2015年上海市閘北區(qū)中考數(shù)學二模試卷

2015年上海市閘北區(qū)中考數(shù)學二模試卷一、選擇題（共6小題，每小題4分，滿分24分）1．（4分）（2015?閘北區(qū)二模）﹣8的立方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．2．（4分）（2016?鄒平縣一模）下列屬于最簡二次根式的是（）A． B． C． D．3．（4分）（2015?閘北區(qū)二模）下列方程中，有實數(shù)根的是（）A．=﹣2 B．x2+1=0 C．=1 D．x2+x+1=04．（4分）（2015?閘北區(qū)二模）在△ABC中，DE∥BC，DE與邊AB相交于點D，與邊AC相交于點E．如果DE過重心G點，且DE=4，那么BC的長是（）A．5 B．6 C．7 D．85．（4分）（2015?閘北區(qū)二模）飯店為某公司提供“白領午餐”，有12元、15元、18元三種價格的套餐可供選擇，每人限購一份．本周銷售套餐共計500份，其中12元的占總份數(shù)的20%，15元的賣出180份，其余均為18元的，那么所購買的盒飯費用的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）A．15元和18元 B．15元和15元 C．18元和15元 D．18元和18元6．（4分）（2015?閘北區(qū)二模）如圖，某水渠的橫斷面是等腰梯形，已知其斜坡AD和BC的坡度為1：0.6，現(xiàn)測得放水前的水面寬EF為1.2米，當水閘放水后，水渠內水面寬GH為2.1米．求放水后水面上升的高度是（）A．0.55 B．0.8 C．0.6 D．0.75二、填空題（共12小題，每小題4分，滿分48分）7．（4分）（2015?閘北區(qū)二模）計算：2﹣2=．8．（4分）（2015?閘北區(qū)二模）用科學記數(shù)法表示：3402000=．9．（4分）（2016?亭湖區(qū)一模）化簡分式：=．10．（4分）（2015?閘北區(qū)二模）不等式組的解集是．11．（4分）（2015?閘北區(qū)二模）方程x+=0的解是．12．（4分）（2015?閘北區(qū)二模）已知反比例函數(shù)y=（k≠0）圖象過點（﹣1，﹣3），在每個象限內，自變量x的值逐漸增大時，y的值隨著逐漸．（填“減小”或“增大”）13．（4分）（2015?閘北區(qū)二模）文件夾里放了大小相同的試卷共12張，其中語文4張、數(shù)學2張、英語6張，隨機從中抽出1張，抽出的試卷恰好是數(shù)學試卷的概率為．14．（4分）（2015?閘北區(qū)二模）某品牌汽車經(jīng)過兩次連續(xù)的調價，先降價10%，后又提價10%，原價10萬元的汽車，現(xiàn)售價萬元．15．（4分）（2015?閘北區(qū)二模）如圖，在正方形ABCD中，如果AC=3，=，=，那么|﹣|=．16．（4分）（2015?閘北區(qū)二模）某公園正在舉行郁金香花展，現(xiàn)從紅、黃兩種郁金香中，各抽出6株，測得它們離地面的高度分別如下（單位cm）：紅：54、44、37、36、35、34；黃：48、35、38、36、43、40；已知它們的平均高度均是40cm，請判斷哪種顏色的郁金香樣本長得整齊？．（填“紅”或“黃”）17．（4分）（2015?閘北區(qū)二模）已知⊙O的直徑是10，△ABC是⊙O的內接等腰三角形，且底邊BC=6，求△ABC的面積是．18．（4分）（2015?閘北區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC沿BD折疊，點C恰巧落在邊AB上的C′處，折痕為BD，再將其沿DE折疊，使點A落在DC′的延長線上的A′處．若△BED與△ABC相似，則相似比=．三、解答題（共7小題，滿分78分）19．（10分）（2015?閘北區(qū)二模）計算：﹣|cos45°﹣1|+（﹣2015）0+3．20．（10分）（2015?閘北區(qū)二模）解方程組：．21．（10分）（2015?閘北區(qū)二模）已知：如圖，點E是矩形ABCD的邊AD上一點，BE=AD，AE=8，現(xiàn)有甲乙兩人同時從E點出發(fā)，分別沿EC，ED方向前進，甲的速度是乙的倍，甲到達目的地C點的同時乙恰好到達終點D處．（1）求tan∠ECD的值；（2）求線段AB及BC的長度．22．（10分）（2015?閘北區(qū)二模）某公司的物流業(yè)務原來由A運輸隊承接，已知其收費標準y（元）與運輸所跑路程x（公里）之間是某種函數(shù)關系．其中部分數(shù)據(jù)如表所示：x（公里）80120180200…y（元）200300450500…（1）寫出y（元）關于x（公里）的函數(shù)解析式；（不需寫出定義域）（2）由于行業(yè)競爭激烈，現(xiàn)B運輸隊表示：若公司每次支付200元的汽車租賃費，則可按每公里0.9元收費．