第一章集合與邏輯（7大知識歸納9大題型突破）

第一章集合與邏輯（知識歸納+題型突破）1.了解集合的定義，理解元素與集合的關(guān)系．熟練掌握數(shù)集的符號，了解集合的表示方法及元素的相關(guān)性質(zhì)．2.理解集合間的基本關(guān)系．3.理解并掌握集合的基本運(yùn)算．4.理解并掌握充分條件與必要條件.5.理解一些簡單的命題的否定和反證法的推理邏輯.1、集合的意義與表示（1）集合及其表示①定義：概括地說，把一些確定的對象的全體叫做集合，簡稱集；②記法：集合通常用大寫字母A、B、C、…來表示；③常用數(shù)集及表示符號：數(shù)學(xué)上，常常需要用到數(shù)的集合；數(shù)的集合簡稱數(shù)集；數(shù)集自然數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集記法NZQR注意：集合含義中的“研究對象”指的是集合的元素，研究集合問題的核心即研究集合中的元素，因此解決集合問題時(shí)，首先要明確集合中的元素是什么．集合中的元素可以是數(shù)、點(diǎn)，也可以是一些人或一些物；（2）元素①定義：集合所含的各個(gè)對象叫做該集合的元素；②記法：通常用小寫字母a、b、c、…來表示；③性質(zhì)：確定性、互異性、無序性.注意：一個(gè)給定集合中的各個(gè)元素是互不相同的，即一個(gè)元素在同一個(gè)集合中是不能重復(fù)出現(xiàn)的；（3）元素與集合的關(guān)系關(guān)系定義記法讀法屬于a是集合A的元素a∈Aa屬于A不屬于a不是集合A的元素a?Aa不屬于A（4）集合相等如果兩個(gè)集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，則稱這兩個(gè)集合相等；記作A=B；（5）集合的分類有限集含有有限個(gè)元素的集合無限集含有無限個(gè)元素的集合空集不含有任何元素的集合，記作；2、集合的表示方法（1）列舉法：把集合中的元素不重復(fù)地一一列舉出來，并用一對大括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法；【注意】應(yīng)用列舉法表示集合時(shí)應(yīng)關(guān)注以下四點(diǎn)：①元素與元素之間必須用“，”隔開；②集合中的元素必須是明確的；③集合中的元素不能重復(fù)；④集合中的元素可以是任何事物；（2）描述法：一般地，設(shè)A是一個(gè)集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為A={x|x滿足性質(zhì)p}，這種表示集合的方法稱為描述法；【注意】應(yīng)用描述法表示集合時(shí)應(yīng)關(guān)注以下三點(diǎn)：①寫清楚集合中元素的符號，如：數(shù)或點(diǎn)等；②說明該集合中元素的共同特征，如：方程、不等式、函數(shù)式或幾何圖形等；③不能出現(xiàn)未被說明的字母；【注意】區(qū)分以下四個(gè)集合：①A＝{x|y＝x2＋1}表示使函數(shù)y＝x2＋1有意義的自變量x的取值范圍，且x的取值范圍是R，因此A＝R；②B＝{y|y＝x2＋1}表示使函數(shù)y＝x2＋1有意義的函數(shù)值y的取值范圍，而y的取值范圍是y＝x2＋1≥1，因此B＝{y|y≥1}；③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}表示滿足y＝x2＋1的點(diǎn)(x，y)組成的集合，因此C表示函數(shù)y＝x2＋1的圖像上的點(diǎn)組成的集合；④P＝{y＝x2＋1}是用列舉法表示的集合，該集合中只有一個(gè)元素，且此元素是一個(gè)式子y＝x2＋1.（3）區(qū)間的概念及表示①區(qū)間的定義及表示：設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且a<b.定義名稱符號數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}閉區(qū)間[a，b]{x|a<x<b}開區(qū)間(a，b){x|a≤x<b}半開半閉區(qū)間[a，b){x|a<x≤b}半開半閉區(qū)間(a，b]②無窮的概念及無窮區(qū)間的表示定義R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符號(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)【注意】關(guān)于無窮大的兩點(diǎn)說明：（1）“∞”是一個(gè)符號，而不是一個(gè)數(shù)；（2）以“－∞”或“＋∞”為端點(diǎn)時(shí)，區(qū)間這一端必須是小括號；3、集合間的運(yùn)算（1）交集①文字語言：由既屬于集合A又屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作A∩B(讀作“A交B”)；②符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}；③圖形語言：（2）并集①文字語言：由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為A與B的并集，記作A∪B(讀作“A并B”)；②符號語言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}；③圖形語言：（3）并集與交集的運(yùn)算性質(zhì)并集的運(yùn)算性質(zhì)交集的運(yùn)算性質(zhì)A∪B＝B∪AA∩B＝B∩AA∪A＝AA∩A＝AA∪?