直線和平面垂直的判定高中數(shù)學(xué)人教必修二省名師優(yōu)質(zhì)課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

2.3.1直線與平面垂直判定第1頁(yè)生活中有很多直線與平面垂直實(shí)例，你能舉出幾個(gè)嗎？實(shí)例引入旗桿與底面垂直第2頁(yè)橋柱與水面位置關(guān)系，給人以直線與平面垂直形象.第3頁(yè)思索1.陽(yáng)光下直立于地面旗桿及它在地面影子有何位置關(guān)系.ABα1.旗桿所在直線一直與影子所在直線垂直.第4頁(yè)第5頁(yè)請(qǐng)同學(xué)們準(zhǔn)備一塊三角形紙片，我們一起來做如圖所示試驗(yàn)：過△ABC頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后紙片豎起放置在桌上（BD、DC與桌面接觸）.ABCD第6頁(yè)思索3

(1)折痕AD與桌面垂直嗎？(2)怎樣翻折才能確保折痕AD與桌面所在平面垂直？當(dāng)折痕AD⊥BC時(shí),折痕AD與桌面所在平面垂直.第7頁(yè)BDCABD,CD都在桌面內(nèi)，BD∩CD=D，AD⊥CD,AD⊥BD,直線AD所在直線與桌面垂直mnP第8頁(yè)假如直線l與平面內(nèi)任意一條直線都垂直，我們說直線l與平面相互垂直，記作．平面垂線直線l垂面垂足定義直線與平面垂直第9頁(yè)對(duì)定義認(rèn)識(shí)①“任何”表示全部.②直線與平面垂直是直線與平面相交一個(gè)特殊情況，在垂直時(shí)，直線與平面交點(diǎn)叫做垂足.③

等價(jià)于對(duì)任意直線，都有利用定義，我們得到了判定線面垂直最基本方法，同時(shí)也得到了線面垂直最基本性質(zhì).第10頁(yè)問題直線與平面垂直除定義外，怎樣判斷一條直線與平面垂直呢？第11頁(yè)判定定理:一條直線與一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．作用：判定直線與平面垂直．直線與平面垂直判定定理簡(jiǎn)記為：線線垂直線面垂直“平面內(nèi)”，“相交”，“垂直”三個(gè)條件必不可少第12頁(yè)如圖，直四棱柱（側(cè)棱與底面垂直棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形滿足什么條件時(shí)，？底面四邊形對(duì)角線相互垂直．探究隨堂練習(xí)第13頁(yè)線面垂直判定定理應(yīng)用

例1：已知：如圖1，空間四邊形ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，取BC中點(diǎn)E，連接AE、DE，求證：BC⊥平面AED.圖1

證實(shí)：∵AB＝AC，DB＝DC，E為BC中點(diǎn)， ∴AE⊥BC，DE⊥BC.

又∵AE與DE交于E，∴BC⊥平面AED.由判定定理可知要證實(shí)直線垂直平面，只需證實(shí)直線與平面內(nèi)任意兩條相交直線垂直即可．第14頁(yè)例2:如圖，點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，O是對(duì)角線AC與BD交點(diǎn)，且PA=PC,PB=PD.求證：PO⊥平面ABCDCABDOP

=ABCDPOOBDAC平面又^\IQBDPOBDOPDPB中點(diǎn)是點(diǎn)又^\=Q,ACPOACOPCPA中點(diǎn)是點(diǎn)證實(shí)^\=Q,第15頁(yè)P(yáng)ABCO3.如圖，圓O所在一平面為，AB是圓O直徑，C在圓周上,且PAAC,PAAB,求證：（1）PABC（2）BC平面PAC第16頁(yè)證實(shí)：∵PA⊥⊙O所在平面，BC?⊙O所在平面，∴PA⊥BC，∵AB為⊙O直徑，∴AC⊥BC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又AE?平面PAC，∴BC⊥AE，∵AE⊥PC,PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.

例3：如圖6，已知PA⊥⊙O所在平面，AB為⊙O直徑，C是圓周上任一點(diǎn)，過A作AE⊥PC于E， 求證：AE⊥平面PBC. 圖6第17頁(yè)例1如圖，已知，求證依據(jù)直線與平面垂直定義知又因?yàn)樗杂质莾蓷l相交直線，所以證實(shí)：在平面內(nèi)作兩條相交直線m，n．因?yàn)橹本€，經(jīng)典例題即：假如兩條平行直線中一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一個(gè)平面A第18頁(yè)VABC.DVA=VC，AB=BC,ABCV-求證:VB⊥AC.中，在三棱錐1.如圖，練習(xí)：提醒：找AC中點(diǎn)D,連接VD,BD第19頁(yè)中外垂第20頁(yè)4－1.P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，O為P在平面ABC上射影．(1)若PA＝PB＝PC，則O是△ABC_____；(2)若PA⊥BC，PB⊥AC，則O是△ABC_____；(3)若P到△ABC三邊距離相等，且O在△ABC內(nèi)部，則O是△ABC______；(4)若PA、PB、PC兩兩相互垂直，則O是△ABC_____．外心垂心內(nèi)心垂心第21頁(yè)

解析：(1)如圖23，∵PO⊥平面ABC， ∴PA、PB、PC在平面ABC上射影分別是OA、OB、OC.又∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC.∴O是△

ABC外心．圖23圖24(2)如圖24，∵PO⊥平面ABC，∴PA在平面ABC上射影是OA.∵BC⊥PA，∴BC⊥OA.同理可證AC⊥OB，∴O是△

ABC垂心．故填垂心．第22頁(yè)(3)如圖25，圖25P到△

ABC三邊距離分別是PD、PE、PF，則PD＝PE＝PF.∵PO⊥平面ABC，∴PD、PE、PF在平面ABC上射影分別是OD、OE、OF.∴OD＝OE＝OF，且OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.∴O是△