請寫出B運輸隊每次收費y（元）關于所跑路程x（公里）的函數(shù)解析式；（不需寫出定義域）（3）如果該公司有一筆路程500公里的運輸業(yè)務，請通過計算說明應該選擇哪家運輸隊？23．（12分）（2015?閘北區(qū)二模）已知：如圖（1），在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，且AE=AF，∠AEC=∠AFC．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）如圖（2），若AD=AF，延長AE、DC交于點G，求證：AF2=AG?DF；（3）在第（2）小題的條件下，連接BD，交AG于點H，若HE=4，EG=12，求AH的長．24．（12分）（2015?閘北區(qū)二模）已知如圖，二次函數(shù)圖象經(jīng)過點A（﹣6，0），B（0，6），對稱軸為直線x=﹣2，頂點為點C，點B關于直線x=﹣2的對稱點為點D．（1）求二次函數(shù)的解析式以及點C和點D的坐標；（2）聯(lián)結AB、BC、CD、DA，點E在線段AB上，聯(lián)結DE，若DE平分四邊形ABCD的面積，求線段AE的長；（3）在二次函數(shù)的圖象上是否存在點P，能夠使∠PCA=∠BAC？如果存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．25．（14分）（2015?閘北區(qū)二模）已知：如圖1，在△ABC中，已知AB=AC=6，BC=4，以點B為圓心所作的⊙B與線段AB、BC都有交點，設⊙B的半徑為x．（1）若⊙B與AB的交點為D，直線CD與⊙B相切，求x的值；（2）如圖2，以AC為直徑作⊙P，那么⊙B與⊙P存在哪些位置關系？并求出相應x的取值范圍；（3）若以AC為直徑的⊙P與⊙B的交點E在線段BC上（點E不與C點重合），求兩圓公共弦EF的長．

2015年上海市閘北區(qū)中考數(shù)學二模試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共6小題，每小題4分，滿分24分）1．（4分）（2015?閘北區(qū)二模）﹣8的立方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．【考點】立方根．【分析】利用立方根的定義即可求解．【解答】解：∵（﹣2）3=﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2．故選B【點評】本題主要考查了平方根和立方根的概念．如果一個數(shù)x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么這個數(shù)x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．讀作“三次根號a”其中，a叫做被開方數(shù)，3叫做根指數(shù)．2．（4分）（2016?鄒平縣一模）下列屬于最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【考點】最簡二次根式．【分析】判斷一個二次根式是否為最簡二次根式主要方法是根據(jù)最簡二次根式的定義進行，或直觀地觀察被開方數(shù)的每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2，且被開方數(shù)中不含有分母，被開方數(shù)是多項式時要先因式分解后再觀察．【解答】解：A、，無法化簡，故是最簡二次根式，故本選項正確；B、，被開方數(shù)中含有分母；故本選項錯誤；C、，被開方數(shù)中含有分母，故本選項錯誤；D、所以本二次根式的被開方數(shù)中含有沒開的盡方的數(shù)；故本選項錯誤；故選：A．【點評】本題考查了最簡二次根式的定義．在判斷最簡二次根式的過程中要注意：（1）在二次根式的被開方數(shù)中，只要含有分數(shù)或小數(shù)，就不是最簡二次根式；（2）在二次根式的被開方數(shù)中的每一個因式（或因數(shù)），如果冪的指數(shù)大于或等于2，也不是最簡二次根式．3．（4分）（2015?閘北區(qū)二模）下列方程中，有實數(shù)根的是（）A．=﹣2 B．x2+1=0 C．=1 D．x2+x+1=0【考點】根的判別式；無理方程；分式方程的解．【專題】計算題．【分析】根據(jù)二次很式的性質可對A進行判斷；根據(jù)判別式的意義對B、D進行判斷；通過解分式方程對C進行判斷．