＝AA∩?＝?A?B?A∪B＝BA?B?A∩B＝A（4）全集①定義：在研究集合與集合之間的關(guān)系時(shí)，如果所要研究的集合都是某一給定集合的子集，那么稱這個(gè)給定的集合為全集；②記法：全集通常記作U；【注意】全集并不是一個(gè)含有任何元素的集合，僅包含所研究問題中涉及的所有元素.（5）補(bǔ)集①文字語言：設(shè)U為全集，A是全集U的一個(gè)子集，則由U中不屬于A的所有元素組成的集合，稱為A在U中的補(bǔ)集（complementaryset），記作：；②符號語言：＝{x|x∈U，且x?A}；③圖形語言：（6）補(bǔ)集的性質(zhì)（1）A∪()＝U；（2）A∩()＝?；（3）＝?，＝U，?U(?UA)＝A；（4）∩＝；（5）＝；【注意】1、的三層含義：（1）表示一個(gè)集合；（2）A是U的子集，即A?U；（3）)是U中不屬于A的所有元素組成的集合；2、【以前與有些書上，記作：?UA是U中不屬于A的所有元素組成的集合】4、命題（1）命題的概念：把用語言、符號或式子表達(dá)，且可以判斷其真假的語句叫做命題（proposition）；【注意】在數(shù)學(xué)中，我們將可以判斷真假的陳述句叫作命題；特別提醒：（1）判斷一個(gè)語句是否為命題的兩個(gè)要素：（2）是陳述句，表達(dá)形式可以是符號、表達(dá)式或語言；（2）命題的分類：其含義判斷為真的命題叫做真命題：判斷為假的命題叫做假命題；【注意】真命題可以給出證明，假命題只需舉出一個(gè)反例即可；命題真假“若p則q”為真“若p則q”為假表示方法p?qpq讀法p推出qp不能推出q（3）命題的表示方法：命題通常寫成“若α，則β”的形式；其中陳述句α稱為命題的條件，β稱為命題的結(jié)論；用集合的語言描述：滿足α滿足β；【注意】命題的表示形式，在其他參考書上也有表示為：“若p，則q”，其中p叫做命題的條件，q叫做命題的結(jié)論；（4）子集與推出關(guān)系：如果命題“若α，則β”是真命題，那么我們就稱α推出β，記作αβ（或βα）.5、充分條件與必要條件（1）充分條件、必要條件的概念對于兩個(gè)陳述句α是β，如果α?β，則稱α是β的充分條件，或稱β是α的必要條件；【注意】①充分條件與必要條件的理解命題真假“若α則β”是真命題“若α則β”是假命題推出關(guān)系α?βαeq\o(?,\s\up0(/))β條件關(guān)系α是β的充分條件β是α的必要條件α不是β的充分條件β不是α的必要條件②p?q的含義：①“若p，則q”形式的命題為真命題；②由條件p可以得到結(jié)論q；③p是q的充分條件或q的充分條件是p；q是p的必要條件或p的必要條件是q；④只要有條件p，就一定有結(jié)論q，即p對于q是充分的，q對于p的成立是必要的；⑤為得到結(jié)論q，具備條件p就可以推出；顯然，p是q的充分條件與q是p的必要條件表述的是同一個(gè)邏輯關(guān)系，即p?q，只是說法不同而已；（2）充要條件的概念對于兩個(gè)陳述句α是β，如果既有α?β，又有β?α，我們就稱α是β的充分必要條件，簡稱充要條件；記作：α?β；讀作“α與β等價(jià)”或“α成立當(dāng)且僅當(dāng)β成立”；（3）定義法判斷充分條件、必要條件① 確定誰是條件，誰是結(jié)論；② 嘗試從條件推結(jié)論，若條件能推出結(jié)論，則條件為充分條件，否則就不是充分條件；③ 嘗試從結(jié)論推條件，若結(jié)論能推出條件，則條件為必要條件，否則就不是必要條件.（4）充要條件的證明策略① 要證明一個(gè)條件α是否是β的充要條件，需要從充分性和必要性兩個(gè)方向進(jìn)行，即證明兩個(gè)命題“若α，則β”為真且“若β，則α”為真；② 在證明的過程中也可以轉(zhuǎn)化為集合的思想來證明，證明α與β的解集是相同的，證明前必須分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些條件推證到哪些結(jié)論；（5）充分條件、必要條件、充要條件與集合的交匯① 記集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要條件，則AB，i. 若p是q的必要不充分條件，則BA；② 記集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M?N，則p是q的充分條件，i. 若N?M，則p是q的必要條件，ii. 若M＝N，則p是q的充要條件；7、反證法（1）反證法的定義反證法是指“證明某個(gè)命題時(shí)，首先假設(shè)結(jié)論β不成立（β為假），然后經(jīng)過正確的邏輯推理得出已知條件或（已學(xué)）定理相矛盾的結(jié)論，從而說明“β為假”是不可能發(fā)生的，即結(jié)論β是正確的；這樣的證明方法叫反證法；（2）反證法證題的基本步驟：（1）假設(shè)原命題的結(jié)論不成立；（假設(shè)）（2）從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，推出矛盾；（歸繆）（3）因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立.