包頭市包鋼四中高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2016—2017學(xué)年內(nèi)蒙古包頭市包鋼四中高一（下)期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題(每小題只有1個(gè)正確答案，每小題5分，共50分）1．有一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，這個(gè)幾何體應(yīng)是一個(gè)（）A．棱臺(tái) B．棱錐 C．棱柱 D．都不對(duì)2．垂直于同一條直線的兩條直線一定()A．平行 B．相交 C．異面 D．以上都有可能3．下列說(shuō)法正確的是（）A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．四邊形一定是平面圖形C．梯形一定是平面圖形D．平面α和平面β有不同在一條直線上的三個(gè)公共點(diǎn)4．已知向量,且，則實(shí)數(shù)k的值為（)A．﹣2 B．2 C．8 D．﹣85．如圖Rt△O′A′B′是一平面圖形的直觀圖，斜邊O′B′=2,則這個(gè)平面圖形的面積是()A． B．1 C． D．6．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，下列幾種說(shuō)法正確的是（）A．A1C1⊥AD B．D1C1⊥ABC．AC1與DC成45°角 D．A1C1與B1C成60°角7．如圖,△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC,此圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為(）A．1 B．2 C．3 D．48．設(shè)l，m是兩條不同的直線,α是一個(gè)平面,則下列命題正確的是(）A．若l⊥α,l∥m，則m⊥α B．若l⊥m,m?α,則l⊥αC．若l∥α，m?α，則l∥m D．若l∥α，m∥α，則l∥m9．已知點(diǎn)A（1,3），B（4，﹣1)，則與向量同方向的單位向量為（）A． B． C． D．10．已知兩個(gè)非零向量，滿足，則下面結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．11．如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積為V,點(diǎn)P、Q分別在側(cè)棱AA1和CC1上，AP=C1Q，則多面體A1B1C1﹣PBQ的體積為（）A． B． C． D．12．圓錐的底面半徑為r，高是h，在這個(gè)圓錐內(nèi)部有一個(gè)內(nèi)接正方體,則此正方體的棱長(zhǎng)等于（）A． B． C． D．二、填空題（每小題5分，共20分)13．球的表面積擴(kuò)大為原來(lái)的4倍，它的體積擴(kuò)大為原來(lái)的倍．14．向量(3,4）在向量（1，﹣2）上的投影為．15．已知向量=（λ+1，1）,=（λ+2，2），若()⊥（﹣），則λ=．16．若圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為180°，半徑為4的扇形,則這個(gè)圓錐的表面積是．三、解答題（17題10分，18到22題每題12分，共70分）17．已知向量．（Ⅰ)若與的夾角為,求；（Ⅱ）若，求與的夾角．18．如圖，一個(gè)組合體的三視圖如圖：（單位cm）(1）說(shuō)出該幾何體的結(jié)構(gòu)特征；（2)求該組合體的體積（保留π）;(3）求該組合體的全面積．（保留π）．19．如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，E是PA的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：PC∥平面BDE；(Ⅱ）證明：BD⊥CE．20．正方體ABCD﹣A'B’C’D’的棱長(zhǎng)為a，連接A’C’，A’D，A’B，BD，BC’，C’D，得到一個(gè)三棱錐A’﹣BC'D．求：（1)求異面直線A’D與C’D′所成的角；（2）三棱錐A’﹣BC'D的體積．21．在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中,=2=3,設(shè)==．（Ⅰ）用表示；（Ⅱ)求的值．22．如圖，長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=12，BC=10，AA1=8，過(guò)點(diǎn)A1、D1的平面α與棱AB和CD分別交于點(diǎn)E、F,四邊形A1EFD1為正方形．(1）在圖中請(qǐng)畫出這個(gè)正方形(注意虛實(shí)線,不必寫作法），并求AE的長(zhǎng);(2）問(wèn)平面α右側(cè)部分是什么幾何體,并求其體積．

