2021年中考數(shù)學(xué) 一輪專(zhuān)題匯編：等腰三角形(含答案)

2021中考數(shù)學(xué)一輪專(zhuān)題匯編：等腰三角形一、選擇題1.若等腰三角形的頂角為50°，則它的底角度數(shù)為 ()A.40° B.50° C.60° D.65°2.已知:如圖，在△ABC中，AB=AC，∠C=72°，BC=，以點(diǎn)B為圓心，BC為半徑畫(huà)弧，交AC于點(diǎn)D，則線段AD的長(zhǎng)為 ()A.2 B.2 C. D.3.如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作MN∥BC交AB于M，交AC于N.若△AMN的周長(zhǎng)為18，BC=6，則△ABC的周長(zhǎng)為 ()A.21 B.22 C.24 D.264.△ABC中，AB＝AC，∠A為銳角，CD為AB邊上的高，I為△ACD的內(nèi)切圓圓心，則∠AIB的度數(shù)是()A.120°B.125°C.135°D.150°5.（2020·河南）如圖，在△ABC中，AB=BC=，∠BAC=30°，分別以點(diǎn)A，C為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，連接DA，DC，則四邊形ABCD的面積為()A.B.9C.6D.6.（2020·宜賓）如圖，△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點(diǎn)B、C、D在一條直線上，連結(jié)BE、AD，點(diǎn)M、N分別是線段BE、AD上的兩點(diǎn)，且BM＝BE，AN＝AD，則△CMN的形狀是（）A．等腰三角形B．直角三角形 C．等邊三角形 D．不等邊三角形7.(2020自貢)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)D，連接CD，則∠ACD的度數(shù)是（）A．50° B．40° C．30° D．20°8.(2019?廣西)如圖，在中，，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可知的度數(shù)為A． B． C． D．二、填空題9.已知等腰三角形的一個(gè)外角為130°，則它的頂角的度數(shù)為.

10.若等腰三角形的頂角為120°，腰長(zhǎng)為2cm，則它的底邊長(zhǎng)為_(kāi)_______cm.11.（2020·襄陽(yáng)）如圖，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，則∠C＝__________°．12.【題目】（2020·濱州）在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，則∠A的大小為_(kāi)_______．13.如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=45°，點(diǎn)D在AC邊上，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到△ACD'，且點(diǎn)D'，D，B在同一直線上，則∠ABD的度數(shù)是.

14.（2020·營(yíng)口）如圖，△ABC為等邊三角形，邊長(zhǎng)為6，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是線段AD和AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CE，EF，則CE+EF的最小值為．15.（2020·綿陽(yáng)）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足∠AMD＝90°，則點(diǎn)M到直線BC的距離的最小值為．16.(2019?黃岡)如圖，在的同側(cè)，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，則的最大值是__________．三、解答題17.如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高，BE是AC邊上的中線，且BD=CE.求證:(1)點(diǎn)D在BE的垂直平分線上;(2)∠BEC=3∠ABE.

18.如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，BE⊥AC于點(diǎn)E.求證：∠CBE＝∠BAD.

19.已知AB是半徑為1的圓O直徑，C是圓上一點(diǎn)，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)的直線交AC于E點(diǎn)，交AB于F點(diǎn)，且△AEF為等邊三角形．(1)求證：△DFB是等腰三角形；(2)若DA＝eq\r(7)AF，求證CF⊥AB.

20.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB邊上一點(diǎn)(點(diǎn)D與A，B不重合)，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到線段CE，連接DE交BC于點(diǎn)F，連接BE.(1)求證:△ACD≌△BCE;(2)當(dāng)AD=BF時(shí)，求∠BEF的度數(shù).