（結(jié)論）【注意】用反證法證明結(jié)論是B的命題；其思路是：假定B不成立，則B的反面成立，然后從B的反面成立的假定出發(fā)，利用已知事實(shí)、公理、定義、定理、法則、公式等作出一系列正確的推理，最后推出矛盾的結(jié)果，若同時(shí)承認(rèn)這個(gè)結(jié)果與題設(shè)條件，則與學(xué)過的公理、定理或定義矛盾，這矛盾只能來自“B的反面成立”這個(gè)假設(shè)，因此B必定成立；可見反證法的步驟是：否定結(jié)論→推出矛盾→否定假設(shè)→肯定結(jié)論，其中推出矛盾是證明的關(guān)鍵.（3）反證法證明數(shù)學(xué)問題的理解反證法可以證明的命題的范圍相當(dāng)廣泛，一般常見的如：惟一性問題，無限性問題，肯定性問題，否定性問題，存在性問題，不等式問題，等式問題，函數(shù)問題，整除問題，幾何問題等.【注意】（1）數(shù)學(xué)中的一些基礎(chǔ)命題都是數(shù)學(xué)中我們經(jīng)常運(yùn)用的明顯事實(shí)，它們的判定方法極少，宜用反證法證明，正難則反這是應(yīng)用反證法的原則，即一個(gè)命題的結(jié)論如果難于直接證明時(shí)，可考慮用反證法；（2）另外，宜用反證法證明的題型還有：①一些基本命題、基本定理；②易導(dǎo)出與已知矛盾的命題；③“否定性”命題；④唯一性”命題；⑤“必然性”命題；⑥至多”“至少”類的命題；⑦涉及“無限”結(jié)論的命題等等.題型一：集合的概念例題1．（2023·上?！つM預(yù)測）已知，，若且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，由，得或，又，且，即有且，因此，所?故選：A例題2．（2023·上海楊浦·復(fù)旦附中?？寄M預(yù)測）已知集合中的最大元素為，則實(shí)數(shù).【答案】1【詳解】因?yàn)椋?，所以，解得或，顯然不滿足集合元素的互異性，故舍去，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．故答案為：例題3．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)校考三模）已知，則.【答案】3【詳解】因?yàn)椋远畏匠逃袃蓚€(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則①，且方程的根為1，所以②，聯(lián)立①②解得：所以故答案為：.【鞏固練習(xí)】1．（2023·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）已知集合，且，則．【答案】2【詳解】因?yàn)榍遥约现性叵嗤?，所以，故答案為?2．（2023·上?！じ呷y(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）“notebooks”中的字母構(gòu)成一個(gè)集合，該集合中的元素個(gè)數(shù)是【答案】7【詳解】根據(jù)集合中元素的互異性，“notebooks”中的不同字母為“n，o，t，e，b，k，s”，共7個(gè)，故該集合中的元素個(gè)數(shù)是7；故答案為：7.3．（2023·上海·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)集合的最大元素等于該集合的所有元素之和，則．【答案】-3【詳解】解：因?yàn)閷?shí)數(shù)集合的最大元素等于該集合的所有元素之和，所以（無解）或者，解得：．故答案為：-3．題型二：集合的表示方法例題1．（2022秋·上海徐匯·高二上海中學(xué)校考期中）集合中，共有（

）個(gè)數(shù)是7的整數(shù)倍.A．21 B．22 C．23 D．24【答案】C【詳解】令，由題意可得，解得，所以，所以滿足條件的整數(shù)共有個(gè)，故選：C例題2．（2022秋·上海黃浦·高一上海市大同中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合有唯一元素，用列舉法表示滿足集合的條件的的取值集合．【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，有唯一解；當(dāng)時(shí)，有唯一解；當(dāng)時(shí)，即有唯一解，所以，解得；綜上的取值集合為.故答案為：.例題3．（2022·上海·高一專題練習(xí)）設(shè)集合，，集合，則中元素的個(gè)數(shù)為.【答案】46【詳解】由題意，集合當(dāng)時(shí)，，故對應(yīng)，有7個(gè)數(shù)；當(dāng)時(shí)，，故對應(yīng)，有7個(gè)數(shù)；當(dāng)時(shí)，，故對應(yīng)，有7個(gè)數(shù)；當(dāng)時(shí)，，對應(yīng)，其中有3個(gè)數(shù)1，2，3與時(shí)重復(fù)；當(dāng)時(shí)，，故對應(yīng)，有7個(gè)數(shù)；當(dāng)時(shí)，，故對應(yīng)，有7個(gè)數(shù)；當(dāng)時(shí)，，故對應(yīng)，有7個(gè)數(shù)；故中元素的個(gè)數(shù)為故答案為：46例題4．