G⊥BC，∴∠BGF=∠C=90°，∴FG∥AC，∴∠OFG=∠A，∴∠OFE=∠OFG，∴∠OFE=∠EFG，∵OE=OF，∴∠OFE=∠OEF，∴∠OEF=∠EFG，∴OE∥FG，∴OE⊥BC，∴BC是⊙O的切線；（2）解：∵在Rt△OBE中，sinB=，⊙O的半徑為r，∴OB=r，BE=r，∴BF=OB+OF=r，∴FG=BF?sinB=r，∴BG==r，∴EG=BG﹣BE=r，∴S△FGE=EG?FG=r2，EG：FG=1：2，∵BC是切線，∴∠GEH=∠EFG，∵∠EGH=∠FGE，∴△EGH∽△FGE，∴=（）=，∴S△EHG=S△FGE=r2．（2016廣西南寧，22，8分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分線，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若OB=10，CD=8，求BE的長．【考點(diǎn)】切線的判定．【專題】計算題；與圓有關(guān)的位置關(guān)系．【分析】（1）連接OD，由BD為角平分線得到一對角相等，根據(jù)OB=OD，等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到一對內(nèi)錯角相等，進(jìn)而確定出OD與BC平行，利用兩直線平行同位角相等得到∠ODA為直徑，即可得證；（2）由OD與BC平行得到三角形OAD與三角形BAC相似，由相似得比例求出OA的長，進(jìn)而確定出AB的長，連接EF，過O作OG垂直于BC，利用勾股定理求出BG的長，由BG+GC求出BC的長，再由三角形BEF與三角形BAC相似，由相似得比例求出BE的長即可．【解答】（1）證明：連接OD，∵BD為∠ABC平分線，∴∠1=∠2，∵OB=OD，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OD∥BC，∵∠C=90°，∴∠ODA=90°，則AC為圓O的切線；（2）解：過O作OG⊥BC，∴四邊形ODCG為矩形，∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8，在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=6，∴BC=BG+GC=6+10=16，∵OD∥BC，∴△AOD∽△ABC，∴=，即=，解得：OA=，∴AB=+10=，連接EF，∵BF為圓的直徑，∴∠BEF=90°，∴∠BEF=∠C=90°，∴EF∥AC，∴=，即=，解得：BE=12．23．（2016湖北荊州，23，10分）如圖，A、F、B、C是半圓O上的四個點(diǎn)，四邊形OABC是平行四邊形，∠FAB=15°，連接OF交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作OF的平行線交AB的延長線于點(diǎn)D，延長AF交直線CD于點(diǎn)H．（1）求證：CD是半圓O的切線；（2）若DH=6﹣3，求EF和半徑OA的長．【分析】（1）連接OB，根據(jù)已知條件得到△AOB是等邊三角形，得到∠AOB=60°，根據(jù)圓周角定理得到∠AOF=∠BOF=30°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OC⊥CD，由切線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DBC=∠EAO=60°，解直角三角形得到BD=BC=AB，推出AE=AD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，求得EF=2﹣，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）連接OB，∵OA=OB=OC，∵四邊形OABC是平行四邊形，∴AB=OC，∴△AOB是等邊三角形，∴∠AOB=60°，∵∠FAD=15°，∴∠BOF=30°，∴∠AOF=∠BOF=30°，∴OF⊥AB，∵CD∥OF，∴CD⊥AD，∵AD∥OC，∴OC⊥CD，∴CD是半圓O的切線；（2）∵BC∥OA，∴∠DBC=∠EAO=60°，∴BD=BC=AB，∴AE=AD，∵EF∥DH，∴△AEF∽△ADH，∴，∵DH=6﹣3，∴EF=2﹣，∵OF=OA，∴OE=OA﹣（2﹣），∵∠AOE=30°，∴==，解得：OA=2．24．