2018屆高考數(shù)學(xué)理熱點(diǎn)題型解析幾何含答案解析

解析幾何熱點(diǎn)一圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是高考的必考題型，圓錐曲線的幾何性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)，求離心率、準(zhǔn)線、雙曲線的漸近線是?？碱}型.22TOC\o"1-5"\h\z【例1】⑴已知雙曲線拿一bz=i(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2,0),且雙曲線的漸近線與圓(x-2)2+—3相切，則雙曲線的方程為( )22Ax-V—1A.9 132C.)3-y2-122BZ-1B.13 9—12D.x2-；-122⑵若點(diǎn)M(2,1),點(diǎn)C是橢圓話+冷=1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A是橢圓的動(dòng)點(diǎn)，貝U|AM|TOC\o"1-5"\h\z+|AC|的最小值為 .22XV 2(3)已知橢圓a2+詁=1(a>b>0)與拋物線y=2px(p>0)有相同的焦點(diǎn)F,P,Q是橢圓與拋物線的交點(diǎn)，若直線22PQ經(jīng)過焦點(diǎn)F，則橢圓拿+希-1(a>b>0)的離心TOC\o"1-5"\h\z率為 .答案(1)D (2)8-26(3).2-122解析(1)雙曲線字一淳=1的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2,0),則a2+b2=4,①雙曲線的漸近線方程為y=±-x,由題意得f2于—V3，②yja+b聯(lián)立①②解得b—,3,a—1,2所求雙曲線的方程為x2-y^—1,選D.⑵設(shè)點(diǎn)B為橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)M(2,1)在橢圓內(nèi)，那么|BM|+|AM|+|AC|>|AB|+|AC|—2a,所以AM|+|AC|>2a-|BM|,而a—4,|BM|—.(2+3)2+1—26,所以(|AM|+|AC|)最小二8- 26.(3)因?yàn)閽佄锞€y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F為p,0，設(shè)橢圓另一焦點(diǎn)為E.如圖所示，將x=號代入拋物線方程得丫=力，又因?yàn)镻Q經(jīng)過焦點(diǎn)F,所以P2,p且PF丄OF.所以PE匸寸d+^+p2=^2p,|PF|=p,|EF匸p.2c故2a=2p+p,2c=p,e=石=2-1.【類題通法】(1)在橢圓和雙曲線中，橢圓和雙曲線的定義把曲線上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離聯(lián)系在一起，可以把曲線上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離，也可以結(jié)合三角形的知識，求出曲線上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離.在拋物線中，禾U用定義把曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為其到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，再利用數(shù)形結(jié)合的思想去解決有關(guān)的最值問題.⑵求解與圓錐曲線的幾何性質(zhì)有關(guān)的問題關(guān)鍵是建立圓錐曲線方程中各個(gè)系數(shù)之間的關(guān)系，或者求出圓錐曲線方程中的各個(gè)系數(shù)，再根據(jù)圓錐曲線的幾何性質(zhì)通過代數(shù)方法進(jìn)行計(jì)算得出結(jié)果?22【對點(diǎn)訓(xùn)練】已知橢圓4+專=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F1且傾斜角為

45°的直線I交橢圓于A,B兩點(diǎn)，以下結(jié)論：①厶ABF2的周長為8;②原點(diǎn)到I8的距離為1;③AB|=3?其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( )A.3B.2C.1D.0A.3B.2C.1D.0答案A解析①由橢圓的定義，得|AFi|+|AF2|=4,|BFi|+|BF2=4,又|AFi|+|BFi|=AB|,所以△ABF2的周長為AB|+AF2|+|BF2|=8,故①正確；②由條件，得Fi(2,0),因?yàn)檫^Fi且傾斜角為45°的直線I的斜率為1,所以直線I的方程為y=x+2,I y=x+V2,則原點(diǎn)到I的距離d=/1,故②正確；③設(shè)A(xi,yi),B(x2,y2),由」x2y2電 N+礦1,得3x2+42x=0,解得xi=0,X2=—^^2,所以AB|=1+1?|xi-x2|=§,故③正確.故選A.熱點(diǎn)二圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題定點(diǎn)、定值問題一般涉及曲線過定點(diǎn)、與曲線上的動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的定值問題以及與圓錐曲線有關(guān)的弦長、面積、橫(縱)坐標(biāo)等的定值問題.22【例2】已知橢圓C:予+生=1(a>b>0)的離心率為~2",點(diǎn)(2,2)在C上.求C的方程；直線I不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，I與C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為M，證明：直線OM的斜率與直線I的斜率的乘積為定值.TOC\o"1-5"\h\za2-b2 242(1)解由題意有一—=于,孑+孑=1,解得a2=8,b2=4.2 2所以C的方程為令+亍=1.(2)證明 設(shè)直線I:y=kx+b(kM0,b^0),A(xi,yi),B(x2,y2),M(xm,yM).2 2將y=kx+b代入筒+4=1得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.,, xi+X2—2kb b故xm=2~=2k2+1，yM=kxm+b=2k?+1?于是直線om的斜率koM=yM=-2k，

