基礎(chǔ)數(shù)學(xué)（第11章）

主講老師：第10章三角計(jì)算第11章數(shù)列第12章平面向量第13章圓錐曲線Hso.S=v七aa規(guī)律，來(lái)推測(cè)未來(lái)的一些事情.例出過(guò)年的時(shí)候能存下多少錢(qián)了.從款之間有什么關(guān)系?存下來(lái)的錢(qián)數(shù)是如何計(jì)算的?項(xiàng)公式的表示方法以及等比數(shù)列的等比中項(xiàng).公式，并掌握其計(jì)算方法.項(xiàng)和公式及其計(jì)算方法.數(shù)列的概念11.1.1數(shù)列及其相關(guān)概念小明這次數(shù)學(xué)考試考了88分.媽媽答應(yīng)小明，如果下次考試也能考88分，就獎(jiǎng)勵(lì)他10元錢(qián)；如果下次考的分?jǐn)?shù)比這次高，而且每高一分，就再多獎(jiǎng)勵(lì)他5元錢(qián).那么，小明下次考88分、89分……100分，分別會(huì)被獎(jiǎng)勵(lì)多少錢(qián)?學(xué)以致用寫(xiě)出正偶數(shù)按從小到大順序構(gòu)成的數(shù)列，并指出第1項(xiàng)和第5項(xiàng)各是多少解正偶數(shù)按從小到大順序構(gòu)成的數(shù)列為2,4,6,8,10,..其中q?=2,a?=10.2.數(shù)列1,2,3,4,5,6和數(shù)列6,5,4,3,2,1是同一個(gè)數(shù)列嗎?(1)0～20之間的質(zhì)數(shù)按從小到大順序構(gòu)成的數(shù)列；(2)2的正指數(shù)冪按從小到大順序構(gòu)成的數(shù)列；(3)數(shù)列22,24,26,28,.68,70;(4)數(shù)列-5,10,-15,20,-25,30,…;(5)無(wú)窮多個(gè)1構(gòu)成的數(shù)列.小紅和小強(qiáng)玩游戲，小紅報(bào)出一個(gè)自然數(shù)，小強(qiáng)報(bào)倍的數(shù)值，輪流進(jìn)行下去.報(bào)錯(cuò)或沒(méi)有在5s內(nèi)報(bào)出正確的數(shù)都算輸.如果游戲順利進(jìn)行下去，小紅和小強(qiáng)報(bào)出的這些數(shù)有什么規(guī)律?它們可以用一個(gè)通式來(lái)表示嗎?(1)并不是每個(gè)數(shù)列(1)并不是每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式.(2)在木章中，若數(shù)如果數(shù)列{a}的第n項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n之間可以用一個(gè)公式來(lái)表達(dá)，那么這個(gè)公式就稱為這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.數(shù)列的通項(xiàng)公式為數(shù)列3,3,3,3,3,.的通項(xiàng)公式為類似于數(shù)列3,3,3,3,3,…,各項(xiàng)都相等的數(shù)列稱為常數(shù)列.等差數(shù)列等差數(shù)列的概念學(xué)以致用求下列等差數(shù)列中的未知項(xiàng).解(1)由等差中項(xiàng)的定義可得(2)由等差中項(xiàng)的定義可得1.判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列.2.求下列等差數(shù)列中的未知項(xiàng).3.在2和26之間插入5個(gè)數(shù)，使它們與這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，求這個(gè)數(shù)列的公差和中間項(xiàng).在等差數(shù)列的通項(xiàng)公式中，有a,,a,n,在等差數(shù)列的通項(xiàng)公式中，有a,,a,n,d這4個(gè)量，通常只要知道其中的3個(gè)，就可以求出第4個(gè)了，現(xiàn)在請(qǐng)大家想一想，當(dāng)所求的量不同時(shí)，應(yīng)分別采用什么樣的計(jì)算方法呢?通項(xiàng)公式60+10n2,n為自然數(shù)，并且小明分?jǐn)?shù)最低，小軍分?jǐn)?shù)最高.”那么，小紅、小明和小軍的成績(jī)分別可能是多少呢?學(xué)以致用O例2求等差數(shù)列10,6,2,…的第5項(xiàng)和第15項(xiàng).解因?yàn)閝=10,d=a?-q?=6-10=-4,所以該數(shù)列的通項(xiàng)公式a,=a?+(n-1)d=10+(n-1)×(-4)=-4n+14.因此，該數(shù)列的第5項(xiàng)為該數(shù)列的第15項(xiàng)為躍躍欲試學(xué)以致用解因?yàn)閝=2,d=a?-a?=5-2=3,所以該數(shù)列的通項(xiàng)公式a=q+(n-1)d=2+(n-1)×3=3n-1.設(shè)該數(shù)列的第n項(xiàng)等于59,則解得n=20.因此，該數(shù)列的第20項(xiàng)是59.生活中的數(shù)學(xué)著名數(shù)學(xué)家高斯在年幼時(shí)就展現(xiàn)出了驚人的天賦.在高斯10歲那年，他的小學(xué)老師出了一道題目，要求學(xué)生將1到100的所有整數(shù)加起來(lái).當(dāng)其他學(xué)生忙于把100個(gè)整數(shù)逐個(gè)相加時(shí)，高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50=5050.高斯的算法實(shí)際上解決了求等差數(shù)列前100項(xiàng)和的問(wèn)題.