2022-2023學(xué)年河南省洛陽(yáng)強(qiáng)基聯(lián)盟高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河南省洛陽(yáng)強(qiáng)基聯(lián)盟高一下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)z滿足z（1＋i）＝2（i為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算，求得，再求其對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可判斷.【詳解】∵，∴，∴在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限．故選：D．2．在某中學(xué)高一年級(jí)的300名學(xué)生中，男生有120名，女生有180名.學(xué)校想了解學(xué)生對(duì)選修課程的看法，以便開(kāi)設(shè)有關(guān)課程，現(xiàn)準(zhǔn)備從高一學(xué)生中按性別用分層隨機(jī)抽樣的方法選取60人，則應(yīng)抽取的女生人數(shù)為（

）A．24 B．36 C．40 D．48【答案】B【分析】根據(jù)分層抽樣的定義，計(jì)算男女比例為，再計(jì)算出應(yīng)抽取的女生人數(shù)即可.【詳解】由題意得，男、女生的比例為,故用分層隨機(jī)抽樣的方法選取60人,則應(yīng)抽取的女生人數(shù)為.故選：B.3．（理科）在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱BC和棱的中點(diǎn)，則異面直線AC和EF所成的角為（

）A．90° B．60° C．45° D．30°【答案】B【分析】E，F(xiàn)分別為棱BC和棱的中點(diǎn)，則，為異面直線AC和EF所成的角或其補(bǔ)角，在三角形中求解即可．【詳解】如圖，連接，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為棱BC和棱的中點(diǎn)，∴，又正方體中，∴，∴為異面直線AC和EF所成的角或其補(bǔ)角，而是正三角形，即，所以異面直線AC和EF所成的角是．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角，解題關(guān)鍵是作出異面直線所成的角．4．“雙減”政策實(shí)施后，學(xué)生的課外閱讀增多，某班50名學(xué)生到圖書(shū)館借書(shū)數(shù)量統(tǒng)計(jì)如下表.借書(shū)數(shù)量（單位：本）5678910頻數(shù)（單位：人）58131194則這50名學(xué)生的借書(shū)數(shù)量的第25百分位數(shù)是（

）A．5 B．5.5 C．6 D．6.5【答案】C【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義計(jì)算即可.【詳解】由,故第25百分位數(shù)在借書(shū)數(shù)量從小到大排序后的第13人,又，故第25百分位數(shù)是6.故選：C.5．在中，，，若平面，，則點(diǎn)到的距離是（

）A． B．5 C． D．【答案】B【分析】取的中點(diǎn)，連接、，即可得到，再由線面垂直，得到，從而得到面，即可得到，再由勾股定理求出即可；【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)?，所以，又平面，平面，所以，，面，所以面，面，所以，在中，，，所以，在中，，，所以故選：B6．設(shè)l，m是不同的直線，，是不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則【答案】B【分析】對(duì)于A，C與D，可通過(guò)舉反例的方式說(shuō)明其錯(cuò)誤性，B選項(xiàng)可以直接證明其正確性.【詳解】對(duì)于A，若，，，此時(shí)與可能相交，如下圖所示：

對(duì)于C與D，若，，，則與均可能發(fā)生，如下圖所示：

對(duì)于B，若，，則，又因?yàn)?，?故選：B.7．紫金山位于江蘇省南京市玄武區(qū)境內(nèi)，是江南四大名山之一，三峰相連形如巨龍，山、水、城渾然一體，古有“鐘山龍?bào)?，石城虎踞”之稱.建筑師在高度接近200米的峰頂測(cè)得一建筑物頂部的仰角為，底部的俯角為，那么該建筑的高度接近（

）A．米 B．米C．米 D．米【答案】A【分析】作出示意圖,過(guò)點(diǎn)作，利用三角函數(shù)即可求出，則得到長(zhǎng).【詳解】作出示意圖,過(guò)點(diǎn)作,其中,

可得，在直角中,因?yàn)?則,在直角中,因?yàn)?可得,則米,所以建筑的高度接近米.故選：A.8．已知是單位向量，且的夾角為，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】，結(jié)合題意得，結(jié)合即得解.【詳解】，因?yàn)?，所以，又，所以．故選：B．二、多選題9．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，.若有唯一解，則的值可以是（