（2022·上海·高一專題練習(xí)）已知集合（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若中至多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的值，并寫出相應(yīng)的集合；（3）若中至少有兩個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）實(shí)數(shù)的取值為；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（3）【詳解】（1）若A是空集，則方程無解，此時(shí)且，即，所以的取值范圍為；（2）若A中至多有一個(gè)元素，則方程有且只有一個(gè)實(shí)根或者無解，若方程有且只有一個(gè)實(shí)根，則當(dāng)時(shí)，方程為一元一次方程，滿足條件，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，解得：，若方程無解，由（1）可知，綜上可知：若A中至多有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值為；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（3）若A中至少有兩個(gè)元素，則有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)且，解得且，所以a的取值范圍是.【鞏固練習(xí)】1．（2022秋·上海靜安·高一?？计谥校┯昧信e法表示集合.【答案】【詳解】解：，．，1，2，又，0，3．故答案為：.2．（2022秋·上海浦東新·高一校考階段練習(xí)）若集合中只含有一個(gè)元素，則用列舉法表示.【答案】或【詳解】當(dāng)時(shí)，由方程解得，；當(dāng)時(shí)，由解得，方程為，解得，.故答案為：或3．（2022秋·上海浦東新·高一?？茧A段練習(xí)）用列舉法表示集合為．【答案】【詳解】解：對于集合，所以的取值為，，，，，，可得所對應(yīng)的分別為：，，，，，，故答案為：．4．（2022·上海·高一專題練習(xí)）設(shè)，用列舉法表示A=.【答案】【詳解】由題意得,,故為6的正因數(shù),所以,故,故,列舉法得出答案.故答案為.5．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）設(shè)集合.（1）將集合中的元素進(jìn)行從小到大的排列，求最小的六個(gè)元素組成的子集；（2）對任意的，判定和是否是集合中的元素？并證明你的結(jié)論.【答案】（1）；（2）存在或存在，一定是集合中的元素，證明見解析.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以最小的六個(gè)元素組成的子集；（2）存在或存在，一定是集合中的元素.如：，但，.一定是集合中的元素.設(shè)，，則，且，所以.題型三：集合與集合的關(guān)系例題1．（2022秋·上海松江·高一上海市松江二中?？计谥校┮阎?，則以下結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由知為集合的子集，即可取元素為，所以是集合的一個(gè)元素，即，故選：A例題2．（2022秋·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學(xué)校考期末）用集合符號填空：Q．【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí),包含無理數(shù)，故，故答案為：.例題3．（2022秋·上海浦東新·高一?？茧A段練習(xí)）若，則，就稱是伙伴關(guān)系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴關(guān)系的集合個(gè)數(shù)是．【答案】【詳解】因?yàn)椋?；；；；即滿足“伙伴關(guān)系集合”的元素有1，-1，“2和”，“3和”，“4和”五種可能；這樣所求集合即為這“五種元素”組成集合的非空子集；所以，滿足條件的集合個(gè)數(shù)為個(gè).故答案為：例題4．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）設(shè)非空集合，當(dāng)中所有元素和為偶數(shù)時(shí)（集合為單元素時(shí)和為元素本身），稱是的偶子集，若集合，則其偶子集的個(gè)數(shù)為.【答案】【詳解】集合中只有個(gè)奇數(shù)時(shí)，則集合的可能情況為：、、、、、，共種，若集合中只有個(gè)奇數(shù)時(shí)，則集合，只有一種情況，若集合中只含個(gè)偶數(shù)，共種情況；若集合中只含個(gè)偶數(shù)，則集合可能的情況為、、，共種情況；若集合中只含個(gè)偶數(shù)，則集合，只有種情況.因?yàn)槭堑呐甲蛹?，分以下幾種情況討論：若集合中的元素全為偶數(shù)，則滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為；若集合中的元素全為奇數(shù)，則奇數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，共種；若集合中的元素是個(gè)奇數(shù)個(gè)偶數(shù)，共種；若集合中的元素為個(gè)奇數(shù)個(gè)偶數(shù)，共種；若集合中的元素為個(gè)奇數(shù)個(gè)偶數(shù)，共種；若集合中的元素為個(gè)奇數(shù)個(gè)偶數(shù)，共種；若集合中的元素為個(gè)奇數(shù)個(gè)偶數(shù)，共種；若集合中的元素為個(gè)奇數(shù)個(gè)偶數(shù)，共種.