概率論第一章課件

12-9月-23§1.4條件概率對隨機(jī)現(xiàn)象的研究中，常遇到另一類概率計(jì)算問題.例兩個(gè)足球隊(duì)比賽的勝負(fù)預(yù)測.

B={中國隊(duì)上半場負(fù)}，A={中國隊(duì)最終獲勝}(1)考慮事件A

發(fā)生的可能性大?。恳?、條件概率(2)事件B已發(fā)生,問事件A發(fā)生的可能性大小？03-8月-23§1.4條件概率對隨機(jī)現(xiàn)象的研究中12-9月-23例如：產(chǎn)品抽檢試驗(yàn)將已知事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生可能性的客觀度量稱為條件概率，記為P(A|B).

定義

設(shè)A，B是隨機(jī)試驗(yàn)E的兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(B)>0，稱為在事件B發(fā)生的條件下,事件A發(fā)生的條件概率.03-8月-23例如：產(chǎn)品抽檢試驗(yàn)將已知事件B發(fā)生的12-9月-23由P17的性質(zhì)1.3.1可知條件概率滿足概率定義的三個(gè)公理，故而概率的性質(zhì)同樣適用于條件概率.問題

(1)判斷所求概率是否是條件概率？(2)判斷題目中概率數(shù)據(jù)是否是條件概率？解決問題的關(guān)鍵詞：情況、已知、現(xiàn)實(shí)例如：擲硬幣試驗(yàn)射擊試驗(yàn)03-8月-23由P17的性質(zhì)1.3.1可知條件概率滿12-9月-23

定理

設(shè)P(B)>0，則有P(AB)=P(B)P(A|B)

更一般地有，若P(A1

A2…An-1

)>0，則

若P(A)>0，有P(AB)=P(A)P(B|A).條件概率定義的改寫二、乘法公式P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1)P(A1A2…An-1An)=03-8月-23定理設(shè)P(B)>0，12-9月-23注乘法公式是概率計(jì)算中的重要公式.例如：事件的概率計(jì)算可能很復(fù)雜，有時(shí)可以采用借助于一組事件組的方法.例如：激烈空戰(zhàn)摸球試驗(yàn)抽簽的公平性三、全概率公式務(wù)必分清題目中所給數(shù)據(jù)是否為條件概率.03-8月-23注乘法公式是概率計(jì)算中的重要公式.例如：12-9月-23

注概率分解是一種重要的隨機(jī)分析思想，應(yīng)充分理解.

定義設(shè)Ω為隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間,B1,B2,…，Bn為E的一組事件，若

(1)Bi∩Bj=φ，i≠j；

稱B1，B2，…，Bn為W的一個(gè)有限劃分(或稱完備事件組).

(2)B1∪B2∪

…∪Bn=W03-8月-23注概率分解是一種重要的隨機(jī)分析12-9月-23樣本空間Ω的劃分03-8月-23樣本空間Ω的劃分12-9月-23

定理（全概率公式）設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為Ω,A

W,B1，B2，…，Bn為W的一個(gè)有限劃分,且P(Bi)>0,i=1,2,…,n,則有∪證明B1，B2，…，Bn為W的一個(gè)有限劃分因W=B1∪B2∪…∪

Bn故A=A∩W=A(B1∪B2∪…∪

Bn)吸收律03-8月-23定理（全概率公式）設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的12-9月-23分配律又因?yàn)?ABi)∩

(ABj)=A∩(BiBj)=Af=f,i≠j由概率的有限可加性因?yàn)镻(Bi)>0,i=1,2,…,n，利用乘法公式得03-8月-23分配律又因?yàn)?ABi)∩(A12-9月-23概率分解03-8月-23概率分解12-9月-23注:該公式常用在預(yù)測推斷中,稱為事前概率.例如：抽檢試驗(yàn)抽簽公平性

練習(xí)袋中有50個(gè)球，20個(gè)黃色的，30個(gè)白色的兩人依次隨機(jī)地從袋中各取一球，取后不放回，則第二人取到黃球的概率是槍支校驗(yàn)03-8月-23注:該公式常用在預(yù)測推斷中,稱為事前概12-9月-23

2）在抽檢試驗(yàn)中,如果已抽到一件次品，需追究有關(guān)車間的責(zé)任,你如何考慮？思考

1）槍支校驗(yàn)問題中，射手已經(jīng)中靶，他是用已校正的槍的可能性有多大？

對問題2）應(yīng)計(jì)算以下概率：

P(Ai︱B)=?i=1,2,3,4.并比較其大小.03-8月-232）在抽檢試驗(yàn)中,如果已抽到一件12-9月-23這類概率稱為事后概率.追究責(zé)任問題一類應(yīng)用問題：把事件A看成“結(jié)果”，把事件B1，B2，…，Bn看成導(dǎo)致該結(jié)果的可能“原因”，在已知A發(fā)生的條件下，去找出最有可能導(dǎo)致它發(fā)生的“原因”.辦公系統(tǒng)信息傳輸問題例如這類問題稱為貝葉斯問題.03-8月-23這類概率稱為事后概率.追究責(zé)任問題一類12-9月-23

