兩條直線的交點（六大題型）

1．4兩條直線的交點課程標(biāo)準學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）能用自己的語言解釋兩條直線的交點坐標(biāo)與兩條直線的方程之間的關(guān)系，（2）能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標(biāo)，能根據(jù)方程組解的個數(shù)判斷兩條直線的位置關(guān)系．（1）會用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標(biāo)．（2）會根據(jù)方程解的個數(shù)判定兩條直線的位置關(guān)系．知識點01直線的交點求兩直線與的交點坐標(biāo)，只需求兩直線方程聯(lián)立所得方程組的解即可．若有，則方程組有無窮多個解，此時兩直線重合；若有，則方程組無解，此時兩直線平行；若有，則方程組有唯一解，此時兩直線相交，此解即兩直線交點的坐標(biāo)．知識點詮釋：求兩直線的交點坐標(biāo)實際上就是解方程組，看方程組解的個數(shù)．【即學(xué)即練1】過直線和的交點，且與直線垂直的直線方程是（

）．A． B．C． D．【答案】B【解析】聯(lián)立方程，解得，所以交點坐標(biāo)為；直線的斜率為，所以所求直線方程的斜率為，由點斜式直線方程得：所求直線方程為，即；故選：B.知識點02過兩條直線交點的直線系方程一般地，具有某種共同屬性的一類直線的集合稱為直線系，它的方程叫做直線系方程，直線系方程中除含有以外，還有根據(jù)具體條件取不同值的變量，稱為參變量，簡稱參數(shù)．由于參數(shù)取法不同，從而得到不同的直線系．過兩直線的交點的直線系方程：經(jīng)過兩直線，交點的直線方程為，其中是待定系數(shù)．在這個方程中，無論取什么實數(shù)，都得不到，因此它不能表示直線．【即學(xué)即練2】設(shè)直線經(jīng)過和的交點，且與兩坐標(biāo)軸圍成等腰直角三角形，則直線的方程為.【答案】或【解析】方法一：由，得，所以兩條直線的交點坐標(biāo)為（14，10）,由題意可得直線的斜率為1或-1，所以直線的方程為或，即或.方法二：設(shè)直線的方程為，整理得，由題意，得，解得或，所以直線的方程為或.故答案為：或.題型一：求直線的交點例1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若直線與直線的交點在直線上，則實數(shù)（

）A．4 B．2 C． D．【答案】A【解析】解方程組，得直線與直線的交點，依題意，，解得，所以實數(shù).故選：A例2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若直線與直線的交點在第一象限，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】聯(lián)立方程組，解得，因為直線與直線的交點在第一象限，所以，解得，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故選：A例3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）直線與直線的交點坐標(biāo)是（

）A．(2,0) B．(2,1)C．(0,2) D．(1,2)【答案】C【解析】解方程組得，即直線與直線的交點坐標(biāo)是(0,2)．故選：C.變式1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若點是直線和的公共點，則相異兩點和所確定的直線方程是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為是直線和的公共點，所以，且，所以兩點和都在同一條直線上，故兩點和所確定的直線方程是，故選:A.變式2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若直線與直線的交點位于第一象限，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．或 B． C． D．【答案】D【解析】聯(lián)立得，因為直線與直線的交點位于第一象限，所以，解得.故選：D變式3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）過點作一條直線，它夾在兩條直線：和：之間的線段恰被點平分，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如果直線斜率不存在時，直線方程為：，不符合題意；所以直線斜率存在設(shè)為，則直線方程為，聯(lián)立直線得：，聯(lián)立直線得：，，所以直線與直線，直線的交點為：，又直線夾在兩條直線和之間的線段恰被點平分，所以，解得：，所以直線的方程為：，故選：B.【方法技巧與總結(jié)】判斷兩直線的位置關(guān)系，關(guān)鍵是看兩直線的方程組成的方程組的解的情況．（1）解方程組的重要思想就是消元，先消去一個變量，代入另外一個方程能解出另一個變量的值．（2）解題過程中注意對其中參數(shù)進行分類討論．（3）最后把方程組解的情況還原為直線的位置關(guān)系．題型二：由方程組解的個數(shù)判斷直線的位置關(guān)系例4．（多選題）（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)直線：，：，下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，直線與不重合B．當(dāng)時，直線與相交C．當(dāng)時，D．當(dāng)時，【答案】BD【解析】對于A，時，若,,且時，兩直線：，：重合，A錯誤；對于B，聯(lián)立，可得,當(dāng)時，，此時方程組有唯一一組解，故直線與相交，B正確；對于C，時，若，則無解，此時；若，則有無數(shù)多組解，此時重合，故C錯誤；對于D，若，則由可得，即兩直線斜率之積等于，故；若,則可得，此時滿足，直線：，：，此時，故當(dāng)時，，D正確，故選：例5．（多選題）（2023·高二課時練習(xí)）若兩條直線與有交點，則該交點坐標(biāo)就是方程組的實數(shù)解，給出以下三種說法：①若方程組無解，則兩直線平行；②若方程組只有一解，則兩直線相交；③若方程組有無數(shù)多解，則兩直線重合．其中說法正確的有（