綜上所述，滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為.故答案為：.鞏固練習(xí)1．（2023春·上海楊浦·高二復(fù)旦附中?？茧A段練習(xí)）已知，，且，則．【答案】【詳解】因?yàn)?，，且，則，解得，因此，.故答案為：.2．（2023春·上海金山·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知集合有且僅有兩個(gè)子集，則實(shí)數(shù).【答案】1或【詳解】若A恰有兩個(gè)子集，所以關(guān)于x的方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，①當(dāng)時(shí)，，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，，所以，綜上所述，或.故答案為：1或.3．（2022·上海·高一專題練習(xí)）滿足的集合M有個(gè)．【答案】7【詳解】可以確定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一個(gè)，因此依據(jù)集合M的元素個(gè)數(shù)分類如下：含有三個(gè)元素：，，；含有四個(gè)元素：，，；含有五個(gè)元素：．故滿足題意的集合M共有7個(gè)．故答案為：7.4．（2022秋·上海青浦·高一上海市青浦高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合，如果對于的任意一個(gè)含有個(gè)元素的子集P，P中必有4個(gè)元素的和等于，稱正整數(shù)m為集合的一個(gè)“相關(guān)數(shù)”．(1)當(dāng)時(shí)，判斷5和6是否為集合的“相關(guān)數(shù)”，說明理由；(2)若m為集合的“相關(guān)數(shù)”，證明：．【答案】(1)5不是，6是；(2)證明見解析（1）解：當(dāng)時(shí)，，它的5個(gè)元素的子集中，它的四個(gè)元素之和的最小值，其中任意四個(gè)元素之和都不可能為13，所以5不是集合的“相關(guān)數(shù)”，它的6個(gè)元素的子集中只能是，存在四個(gè)元素，所以6是集合的“相關(guān)數(shù)”；（2）證明：若為集合的“相關(guān)數(shù)”，假設(shè)，則，分析的含有個(gè)元素的集合，其中任意四個(gè)元素之和的最小值，不可能等于，則不是集合的“相關(guān)數(shù)”，與題矛盾，所以.題型四：根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)例題1．（2022秋·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)．【答案】1【詳解】由題知,若,則或,當(dāng)時(shí),方程無解;當(dāng)時(shí),,解得:,此時(shí),,符合題意,所以.故答案為：1.例題2．（2022秋·上海普陀·高一?？茧A段練習(xí)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值集合為.【答案】【詳解】，，，當(dāng)時(shí)，滿足條件；當(dāng)，即時(shí)，滿足條件；當(dāng)，即時(shí)，滿足條件.故集合為.故答案為：例題3．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知.(1)若是的子集，求實(shí)數(shù)的值；(2)若是的子集，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)或.【詳解】（1）解：由題得.若是的子集，則，所以.（2）解：若是的子集，則.①若為空集，則，解得；②若為單元素集合，則，解得.將代入方程，得，即，符合要求；③若為雙元素集合，，則.綜上所述，或.例題4．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式與的解集依次記為和，求使的實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】【詳解】，（1）時(shí)，，由得，（2）時(shí)，由得，綜上所述：．鞏固練習(xí)1．（2022秋·上海徐匯·高一校考階段練習(xí)）已知集合，，且，則．【答案】0或4/4或0【詳解】，當(dāng)時(shí)，成立，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，得，綜上或，故答案為：0或42．（2022秋·上海浦東新·高一?？计谥校┮阎?，若，則實(shí)數(shù)=【答案】3【詳解】因?yàn)?，所以?．（2022秋·上海浦東新·高一上海南匯中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，若，求滿足條件的的取值范圍．