【解答】解：A、方程=﹣2沒有實數(shù)解，所以A選項錯誤；B、△=0﹣4＜0，方程沒有實數(shù)解，所以B選項錯誤；C、去分母得1=x+1，解得x=0，經(jīng)檢驗x=0是原方程的解，所以C選項正確；D、△=14＜0，方程沒有實數(shù)解，所以D選項錯誤．故選C．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣4ac有如下關系：當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當△＜0時，方程無實數(shù)根．也考查了分式方程和無理方程．4．（4分）（2015?閘北區(qū)二模）在△ABC中，DE∥BC，DE與邊AB相交于點D，與邊AC相交于點E．如果DE過重心G點，且DE=4，那么BC的長是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考點】三角形的重心．【專題】計算題．【分析】如圖，連結AG并延長交BC于F，根據(jù)三角形重心性質得=2，再證明△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質得=，然后利用比例的性質計算BC的長．【解答】解：如圖，連結AG并延長交BC于F，如圖，∵點G為△ABC的重心，∴=2，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，即=，∴BC=6．故選B．【點評】本題考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三邊中線的交點；重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1．也考查了相似三角形的判定與性質．5．（4分）（2015?閘北區(qū)二模）飯店為某公司提供“白領午餐”，有12元、15元、18元三種價格的套餐可供選擇，每人限購一份．本周銷售套餐共計500份，其中12元的占總份數(shù)的20%，15元的賣出180份，其余均為18元的，那么所購買的盒飯費用的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）A．15元和18元 B．15元和15元 C．18元和15元 D．18元和18元【考點】眾數(shù)；中位數(shù)．【分析】根據(jù)題意先計算出本周銷售套餐12元和18元的份數(shù)，再根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義即可得出答案．【解答】解：12元的份數(shù)有500×20%=100（份），18元的份數(shù)有500﹣100﹣180=220（份），∵本周銷售套餐共計500份，∴所購買的盒飯費用的中位數(shù)是第250和251個數(shù)的平均數(shù)，∴中位數(shù)是15元；18元出現(xiàn)的次數(shù)最多，則眾數(shù)是18元；故選A．【點評】此題考查了眾數(shù)與中位數(shù)，眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)；中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到小）重新排列后，最中間的那個數(shù)（最中間兩個數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果中位數(shù)的概念掌握得不好，不把數(shù)據(jù)按要求重新排列，就會出錯．6．（4分）（2015?閘北區(qū)二模）如圖，某水渠的橫斷面是等腰梯形，已知其斜坡AD和BC的坡度為1：0.6，現(xiàn)測得放水前的水面寬EF為1.2米，當水閘放水后，水渠內水面寬GH為2.1米．求放水后水面上升的高度是（）A．0.55 B．0.8 C．0.6 D．0.75【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題．【分析】先過點E作EM⊥GH于點M，根據(jù)水渠的橫斷面是等腰梯形，求出GM，再根據(jù)斜坡AD的坡度為1：0.6，得出EM：GM=1：0.6，最后代入計算即可．【解答】解：如圖；過點E作EM⊥GH于點M，∵水渠的橫斷面是等腰梯形，∴GM=×（GH﹣EF）=×（2.1﹣1.2）=0.45，∵斜坡AD的坡度為1：0.6，∴EM：GM=1：0.6，∴EM：0.45=1：0.6，∴EM=0.75，故選：D．【點評】此題考查了解直角三角形的應用，用到的知識點是坡度、等腰三角形的性質，關鍵是根據(jù)題意畫出圖形，作出輔助線，構造直角三角形．二、填空題（共12小題，每小題4分，滿分48分）7．