2018版高中數(shù)學(xué)（人教A版）必修2同步練習(xí)題：第2章 學(xué)業(yè)分層測評12

學(xué)業(yè)分層測評(十二)(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．下列條件中，能使直線m⊥平面α的是()A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B．m⊥b，b∥αC．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α【解析】由線線平行及線面垂直的判定知選項D正確．【答案】D2．如圖2-3-6，三棱錐P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，則直線PB和平面ABC所成的角是()圖2-3-6A．∠BPAB．∠PBAC．∠PBCD．以上都不對【解析】由PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，得PA⊥平面ABC，所以∠PBA為BP與平面ABC所成的角．故選B.【答案】B3．已知直線m，n是異面直線，則過直線n且與直線m垂直的平面()A．有且只有一個 B．至多一個C．有一個或無數(shù)個 D．不存在【解析】若異面直線m、n垂直，則符合要求的平面有一個，否則不存在．【答案】B4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1A.eq\f(\r(2),3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(\r(6),3)【解析】如圖所示，連接BD交AC于點(diǎn)O，連接D1O，由于BB1∥DD1，∴DD1與平面ACD1所成的角就是BB1與平面ACD1所成的角．易知∠DD1O即為所求．設(shè)正方體的棱長為1，則DD1＝1，DO＝eq\f(\r(2),2)，D1O＝eq\f(\r(6),2)，∴cos∠DD1O＝eq\f(DD1,D1O)＝eq\f(2,\r(6))＝eq\f(\r(6),3).∴BB1與平面ACD1所成的角的余弦值為eq\f(\r(6),3).【答案】D5．正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動，并且總保持AP⊥BD1，則動點(diǎn)PA．線段B1B．線段BC1C．BB1中點(diǎn)與CC1中點(diǎn)連成的線段D．BC中點(diǎn)與B1C1【答案】A[如圖，由于BD1⊥平面AB1C，故點(diǎn)P一定位于B1二、填空題6．如圖2-3-7，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，垂足為B，則CD與AB的位置關(guān)系是________.圖2-3-7【解析】∵EA⊥α，CD?α，根據(jù)直線和平面垂直的定義，則有CD⊥EA.同樣，∵EB⊥β，CD?β，則有EB⊥CD.又EA∩EB＝E，∴CD⊥平面AEB.又∵AB?平面AEB，∴CD⊥AB.【答案】CD⊥AB7．如圖2-3-8所示，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個數(shù)有________．圖2-3-8【解析】eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥平面ABC,BC?平面ABC))?eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥BC,AC⊥BC,PA∩AC＝A))?BC⊥平面PAC?BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.【答案】4三、解答題8．如圖2-3-9，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE.求證：AE⊥BE.圖2-3-9【證明】∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE.又AE?平面ABE，∴AE⊥BC.∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，∴AE⊥BF.又∵BF?平面BCE，BC?平面BCE，BF∩BC＝B，∴AE⊥平面BCE.又BE?平面BCE，∴AE⊥BE.9．如圖2-3-10所示，三棱錐A-SBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求直線AS與平面SBC所成的角．圖2-3-10【解】因為∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB與△SAC都是等邊三角形．因此AB＝AC.如圖所示，取BC的中點(diǎn)D，連接AD，SD，則AD⊥BC.設(shè)SA＝a，則在Rt△SBC中，BC＝eq\r(2)a，CD＝SD＝eq\f(\r(2),2)a.在Rt△ADC中，AD＝eq\r(AC2－CD2)＝eq\f(\r(2),2)a.則AD2＋SD2＝SA2，所以AD⊥SD.又BC∩SD＝D，所以AD⊥平面SBC.因此∠ASD即為直線AS與平面SBC所成的角．在Rt△ASD中，SD＝AD＝eq\f(\r(2),2)a，所以∠ASD＝45°，即直線AS與平面SBC所成的角為45°.[能力提升]10．如圖2-3-11，四棱錐S-ABCD的底面ABCD為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結(jié)論中正確的有________個．圖2-3-11①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA與平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB與SC所成的角等于DC與SC所成的角．【解析】因為SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD.因為ABCD是正方形，所以AC⊥BD.又BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正確．因為AB∥CD，AB?平面SCD，CD?平面SCD，所以AB∥平面SCD，故②正確．因為AD是SA在平面ABCD內(nèi)的射影，所以SA與平面ABCD所成的角是∠SAD.故③正確．因為AB∥CD，所以AB與SC所成的角等于DC與SC所成的角，故④正確．【答案】411．如圖2-3-12，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1圖2-3-12(1)求證：AB1⊥平面A1BC1.(2)若D為B1C1的中點(diǎn)，求AD與平面A1B1C【解】(1)證明：由題意知四邊形AA1B1B是正方形，∴AB1⊥BA1.由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1.又∵A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1，∴A1C1⊥平面AA1B1B，又∵AB1?平面AA1B1B，∴A1C1⊥AB1.又∵BA1∩A1C1＝A1，∴AB1⊥平面A1BC1.(2)連接A1D.設(shè)AB＝AC＝AA1＝1，∵AA1⊥平面A1B1C1，∴∠A1DA是AD與平面A1B1C1所成的角．在等腰直角三角形A1B1C1中，D為斜邊B1C1的中點(diǎn)，∴A1D＝eq\f(1,2)×B1C1＝eq