【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)，有，解得：；當(dāng)時(shí)，要使，只需，解得：.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.4．（2022秋·上海崇明·高一上海市崇明中學(xué)?？计谀┰O(shè)集合，．(1)用列舉法表示集合；(2)若，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)(2)或．【詳解】（1）∵，∴集合為方程的實(shí)數(shù)解組成的集合，由，解得，，∴，∴用列舉法表示集合為.（2）∵，∴集合為方程的實(shí)數(shù)解組成的集合，由，，∴方程有解，，①當(dāng)時(shí)，方程方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)，滿足；②當(dāng)時(shí)，方程，解得，，若要使，則需使，即，綜上所述，若，則或.題型五：集合的運(yùn)算例題1．（2023春·上海金山·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)集合、、均為非空集合，下列命題中為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【詳解】對于A，，當(dāng)時(shí)，結(jié)論不成立，則A錯(cuò)誤；對于B,，當(dāng)時(shí)，結(jié)論不成立，則B錯(cuò)誤；對于C，，當(dāng)時(shí)，結(jié)論不成立，則C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)?，，所以，又，所以，則，則D正確.故選：D例題2．（2023春·上海黃浦·高三上海市大同中學(xué)?？茧A段練習(xí)）集合，，則．【答案】【詳解】，，則.故答案為：.例題3．（2023春·上海青浦·高三上海市青浦高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知集合，則．【答案】【詳解】解：因?yàn)榧纤杂?，所以，故答案為：鞏固練?xí)1．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，故選：B.2．（2023·上海·高三專題練習(xí)）已知集合，集合，則.【答案】{3，4}．【詳解】，.3．（2023·上海徐匯·上海市南洋模范中學(xué)?？既＃┰O(shè)集合，，則.【答案】【詳解】，，故.故答案為：.題型六：根據(jù)集合運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)例題1．（2022秋·四川成都·高一校聯(lián)考期中）已知正整數(shù)集合，，其中．若，且，則中所有元素之和為（

）A．52 B．56 C．63 D．64【答案】A【詳解】解：因?yàn)椋?，所?所以.由，可得.故由可得.所以.故,.所以,所有元素之和為52.故選:A．例題2．（2023春·四川雅安·高一雅安中學(xué)校考開學(xué)考試）已知集合，．(1)若，求；(2)在①，②中任選一個(gè)，補(bǔ)充到橫線上，并求解問題．若______，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)條件選擇見解析，【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，集合，又，所以；（2）方案一

選擇條件①．由，得．當(dāng)時(shí)，，得，此時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，得，解得．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．方案二

選擇條件②．由，得．當(dāng)時(shí)，，得，此時(shí)，符合題意．當(dāng)時(shí)，得，解得．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．例題3．（2022秋·遼寧大連·高一大連市第十五中學(xué)?？计谥校┮阎希?(1)若時(shí)，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）.當(dāng)時(shí)，.所以.（2）因?yàn)?，所?因?yàn)椋约螧可能為，，或.當(dāng)時(shí)，只需，解得：；當(dāng)或，則必有，所以或.若，有，不符合題意；若，有，不符合題意；當(dāng)時(shí)，則1和2是的兩根.所以，無解.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.例題4．（2022秋·河南·高一統(tǒng)考期中）已知全集，集合．(1)若且，求實(shí)數(shù)的值；(2)設(shè)集合，若的真子集共有3個(gè)，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）由題意，，所以，若，則或，解得或，又，所以；（2）因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，此時(shí)集合共有1個(gè)真子集，不符合題意；當(dāng)即時(shí)，，此時(shí)集合共有3個(gè)真子集，符合題意，綜上所述，鞏固練習(xí)1．