（4分）（2015?閘北區(qū)二模）計算：2﹣2=．【考點】負整數(shù)指數(shù)冪．【專題】計算題．【分析】根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪的定義求解：a﹣p=（a≠0，p為正整數(shù)）【解答】解：2﹣2==，故答案為．【點評】本題考查了負整數(shù)指數(shù)冪的定義，解題時牢記定義是關鍵，此題比較簡單，易于掌握．8．（4分）（2015?閘北區(qū)二模）用科學記數(shù)法表示：3402000=3.402×106．【考點】科學記數(shù)法—表示較大的數(shù)．【分析】確定a×10n（1≤|a|＜10，n為整數(shù)）中n的值是易錯點，由于3402000有7位，所以可以確定n=7﹣1=6．【解答】解：3402000=3.402×106．故答案為：3.402×106．【點評】此題考查科學記數(shù)法，用科學記數(shù)法表示一個數(shù)的方法是（1）確定a：a是只有一位整數(shù)的數(shù)；（2）確定n：當原數(shù)的絕對值≥10時，n為正整數(shù)，n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1；當原數(shù)的絕對值＜1時，n為負整數(shù)，n的絕對值等于原數(shù)中左起第一個非零數(shù)前零的個數(shù)（含整數(shù)位數(shù)上的零）．9．（4分）（2016?亭湖區(qū)一模）化簡分式：=．【考點】約分．【專題】計算題．【分析】先把分母因式分解，然后進行約分即可．【解答】解：原式==．故答案為．【點評】本題考查了約分：約去分式的分子與分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分．10．（4分）（2015?閘北區(qū)二模）不等式組的解集是x≥3．【考點】解一元一次不等式組．【分析】根據(jù)不等式的性質求出不等式①和②的解集，根據(jù)找不等式組的解集的規(guī)律找出不等式組的解集即可．【解答】解：由①得：x＞﹣2，由②得：x≥3，∴不等式組的解集是x≥3．故答案為x≥3．【點評】本題主要考查對不等式的性質，解一元一次不等式，解一元一次不等式組等知識點的理解和掌握，能根據(jù)不等式的解集找出不等式組的解集是解此題的關鍵．11．（4分）（2015?閘北區(qū)二模）方程x+=0的解是0．【考點】無理方程．【分析】本題含根號，計算比較不便，因此可先對方程兩邊平方，得到x=x2，再對方程進行因式分解即可解出本題．【解答】解：原方程變形為：x=x2即x2﹣x=0∴（x﹣1）x=0∴x=0或x=1∵x=1時不滿足題意．∴x=0．故答案為：0．【點評】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的提點靈活選用合適的方法．本題運用的是因式分解法和平方法．12．（4分）（2015?閘北區(qū)二模）已知反比例函數(shù)y=（k≠0）圖象過點（﹣1，﹣3），在每個象限內，自變量x的值逐漸增大時，y的值隨著逐漸減?。ㄌ睢皽p小”或“增大”）【考點】反比例函數(shù)的性質．【分析】首先利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的比例系數(shù)，然后根據(jù)其符號確定其增減性即可．【解答】解：設反比例函數(shù)的解析式為y=（k≠0），∵反比例函數(shù)圖象過點（﹣1，﹣3），∴把（﹣1，﹣3）代入得3=k＞0，根據(jù)反比例函數(shù)圖象的性質可知它在每個象限內y隨x的增大而減小，故答案為：減?。弧军c評】考查了反比例函數(shù)的性質，解答此題的關鍵是要熟知反比例函數(shù)圖象的性質及用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式．反比例函數(shù)圖象的性質：（1）當k＞0時，反比例函數(shù)的圖象位于一、三象限；（2）當k＜0時，反比例函數(shù)的圖象位于二、四象限．13．（4分）（2015?閘北區(qū)二模）文件夾里放了大小相同的試卷共12張，其中語文4張、數(shù)學2張、英語6張，隨機從中抽出1張，抽出的試卷恰好是數(shù)學試卷的概率為．【考點】概率公式．【分析】由文件夾里放了大小相同的試卷共12張，其中語文4張、數(shù)學2張、英語6張，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵文件夾里放了大小相同的試卷共12張，其中語文4張、數(shù)學2張、英語6張，∴隨機從中抽出1張，抽出的試卷恰好是數(shù)學試卷的概率為：=．故答案為：．