2021-2022學(xué)年度第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)第二次月考12.17

/普寧二中2021-2022學(xué)年度第一學(xué)期第二次月考高二級(jí)數(shù)學(xué)科試卷一、單選題（每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)則（）A． B． C． D．2．如圖，在平行六面體中，若則的值為（）．，，B．，，C．，， D．，，3．以下函數(shù)既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增的為（）A．B．C． D．4．若，都為正實(shí)數(shù)，，則的最大值是（）A． B． C． D．5．“直線與直線垂直”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知橢圓上的點(diǎn)M到該橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的距離為4，N是的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么線段的長(zhǎng)是（）A．6 B．5 C．4 D．37．過(guò)直線上的點(diǎn)作圓的切線，則切線長(zhǎng)的最小值為（）A． B． C． D．8．如圖，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，F(xiàn)是E的右焦點(diǎn)，延長(zhǎng)PO，PF分別交E于Q，R兩點(diǎn)，已知QF⊥FR，且，則E的離心率為（） B． D．多選題（每小題5分，共20分,在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9．已知點(diǎn)，，向量，則下列選項(xiàng)正確的是（）A． B．C．若，則 D．若，則10．下列說(shuō)法正確的是（）A．直線的斜率為B．若直線的傾斜角為α，則C．若兩條直線的斜率之積等于－1，則這兩條直線垂直D．若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則該直線的方程為11．設(shè)有一組圓，下列命題正確的是（）A．不論如何變化，圓心始終在一條直線上B．存在圓，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．存在定直線始終與圓相切D．若圓上總存在兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，則12．拋物線的焦點(diǎn)為，動(dòng)直線與拋物線交于兩點(diǎn)且，直線分別與拋物線交于兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．直線恒過(guò)定點(diǎn)B．C．D．若于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是圓三、填空題（每小題5分，共20分）13．若，則x=___________.14．已知橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，則______________.15．已知兩點(diǎn)，，若直線與線段AB總有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是___________.16．如圖，三棱錐中，底面為等腰直角三角形，且，平面，，分別是，的中點(diǎn)，則直線與所成的角的正弦值為_(kāi)______.四、解答題（6道題，共70分）17．（本小題滿分10分）已知圓C滿足:圓心在直線x+y=0上，且過(guò)圓x2+y2-2x+10y-24=0與圓x2+y2+2x+2y-8=0的交點(diǎn)A，B.（1）求弦AB所在直線的方程；（2）求圓C的方程.18．（本小題滿分12分）全世界人們?cè)絹?lái)越關(guān)注環(huán)境保護(hù)問(wèn)題，某監(jiān)測(cè)站點(diǎn)于2016年8月某日起連續(xù)n天監(jiān)測(cè)空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI），數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：空氣質(zhì)量指數(shù)（）空氣質(zhì)量等級(jí)空氣優(yōu)空氣良輕度污染中度污染重度污染天數(shù)2040m105（1）根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖中的信息求出n，m的值，并完成頻率分布直方圖；（2）由頻率分布直方圖求該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)；（3）在空氣質(zhì)量指數(shù)分別屬于和監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，用分層抽樣的方法抽取5天，再?gòu)闹腥我膺x取2天，求事件A“兩天空氣都為良”發(fā)生的概率.19．（本小題滿分12分）在銳角中，角的對(duì)邊分別為a，b，c，.（1）求；（2）若，求的取值范圍.20．（本小題滿分12分）如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，且是的中點(diǎn).（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）設(shè)為棱上的點(diǎn)，若直線和平面所成角的正弦值為，求線段的長(zhǎng).21．