（2016湖南常德，24，8分）如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，且BD=BC，延長AD到E，且有∠EBD=∠CAB．（1）求證：BE是⊙O的切線；（2）若BC=，AC=5，求圓的直徑AD及切線BE的長．【考點(diǎn)】切線的判定；三角形的外接圓與外心．【分析】（1）先根據(jù)等弦所對的劣弧相等，再結(jié)合∠EBD=∠CAB從而得到∠BAD=∠EBD，最后用直徑所對的圓周角為直角即可；（2）利用三角形的中位線先求出OF，再用平行線分線段成比例定理求出半徑R，最后用切割線定理即可．【答案】解：如圖，連接OB，∵BD=BC，∴∠CAB=∠BAD，∵∠EBD=∠CAB，∴∠BAD=∠EBD，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ABD=90°，OA=BO，∴∠BAD=∠ABO，∴∠EBD=∠ABO，∴∠OBE=∠EBD+∠OBD=∠ABD+∠OBD=∠ABD=90°，∵點(diǎn)B在⊙O上，∴BE是⊙O的切線，（2）如圖2，設(shè)圓的半徑為R，連接CD，∵AD為⊙O的直徑，∴∠ACCD=90°，∵BC=BD，∴OB⊥CD，∴OB∥AC，∵OA=OD，∴OF=AC=，∵四邊形ACBD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠BDE=∠ACB，∵∠DBE=∠ACB，∴△DBE∽△CAB，∴，∴，∴DE=，∵∠OBE=∠OFD=90°，∴DF∥BE，∴，∴，∵R＞0，∴R=3，∵BE是⊙O的切線，∴BE===．23．（2016四川攀枝花，23，12分）如圖，在△AOB中，∠AOB為直角，OA=6，OB=8，半徑為2的動圓圓心Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿著OA方向以1個單位長度/秒的速度勻速運(yùn)動，同時動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著AB方向也以1個單位長度/秒的速度勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒（0＜t≤5）以P為圓心，PA長為半徑的⊙P與AB、OA的另一個交點(diǎn)分別為C、D，連結(jié)CD、QC．（1）當(dāng)t為何值時，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合？（2）當(dāng)⊙Q經(jīng)過點(diǎn)A時，求⊙P被OB截得的弦長．（3）若⊙P與線段QC只有一個公共點(diǎn)，求t的取值范圍．【考點(diǎn)】圓的綜合題．【分析】（1）由題意知CD⊥OA，所以△ACD∽△ABO，利用對應(yīng)邊的比求出AD的長度，若Q與D重合時，則，AD+OQ=OA，列出方程即可求出t的值；（2）由于0＜t≤5，當(dāng)Q經(jīng)過A點(diǎn)時，OQ=4，此時用時為4s，過點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E，利用垂徑定理即可求出⊙P被OB截得的弦長；（3）若⊙P與線段QC只有一個公共點(diǎn)，分以下兩種情況，①當(dāng)QC與⊙P相切時，計算出此時的時間；②當(dāng)Q與D重合時，計算出此時的時間；由以上兩種情況即可得出t的取值范圍．【答案】解：（1）∵OA=6，OB=8，∴由勾股定理可求得：AB=10，由題意知：OQ=AP=t，∴AC=2t，∵AC是⊙P的直徑，∴∠CDA=90°，∴CD∥OB，∴△ACD∽△ABO，∴，∴AD=，當(dāng)Q與D重合時，AD+OQ=OA，∴+t=6，∴t=；（2）當(dāng)⊙Q經(jīng)過A點(diǎn)時，如圖1，OQ=OA﹣QA=4，∴t==4s，∴PA=4，∴BP=AB﹣PA=6，過點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E，⊙P與OB相交于點(diǎn)F、G，連接PF，∴PE∥OA，∴△PEB∽△AOB，∴，∴PE=，∴由勾股定理可求得：EF=，由垂徑定理可求知：FG=2EF=；（3）當(dāng)QC與⊙P相切時，如圖2，此時∠QCA=90°，∵OQ=AP=t，∴AQ=6﹣t，AC=2t，∵∠A=∠A，∠QCA=∠ABO，∴△AQC∽△ABO，∴，∴，∴t=，∴當(dāng)0＜t≤時，⊙P與QC只有一個交點(diǎn)，當(dāng)QC⊥OA時，此時Q與D重合，由（1）可知：t=，∴當(dāng)＜t≤5時，⊙P與QC只有一個交點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)，⊙P與QC只有一個交點(diǎn)，t的取值范圍為：0＜t≤或＜t≤5．