【點評】此題考查了概率公式的應用．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．14．（4分）（2015?閘北區(qū)二模）某品牌汽車經(jīng)過兩次連續(xù)的調價，先降價10%，后又提價10%，原價10萬元的汽車，現(xiàn)售價9.9萬元．【考點】有理數(shù)的混合運算．【專題】計算題．【分析】根據(jù)題意列出算式，計算即可得到結果．【解答】解：根據(jù)題意得：10×（1﹣10%）×（1+10%）=9.9（萬元），則現(xiàn)售價為9.9萬元．故答案為：9.9．【點評】此題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．15．（4分）（2015?閘北區(qū)二模）如圖，在正方形ABCD中，如果AC=3，=，=，那么|﹣|=3．【考點】*平面向量．【分析】首先由在正方形ABCD中，如果AC=3，可求得BC的長，又由=，=，可得|﹣|=||=BC．【解答】解：∵在正方形ABCD中，AC=3，∴AB=BC=3，∵=，=，∴﹣=﹣=，∴|﹣|=||=BC=3．故答案為：3．【點評】此題考查了平面向量的知識．注意掌握三角形法則的應用．16．（4分）（2015?閘北區(qū)二模）某公園正在舉行郁金香花展，現(xiàn)從紅、黃兩種郁金香中，各抽出6株，測得它們離地面的高度分別如下（單位cm）：紅：54、44、37、36、35、34；黃：48、35、38、36、43、40；已知它們的平均高度均是40cm，請判斷哪種顏色的郁金香樣本長得整齊？黃．（填“紅”或“黃”）【考點】方差．【分析】先根據(jù)方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]分別求出紅顏色和黃顏色的方差，然后進行比較，即可得出答案．【解答】解：紅顏色的郁金香的方差是：[（54﹣40）2+（44﹣40）2+（37﹣40）2+（36﹣40）2+（35﹣40）2+（34﹣40）2]≈49.67，黃顏色的郁金香的方差是：[（48﹣40）2+（35﹣40）2+（38﹣40）2+（36﹣40）2+（43﹣40）2+（40﹣40）2]≈29.67，∵S2紅＞S2黃，∴黃顏色的郁金香樣本長得整齊；故答案為：黃．【點評】本題考查方差的定義與意義：一般地設n個數(shù)據(jù)，x1，x2，…xn的平均數(shù)為，則方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立．17．（4分）（2015?閘北區(qū)二模）已知⊙O的直徑是10，△ABC是⊙O的內接等腰三角形，且底邊BC=6，求△ABC的面積是3或27．【考點】垂徑定理；等腰三角形的性質；勾股定理．【分析】從圓心在三角形內部和外部兩種情況討論，根據(jù)垂徑定理和三角形的性質求出答案．【解答】解：當圓心在三角形內部時，0B=5，BD=3，根據(jù)勾股定理，OD=4，則AD=9，S△ABC=×6×9=27，當圓心在三角形外部時，0B=5，BD=3，根據(jù)勾股定理，OD=4，則AD=1，S△ABC=×6×1=3，故答案為：3或27．【點評】本題考查的是垂徑定理、等腰三角形的性質和勾股定理，正確運用定理和性質是解題的關鍵，注意分情況討論思想的運用．18．（4分）（2015?閘北區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC沿BD折疊，點C恰巧落在邊AB上的C′處，折痕為BD，再將其沿DE折疊，使點A落在DC′的延長線上的A′處．若△BED與△ABC相似，則相似比=．【考點】相似三角形的性質；翻折變換（折疊問題）．【分析】根據(jù)△BED與△ABC相似和△ABC沿BD折疊，點C恰巧落在邊AB上的C′處，求出∠A=∠DBA=∠DBC=30°，利用三角函數(shù)求出BD、AC的長，得到答案．【解答】解：△BED與△ABC相似，∴∠DBA=∠A，又∠DBA=∠DBC，∴∠A=∠DBA=∠DBC=30°，設BC為x，則AC=x，BD=x，=．故答案為：．【點評】本題考查的是相似三角形的性質和翻折變換的知識，掌握相似三角形的對應角相等和銳角三角函數(shù)的應用是解題的關鍵．三、解答題（共7小題，滿分78分）19．（10分）（2015?閘北區(qū)二模）計算：﹣|cos45°﹣1|+（﹣2015）0+3．【考點】二次根式的混合運算；分數(shù)指數(shù)冪；零指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值．【專題】計算題．【分析】根據(jù)零指數(shù)冪、分數(shù)指數(shù)冪和特殊角的三角函數(shù)值得到原式=﹣|﹣1|+1+，然后分母有理化和去絕對值后合并即可．