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知集合，或．(1)若，求的取值范圍；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)或.【詳解】（1）因?yàn)椋?，解得：，所以的取值范圍?（2）因?yàn)?，所以，所以或，解得：或，所以的取值范圍是或?．（2023春·四川宜賓·高一宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）已知集合（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，中不等式為，即，∴或，則（2）∵，∴，①當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)；②當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí).綜上的取值范圍為.3．（2022秋·廣西梧州·高一?？计谥校┮阎希珺＝{x|≤x≤a+5}．(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求，；(2)若＝R，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1），（2）＝R，，解之：.4．（2022·高一單元測試）已知全集，集合，求實(shí)數(shù)的值.【答案】【解析】根據(jù)先確定出的可能取值，然后分類討論取值的合理性確定出的值.【詳解】因?yàn)椋?，所以或，?dāng)時(shí)，，不滿足，所以不符合條件，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)滿足，所以滿足，綜上可知：.題型七：命題例題1．（2023·全國·高一假期作業(yè)）下列命題：①矩形既是平行四邊形又是圓的內(nèi)接四邊形;②菱形是圓的內(nèi)接四邊形且是圓的外切四邊形;③方程的判別式大于0;④周長相等的兩個(gè)三角形全等或面積相等的兩個(gè)三角形全等;⑤集合是集合的子集，且是的子集．其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】對于①，矩形是平行四邊形，同時(shí)矩形有外接圓，故正確;對于②，菱形不一定有外接圓，故錯(cuò)誤，對于③，方程的判別式為，故正確，對于④，周長或者面積相等的三角形不一定全等，故錯(cuò)誤，對于⑤，,故正確;故選：C．例題2．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）判斷下列語句是否是命題，并說明理由．(1)是有理數(shù)；(2)；(3)梯形是不是平面圖形呢？(4)一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根一定是負(fù)數(shù)．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析(4)答案見解析【詳解】（1）“是有理數(shù)”是陳述句，并且它是假的，所以它是命題．（2）因?yàn)闊o法判斷“3x2≤5”的真假，所以它不是命題．（3）“梯形是不是平面圖形呢？”是疑問句，所以它不是命題．（4）“一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根一定是負(fù)數(shù)”是陳述句，并且它是假的，所以它是命題．鞏固練習(xí)1．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）以下四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（

）①“若，則a，b中至少有一個(gè)不小于1”的逆命題；②存在正實(shí)數(shù)a，b，使得；③“所有奇數(shù)都是素?cái)?shù)”的否定是“至少有一個(gè)奇數(shù)不是素?cái)?shù)”.A．0 B．1C．2 D．3【答案】C【詳解】對于①，原命題的逆命題為：若a，b中至少有一個(gè)不小于1，則，而，滿足條件a，b中至少有一個(gè)不小于1，但此時(shí)，故①是假命題；對于②，當(dāng)時(shí)，，故②是真命題；對于③，“所有奇數(shù)都是素?cái)?shù)”的否定為“至少有一個(gè)奇數(shù)不是素?cái)?shù)”，可知③是真命題．故選：C.2．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）菱形的對角線互相垂直的真假性為（用“真”“假”填空）．【答案】真【詳解】菱形的對角線互相垂直，故為真命題.故答案為：真題型八：充分性與必要性例題1．（2023·上海普陀·上海市宜川中學(xué)?？寄M預(yù)測）“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【答案】A【詳解】由可得，解得或，故是或的真子集，故“”是“”的充分不必要條件，故選：A例題2．（2023春·湖南·高一校聯(lián)考期中）已知，為非零實(shí)數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不