）A．① B．② C．③ D．以上都不正確【答案】ABC【解析】對于①，若方程組無解，則兩條直線無交點，兩直線平行，故①正確；對于②，若方程組只有一解，說明兩條直線只有一個交點，則兩直線相交，故②正確；對于③，若方程組有無數(shù)多解，說明兩條直線有無數(shù)多個交點，則兩直線重合，故③正確.故選：ABC例6．（多選題）（2023·全國·高一專題練習(xí)）(多選題)與直線2x－y－3＝0相交的直線方程是（

）A．y＝2x＋3 B．y＝－2x＋3C．4x－2y－6＝0 D．4x＋2y－3＝0【答案】BD【解析】對于A，聯(lián)立，方程組無解，兩直線平行；對于B，聯(lián)立方程組，解得：，有唯一解，與原直線相交；對于C，聯(lián)立方程組有無數(shù)解，與原直線重合；對于D，聯(lián)立方程組有唯一解，與原直線相交.故選：BD.變式4．（多選題）（2023·河北邯鄲·高二校考階段練習(xí)）已知集合，集合，且，則（

）A．2 B． C． D．【答案】AD【解析】因為集合，集合，且，所以直線與直線平行或交于點，當(dāng)兩線平行時，；當(dāng)兩線交于點時，，解得．綜上得a等于或2．故選：AD．變式5．（2023·湖北武漢·高二華中師大一附中?？计谥校懗鍪沟藐P(guān)于的方程組無解的一個的值為.（寫出一個即可）【答案】，3，（寫出一個即可）【解析】顯然，當(dāng)時，不表示直線，無解，故方程組無解；當(dāng)時，由方程組可看作求兩直線（）與的交點，則方程組無解，即直線無交點，若兩直線平行，則，解得.若兩直線不平行時，過點，即，解得或，此時，不過點，方程組無解.綜上，的取值為.故答案為：，3，（寫出一個即可）變式6．（2023·高二單元測試）已知直線，是直線l外一點，那么直線（

）A．過點P且與直線l斜交B．過點P且與直線l重合C．過點P且與直線l平行D．過點P且與直線l垂直【答案】C【解析】在直線外，所以，方程與兩變量的系數(shù)完全相同，而，即常數(shù)項不同，它們的方程組成的方程組無解，所以兩直線的位置關(guān)系是平行，又，所以直線必過點，所以直線過點且與直線平行.故選：C變式7．（2023·高二課時練習(xí)）曲線與的交點的情況是（

）A．最多有兩個交點 B．兩個交點C．一個交點 D．無交點【答案】A【解析】聯(lián)立兩條直線方程得：得到，兩邊平方得：，當(dāng)即時，，得到方程有兩個不相等的實數(shù)解，所以曲線與直線有兩個交點．當(dāng)時，得到，與曲線只有一個交點．所以曲線與的最多有兩個交點．故選：A題型三：由直線交點的個數(shù)求參數(shù)例7．（2023·全國·高二專題練習(xí)）直線與直線相交，則實數(shù)k的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．且【答案】D【解析】因直線與直線相交，則，即，解得且，所以實數(shù)k的值為且.故選：D例8．（2023·湖北武漢·高二華中科技大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點，若直線與線段總有公共點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為直線與線段總有公共點，所以點和點不同在直線的一側(cè)，所以，解得或.即的取值范圍是.故選：B例9．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若三條直線，與共有兩個交點，則實數(shù)的值為（