）A．1 B． C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)正弦定理三角形有唯一解，得到或，即可求出參數(shù)的取值范圍，從而得解；【詳解】解：因?yàn)?，，因?yàn)橛形ㄒ唤?，所以或，即，故選：BD10．某學(xué)校為了了解本校學(xué)生的上學(xué)方式，在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽查部分學(xué)生，了解到上學(xué)方式主要有：結(jié)伴步行，自行乘車，家人接送，其他方式.并將收集的數(shù)據(jù)整理繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)圖中信息，下列說(shuō)法正確的是（

）

A．扇形統(tǒng)計(jì)圖中D的占比最小 B．條形統(tǒng)計(jì)圖中A和C一樣高C．無(wú)法計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中A的占比 D．估計(jì)該校一半的學(xué)生選擇結(jié)伴步行或家人接送【答案】ABD【分析】根據(jù)方式上學(xué)的學(xué)生占比即可求出總?cè)藬?shù)，則得到方式出行的人數(shù)，選項(xiàng)一一分析即可.【詳解】由條形統(tǒng)計(jì)圖知，自行乘車上學(xué)的有42人,家人接送上學(xué)的有30人,其他方式上學(xué)的有18人,采用三種方式上學(xué)的共90人,由扇形統(tǒng)計(jì)圖知,其他方式上學(xué)的學(xué)生占,所以人，則結(jié)伴步行上學(xué)的有人，故條形圖中一樣高，故B正確，扇形圖中類占比與一樣都為，和共占,故C錯(cuò)誤，D正確.因?yàn)槠渌绞缴蠈W(xué)的人數(shù)最少，故扇形統(tǒng)計(jì)圖中D的的占比最小，故A正確.故選：ABD.11．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋中任取2個(gè)小球，則下列結(jié)論正確的是（

）A．“至少有一個(gè)紅球”和“至少有一個(gè)黑球”是互斥事件B．“恰有一個(gè)黑球”和“都是黑球”是互斥事件C．“恰有一個(gè)紅球”和“都是紅球”是對(duì)立事件D．“至少一個(gè)黑球”和“都是紅球”是對(duì)立事件【答案】BD【分析】利用對(duì)立事件、互斥事件的定義直接求解．【詳解】解：從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋中任取2個(gè)小球，可能結(jié)果有：二個(gè)紅球，一個(gè)紅球一個(gè)黑球，二個(gè)黑球；對(duì)于，“至少一個(gè)紅球”和“至少有一個(gè)黑球”能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故錯(cuò)誤；對(duì)于，“恰有一個(gè)黑球”和“都是黑球”不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，故正確；對(duì)于，“恰有一個(gè)紅球”和“都是紅球”不能同時(shí)發(fā)生，但是可以同時(shí)都不發(fā)生，是互斥事件，但不是對(duì)立事件，故錯(cuò)誤；對(duì)于，“至少一個(gè)黑球”和“都是紅球”不能同時(shí)發(fā)生，但是一定有一個(gè)要發(fā)生，是對(duì)立事件，故正確．故選：．12．如圖所示，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，，，為線段上的點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），則（

）

A． B．平面C．二面角的大小為定值 D．的最小值為【答案】CD【分析】對(duì)于A，利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可得出；對(duì)于B，利用線面平行的性質(zhì)定理即可得出；對(duì)于C，由二面角的定義即可判斷；對(duì)于D，將側(cè)面和展開(kāi)在一個(gè)平面內(nèi)，結(jié)合余弦定理即可得出.【詳解】對(duì)于A，平面，平面，，假設(shè)，又平面PAD，平面，又平面，，而四邊形為正方形，與矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)誤，故不正確，故A不正確；對(duì)于B，設(shè)，連接，假設(shè)平面，

又平面平面，則，在中，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則必為的中點(diǎn)，這與為線段上的動(dòng)點(diǎn)矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)誤，故B不正確；對(duì)于C，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，二面角的大小即為二面角的大小，因?yàn)槎娼堑拇笮槎ㄖ?，所以二面角的大小為定值，故C正確；對(duì)于D，平面，平面，，為等腰直角三角形，平面，平面，，即，又四邊形為正方形，，平面PAD，平面，平面，，為直角三角形，如圖，將側(cè)面和展開(kāi)在一個(gè)平面內(nèi)，，連接，當(dāng)處在與的交點(diǎn)處時(shí)，取得最小值，此時(shí)，在中，由余弦定理，得，所以的最小值為，故D正確.