此數(shù)列的首項(xiàng)為1,第100項(xiàng)為100,公差為1,根據(jù)高斯的算法可知，其前100項(xiàng)的和為2將式(11-2)和式(11-3)相加可得代入式(11-4),可得因此，在已知等差數(shù)列{a,}的a,n和d時(shí)，可利用式(11-5)直接計(jì)算S..O例5在等差數(shù)列{a}中，ao=29,d=2,求前20項(xiàng)的和SO例5解由已知條件可得，解得a?=-9.因此，其前20項(xiàng)之和為學(xué)以致用以下關(guān)系：所以，{a,}是等差數(shù)列O例5在等差數(shù)列{a}中，ao=29,d=2,求前20項(xiàng)的和S.O例5解由已知條件可得，解得q=-9.因此，其前20項(xiàng)之和為(1)已知q=5,d=5,求S;(2)已知q=5,a?=15,求S;(3)已知4=5,a,=15,求S.前n項(xiàng)和公式.等比數(shù)列等比數(shù)列的概念家里要來(lái)客人，小明一家人正在為客人準(zhǔn)備水果.小明切1個(gè)蘋(píng)果，小明的媽媽切2個(gè)蘋(píng)果，小明的爸爸切4個(gè)蘋(píng)果，每個(gè)蘋(píng)果都切了4瓣.那么小明一家人各切了多少瓣蘋(píng)果?這幾個(gè)數(shù)字之間有什么關(guān)系?學(xué)以致用求下列等比數(shù)列中的未知項(xiàng)解(1)由等比中項(xiàng)的定義可得a2=3×12,解得a=±6.(2)由等比數(shù)列的定義可得,則ab=8,b2=a.將b2=a代入ab=8中，可得b3=8,解得b=2.將b=2代入ab=8中，可得a=4.個(gè)蘋(píng)果.那么，如果小紅有4個(gè)竹筐，最多可以摘多少個(gè)蘋(píng)果?方法?其通項(xiàng)公式.2?2?◎例2一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)和第4項(xiàng)分別是12和18,求它的第1項(xiàng)和第2項(xiàng).解設(shè)這個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)為a,公比為q,那么兩式相除，可得將ag=18代入式(1),可得.于是a—因此，此等比數(shù)列的第1項(xiàng)和第2項(xiàng)分別是和8.前前n項(xiàng)和公式下面我們來(lái)探求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.等比數(shù)列{a,}的前n項(xiàng)和為根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，式(11-7)可寫(xiě)為S,=q?+qq+a?q2+…+qq”-1.用公比q乘以式(11-8)兩邊，可得qS?=a?q+aq2+a?q3+…+aq"1+q?q".將式(11-8)和式(11-9)的兩邊分別相減，得當(dāng)q≠1時(shí)，等比數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和公式為,q≠1.求下列等比數(shù)列前8項(xiàng)的和.解(1)因?yàn)?所以當(dāng)n=8時(shí)，,(2)因?yàn)閝=4,q=-2,所以當(dāng)n=8時(shí)，數(shù)列的應(yīng)用蠟燭?中間撕開(kāi).如此重復(fù)，又撕了5次.請(qǐng)問(wèn)，此時(shí)來(lái)紙張面積的幾分之一?S,之間的關(guān)系.這些知識(shí)可以幫助我們輕松地解決一些實(shí)面介紹等比數(shù)列的一些應(yīng)用.年的84%.這種物質(zhì)經(jīng)過(guò)多久會(huì)衰變?yōu)樽畛醯囊话?(精確到1解設(shè)這種物質(zhì)最初的量是1,經(jīng)過(guò)n年，剩余量是an,由已知條件公式為a,=0.84".因此，這種物質(zhì)經(jīng)過(guò)大約4年會(huì)衰變?yōu)樽畛醯囊话?利息的總和(簡(jiǎn)稱本利和)作方法.例4某人從銀行貸款10000元，貸款期限為5年，年利率為5.20%,按復(fù)利計(jì)息法計(jì)算利息.如果5年后一次性還款，此人應(yīng)還銀行多少錢(qián)?(精確到0.01元)解貸款一年后的本利和為依此類推，從一年后起，每年的本利和可構(gòu)成等比數(shù)列as=10000×1.052?=12884.83.因此，5年后此人應(yīng)還銀行12884.83元.例5某公司對(duì)某企業(yè)10年內(nèi)的投資計(jì)劃為第一年投資100萬(wàn)元，之后每年的投資額為上一年的90%,求10年內(nèi)該公司對(duì)該企業(yè)的投資總額.(精確到1萬(wàn)元)解10年內(nèi)，各年的投資額依次為這是一個(gè)首項(xiàng)a?=100,公比q=90%,項(xiàng)數(shù)n=10的等比數(shù)列.由求和公式可得因此，10年內(nèi)該公司對(duì)該企業(yè)的投資總額約為651萬(wàn)元.1.某企業(yè)2014年的年產(chǎn)值為2000萬(wàn)元.若該公司的年產(chǎn)值從2015年開(kāi)始，每年都比上一年增長(zhǎng)10%,那么該企業(yè)2022年的年產(chǎn)值為多少?(精確到0.01萬(wàn)元)2.某人計(jì)劃貸款買(mǎi)一輛家用汽車，貸款150000元，貸款期限為5年，年利率為5.20%,按復(fù)利計(jì)息法計(jì)算利息.如果5年后一次性還款，此人應(yīng)還銀行多少錢(qián)?(精確到0.013.某商場(chǎng)第1年銷售計(jì)算機(jī)5000臺(tái)，如果以后每年的銷售量都比上一年增長(zhǎng)10%,那么5年內(nèi)該商場(chǎng)可銷售計(jì)算機(jī)多少臺(tái)?