2016—2017學(xué)年內(nèi)蒙古包頭市包鋼四中高一（下)期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題只有1個(gè)正確答案,每小題5分,共50分）1．有一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，這個(gè)幾何體應(yīng)是一個(gè)（）A．棱臺(tái) B．棱錐 C．棱柱 D．都不對(duì)【考點(diǎn)】L8:由三視圖還原實(shí)物圖．【分析】根據(jù)主視圖、左視圖、俯視圖的形狀,將它們相交得到幾何體的形狀．【解答】解：由三視圖知，從正面和側(cè)面看都是梯形，從上面看為正方形，下面看是正方形，并且可以想象到連接相應(yīng)頂點(diǎn)的四條線段就是幾何體的四條側(cè)棱,故這個(gè)三視圖是四棱臺(tái)．故選A．2．垂直于同一條直線的兩條直線一定（)A．平行 B．相交 C．異面 D．以上都有可能【考點(diǎn)】LO：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】根據(jù)在同一平面內(nèi)兩直線平行或相交，在空間內(nèi)兩直線平行、相交或異面判斷．【解答】解：分兩種情況：①在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行;②在空間內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線可以平行、相交或異面．故選D3．下列說(shuō)法正確的是（）A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．四邊形一定是平面圖形C．梯形一定是平面圖形D．平面α和平面β有不同在一條直線上的三個(gè)公共點(diǎn)【考點(diǎn)】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】由公理3知:不共線的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，即可判斷A；四邊形有平面四邊形和空間四邊形兩種，由不共面的四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為空間四邊形，即可判斷B；在同一平面內(nèi)，只有一組對(duì)邊平行的四邊形為梯形,即可判斷C；由公理3得不同在一條直線上的三個(gè)公共點(diǎn)確定一個(gè)平面,即可判斷D．【解答】解：A．由公理3知：不共線的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)；B．四邊形有平面四邊形和空間四邊形兩種，由不共面的四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為空間四邊形，故B錯(cuò)；C．在同一平面內(nèi)，只有一組對(duì)邊平行的四邊形為梯形，故C對(duì)；D．由公理3得不同在一條直線上的三個(gè)公共點(diǎn)確定一個(gè)平面，故D錯(cuò)．故選C．4．已知向量,且，則實(shí)數(shù)k的值為（）A．﹣2 B．2 C．8 D．﹣8【考點(diǎn)】9K:平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．【分析】利用向量共線定理即可得出．【解答】解：∵，∴﹣2k﹣4=0，解得k=﹣2．故選：A．5．如圖Rt△O′A′B′是一平面圖形的直觀圖，斜邊O′B′=2，則這個(gè)平面圖形的面積是（）A． B．1 C． D．【考點(diǎn)】LB：平面圖形的直觀圖．【分析】根據(jù)所給的直觀圖是一個(gè)等腰直角三角形且斜邊長(zhǎng)是2，得到直角三角形的直角邊長(zhǎng)，做出直觀圖的面積,根據(jù)平面圖形的面積是直觀圖的2倍，得到結(jié)果．【解答】解：∵Rt△O'A’B’是一平面圖形的直觀圖,斜邊O’B’=2，∴直角三角形的直角邊長(zhǎng)是，∴直角三角形的面積是,∴原平面圖形的面積是1×2=2故選D．6．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,下列幾種說(shuō)法正確的是（）A．A1C1⊥AD B．D1C1⊥ABC．AC1與DC成45°角 D．A1C1與B1C成60°角【考點(diǎn)】LM：異面直線及其所成的角；L2:棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【分析】由題意畫出正方體的圖形，結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行分析即可．【解答】解：由題意畫出如下圖形:A．因?yàn)锳D∥A1D1，所以∠C1A1D1即為異面直線A1C1與AD所成的角，而∠C1A1D1=45°，所以A錯(cuò)；B．因?yàn)镈1C1∥CD，利平行公理4可以知道：AB∥CD∥C1D1，所以B錯(cuò)；C．因?yàn)镈C∥AB．所以∠C1AB即為這兩異面直線所成的角，而，所以C錯(cuò)；D．