（2016?大慶，27，9分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC為直徑的⊙O交斜邊AB于點(diǎn)M，若H是AC的中點(diǎn)，連接MH．（1）求證：MH為⊙O的切線．（2）若MH=，tan∠ABC=，求⊙O的半徑．（3）在（2）的條件下分別過點(diǎn)A、B作⊙O的切線，兩切線交于點(diǎn)D，AD與⊙O相切于N點(diǎn)，過N點(diǎn)作NQ⊥BC，垂足為E，且交⊙O于Q點(diǎn)，求線段NQ的長度．【分析】（1）連接OH、OM，易證OH是△ABC的中位線，利用中位線的性質(zhì)可證明△COH≌△MOH，所以∠HCO=∠HMO=90°，從而可知MH是⊙O的切線；（2）由切線長定理可知：MH=HC，再由點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)可知AC=3，由tan∠ABC=，所以BC=4，從而可知⊙O的半徑為2；（3）連接CN，AO，CN與AO相交于I，由AC、AN是⊙O的切線可知AO⊥CN，利用等面積可求出可求得CI的長度，設(shè)CE為x，然后利用勾股定理可求得CE的長度，利用垂徑定理即可求得NQ．【解答】解：（1）連接OH、OM，∵H是AC的中點(diǎn)，O是BC的中點(diǎn)，∴OH是△ABC的中位線，∴OH∥AB，∴∠COH=∠ABC，∠MOH=∠OMB，又∵OB=OM，∴∠OMB=∠MBO，∴∠COH=∠MOH，在△COH與△MOH中，，∴△COH≌△MOH（SAS），∴∠HCO=∠HMO=90°，∴MH是⊙O的切線；（2）∵M(jìn)H、AC是⊙O的切線，∴HC=MH=，∴AC=2HC=3，∵tan∠ABC=，∴=，∴BC=4，∴⊙O的半徑為2；（3）連接OA、CN、ON，OA與CN相交于點(diǎn)I，∵AC與AN都是⊙O的切線，∴AC=AN，AO平分∠CAD，∴AO⊥CN，∵AC=3，OC=2，∴由勾股定理可求得：AO=，∵AC?OC=AO?CI，∴CI=，∴由垂徑定理可求得：CN=，設(shè)OE=x，由勾股定理可得：CN2﹣CE2=ON2﹣OE2，∴﹣（2+x）2=4﹣x2，∴x=，∴CE=，由勾股定理可求得：EN=，∴由垂徑定理可知：NQ=2EN=．25．（10分）（2016?婁底，25，10分）如圖所示，在Rt△ABC與Rt△OCD中，∠ACB=∠DCO=90°，O為AB的中點(diǎn)．（1）求證：∠B=∠ACD．（2）已知點(diǎn)E在AB上，且BC2=AB?BE．（i）若tan∠ACD=，BC=10，求CE的長；（ii）試判定CD與以A為圓心、AE為半徑的⊙A的位置關(guān)系，并請說明理由．【分析】（1）因?yàn)椤螦CB=∠DCO=90°，所以∠ACD=∠OCB，又因?yàn)辄c(diǎn)O是Rt△ACB中斜邊AB的中點(diǎn)，所以O(shè)C=OB，所以∠OCB=∠B，利用等量代換可知∠ACD=∠B；（2）（i）因?yàn)锽C2=AB?BE，所以△ABC∽△CBE，所以∠ACB=∠CEB=90°，因?yàn)閠an∠ACD=tan∠B，利用勾股定理即可求出CE的值；（ii）過點(diǎn)A作AF⊥CD于點(diǎn)F，易證∠DCA=∠ACE，所以CA是∠DCE的平分線，所以AF=AE，所以直線CD與⊙A相切．【解答】解：（1）∵∠ACB=∠DCO=90°，∴∠ACB﹣∠ACO=∠DCO﹣∠ACO，即∠ACD=∠OCB，又∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∴OC=OB，∴∠OCB=∠B，∴∠ACD=∠B，（2）（i）∵BC2=AB?BE，∴=，∵∠B=∠B，∴△ABC∽△CBE，∴∠ACB=∠CEB=90°，∵∠ACD=∠B，∴tan∠ACD=tan∠B=，設(shè)BE=4x，CE=3x，由勾股定理可知：BE2+CE2=BC2，∴（4x）2+（3x）2=100，∴解得x=2，∴CE=6；（ii）過點(diǎn)A作AF⊥CD于點(diǎn)F，∵∠CEB=90°，∴∠B+∠EC