21.如圖，AB為⊙O的直徑，C為圓外一點(diǎn)，AC交⊙O于點(diǎn)D，BC2＝CD·CA，eq\o(ED,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，BE交AC于點(diǎn)F.(1)求證：BC為⊙O的切線；(2)判斷△BCF的形狀并說(shuō)明理由；(3)已知BC＝15，CD＝9，∠BAC＝36°，求eq\o(BD,\s\up8(︵))的長(zhǎng)度(結(jié)果保留π).2021中考數(shù)學(xué)一輪專(zhuān)題匯編：等腰三角形-答案一、選擇題1.【答案】D2.【答案】C[解析]在△ABC中，AB=AC，∠C=72°，所以∠ABC=72°，∠A=36°，因?yàn)锽C=BD，所以∠BDC=72°，所以∠ABD=36°，所以AD=BD=BC=，故選C.3.【答案】C[解析]∵M(jìn)N∥BC，∴∠MEB=∠EBC.∵BE平分∠ABC，∴∠MBE=∠EBC，∴∠MEB=∠MBE，∴△MBE是等腰三角形，∴ME=MB.同理，EN=CN，∵AM+AN+MN=18，MN=ME+EN=BM+CN，∴AM+AN+BM+CN=18，∴AB+AC=18，∴AB+AC+BC=24.即△ABC的周長(zhǎng)為24.4.【答案】C【解析】由CD為腰上的高，I為△ACD的內(nèi)心，則∠IAC＋∠ICA＝eq\f(1,2)(∠DAC＋∠DCA)＝eq\f(1,2)(180°－∠ADC)＝eq\f(1,2)(180°－90°)＝45°，所以∠AIC＝180°－(∠IAC＋∠ICA)＝180°－45°＝135°.又可證△AIB≌△AIC，得∠AIB＝∠AIC＝135°.5.【答案】D【解析】∵分別以點(diǎn)A、C為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，∴AD=AC=CD，∴△ACD是等邊三角形，∴∠DAC=60°.∵AB=BC，AD=CD，連接BD交AC于點(diǎn)E，∴BD垂直平分AC，∴∠AEB=90°.∵∠BAC=30°，AB=，∴BE=，AE=，∴AC=3．在Rt△ADE中，∵∠DAC=60°，∠AED=90°，AE=，∴DE=，∴BD=，∴四邊形ABCD的面積為：．6.【答案】C【解析】由△ABC和△ECD都是等邊三角形，可得△BCE≌△ACD（SAS），∴∠MBC＝∠NAC，BE＝AD，∵BM＝BE，AN＝AD，∴BM＝AN，∴△MBC≌△NAC（SAS），∴MC＝NC，∠BCM＝∠ACN，∵∠BCM+∠MCA＝60°，∴∠NCA+∠MCA＝60°，∴∠MCN＝60°，∴△MCN是等邊三角形．7.【答案】D．【解析】本題考查了直角三角形，圓，等腰三角形等知識(shí)，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠B＝40°，∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC（180°﹣40°）＝70°，∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，因此本題選D．8.【答案】C【解析】由作法得，∵，∴平分，，∵，∴．故選C．二、填空題9.【答案】50°或80°[解析]當(dāng)?shù)妊切雾斀堑耐饨菫?30°時(shí)，頂角為180°-130°=50°;當(dāng)?shù)妊切蔚捉堑耐饨菫?30°時(shí)，頂角為180°-2×(180°-130°)=80°.故答案為50°或80°.10.【答案】2eq\r(3)【解析】如解圖，由已知得，∠B＝∠C＝eq\f(1,2)(180°－120°)＝30°，AB＝2，∴底邊長(zhǎng)為：BC＝2BD＝2AB·cos30°＝2eq\r(3)(cm)．11.【答案】40．【解析】∵AB＝AD＝DC，∴∠ABD＝∠ADB，∠DAC＝∠C．∵∠BAD＝20°，∴∠ADB＝＝80°．又∵∠ADB＝∠DAC＋∠C，∴∠C＝∠ADB＝40°．故答案為40．12.【答案】80°【解析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，∵AB=AC，∠B=50°，∴∠C=∠B=50°，∴∠A=180°-2×50°=80°，因此本題填80°．13.【答案】22.5°[解析]根據(jù)題意可知△ABD≌△ACD'，∴∠BAC=∠CAD'=45°，AD'=AD，∴∠ADD'=∠AD'D==67.5°.∵D'，D，B三點(diǎn)在同一直線上，∴∠ABD=∠ADD'-∠BAC=22.5°.14.【答案】【解析】如圖1，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可得CE+EF≥CF，又根據(jù)垂線段最短可得，當(dāng)CF⊥AB時(shí)，CF有最小值，此時(shí)CF與AD的交點(diǎn)即為點(diǎn)E（如圖2），在Rt△AFC中，AC=6，∠AFC=90°，∠FAC=60°，∴FC=AC·sin60°=6×=．