）A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1【答案】C【解析】由題意可得三條直線中，有兩條直線互相平行，∵直線和直線不平行，∴直線和直線平行或直線和直線平行，∵直線的斜率為1，直線的斜率為，直線的斜率為，∴或.故選：C.變式8．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知直線與射線恒有公共點，則m的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】聯(lián)立，得，∵直線與射線恒有公共點，∴，解得.∴m的取值范圍是.故選：C.變式9．（2023·安徽合肥·高二合肥一六八中學(xué)?？计谥校┮阎€段AB兩端點的坐標(biāo)分別為和，若直線與線段AB有交點，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】直線恒過的定點，.當(dāng)時，直線方程為，與線段有交點，符合題意.當(dāng)時，直線的斜率為，則，解得或，綜上，.故選：C題型四：由直線交點坐標(biāo)求參數(shù)例10．（2023·高二課時練習(xí)）若三直線：，：，：經(jīng)過同一個點，則【答案】【解析】由，解得，∴直線與的交點坐標(biāo)坐標(biāo)為．由題意得點在直線上，∴，解得．故答案為：-3．例11．（2023·全國·高二課堂例題）若直線與直線的交點在直線上，則k的值為．【答案】/【解析】因為直線與直線相交，則，則且，由，解得，即直線與直線的交點坐標(biāo)為，將點的坐標(biāo)代入，得，即，即，因為，解得.故答案為：.例12．（2023·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）若三條直線，，將平面劃分成6個部分，則實數(shù)的取值集合為.【答案】【解析】直線、的交點為，若3條直線將平面劃分成6個部分，分2種情況討論：①直線過交點，則；②直線與另外兩直線平行，此時或，所以實數(shù)k的取值集合為.故答案為：.變式10．（2023·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）已知直線：與：相交于點，則.【答案】【解析】由題設(shè)，可得，所以.故答案為：變式11．（2023·山東青島·高二青島二中?？茧A段練習(xí)）若直線與直線垂直于點，則．【答案】6【解析】直線與直線且，可得，解得，所以直線．由題意，可知是兩條直線的交點，將代入直線得，解得．將代入直線，得，解得，所以．故答案為：6.變式12．（2023·河北保定·高二河北省唐縣第一中學(xué)校考期中）已知兩直線，．若直線與，不能構(gòu)成三角形，求實數(shù)．【答案】或或【解析】由題意可得，①當(dāng)時，不能構(gòu)成三角形，此時：，解得：；②當(dāng)時，不能構(gòu)成三角形，此時：，解得：；③當(dāng)過與的交點時，不能構(gòu)成三角形，此時：聯(lián)立與，得，解得，所以與過點，將代入得：，解得；綜上：當(dāng)或或時，不能構(gòu)成三角形.故答案為：或或.變式13．（2023·黑龍江雞西·高二?？茧A段練習(xí)）已知三條直線，，相交于一點，則k的值為．【答案】1或【解析】由解得，，依題意，點在直線上，則有，整理得，解得或，所以k的值為1或.故答案為：1或變式14．（2023·天津?qū)幒印じ叨旖蚴袑幒訁^(qū)蘆臺第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直線和交于一點，則m的值為.【答案】【解析】聯(lián)立可得，故三條直線交于，故，解得.故答案為：題型五：三線能否圍成三角形問題例13．（2023·江蘇徐州·高二徐州市第七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知a為實數(shù)，若三條直線，和不能圍成三角形，則a的值為．【答案】或或【解析】設(shè)，，則∴與的交點為∵三條直線不能圍成三角形，∴過與的交點或或，∴①當(dāng)過與的交點時，解得：，②當(dāng)時，解得：，③當(dāng)時，解得：，綜述：或或.故答案為：或或.例14．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線.(1)若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；(2)若直線l交x軸負半軸于A，交y軸正半軸于B，的面積為S(O為坐標(biāo)原點)，求S的最小值和此時直線l的方程.【解析】（1）直線可化為，要使直線不經(jīng)過第四象限，則,解得，∴k的取值范圍為；（2）由題意可得中取得,取得,故，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取“=”，此時S的最小值為4，直線l的方程為﹒例15．（2023·黑龍江牡丹江·高二牡丹江市第二高級中學(xué)校考期中）直線l經(jīng)過兩條直線和的交點P，且直線l在x軸上的截距為．(1)求直線l的方程；(2)求直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積．【解析】（1）∵直線l經(jīng)過兩條直線和的交點，∴解得，，即，由題意可知直線的斜率存在，設(shè)為k且，則過，代入可得．∴直線l的方程．（2）在直線中，令可得，令可得，所以直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積．變式15．（2023·重慶江北·高二重慶十八中?？茧A段練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，為坐標(biāo)原點，點在軸正半軸上，點在第一象限內(nèi)，.(1)若過點，且直線的斜率為，求△的面積（用含的式子表示并寫出的取值范圍）；(2)設(shè)，，若，求證：直線過一定點，并求出此定點坐標(biāo).【解析】（1）設(shè)直線的方程為，令，解得，即點橫坐標(biāo)為，聯(lián)立，解得，即點縱坐標(biāo)為，由，得或；由，得或，所以或，所以面積，即面積，（2）因為，，，所以，，，所以當(dāng)直線斜率不存在時，即時，直線方程為①，當(dāng)直線斜率存在時，即時，直線的方程為，整理得②，①滿足②，所以，②都成立，同時除以，得③，又因為，所以代入③整理得，，對于任意都成立，所以，解得，所以直線過定點，定點坐標(biāo)為，．變式16．（2023·遼寧沈陽·高二新民市第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）求適合下列條件的直線方程：(1)已知，，，求△ABC的BC邊上的中線所在的直線方程；(2)直線過點，且與軸和直線圍成的三角形的面積為2，求直線的方程．【解析】（1）設(shè)中點為,則由中點坐標(biāo)公式可得,故,所以直線方程為：，即可,（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，的方程為，聯(lián)立與得交點為,此時面積為，符合要求．當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即.令得，.由三角形的面積為2，得.解得，可得直線的方程為，即.綜上可知，直線的方程為或.變式17．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知直線，直線，直線．