定理（貝葉斯公式）

設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為W，A

W,B1，B2，…，Bn為W的一個(gè)有限劃分,且P(Bi)>0,i=1,2,…,n,則有∪四、貝葉斯公式證明

03-8月-23定理（貝葉斯公式）設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)12-9月-23貝葉斯公式用來計(jì)算事后概率.例如：病情診斷試驗(yàn)見P23，例1.3.12和例1.3.13槍支校驗(yàn)乘法公式全概率公式03-8月-23貝葉斯公式用來計(jì)算事后概率.例如：病情診斷12-9月-23

例1100件產(chǎn)品中有5件不合格，其中3件是次品，2件是廢品，現(xiàn)從中任取一件，試求1）抽得廢品的概率p1;2）已知抽得不合格品，它是廢品的概率p2.?03-8月-23例1100件產(chǎn)品中有5件不合格，其12-9月-23解令A(yù)={抽得廢品}，B={抽得不合格品}.有?B成為現(xiàn)實(shí)03-8月-23解令A(yù)={抽得廢品}，B={抽得不合格品12-9月-23有#注意到03-8月-23有#注意到12-9月-23

例2擲一枚硬幣直到出現(xiàn)三次正面才停止，問正好在第六次停止的情況下，第五次也是正面的概率？(求什么概率?)解令A(yù)k=｛第k次出現(xiàn)正面｝，k=1,2,…則P(B)=/26

C52123456正B=｛第六次停止投擲｝03-8月-23例2擲一枚硬幣直到出現(xiàn)三次正12-9月-23P=P(A5︱B)=P(A5B)/P(B)#03-8月-23P=P(A5︱B)=P(A5B)/P(B)#12-9月-23

例3甲乙兩人獨(dú)立地對同一目標(biāo)射擊一次，其命中率分別為0.6和0.5，現(xiàn)已知目標(biāo)被擊中，求它被甲射中的概率.

解設(shè)A={目標(biāo)被甲擊中}，B={目標(biāo)被乙擊中}，

C={目標(biāo)被擊中}.所求概率為03-8月-23例3甲乙兩人獨(dú)立地對同一目標(biāo)射擊12-9月-23#03-8月-23#12-9月-23

例4（抽簽的公平性）袋中有10個(gè)球,9個(gè)白色的,1個(gè)紅色的,10個(gè)人依次不放回的各取一球，問第一個(gè)人，第二個(gè)人，最后一人取到紅球的概率各為多少？

解設(shè)Ai=｛第i

人取到紅球｝，

i=1，2，…，10.03-8月-23例4（抽簽的公平性）解設(shè)12-9月-23第一次第二次03-8月-23第一次第二次12-9月-23有

P(A1)=P(A2)=…=P(A10).#03-8月-23有P(A1)=P(A2)=…12-9月-23

例5

兩架飛機(jī)進(jìn)行空戰(zhàn),甲機(jī)首先開火,擊落乙機(jī)的概率為0.2；若乙機(jī)未被擊落，進(jìn)行還擊，擊落甲機(jī)的概率為0.3；若甲機(jī)又未被擊落，它再次向乙機(jī)開火，并擊落它的概率為0.4.試求這幾個(gè)回合中條件概率條件概率1）甲機(jī)被擊落的概率p1；2）乙機(jī)被擊落的概率p2.03-8月-23例5兩架飛機(jī)進(jìn)行空戰(zhàn),甲機(jī)首12-9月-23解設(shè)A={甲機(jī)首次攻擊時(shí)擊落乙機(jī)}甲機(jī)乙機(jī)1(0.2)2(0.4)分析B={乙機(jī)擊落甲機(jī)}C={甲機(jī)第二次攻擊時(shí)擊落乙機(jī)}有

P(A)=0.2,4.0)|(,3.0)|(==BACPABP1）甲機(jī)被擊落的概率03-8月-23解設(shè)A={甲機(jī)首次攻擊時(shí)擊落乙機(jī)}甲12-9月-2324.03.08.0)|()()(1=×===ABPAPBAPp2）乙機(jī)被擊落的概率424.0=4.0)3.01)(2.01(2.0×--+=)|()]|(1)][(1[)(--+=BACPABPAPAP)|()|()()(+=BACPABPAPAP2)()()(+==CBAPAPCBAAPpU#03-8月-2324.03.08.0)|()()(1=×==12-9月-23

例6

甲盒中有5個(gè)紅球，6個(gè)白球；乙盒中有3個(gè)紅球，4個(gè)白球.現(xiàn)拋一枚均勻硬幣，若出現(xiàn)正面，則從甲盒中任取一球，反之從乙盒中任取一球.試求取出白球的概率p.1231098765411123765403-8月-23例6甲盒中有5個(gè)紅球，6個(gè)白球12-9月-23

解設(shè)A={取出白球}，B={甲盒中任取一球}.