故選：CD.三、填空題13．在中，，若，則.【答案】/1.5【分析】根據(jù)共線向量關(guān)系即可得到，則得到值.【詳解】因?yàn)樵谥?，則，所以，即.故答案為：.14．某廠有A，B兩條生產(chǎn)線制造同一型號(hào)可充電電池.現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣，從某天兩條生產(chǎn)線上的成品中隨機(jī)抽取20件成品，測(cè)試產(chǎn)品可充電次數(shù)的均值及方差，結(jié)果如下表：項(xiàng)目抽取成品數(shù)樣本均值樣本方差A(yù)生產(chǎn)線產(chǎn)品82101B生產(chǎn)線產(chǎn)品122001則20個(gè)產(chǎn)品組成的總樣本的方差為.【答案】25【分析】首先計(jì)算出樣本平均數(shù)，再利用方差公式即可.【詳解】依題意得,總樣本平均數(shù)，故答案為：25.15．在某次國(guó)際圍棋比賽中，中國(guó)派出包含甲、乙在內(nèi)的5位棋手參加比賽，他們分成兩個(gè)小組，其中一個(gè)小組有3位，另外一個(gè)小組有2位，則甲和乙分在不同小組的概率為.【答案】/【分析】寫(xiě)出所有的樣本空間以及滿足題意得情況數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可得到答案.【詳解】這5名棋手分別記為:甲,乙,,,,則樣本空間(甲乙，)，(甲乙，)，(甲乙，)，(甲，乙),(甲，乙),(甲，乙),(乙，甲),(乙，甲),(乙，甲),(，甲乙)共含有10個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)事件表示“甲和乙分在不同小組”,則,所以甲和乙分在不同小組的概率為.故答案為：.16．已知等腰直角三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，，若球O上的點(diǎn)到平面ABC的最大距離為4，則球O的體積為.【答案】【分析】過(guò)的中點(diǎn)作平面的垂線，設(shè)，球的半徑為，根據(jù)題意得，根據(jù)列出方程即可解出半徑，再根據(jù)球的體積即可求出答案.【詳解】因?yàn)槭堑妊苯侨切吻?所以且.如圖，過(guò)的中點(diǎn)作平面的垂線，則球心在直線上.設(shè)，球的半徑為，不妨設(shè)點(diǎn)是球上的一點(diǎn),則球上的點(diǎn)到平面的最大距離為.所以.由勾股定理得,即，得+8，解得.所以球的體積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵作出球心位置，即：過(guò)的中點(diǎn)作平面的垂線，分析找到球心位于直線上，設(shè)，球的半徑為，則球O上的點(diǎn)到平面ABC的最大距離為，再利用勾股定理得到方程即可解出.四、解答題17．已知向量，．(1)求向量；(2)若向量與互相垂直，求k的值．【答案】(1)1(2)【分析】（1）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及向量的模的坐標(biāo)表示，利用兩向量垂直的條件及數(shù)量積的運(yùn)算即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，，所?（2）因?yàn)?，，所以，又因?yàn)橄蛄颗c互相垂直，且，所以，解得，所以的值為．18．已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且．(1)求A；(2)若，且的面積為，求b，c．【答案】(1)(2)，【分析】（1）應(yīng)用正弦定理結(jié)合兩角和差公式計(jì)算求解即可；（2）應(yīng)用余弦定理及三角形面積公式，列方程求邊即得.【詳解】（1）在中，由正弦定理及得，又，代入上式，得，∵，∴，∴，∵，∴．（2）由（1）知，又，∴由余弦定理得，即，①又∵的面積為，∴有，即，∴，②解由①②組成的方程組得，．19．學(xué)校對(duì)甲、乙兩人的學(xué)習(xí)態(tài)度、考試成績(jī)及活動(dòng)參與三個(gè)方面做了一個(gè)初步的評(píng)估，成績(jī)（單位：分）如下表所示.學(xué)習(xí)態(tài)度考試成績(jī)活動(dòng)參與甲989695乙909998(1)如果以學(xué)習(xí)態(tài)度、考試成績(jī)及活動(dòng)參與三個(gè)方面的平均分來(lái)計(jì)算他們的成績(jī)，并以此作為評(píng)優(yōu)的依據(jù)，你認(rèn)為誰(shuí)會(huì)被評(píng)為優(yōu)秀？(2)如果以20%，60%，20%依次作為三項(xiàng)成績(jī)的比例來(lái)計(jì)算他們的成績(jī)，結(jié)果又會(huì)如何？【答案】(1)甲被評(píng)為優(yōu)秀.(2)乙被評(píng)為優(yōu)秀.【分析】（1）直接計(jì)算甲乙各自的平均分，再比較大小即可；（2）按比例計(jì)算成績(jī)，再比較大小即可.【詳解】（1）甲的平均分:(分).乙的平均分:(分).甲的平均分較高,甲被評(píng)為優(yōu)秀.（2）甲的平均分:(分).乙的平均分:(分).乙的平均分較高,乙被評(píng)為優(yōu)秀.20．如圖，三角形PCD所在的平面與等腰梯形ABCD所在的平面垂直，AB＝AD＝CD，AB∥CD，CP⊥CD，M為PD的中點(diǎn)．（1）求證：AM∥平面PBC；（2）求證：BD⊥平面PBC．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【分析】（1）取的中點(diǎn)，連，，可證得四邊形為平行四邊形，于是，然后根據(jù)線面平行的判定定理可得結(jié)論成立．（2）在等腰中梯形中，取的中點(diǎn)，連，，證得四邊形為菱形，進(jìn)而得．同理四邊形為菱形，可得．再由平面平面得到平面，于是得，最后根據(jù)線面垂直的判定可得平面．【詳解】證明：（1）如圖，取的中點(diǎn)，連，，∵為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴，．又，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴．又平面，平面，∴平面（2）如圖，在等腰中梯形中，取的中點(diǎn)，連，．∵，，∴，，∴四邊形為平行四邊形．又，∴四邊形為菱形，∴．同理，四邊形為菱形，∴．∵，∴．∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，又平面，∴．∵，，∴平面．【點(diǎn)睛】本題考查線面關(guān)系的證明，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所證的結(jié)論并結(jié)合三種平行（垂直）間的關(guān)系進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，以得到證題所需的條件，考查轉(zhuǎn)化能力的運(yùn)用和對(duì)基本判定方法、性質(zhì)的掌握程度，屬于基礎(chǔ)題．21．《青年大學(xué)習(xí)》是共青團(tuán)中央組織的，以“學(xué)習(xí)新思想，爭(zhēng)做新青年”為主題的黨史團(tuán)課學(xué)習(xí)行動(dòng)，2023年已開(kāi)展到第7期.某市團(tuán)市委為了解全市青年每周利用“青年大學(xué)習(xí)”了解國(guó)家動(dòng)態(tài)的情況，從全市隨機(jī)抽取1000名青年進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)他們每周利用“青年大學(xué)習(xí)”進(jìn)行學(xué)習(xí)的時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘），根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的頻率分布直方圖如圖所示：