即koM2k=—2.所以直線OM的斜率與直線I的斜率的乘積為定值.【類題通法】解答圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題的一般步驟第一步：研究特殊情形，從問題的特殊情形出發(fā)，得到目標(biāo)關(guān)系所要探求的定點(diǎn)、定值.第二步：探究一般情況.探究一般情形下的目標(biāo)結(jié)論.第三步：下結(jié)論，綜合上面兩種情況定結(jié)論.【對點(diǎn)訓(xùn)練】已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F(1,0),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A,B是拋物線C上異于O的兩點(diǎn).求拋物線C的方程；1若直線OA,OB的斜率之積為—2，求證：直線AB過x軸上一定點(diǎn).解因?yàn)閽佄锞€y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，所以1,所以p=2.所以拋物線C的方程為y2=4x.證明①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)A4，t,B4，—t.因?yàn)橹本€OA,1OB的斜率之積為一2，所以器—二一2,化簡得t2=32.4 4所以A(8,t),B(8,—t)，此時(shí)直線AB的方程為x=8.②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=kx+b,A(xa,yA),B(xb,yB)，聯(lián)立y2=4x, 2得' 化簡得ky2—4y+4b=0.y=kx+b,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得yAyB二4b,因?yàn)橹本€OA,OB的斜率之積為-彳，所以yA2yBk 2 xaxb122=一2，即xaxb+2yAyB=0.即芋2y+2yAyB=0,解得yAyB=0(舍去)或yAyB=—32.所以yA所以yAyB=4b

k—32,即b——8k,所以y=kx—8k,即y=k(x—8).綜上所述，直線AB過定點(diǎn)(8,0).熱點(diǎn)三 圓錐曲線中的最值、范圍問題圓錐曲線中的最值問題大致可分為兩類：一是涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題；二是求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)求解與之有關(guān)的一些問題22【例3】平面直角坐標(biāo)系【例3】平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：,拋物g+b2^1(a>b>0)的離心率是線E:x2=2y的焦點(diǎn)F是C的一個(gè)頂點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；⑵設(shè)P是E上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，E在點(diǎn)P處的切線I與C交于不同的兩點(diǎn)A，B,線段AB的中點(diǎn)為D.直線0D與過P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)M.求證：點(diǎn)M在定直線上；直線I與y軸交于點(diǎn)6,記厶PFG的面積為$,△PDM的面積為9,求§的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).寸a2—b2J3(1)解由題意知—a—= ，可得a2=4b2,因?yàn)閽佄锞€E的焦點(diǎn)F0,2，所以b=2,a=1,所以橢圓C的方程為x2+4y2=1.⑵①證明設(shè)Pm,羅(m>0),由x2=2y,可得y'=x,所以直線1的斜率為m,2因此直線I的方程為y—m2=m(x—m).2m即y=mx—.設(shè)A(xi,yi),B(x2,y2),D(xo,yo).

x2+4y2=1,聯(lián)立方程 m2|y=mx—2,得(4mx2+4y2=1,聯(lián)立方程 m2|y=mx—2,得(4m2+1)x2—4m3x+m4—1=0.由Z>0,得0<m<2+5(或0<m2<2+5).(*)4 3 2 3 2且劉+X2=42+1,因此x°=42+1，將其代入y=mx—號,得y°=2(42+八,4m+1 4m+1 2 2(4m+1)—m2因?yàn)閥0=-4m-1所以直線OD方程為y=—4mx,聯(lián)立方程m,1y^~ax,4m得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)yM二14,1所以點(diǎn)M在定直線y=—玄上.②由①知直線I的方程為尸mx—2/令x=0,得y=—學(xué)，所以G0,2m_2,—m22,所以S=22|GF|2m=3I2冷m2+1,(m2+1)m2m2—m22(4m+1)12|PM|2|m—X0|二232 32m+132m+m4 4m2+122曾十-所以I二222(4m+1)(m+1)(2m2+1)2設(shè)t設(shè)t=2m2+1,則挙S2 t(t+1) 2t2+1—12——S1 9即t=2時(shí)，s取到最大值9,此時(shí)m=子，滿足(*)式，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為ij,4-