（本小題滿分12分）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)作直線，且直線交橢圓于，兩點(diǎn)，問(wèn)軸上是否存在一點(diǎn)，使得為常數(shù)，若存在，求出坐標(biāo)及該常數(shù)，若不存在，說(shuō)明理由．22．（本小題滿分12分）已知定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）解方程；（3）判斷并用定義證明函數(shù)的單調(diào)性；（4）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.普寧二中2021-2022學(xué)年度第一學(xué)期第二次月考參考答案1．A，，2．A，又，，，，，．3．B對(duì)于A，，故在R上為偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故在其定義域上為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C，，故在R上為偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則R上為奇函數(shù)，但在上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.4．D因?yàn)椋紴檎龑?shí)數(shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最大值.5．B解：直線與直線垂直，，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)或時(shí)，直線與直線垂直，根據(jù)充分、必要條件的定義可得，“直線與直線垂直”是“”的必要不充分條件6．C如圖，不妨設(shè)焦點(diǎn)F為左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，連接，因?yàn)镹是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，故是三角形的中位線，故，由得：，由橢圓的定義可知：，因?yàn)?，所以，?．A直線上任取一點(diǎn)作圓的切線，設(shè)切點(diǎn)為.圓，即，圓心為，半徑為.切線長(zhǎng)為.因?yàn)?所以切線長(zhǎng)的最小值為.8．B如圖，令雙曲線E的左焦點(diǎn)為，連接，由對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)是線段中點(diǎn)，則四邊形是平行四邊形，而QF⊥FR，于是有是矩形，設(shè)，則，，，在中，，解得或m＝0（舍去），從而有，中，，整理得，，所以雙曲線E的離心率為．9．AC解：因?yàn)辄c(diǎn)，，所以，所以，故A正確，B錯(cuò)誤；若，則，得，故C正確，D錯(cuò)誤．10．BCA：當(dāng)時(shí)，直線斜率不存在，錯(cuò)誤；B：由題意，，故，正確；C：由直線垂直的判定知：兩條直線的斜率之積等于－1，則兩條直線垂直，正確；D：直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0,且斜率不低于-1，直線的方程不可寫(xiě)為，錯(cuò)11．AC對(duì)于A選項(xiàng)：圓心的軌跡為直線，即不論如何變化，圓心始終在一條直線上，A正確；對(duì)于B選項(xiàng)：圓中，時(shí)，，，關(guān)于k的方程無(wú)實(shí)根，B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)：選取直線l：，圓心直線l的距離，即直線l與圓相切，C正確；對(duì)于D選項(xiàng)：到原點(diǎn)距離為1的軌跡是單位圓O：，當(dāng)圓O與圓相交時(shí)滿足條件，此時(shí)，得或，D錯(cuò)誤.12．ABD由題意，，若，，則，，∵，即，又聯(lián)立直線與拋物線有，∴，，則，∴，而，即，故過(guò)定點(diǎn)，A正確；若，，，，由：，可得，則；由：，可得，則；∴，而且，故，B正確；，，∴，C錯(cuò)誤；∵在直線上，又過(guò)定點(diǎn)且，∴，故在以為直徑的圓上，D正確；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理求，，，求的數(shù)量關(guān)系；設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，利用斜率的點(diǎn)斜式求、的數(shù)量關(guān)系；若，由垂直可得在以為直徑的圓上.13．解：，解得：14．1由題，則點(diǎn)滿足解得，則.15．[0,1].∵是過(guò)定點(diǎn)的直線，∴，，故k的取值范圍是[0,1].16．解：已知平面，底面為等腰直角三角形，，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意易得（0，0，0），（0，0，2），（0，2，0），（-2，2，0），（0，1，0），（-1，1，1），易得=（0，0，2），=（-1，0，1），所以，所以，故直線與所成角的正弦值為.四、解答題（6道題，共70分）17．（1）（2）【分析】（1）聯(lián)立兩圓方程求出弦AB所在直線的方程；（2）由求出的坐標(biāo)，設(shè)，利用距離公式得出半徑和圓心坐標(biāo)，從而得出圓的方程.【詳解】（1）由，得故弦AB所在直線的方程為（2）由，解得或故設(shè)圓心，由，解得，即，故圓C的方程為18．（1）n＝100，m＝25，圖像見(jiàn)解析；（2）＝95，中位數(shù)為；（3）【分析】（1）利用統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖能求出n，m的值，并能完成頻率分布直方圖．

