大學(xué)文科數(shù)學(xué)之線性代數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)課件

大學(xué)文科數(shù)學(xué)

之

線性代數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)北京師范大學(xué)珠海分校國(guó)際特許經(jīng)營(yíng)學(xué)院與不動(dòng)產(chǎn)學(xué)院2004-2005學(xué)年第二學(xué)期歐陽(yáng)順湘2005.5.11

大學(xué)文科數(shù)學(xué)

之

線性代數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)1連續(xù)型隨機(jī)變量復(fù)習(xí)+進(jìn)一步學(xué)習(xí)分布函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)型r.v及其密度函數(shù)的定義重要的連續(xù)型r.v連續(xù)型隨機(jī)變量復(fù)習(xí)+進(jìn)一步學(xué)習(xí)分布函數(shù)的性質(zhì)2復(fù)習(xí)隨機(jī)變量的分布函數(shù)分布函數(shù)的概念.分布函數(shù)的性質(zhì)復(fù)習(xí)隨機(jī)變量的分布函數(shù)分布函數(shù)的概念.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)

一、分布函數(shù)的概念.

定義設(shè)X是隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，事件{X<x}的概率P(X<x)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。記為F(x)，即F(x)＝P(X<x).易知，對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b(a<b),P{a

X<b}＝P{X<b}－P{X<a}＝F(b)－F(a).隨機(jī)變量的分布函數(shù)

一、分布函數(shù)的概念.定義4二、分布函數(shù)的性質(zhì)

1、單調(diào)不減性：若x1<x2,則F(x1)

F(x2);2、歸一性：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，0

F(x)

1，且

3、左連續(xù)性：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，反之，具有上述三個(gè)性質(zhì)的實(shí)函數(shù)，必是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。故該三個(gè)性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)。二、分布函數(shù)的性質(zhì)1、單調(diào)不減性：若x1<x2,5假設(shè)離散型r.v.X具有分布列假設(shè)離散型r.v.X具有分布列6

連續(xù)型隨機(jī)變量X所有可能取值充滿一個(gè)區(qū)間,對(duì)這種類型的隨機(jī)變量,不能象離散型隨機(jī)變量那樣,以指定它取每個(gè)值概率的方式,去給出其概率分布,而是通過(guò)給出所謂“概率密度函數(shù)”的方式.連續(xù)型隨機(jī)變量X所有可能取值充滿一個(gè)區(qū)間,對(duì)這種類型7連續(xù)型r.v及其密度函數(shù)的定義

對(duì)于隨機(jī)變量X,如果存在非負(fù)可積函數(shù)f(x)

,使得X的分布函數(shù)F(x)可以寫成則稱X為連續(xù)型r.v,稱f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱為概率密度或密度.連續(xù)型r.v及其密度函數(shù)的定義對(duì)于隨機(jī)變量X8概率密度函數(shù)的性質(zhì)這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)函數(shù)f(x)是否為某r.vX的概率密度函數(shù)的充要條件.

f(x)xo面積為1概率密度函數(shù)的性質(zhì)這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)f(x)xo面積為9連續(xù)r.v.的密度函數(shù)

與離散r.v.分布列的性質(zhì)比較連續(xù)r.v.的密度函數(shù)103311大學(xué)文科數(shù)學(xué)之線性代數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)課件12連續(xù)型r.v取任一指定值的概率為0.即：a為任一指定值這是因?yàn)檫B續(xù)型r.v取任一指定值的概率為0.即：a為任一指定值這是因13由此得，1)對(duì)連續(xù)型r.vX,有由此得，1)對(duì)連續(xù)型r.vX,有142)由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能事件并非必然事件稱A為幾乎不可能事件，B為幾乎必然事件.可見(jiàn)，由P(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出

B=S2)由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能15

故

X的密度f(wàn)(x)在x這一點(diǎn)的值，恰好是X落在區(qū)間上的概率與區(qū)間長(zhǎng)度之比的極限.這里，如果把概率理解為質(zhì)量，f(x)相當(dāng)于線密度.

若x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則：=f(x)4.對(duì)f(x)的進(jìn)一步理解:(4)在f(x)的連續(xù)點(diǎn)x處，有故X的密度f(wàn)(x)在x這一點(diǎn)的值16若不計(jì)高階無(wú)窮小，有：它表示隨機(jī)變量X取值于的概率近似等于.在連續(xù)型r.v理論中所起的作用與在離散型r.v理論中所起的作用相類似.若不計(jì)高階無(wú)窮小，有：它表示隨機(jī)變量X取17要注意的是，密度函數(shù)f(x)在某點(diǎn)處a的高度，并不反映X取值的概率.但是，這個(gè)高度越大，則X取a附近的值的概率就越大.也可以說(shuō)，在某點(diǎn)密度曲線的高度反映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度.

f(x)xo要注意的是，密度函數(shù)f(x)在某點(diǎn)處a的18下面給出幾個(gè)r.v的例子.由于連續(xù)型r.v唯一被它的密度函數(shù)所確定.所以，若已知密度函數(shù)，該連續(xù)型r.v的概率規(guī)律就得到了全面描述.

f(x)xo下面給出幾個(gè)r.v的例子.由于連續(xù)型r.v唯一被它19例9已知連續(xù)型r.v.

具有概率密度

求系數(shù)k及分布函數(shù)F(x),并計(jì)算P(1.5<=<=2.5)例9已知連續(xù)型r.v.具有概率密度20大學(xué)文科數(shù)學(xué)之線性代數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)課件21設(shè)

具有概率密度

C為一常數(shù)，稱X服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布設(shè)具有概率密度C為一常數(shù)，稱X服從區(qū)間(a,b)22（1）若r.vX的概率密度為：則稱X服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布，記作：X～U(a,b)

它的實(shí)際背景是：r.vX取值在區(qū)間(a,b)上，并且取值在(a,b)中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比.則X具有(a,b)上的均勻分布.（1）若r.vX的概率密度為：則稱X服從區(qū)間(a,b)23服從均勻分布的隨機(jī)變量x的分布函數(shù)為服從均勻分布的隨機(jī)變量x的分布函數(shù)為24

公交線路上兩輛公共汽車前后通過(guò)某汽車停車站的時(shí)間，即乘客的候車時(shí)間等.均勻分布常見(jiàn)于下列情形：

如在數(shù)值計(jì)算中，由于四舍五入，小數(shù)點(diǎn)后某一位小數(shù)引入的誤差；公交線路上兩輛公共汽車前后通過(guò)某汽車停車站25

例10

某路公共汽車每5分鐘一趟，設(shè)

為乘客在某站口的候車時(shí)間,試求他候車時(shí)間不超過(guò)3分鐘的概率.解：X～U(0,30)

例10某路公共汽車每5分鐘一趟，設(shè)為乘客在某站口26則稱X

服從參數(shù)為的指數(shù)分布.指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究中，如元件的壽命