(1)若與的傾斜角互補，求m的值；(2)當(dāng)m為何值時，三條直線能圍成一個直角三角形．【解析】（1）因為與的傾斜角互補，所以，直線變形為，故所以，解得（2）由題意，若和垂直可得：，解得，因為當(dāng)時，，，，構(gòu)不成三角形，當(dāng)時，經(jīng)驗證符合題意；故；同理，若和垂直可得：，解得，舍去；若和垂直可得：，解得或，經(jīng)驗證符合題意；故m的值為：0，，.變式18．（2023·上海徐匯·高二上海市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知直線l的方程為.(1)證明：無論m為何值，直線l恒過定點，并求出定點的坐標(biāo)；(2)若直線l與x、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，是否存在直線l使得的面積為9.若存在，求出直線l的方程；若不存，請說明理由.【解析】（1）直線l的方程為，即，令，可得，求得，，可得該直線一定經(jīng)過和的交點.（2）若直線l與x、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，則、，且，，∴，或.則的面積為，即，即，∴，或.故存在直線l滿足條件，且滿足條件的出直線l的方程為，或.變式19．（2023·湖北黃石·高二大冶市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線過點且與軸、軸的正半軸分別交于、兩點，為坐標(biāo)原點，（1）求三角形面積取最小值時直線的方程；（2）求取最小值時直線的方程．【解析】（1）設(shè)，，，則直線的方程為：，因為直線過點，所以，由，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)即時，取得最小值，此時三角形面積最小，直線的方程為：，即，（2）因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以當(dāng)取最小值時直線的方程為即.變式20．（2023·高一課時練習(xí)）已知三條直線，求m的值，使它分別滿足以下條件：(1)交于同一點；(2)不能圍成三角形.【解析】（1）由可得：，（），將交點坐標(biāo)代入，可得，，解得：或．（2）由(1)知，當(dāng)m＝－1或時，不能圍成三角形；又直線的斜率分別是：（），若，則；若，則；由于與異號，顯然與不平行．當(dāng)時，可知三直線能圍成三角形．綜上知，m＝－1，，或4.題型六：直線交點系方程例16．（2023·海南?？凇じ咭缓Ｄ现袑W(xué)校考期末）過兩直線和的交點和原點的直線方程為（）A．3x-19y=0 B．19x-3y=0C．19x+3y=0 D．3x+19y=0【答案】D【解析】設(shè)過兩直線交點的直線系方程為，代入原點坐標(biāo)，得，解得，故所求直線方程為，即.故選：D.例17．（2023·高二課時練習(xí)）過直線與的交點，與直線平行的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由已知，可設(shè)所求直線的方程為：，即，又因為此直線與直線平行，所以：，解得：，所以所求直線的方程為：，即．故選：A．例18．（2023·高二課時練習(xí)）經(jīng)過點和兩直線；交點的直線方程為.【答案】【解析】設(shè)所求直線方程為，點在直線上，，解得，所求直線方程為，即．故答案為：.變式21．（2023·全國·高二課堂例題）若直線l經(jīng)過兩直線和的交點，且斜率為，則直線l的方程為．【答案】【解析】設(shè)直線l的方程為（其中為常數(shù)），即①．又直線l的斜率為，則，解得．將代入①式并整理，得，此即所求直線l的方程．故答案為：.變式22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知兩直線和的交點為，則過兩點的直線方程為.【答案】【解析】依題意兩直線和的交點為，所以在直線上，所以過兩點所在直線方程為.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】過兩條相交直線，交點的直線方程可設(shè)為不含直線．一、單選題1．（2023·河南信陽·高二潢川縣高級中學(xué)（河南省潢川高級中學(xué)）?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)家歐拉1765在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知的頂點分別為，則的歐拉線方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題可知，△ABC的重心為，可得直線AB的斜率為，則AB邊上高所在的直線斜率為，則方程為，直線AC的斜率為，則AC邊上高所在的直線斜率為2，則方程為，聯(lián)立方程可得△ABC的垂心為，則直線GH斜率為，則可得直線GH方程為，故△ABC的歐拉線方程為.故選：C.2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）經(jīng)過兩條直線和的交點，且與直線平行的直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】聯(lián)立，解得，即交點為，因為直線的斜率為，所以，所求直線的方程為，即．故選：B．3．（2023·廣東廣州·高二廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？计谀┻^點引直線，使，兩點到直線的距離相等，則這條直線的方程是（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】設(shè)所求的直線為，則直線平行于或直線過線段的中點，因為，，所以，所以過點且與平行的直線為：即，因為，，所以線段的中點為，所以過點與線段的中點為的直線的方程為：，即，所以這條直線的方程是：或，故選：.4．（2023·高二課時練習(xí)）已知，，若直線與線段有公共點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由于直線的斜率為，且經(jīng)過定點，設(shè)此定點為.而直線的斜率為，直線的斜率為，要使直線與線段有公共點，只需.故選：C.5．（2023·山東濟南·高二統(tǒng)考期中）一條沿直線傳播的光線經(jīng)過點和，然后被直線反射，則反射光線所在的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】入射光線所在的直線方程為，即，聯(lián)立方程組解得即入射點的坐標(biāo)為．設(shè)P關(guān)于直線對稱的點為，則解得即．因為反射光線所在直線經(jīng)過入射點和點，所以反射光線所在直線的斜率為，所以反射光線所在的直線方程為，即．故選：D6．（2023·河南周口·高二校考階段練習(xí)）已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為，則所在直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，邊上的高所在直線方程為，所以，所以邊所在直線的方程為，即.又邊上的中線所在直線方程為，由，解得，所以.設(shè)，則線段的中點，則解得即，所以所在直線的方程為.故選：D7．（2023·高二校聯(lián)考課時練習(xí)）已知與是直線（為常數(shù)）上兩個不同的點，則關(guān)于：和：的交點情況是（