15.【答案】3－2【解析】延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)P，作MH⊥PB于H.∵AB∥CD，∴＝，∠ABC＝∠DCP＝60°.∵AD＝BC＝CD＝4，∴PD＝PC，∴△PDC為等邊三角形，∴PD＝PC＝CD＝4，∠P＝60°.由∠AMD＝90°，可知點(diǎn)M在以AD為直徑的⊙E上，且在四邊形ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)垂線段最短可知E、M、H三點(diǎn)共線時(shí)MH最小.在Rt△PEH中，EP＝6，∠P＝60°，∴EH＝EP·sin60°＝3，∴MH的最小值＝EH－EM＝3－2.16.【答案】14【解析】如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于DM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．∵，∴，∴，∴，∵，∴為等邊三角形，∵，∴的最大值為，故答案為：．三、解答題17.【答案】證明:(1)如圖，連接DE.∵CD是AB邊上的高，∴CD⊥AB.∴∠ADC=90°.∵AE=CE，∴DE=AC=CE=AE.∵BD=CE，∴DE=BD.∴點(diǎn)D在線段BE的垂直平分線上.(2)∵BD=DE，∴∠ADE=2∠ABE.∵DE=AE，∴∠A=∠ADE=2∠ABE.∴∠BEC=∠ABE+∠A=3∠ABE.18.【答案】證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵AD是BC邊上的中線，∴AD⊥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝90°，(3分)∵BE⊥AC,∴∠CBE＋∠C＝90°，∴∠CBE＝∠BAD.(5分)19.【答案】(1)證明：∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∵△AEF是等邊三角形，∴∠EAF＝∠EFA＝60°，∴∠ABC＝30°，∴∠FDB＝∠EFA－∠B＝60°－30°＝30°，(2分)∴∠ABC＝∠FDB，∴FB＝FD，∴△BDF是等腰三角形．(3分)(2)解：設(shè)AF＝a，則AD＝eq\r(7)a，解圖如解圖，連接OC，則△AOC是等邊三角形，由(1)得，BF＝2－a＝DF，∴DE＝DF－EF＝2－a－a＝2－2a，CE＝AC－AE＝1－a，在Rt△ADC中，DC＝eq\r(（\r(7)a）2－1)＝eq\r(7a2－1)，在Rt△DCE中，tan30°＝eq\f(CE,DC)＝eq\f(1－a,\r(7a2－1))＝eq\f(\r(3),3)，解得a＝－2(舍去)或a＝eq\f(1,2)，(5分)∴AF＝eq\f(1,2)，在△CAF和△BAC中，eq\f(CA,AF)＝eq\f(BA,AC)＝2，且∠CAF＝∠BAC＝60°，∴△CAF∽△BAC，∴∠CFA＝∠ACB＝90°，即CF⊥AB.(6分)20.【答案】解:(1)證明:∵線段CD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到線段CE，∴∠DCE=90°，CD=CE.又∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DCE，∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中，∵∴△ACD≌△BCE.(2)∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=45°，∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠CBE=∠A=45°.又AD=BF，∴BE=BF，∴∠BEF=∠BFE==67.5°.21.【答案】(1)證明：∵BC2＝CD·CA，∴eq\f(BC,CA)＝eq\f(CD,BC)，∵∠C＝∠C，∴△CBD∽△CAB，∴∠CBD＝∠BAC，又∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，即∠BAC＋∠ABD＝90°，∴∠ABD＋∠CBD＝90°，即AB⊥BC，又∵AB為⊙O的直徑，∴BC為⊙O的切線；(2)解：△BCF為等腰三角形．證明如下：∵eq\o(ED,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，∴∠DAE＝∠BAC，又∵△CBD∽△CAB，∴∠BAC＝∠CBD，∴∠CBD＝∠DAE，∵∠DAE＝∠DBF，∴∠DBF＝∠CBD，∵∠BDF＝90°，∴∠BD