因?yàn)锳1C1∥AC,所以∠B1CA即為異面直線A1C1與B1C所成的角，在正三角形△B1CA中，∠B1CA=60°，所以D正確．故選：D．7．如圖，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，此圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為（)A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)】LX：直線與平面垂直的性質(zhì)．【分析】推導(dǎo)出AB⊥BC，PA⊥BC，從而BC⊥平面PAB，由此能求出圖中直角三角形的個(gè)數(shù)．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠ABC=90°,PA⊥平面ABC，∴AB⊥BC,PA⊥BC，∵AB∩PA=A，∴BC⊥平面PAB，∴圖中直角三角形有△ABC（∠ABC是直角），△PAC(∠PAC是直角）,△PAB（∠PAB是直角），△PBC(∠PBC是直角)，∴圖中直角三角形有4個(gè)．故選：D．8．設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個(gè)平面，則下列命題正確的是（)A．若l⊥α，l∥m,則m⊥α B．若l⊥m，m?α,則l⊥αC．若l∥α，m?α，則l∥m D．若l∥α，m∥α,則l∥m【考點(diǎn)】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用；LO:空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；LP:空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】若l⊥α,l∥m，根據(jù)兩平行直線中的一條與平面垂直，另一條也垂直平面,得到m⊥α．【解答】解：若l⊥α，l∥m，根據(jù)兩平行直線中的一條與平面垂直，另一條也垂直平面，所以m⊥α所以選項(xiàng)A正確；若l⊥m，m?α，則l⊥α或l與α斜交或l與α平行，所以選項(xiàng)B不正確;若l∥α，m?α，則l∥m或l與m是異面直線，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；若l∥α，m∥α，則l∥m或l與m異面或l∥m相交，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤;故選A9．已知點(diǎn)A（1，3)，B（4，﹣1），則與向量同方向的單位向量為（)A． B． C． D．【考點(diǎn)】96：平行向量與共線向量；95:單位向量．【分析】由條件求得=（3，﹣4），｜｜=5，再根據(jù)與向量同方向的單位向量為求得結(jié)果．【解答】解:∵已知點(diǎn)A（1，3），B（4，﹣1），∴=（4,﹣1）﹣(1,3)=（3，﹣4），|｜==5，則與向量同方向的單位向量為=，故選A．10．已知兩個(gè)非零向量，滿足，則下面結(jié)論正確的是（)A． B． C． D．【考點(diǎn)】96：平行向量與共線向量．【分析】由兩個(gè)非零向量,滿足,可得，展開即可．【解答】解：∵兩個(gè)非零向量，滿足，∴，展開得到．故選B．11．如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積為V，點(diǎn)P、Q分別在側(cè)棱AA1和CC1上，AP=C1Q，則多面體A1B1C1﹣PBQ的體積為（)A． B． C． D．【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】根據(jù)體積公式可知VB﹣A′B′C′=VB﹣ACQP=VB﹣PQC′A′=，故而可得出結(jié)論．【解答】解：連結(jié)A′B，BC′，則VB﹣A′B′C′==，∴VB﹣ACC′A′=V﹣VB﹣A′B′C′=，∵AP=C1Q，∴S梯形ACQP=S矩形ACC′A′,∴VB﹣ACQP=VB﹣ACC′A′=，∴多面體A1B1C1﹣PBQ的體積為V﹣=．故選B．12．圓錐的底面半徑為r,高是h，在這個(gè)圓錐內(nèi)部有一個(gè)內(nèi)接正方體，則此正方體的棱長(zhǎng)等于（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】L5:旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái))．【分析】設(shè)棱長(zhǎng)為a，利用三角形相似列比例式解出a．【解答】解:設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則由三角形相似得，解得a=．故選C．二、填空題（每小題5分，共20分）13．球的表面積擴(kuò)大為原來(lái)的4倍,它的體積擴(kuò)大為原來(lái)的8倍．【考點(diǎn)】LG：球的體積和表面積．