ABC內(nèi)心，故填內(nèi)心．第23頁(yè)∵PO⊥平面ABC，∴OA是PA在平面ABC上射影．又∵PA⊥PB，PA⊥PC，∴PA⊥平面PBC.又∵BC?平面PBC，∴PA⊥BC.∴OA⊥BC.同理可證OB⊥AC.∴O是△

ABC垂心．故填垂心．(4)如圖26，圖26第24頁(yè)直線與平面垂直性質(zhì)定理簡(jiǎn)單應(yīng)用例1：如圖

，在四面體P－ABC中，若PA⊥BC，PB⊥AC，求證：PC⊥AB.PABC第25頁(yè)思維突破：要證線線垂直，可先證線面垂直，進(jìn)而由線面垂直定義得出線線垂直．證實(shí)：過P作PH⊥平面ABC，垂足為H，連接AH、BH和CH.∵PA⊥BC,PH⊥BC，PA∩PH＝P，∴BC⊥平面PAH.又AH?平面PAH，∴BC⊥AH.同理AC⊥BH，即H為△ABC垂心，∴AB⊥CH.∵PH⊥AB，CH∩PH＝H，∴AB⊥平面PCH.∵PC?平面PCH，∴PC⊥AB.點(diǎn)評(píng)：從本例能夠深入體會(huì)線面位置關(guān)系相互轉(zhuǎn)化在解(證)題中作用．第26頁(yè)1.已知：正方體中，AC是面對(duì)角線，BD′是與AC異面體對(duì)角線.求證：AC⊥BD′ABDCA′B′CD′′第27頁(yè)∵正方體ABCD-A′B′C′D′∴DD′⊥正方形ABCD證實(shí)：連接BDABDCA′B′C′D′∵AC、BD為對(duì)角線∴AC⊥BD∵DD′∩BD=D∴AC⊥平面D′DB且BD′?面D′DB∴AC⊥BD′第28頁(yè)(1)自一點(diǎn)P向平面α引垂線，垂足P/叫做點(diǎn)P在平面α內(nèi)正射影(射影)(2)點(diǎn)P與垂足P/間線段叫點(diǎn)P到平面α垂線段(3)假如圖形F上全部點(diǎn)在一平面內(nèi)射影組成圖形F/，則F/叫做圖形F在這個(gè)平面內(nèi)射影幾個(gè)概念第29頁(yè)aAPoα一條直線和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫這個(gè)平面斜線，斜線和平面交點(diǎn)叫斜足，斜線上一點(diǎn)和斜足間線段叫這點(diǎn)到這個(gè)平面斜線段．

平面外一點(diǎn)到這個(gè)平面垂線段有且只有一條，而這點(diǎn)到這個(gè)平面斜線段有沒有數(shù)條斜線與斜線段第30頁(yè)從斜線上斜足以外一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足直線叫斜線在這個(gè)平面內(nèi)射影．垂足和斜足間線段叫這點(diǎn)到平面斜線段在這個(gè)平面上射影斜線在平面內(nèi)射影第31頁(yè)平面一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)射影所成夾角，叫做斜線和平面所成角(或斜線和平面夾角).簡(jiǎn)稱線面角斜線和平面所成角第32頁(yè)斜線和平面所成角1、直線和平面垂直<＝>直線和平面所成角是直角直線和平面平行或在平面內(nèi)<＝>直線和平面所成角是0°2、直線與平面所成角θ取值范圍是：___________斜線與平面所成角θ取值范圍是：______________第33頁(yè)OPAα斜線斜足線面所成角（銳角∠PAO）射影關(guān)鍵：過斜線上一點(diǎn)作平面垂線線面所成角第34頁(yè)1.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1與面ABCD所成角（2）A1C1與面BB1D1D所成角（3）A1C1與面BB1C1C所成角（4）A1C1與面ABC1D1所成角A1D1C1B1ADCB45o第35頁(yè)經(jīng)典例題例2、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求直線A1B和平面A1B1CD所成角O第36頁(yè)第37頁(yè)例2：如圖

4，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求A1B與平面A1B1CD所成角．圖4解：連接BC1交B1C于O，連接A1O，在正方體ABCD－A1B1C1D1

中各個(gè)面為正方形，設(shè)其棱長(zhǎng)為a.第38頁(yè)?A1O為A1B在平面A1B1CD內(nèi)射影?∠BA1O為A1B與平面A1B1CD所成角．?A1B與平面A1B1CD所成角為30°.第39頁(yè)

求直線和平面所成角時(shí)，應(yīng)注意問題是：(1)先判斷直線和平面位置關(guān)系．(2)當(dāng)直線和平面斜交時(shí)，常有以下步驟：①作——作出或找到斜線與射影所成角；②證——論證所作或找到角為所求角；③算——慣用解三角形方法求角；④結(jié)論——說明斜線和平面所成角值．第40頁(yè)圖5

2－1.如圖5，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1

中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則AC1

與平面A1B1C1D1

所成角正弦值為(

)第41頁(yè)A2－2.若斜線段AB是它在平面α內(nèi)射影長(zhǎng)2倍，則AB與α所成角為()A．60°B．45°C．30°D．120°答案：D

解析：如圖22，連接A1C1

，則∠AC1A1

為AC1

與平面A1B1C1D1

所成角．圖22第42頁(yè)1．直線與平面垂直概念（1）利用定義；（2）利用判定定理．3．?dāng)?shù)學(xué)思想