因此S2的最大值為9此時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo)為皆，4.【類題通法】圓錐曲線中的最值、范圍問題解決方法一般分兩種：一是代數(shù)法，從代數(shù)的角度考慮，通過建立函數(shù)、不等式等模型，利用二次函數(shù)法和基本不等式法、換元法、導(dǎo)數(shù)法、或利用判別式構(gòu)造不等關(guān)系、利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式等方法求最值、范圍；二是幾何法，從圓錐曲線的幾何性質(zhì)的角度考慮，根據(jù)圓錐曲線幾何意義求最值.【對點(diǎn)訓(xùn)練】如圖，設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,拋物線上的點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離等于AF|—1.求p的值；若直線AF交拋物線于另一點(diǎn)B,過B與x軸平行的直線和過F與AB垂直的直線交于點(diǎn)N,AN與x軸交于點(diǎn)M，求M的橫坐標(biāo)的取值范圍.N解(1)由題意可得，拋物線上點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)A到直線x=—1的距離，由拋物線的定義得2=1,即p=2.y=4x, 2消去x得yx=sy+1⑵由(1)得，拋物線方程為y2=4x，F(xiàn)(1,0)，可設(shè)A(ty=4x, 2消去x得yx=sy+1因?yàn)锳F不垂直于y軸，可設(shè)直線AF:x=sy+1(sM0),由—4sy—4=0.故y1y2=—4,所以B0,-f)2t又直線AB的斜率為廠,故直線FN的斜率為—中,

所以N^3，—I.2設(shè)M(m,0),由設(shè)M(m,0),由A,M,N三點(diǎn)共線得孑—m二丁E，t—t2—1于是m=p—1，所以mv0或m>2.經(jīng)檢驗(yàn)，mv0或m>2滿足題意.綜上，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍是(一X,0)U(2，+^).熱點(diǎn)四圓錐曲線中的探索性問題圓錐曲線的探索性問題主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)探索點(diǎn)是否存在；(2)探索曲線是否存在；(3)探索命題是否成立.涉及這類命題的求解主要是研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題.【例4】已知橢圓C:9x2+y2=m2(m>0),直線I不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為M.(1)證明：直線OM的斜率與I的斜率的乘積為定值；⑵若I過點(diǎn)m，m，延長線段OM與C交于點(diǎn)P,四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)l的斜率；若不能，說明理由.(1)證明設(shè)直線I:y=kx+b(kM0, 0),A(x1,y“，B(X2,y2),M(xm,yM).22 2 2 2 2 2 X1~+X2將y=kx+b代入9x+y=m得(k+9)x+2kbx+b—m=0,故xm= =—kb—kb2k2+9,yM=kxM+b=乂.k十9于是直線OM的斜率kOM二xM—9,即kOM2k=—9.所以直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值⑵解四邊形OAPB能為平行四邊形.

因?yàn)橹本€I過點(diǎn)羅，m，所以I不過原點(diǎn)且與C有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是k>0,kM3.9由(1)得OM的方程為y=—p.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為Xp,得2-一9k得2-一9kx2.2kmxp=9k2+81，即xp±m(xù)3,k2+9心jm 一八、、"、“/口m(3—k) —“ k(k—3)m將點(diǎn),m的坐標(biāo)代入I的方程得b= 3 ，因此xm=3(k2+9)—.四邊形OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段0P互相平分，即xp=2xm.于是士kmgk(k—3)m于是3.k2+9二233(k2+9)，解得ki=4—\；7,k2=4+7.因?yàn)閗i>0,kiM3,i=1,2,所以當(dāng)I的斜率為4一7或4+,7時(shí)，四邊形OAPB為平行四邊形?【類題通法】⑴探索性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.其步驟為假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在.(2)反證法與驗(yàn)證法也是