【解答】解：原式=﹣|﹣1|+1+=2﹣+﹣1+1+=2+．【點評】本題考查了二次根式的計算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行二次根式的乘除運算，然后合并同類二次根式．也考查了零指數(shù)冪和分數(shù)指數(shù)冪．20．（10分）（2015?閘北區(qū)二模）解方程組：．【考點】高次方程．【分析】把①化為x=±2y，把②化為x+y=±2，重新組成方程組，解二元一次方程組即可．【解答】解：，由①得，x=±2y，由②得，x+y=±2，則，，，解得，，，，．【點評】本題考查的是二元二次方程組的解法，把二元二次方程根據(jù)平方差公式和完全平方公式進行變形化為兩個二元一次方程是解題的關鍵．21．（10分）（2015?閘北區(qū)二模）已知：如圖，點E是矩形ABCD的邊AD上一點，BE=AD，AE=8，現(xiàn)有甲乙兩人同時從E點出發(fā)，分別沿EC，ED方向前進，甲的速度是乙的倍，甲到達目的地C點的同時乙恰好到達終點D處．（1）求tan∠ECD的值；（2）求線段AB及BC的長度．【考點】勾股定理．【分析】（1）設ED=a，則EC=a，在Rt△EDC中根據(jù)勾股定理用a表示出DC的長，在Rt△ABE中，根據(jù)BE2=AB2+AE2求出a的值，故可得出ED及CD的長，由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結論；（2）由（1）中，DE=a，CD=3a，a=2可得出DE=2，CD=6，再根據(jù)四邊形ABCD是矩形，BE=AD即可得出結論．【解答】解：（1）設ED=a，則EC=a，在Rt△EDC中，∵DC===3a，∴BE=AE+ED=8+a．在Rt△ABE中，∵BE2=AB2+AE2，即（8+a）2=（3a）2+82，解得a=2，∴ED=2，CD=6，∴tan∠ECD===．（2）∵由（1）知，DE=a，CD=3a，a=2，∴DE=2，CD=6．∵四邊形ABCD是矩形，BE=AD，AE=8，∴AB=CD=6，BC=AD=AE+DE=8+2=10．【點評】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵．22．（10分）（2015?閘北區(qū)二模）某公司的物流業(yè)務原來由A運輸隊承接，已知其收費標準y（元）與運輸所跑路程x（公里）之間是某種函數(shù)關系．其中部分數(shù)據(jù)如表所示：x（公里）80120180200…y（元）200300450500…（1）寫出y（元）關于x（公里）的函數(shù)解析式y(tǒng)A=2.5x；（不需寫出定義域）（2）由于行業(yè)競爭激烈，現(xiàn)B運輸隊表示：若公司每次支付200元的汽車租賃費，則可按每公里0.9元收費．請寫出B運輸隊每次收費y（元）關于所跑路程x（公里）的函數(shù)解析式y(tǒng)B=200+0.9x；（不需寫出定義域）（3）如果該公司有一筆路程500公里的運輸業(yè)務，請通過計算說明應該選擇哪家運輸隊？【考點】一次函數(shù)的應用．【分析】（1）根據(jù)表可知：當運輸路程跑80公里時，收費200元，所以每公里收費為2.5元，所以yA=2.5x．（2）根據(jù)題意得：yB=200+0.9x．（3）當x=500時，yA=2.5×500=1250，yB=2000+0.9×500=2450，因為yA＞yB，所以選擇B運輸隊．【解答】解：（1）根據(jù)表可知：當運輸路程跑80公里時，收費200元，∴每公里收費為2.5元，∴yA=2.5x．故答案為：yA=2.5x．（2）根據(jù)題意得：yB=200+0.9x．故答案為：yB=200+0.9x．（3）當x=500時，yA=2.5×500=1250，yB=200+0.9×500=650，∴yA＞yB，∴選擇B運輸隊．【點評】本題考查了一次函數(shù)的應用，解決本題的關鍵是讀懂題意，列出函數(shù)解析式．23．（12分）（2015?閘北區(qū)二模）已知：如圖（1），在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，且AE=AF，∠AEC=∠AFC．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）如圖（2），若AD=AF，延長AE、DC交于點G，求證：AF2=AG?DF；（3）在第（2）小題的條件下，連接BD，交AG于點H，若HE=4，EG=12，求AH的長．【考點】相似形綜合題．