第6講 定值問題（原卷版）

第6講定值問題（先構(gòu)造函數(shù)，再消去參數(shù)）考情分析在解析幾何中，有些幾何量，如斜率、距離、面積、比值等基本量和動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或動(dòng)線中的參變量無關(guān)，這類問題統(tǒng)稱為定值問題．對學(xué)生邏輯思維能力計(jì)算能力等要求很高,這些問題重點(diǎn)考查學(xué)生方程思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用．為了提高同學(xué)們解題效率,特別是高考備考效率,本文列舉了一些典型的定點(diǎn)和定值問題,以起到拋磚引玉的作用．探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，理清問題與題設(shè)的關(guān)系，建立合理的方程或函數(shù)，利用等量關(guān)系統(tǒng)一變量，最后消元得出定值二、經(jīng)驗(yàn)分享1.定值問題的常見類型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值．依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡即可得出定值；(2)求點(diǎn)到直線的距離為定值．利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求得；(3)求某線段長度為定值．利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進(jìn)行化簡、變形即可求得．2.【知識拓展】1.設(shè)點(diǎn)是橢圓C：上一定點(diǎn)，點(diǎn)A,B是橢圓C上不同于P的兩點(diǎn)，若，則時(shí)直線AB斜率為定值，若，則直線AB過定點(diǎn)；2.設(shè)點(diǎn)是雙曲線C：一定點(diǎn)，點(diǎn)A,B是雙曲線C上不同于P的兩點(diǎn)，若，則時(shí)直線AB斜率為定值，若，則直線AB過定點(diǎn)；3.設(shè)點(diǎn)是拋物線C：一定點(diǎn)，點(diǎn)A,B是拋物線C上不同于P的兩點(diǎn)，若，則時(shí)直線AB斜率為定值，若，則直線AB過定點(diǎn)；三、題型分析（一）與向量與距離有關(guān)的等式的定值問題例1．在直角坐標(biāo)系中，曲線的點(diǎn)均在：外，且對上任意一點(diǎn)，到直線的距離等于該點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離的最小值.（Ⅰ）求曲線的方程；（Ⅱ）設(shè)（）為圓外一點(diǎn)，過作圓的兩條切線，分別與曲線相交于點(diǎn)A，B和C，D.證明：當(dāng)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值．

【變式訓(xùn)練1】【2016年北京】已知橢圓：的離心率為，，，，的面積為1．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．求證：為定值．（二）與距離和比值有關(guān)的定值問題例2．設(shè)圓的圓心為，直線過點(diǎn)且與軸不重合，交圓于，兩點(diǎn)，過作的平行線交于點(diǎn).（I）證明為定值，并寫出點(diǎn)的軌跡方程；（=2\*ROMANII）設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線交于，兩點(diǎn)，過且與垂直的直線與圓交于，兩點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍．【變式訓(xùn)練1】已知點(diǎn)是直線與橢圓的一個(gè)公共點(diǎn)，分別為該橢圓的左右焦點(diǎn)，設(shè)取得最小值時(shí)橢圓為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；（2）已知為橢圓上關(guān)于軸對稱的兩點(diǎn)，是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，直線分別與軸交于點(diǎn)，試判斷是否為定值；如果為定值，求出該定值；如果不是，請說明理由．（三）與平面圖形有關(guān)面積的定值問題例3.【安徽省“皖南八校”2017屆高三第二次聯(lián)考】如圖,點(diǎn),分別為橢圓的左右頂點(diǎn),為橢圓上非頂點(diǎn)的三點(diǎn),直線的斜率分別為,且,,.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）判斷的面積是否為定值？若為定值,求出該定值；若不為定值,請說明理由.【變式訓(xùn)練1】．【江西省贛州市十四縣（市）2018屆高三下學(xué)期期中】已知橢圓系方程：(，)，是橢圓的焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且.（1）求的方程；（2）為橢圓上任意一點(diǎn)，過且與橢圓相切的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，求證：的面積為定值，并求出這個(gè)定值．【變式訓(xùn)練2】.【湖南省五市十校教研教改共同體2017屆高三12月聯(lián)考】如圖,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,直線相交于點(diǎn),且它們的斜率之積為．（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)的軌跡為,點(diǎn)是軌跡為上不同于的兩點(diǎn),且滿足,求證：的面積為定值．

（四）與斜率有關(guān)的定值問題例4．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，離心率為，過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為l．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）點(diǎn)是橢圓上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接．設(shè)的角平分線交的長軸于點(diǎn)，求的取值范圍；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過點(diǎn)作斜率為的直線，使得與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．設(shè)直線的斜率分別為，若，試證明為定值，并求出這個(gè)定值．【變式訓(xùn)練1】【黑龍江省大慶市第一中學(xué)2019屆高三下學(xué)期第四次模擬（最后一卷)考試數(shù)學(xué)試題】已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為，與拋物線的交點(diǎn)為，且.（1）求的值；（2）已知點(diǎn)為上一點(diǎn)，，是上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，且滿足直線和直線的斜率之和為，證明直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

四、遷移應(yīng)用1．【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】已知曲線C：y=，D為直線y=上的動(dòng)點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.（1）證明：直線AB過定點(diǎn)：（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積.2．【2019年高考北京卷理數(shù)】已知拋物線C：x2=?2py經(jīng)過點(diǎn)（2，?1）．（1）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)O為原點(diǎn)，過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，直線y=?1分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B．求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)．3．【2019年高考天津卷理數(shù)】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為．已知橢圓的短軸長為4，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上．若（為原點(diǎn)），且，求直線的斜率．4.【2019-2020巴蜀中學(xué)2020屆高考適應(yīng)性月考卷理科（四）試卷】已知橢圓：，直線與該橢圓交于，兩點(diǎn)，為橢圓上異于，的點(diǎn).若，且以為直徑圓過點(diǎn)，求該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線，分別與軸交于，兩點(diǎn)，是否為定值，若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由.5.已知橢圓：的離心率，若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上一動(dòng)點(diǎn)和，組成的面積最大為.（1）求橢圓的方程；（2）若存在直線和橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，，且原點(diǎn)與,連線的斜率之