（2）由頻率分布直方圖能求出該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)．

（3）空氣質(zhì)量指數(shù)為[50，100）和[150，200）的監(jiān)測(cè)天數(shù)中分布抽取4天和1天，在所抽取的5天中，將空氣質(zhì)量指數(shù)為[50，100）的4天分別記為a，b，c，d，將空氣質(zhì)量指數(shù)為[150，200）的1天記為e．從中任取2天，利用列舉法能求出事件A“兩天空氣都為良”發(fā)生的概率．（1）∵0.004×50＝，解得n＝100，

∵20＋40＋m＋10＋5＝100，解得m＝25，

完成頻率分布直方圖如圖：（2）由頻率分布直方圖知該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：

＝25×0.004×50＋75×0.008×50＋125×0.005×50＋175×0.002×50＋225×0.001×50＝95．

∵[0，50）的頻率為0.004×50＝0.2，[50，100）的頻率為0.008×50＝0.4，

∴該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為：．空氣質(zhì)量指數(shù)為[50，100）和[150，200）的監(jiān)測(cè)天數(shù)中分別抽取4天和1天，

在所抽取的5天中，將空氣質(zhì)量指數(shù)為[50，100）的4天分別記為a，b，c，d，

將空氣質(zhì)量指數(shù)為[150，200）的1天記為e．

從中任取2天的基本事件分別為：

（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e），共10天，

其中事件A“兩天空氣都為良”包含的基本事件為：

（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共6天，

∴事件A“兩天空氣都為良”發(fā)生的概率P（A）＝.19．（1）（2）【分析】（1）利用余弦定理對(duì)已知條件化簡(jiǎn)，可求的值，結(jié)合為銳角，可求的值；（2）由正弦定理可得，再根據(jù)銳角三角形，可得，所以的范圍轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求取值范圍的問(wèn)題求解．（1）解：因?yàn)?，所以，即，因?yàn)闉殇J角，所以，所以，又，所以；（2）解：在銳角中，，所以，所以，所以，因?yàn)?，，所以所以，所以，又，所以，可得，所以，即的取值范圍是?0．（1）;（2）.【解析】（1）解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則因?yàn)樵O(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，所以點(diǎn)到平面的距離為；（2）解：由題意，設(shè)，其中，則，所以，又是平面的一個(gè)法向量，因?yàn)橹本€和平面所成角的正弦值為，則，整理可得，又，解得，故線段的長(zhǎng)為.21．（1）（2）在軸上有在定點(diǎn)，使得恒為常數(shù)，這個(gè)常數(shù)為【分析】（1）利用待定系數(shù)法設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由橢圓的幾何性質(zhì)，列出方程組，求出，的值，再利用，，的關(guān)系求出，即可得到答案；（2）①當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)出直線方程，然后與橢圓方程聯(lián)立，得到韋達(dá)定理，然后利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)，利用它是常數(shù)，求出的值，得到坐標(biāo)及該常數(shù)；②當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，求出，的坐標(biāo)，求出的值以及常數(shù)．結(jié)合以上兩種情況，即可確定答案．（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得，，解得，所以，故橢圓的方程為；（2）由（1）可知，，假設(shè)在軸上存在一點(diǎn)，使得恒為常數(shù)．①當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)其方程為，設(shè)，，，，聯(lián)立方程組，可得，所以，，故，因?yàn)槭桥c無(wú)關(guān)的常數(shù)，則有，即，此時(shí)；②當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，當(dāng)時(shí)，亦有．綜上所述，在軸上有在定點(diǎn)，使得恒為常數(shù)，這個(gè)常數(shù)為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，一般會(huì)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，利用韋達(dá)定理和“設(shè)而不求”的方法進(jìn)行研究，本題與無(wú)關(guān)就可以得到相應(yīng)數(shù)據(jù)為0.22．（1）（2）（3）在定義域上單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析；（4）【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義列等式：，再根據(jù)