）A．存在、、使之無交點B．存在、、使之有無窮多交點C．無論、、如何，總是無交點D．無論、、如何，總是唯一交點【答案】D【解析】因為與是直線上兩個不同的點，直線斜率存在，所以，即，并且，則，聯(lián)立，消得，即，所以，所以方程組有唯一解，即無論、、如何，總是唯一交點.故選：D.8．（2023·江蘇鹽城·高二鹽城市大豐區(qū)南陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為菱形，，，，則對角線交點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】過點作交于，如圖所示。因為四邊形是菱形，所以，,所以在中，，所以在中，，，，故的坐標(biāo)為：.故選：D.二、多選題9．（2023·高二課時練習(xí)）已知直線與，則下列說法正確的是（

）A．與的交點坐標(biāo)是B．過與的交點且與垂直的直線的方程為C．，與x軸圍成的三角形的面積是D．的傾斜角是銳角【答案】BC【解析】與可得，，解得交點坐標(biāo)為，所以A錯誤；由所求直線與直線垂直得所求直線的斜率為，由點斜式得，即，所以B正確；如圖，與軸相交于，與軸相交于，與相交于所以，與x軸圍成的三角形的面積，所以C正確；的斜率，所以的傾斜角是鈍角，所以D錯誤.故選：BC.10．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知平面上三條直線，，，若這三條直線將平面分為六部分，則的可能取值為（