【分析】（1）通過AAS證得△AEB≌△AFD，則其對應邊相等：AB=AD，所以“鄰邊相等的平行四邊形是菱形”；（2）欲證明AF2=AG?DF，需要通過相似三角形△GAD∽△AFD的對應邊成比例得到AD=AF，則AF2=AG?DF；（3）根據(jù)菱形的性質和平行線分線段成比例得到：AH：HG=BH：HD，BH：HD=EH：AH，故AH：HG=EH：AH．把相關線段的長度代入來求AH的長度即可．【解答】（1）證明：如圖1，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B=∠D．∵∠AEC=∠AFC，∠AEC+∠AEB=∠AFC+∠AFD=180°，∴∠AEB=∠AFD．在△AEB和△AFD中，，∴△AEB≌△AFD（AAS）∴AB=AD，∴平行四邊形ABCD是菱形；（2）由（1）知，△AEB≌△AFD，則∠BAE=∠DAF．如圖2，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DG，∴∠BAE=∠G，∴∠G=∠DAF．又∵∠ADF=∠GDA，∴△GAD∽△AFD，∴DA：DF=DG：DA，∴DA2=DG?DF．∵DG：DA=AG：FA，且AD=AF，∴DG=AG．又∵AD=AF，∴AF2=AG?DF；（3）如圖2，在菱形ABCD中，∵AB∥DC，AD∥BC，∴AH：HG=BH：HD，BH：HD=EH：AH，∴AH：HG=EH：AH．∵HE=4，EG=12，∴AH：16=4：AH，∴AH=8．【點評】本題考查了相似綜合題．此題綜合性比較強，其中涉及到了菱形的性質，平行線分線段成比例，相似三角形的判定與性質，解題時，需要弄清楚相似三角形的對應邊與對應角，以防弄錯．24．（12分）（2015?閘北區(qū)二模）已知如圖，二次函數(shù)圖象經(jīng)過點A（﹣6，0），B（0，6），對稱軸為直線x=﹣2，頂點為點C，點B關于直線x=﹣2的對稱點為點D．（1）求二次函數(shù)的解析式以及點C和點D的坐標；（2）聯(lián)結AB、BC、CD、DA，點E在線段AB上，聯(lián)結DE，若DE平分四邊形ABCD的面積，求線段AE的長；（3）在二次函數(shù)的圖象上是否存在點P，能夠使∠PCA=∠BAC？如果存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】綜合題；二次函數(shù)圖象及其性質；二次函數(shù)的應用．【分析】（1）由二次函數(shù)對稱軸為直線x=2，根據(jù)A坐標確定出二次函數(shù)與x軸的另一個交點坐標，設出二次函數(shù)解析式為y=a（x+6）（x﹣2），把C坐標代入求出a的值，確定出二次函數(shù)解析式，進而確定出C與D坐標即可；（2）連接AB、BC、CD、DA，點E在線段AB上，連接DE，如圖1所示，利用勾股定理求出AB，BC，CD與BD的長，根據(jù)直線CD與直線AB斜率相等，得到DC與AB平行，繼而得到四邊形ABCD為直角梯形，若DE平分四邊形ABCD的面積，可得直角梯形面積等于三角形ADE面積的2倍，求出AE的長即可；（3）在二次函數(shù)的圖象上存在點P，能夠使∠PCA=∠BAC，如圖2所示，直線CP與AB交于點G，可得GA=GC，根據(jù)直線AB解析式設出G坐標（x，x+6），利用兩點間的距離公式求出x的值，確定出G坐標，利用待定系數(shù)法求出直線CG解析式，與二次函數(shù)解析式聯(lián)立求出P坐標；由（2）得到四邊形ABCD為直角梯形，即DC與AB平行，利用兩直線平行內錯角相等，得到P與D重合時，滿足題意，確定出此時P的坐標即可．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)經(jīng)過A（﹣6，0），B（0，6），對稱軸為直線x=2，∴二次函數(shù)圖象經(jīng)過（2，0），設二次函數(shù)解析式為y=a（x+6）（x﹣2），把B（0，6）代入得：6=﹣12a，即a=﹣，∴二次函數(shù)解析式為y=﹣（x+6）（x﹣2）=﹣x2﹣2x+6=﹣（x+2）2+8，則C（﹣2，8），D（﹣4，6）；（2）如圖1所示，由題意得：AB=6，BC=CD=2，BD=4，∵BD2=CD2+BC2，∴∠DCB=90°，∵直線AB的解析式為y=x+6，直線DC解析式為y=x+10，∴DC∥AB，∴四邊形ABCD為直角梯形，若S梯形ABCD=2S△ADE，即×2×（2+6）=2××2×AE，解得：AE=4；（3）如圖2，在二次函數(shù)的圖象上存在點P，使∠PCA=∠BAC，直線CP與AB交于點G，可得GA=GC，∵A（﹣6，0），C（﹣2，8），直線AB解析式為y=x+6，設G（x，x+6），∴=，兩邊平方得：2x2+24x+72=2x2+8，移項合并得：24x=﹣64，解得：x=﹣，經(jīng)檢驗是原方程的根