(1)求被抽取的青年每周利用“青年大學(xué)習(xí)”進(jìn)行學(xué)習(xí)的時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)；(2)市宣傳部門(mén)擬從被抽取青年中選出部分青年參加座談會(huì).辦法是：采用分層抽樣的方法從學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在和的青年中共抽取5人，且從參會(huì)的5人中又隨機(jī)抽取2人發(fā)言，求學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在中至少有1人被抽中發(fā)言的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）頻率直方圖下的面積之和為1，解出m，知道中位數(shù)是處于最中間的數(shù)，中位數(shù)左邊的頻率為0.5.（2）分層抽樣是按比例抽取的，在算概率時(shí)，可以從對(duì)立事件出發(fā).【詳解】（1）,解得.設(shè)中位數(shù)為,則,解得（2）學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在和的青年人數(shù)分別是200、300人.從中抽取5人，則學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在的抽取2人，學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在的抽取3人.學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在中至少有1人被抽中發(fā)言的概率可用1減去“發(fā)言的都是學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在的人的概率”，即.故學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在中至少有1人被抽中發(fā)言的概率為.22．如圖，四棱錐中，底面ABCD，為等邊三角形，，，M是PB上一點(diǎn)，且，N是PC的中點(diǎn).

(1)求證：；(2)若二面角的大小為，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(