）A．-2 B．-1 C．0 D．1【答案】ABC【解析】（1）當(dāng)三條直線中有兩條平行，另外一條與這兩條相交，此時符合題意，若直線與直線平行，可得，此時滿足題意；若直線與直線平行，可得，此時滿足題意，（2）若三條直線相交于一點，也符合題意，由，解得，即兩直線的交點為，將代入直線，可得，綜上可得，實數(shù)的值為或或.故選：ABC.11．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知三條直線，，不能構(gòu)成三角形，則實數(shù)的取值為（

）A． B． C． D．6【答案】ACD【解析】由于三條直線，，不能構(gòu)成三角形，則直線存在以下三種情況；①當(dāng)與平行時，則，解得；②當(dāng)與平行時，則，解得；③當(dāng)三條直線交于同一點時，由，解得，代入解得．故選：ACD12．（2023·安徽滁州·安徽省定遠中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖所示，邊長為的等邊從起始位置（與軸重合）繞著點順時針旋轉(zhuǎn)至與軸重合得到，在旋轉(zhuǎn)的過程中，下列說法正確的是（

）A．邊所在直線的斜率的取值范圍是B．邊所在直線在軸上截距的取值范圍是C．邊與邊所在直線的交點為D．當(dāng)?shù)闹写咕€為時，【答案】ACD【解析】由題意可知，、、、，，，對于A選項，邊所在直線斜率的取值范圍是，A對；對于B選項，設(shè)邊的中點為，則，且，設(shè)點，其中為銳角，設(shè)，則，因為，則，，則，所以，直線的方程為，即，所以，邊所在直線在軸上截距為，B錯；對于C選項，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立可得，因此，邊與邊所在直線的交點為，C對；對于D選項，當(dāng)?shù)闹写咕€為時，即，則，則，所以，，D對.故選：ACD.三、填空題13．（2023·江蘇徐州·?？寄M預(yù)測）在中，的內(nèi)角平分線方程為，，，則角的正切值為．【答案】【解析】由題意得，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，關(guān)于的對稱點一定在直線上，設(shè)關(guān)于的對稱點為，記，則是中垂線，于是，解得，故，又，故直線方程為，于是和的交點為的坐標(biāo)，由，則，故，則，.故答案為：14．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知的頂點，AC邊上的高BC所在的直線方程為，則頂點C的坐標(biāo)為.【答案】【解析】由題意知BC與AC垂直，，，∴直線AC的方程為，即，解方程組，得點C的坐標(biāo)為.故答案為：.15．（