A={從甲盒中取出一白球}∪{從乙盒中取出一白球}.

于是有限可加從而03-8月-23解設(shè)A={取出白球}，12-9月-23BBA乘法公式#概率分解:借助事件組分解樣本空間Ω,進(jìn)一步計(jì)算概率.03-8月-23BBA乘法公式#概率分解:12-9月-23

例7

某工廠有4個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,其產(chǎn)品分別占總產(chǎn)量的15%、20%、30%和35%，各車間的次品率依次為0.05、0.04、0.03及0.02.現(xiàn)從出廠產(chǎn)品中任取一件，問恰好取到次品的概率是多少？解設(shè)B=｛恰好取到次品｝,Ai={恰好取到第i個(gè)車間的產(chǎn)品}，i=1,2,3,403-8月-23例7某工廠有4個(gè)車間生產(chǎn)同一12-9月-23P(A1)=0.15,P(A2)=0.2,P(A3)=0.3,P(A1)=0.35,題目中的條件概率如下構(gòu)成一個(gè)樣本空間的劃分,且

P(B︱A1)=0.05,P(B︱A2)=0.04,P(B︱A3)=0.03,P(B︱A4)=0.02,由全概率公式可得0315.0)|()()(41==∑=iiiABPAPBP#03-8月-23P(A1)=0.15,P(A2)=0.2,P12-9月-23

例8

設(shè)袋中有n個(gè)紅球,m個(gè)白球.三人依次不放回地各取出一個(gè)球.求他們?nèi)〉眉t球的概率各為多少？解：設(shè)Ai={第i個(gè)人取到紅球}，i=1,2,3,)(1nmnAP+=nmn+=nmnnmmnmnnmn-+×++-+-×+=111AAPAPAAPAPAP+=)|()()|()()(121121203-8月-23例8設(shè)袋中有n個(gè)紅球,m個(gè)白球.12-9月-23劃分，由全概率公式可得構(gòu)成一個(gè)有限事件組AAAPAAPAAAPAAPAP+=)|()()|()()(21321213213AAAPAAPAAAPAAP++)|()()|()(

2132121321AAAPAAPAPAAAPAAPAP+=)|()|()()|()|()(

213121213121AAAPAAPAPAAAPAAPAP++)|()|()()|()|()(

21312121312103-8月-23劃分，由全概率公式可得構(gòu)成一個(gè)有限事件組AA12-9月-23---nmnnmnmmnnmnnmnnmn-+-+++-+-++=21)1)((22211×

××nmnnmnnmmnmm+=-+-+-++211

××#03-8月-23---nmnnmnmmnnmnnmnnmn-12-9月-23例9

設(shè)8支槍中有3支未經(jīng)校正，5支經(jīng)過校正.某射手用校正過的槍射擊時(shí)，中靶概率為0.8；用未經(jīng)校正的槍射擊時(shí)，中靶概率為0.3.現(xiàn)求他隨意取一支進(jìn)行射擊能中靶的概率.解設(shè)

A={他射擊中靶}

B={所取槍支是校正過的}事件B和B的對立事件構(gòu)成樣本空間的劃分，由全概率公式03-8月-23例9設(shè)8支槍中有3支未經(jīng)校正12-9月-23#續(xù)例9射手隨意取一支進(jìn)行射擊，已經(jīng)中靶，求所用槍支是校驗(yàn)過的概率.解所求概率為03-8月-23#續(xù)例9射手隨意取一支進(jìn)行射擊，12-9月-23

例10

某工廠有4個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,其產(chǎn)品分別占總產(chǎn)量的15%、20%、30%和35%，各車間的次品率依次為0.05、0.04、0.03及0.02?，F(xiàn)從出廠產(chǎn)品中任取一件，發(fā)覺該產(chǎn)品是次品而且其標(biāo)志已脫落，廠方應(yīng)如何處理此事較為合理？分析關(guān)注次品來自哪個(gè)車間？可能性最大？03-8月-23例10某工廠有4個(gè)車間生產(chǎn)同一種12-9月-23事件B已成為現(xiàn)實(shí)，需考慮是哪一個(gè)“原因”所致的可能性大小，即求條件概率P(AiB).構(gòu)成一個(gè)樣本空間的劃分.

第1車間

第2車間

第3車間

第4車間設(shè)B=｛恰好取到次品｝，Ai={恰好取到第i個(gè)車間的產(chǎn)品}，i=1,2,3,403-8月-23事件B已成為現(xiàn)實(shí)，需考慮是哪一個(gè)“原因”構(gòu)12-9月-23#同理解

03-8月-23#同理解12-9月-23