【分析】我們?cè)O(shè)出原來(lái)球的半徑為R，則可以計(jì)算出原來(lái)球的表面和體積，再根據(jù)球的表面積擴(kuò)大了4倍，我們可以求出擴(kuò)大后球的半徑，進(jìn)而求出擴(kuò)大后球的體積,進(jìn)而得到答案．【解答】解:設(shè)原來(lái)球的半徑為R則原來(lái)球的表面積S1=4πR2，體積V1=若球的表面積擴(kuò)大為原來(lái)的4倍，則S2=16πR2則球的半徑為2R體積V2==∵V2：V1=8：1故球的體積擴(kuò)大了8倍故答案為：814．向量（3，4)在向量（1，﹣2）上的投影為﹣．【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】根據(jù)題意,設(shè)向量=（3，4），向量=（1，﹣2)，由向量的坐標(biāo)計(jì)算公式可得?與|｜的值，進(jìn)而由數(shù)量積的性質(zhì)可得向量在向量上的投影，計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意,設(shè)向量=（3，4），向量=（1，﹣2），則?=3×1+4×（﹣2）=﹣5，｜|==，則向量在向量上的投影==﹣；故答案為:．15．已知向量=(λ+1，1），=（λ+2，2），若（)⊥(﹣）,則λ=﹣3．【考點(diǎn)】9T:數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．【分析】由向量的坐標(biāo)加減法運(yùn)算求出（），(﹣）的坐標(biāo),然后由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算列式求出λ的值．【解答】解：由向量=（λ+1,1），=(λ+2，2），得，由（）⊥（﹣），得（2λ+3）×(﹣1）+3×（﹣1）=0，解得：λ=﹣3．故答案為:﹣3．16．若圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為180°，半徑為4的扇形，則這個(gè)圓錐的表面積是8π．【考點(diǎn)】G8:扇形面積公式．【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為180°，半徑為4的扇形，利用扇形的面積公式，可得圓錐的表面積【解答】解：∵圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為180°,半徑為4的扇形，∴這個(gè)圓錐的表面積是=8π故答案為：8π三、解答題（17題10分，18到22題每題12分，共70分）17．已知向量．(Ⅰ）若與的夾角為，求;（Ⅱ）若，求與的夾角．【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】(I）先計(jì)算，再計(jì)算（)2,開方即可得出答案;（II）將展開即可得出，代入夾角公式求出答案．【解答】解：（Ⅰ）∵與的夾角為；∴=1×2×cos=1;∴（）2=+4+4=1+4+16=21，∴|｜=．（Ⅱ）∵（2﹣）?(3+）=6﹣﹣=2﹣=3，∴=﹣1，∴cos＜＞==﹣，又∵0≤cos＜＞≤π∴與的夾角為．18．如圖,一個(gè)組合體的三視圖如圖:（單位cm）（1)說(shuō)出該幾何體的結(jié)構(gòu)特征；（2）求該組合體的體積（保留π）；(3）求該組合體的全面積．(保留π)．【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】（1）由三視圖得到幾何體是球與棱柱的組合體;（2)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計(jì)算體積；（3）分別計(jì)算球和長(zhǎng)方體的表面積，得到全面積．【解答】解:（1)上面是半徑為6cm的球，下面是長(zhǎng)16cm，寬12cm，高20cm的長(zhǎng)方體．…（2）V==288π+3840（cm3）…（3)S=4π×42+2×16×12+2×16×20+2×12×20=144π+1504（cm2）…答：該組合體的體積為288π+3840cm3．表面積為144π+1504cm2．19．如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，E是PA的中點(diǎn)．（Ⅰ)求證：PC∥平面BDE；(Ⅱ)證明：BD⊥CE．【考點(diǎn)】LS：直線與平面平行的判定．【分析】（Ⅰ)連結(jié)AC交BD于O，連結(jié)OE,推導(dǎo)出PC∥OE，由此能證明PC∥平面BDE．（Ⅱ)推導(dǎo)出BD⊥AC，PA⊥BD，從而BD⊥平面PAC，由此能證明BD⊥CE．【解答】（本小題滿分13分）證明：（Ⅰ）連結(jié)AC交BD于O，連結(jié)OE，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以O(shè)為AC中點(diǎn)．又因?yàn)镋是PA的中點(diǎn)，所以PC∥OE，…因?yàn)镻C?平面BDE，OE?平面BDE，所以PC∥平面BDE．…（Ⅱ）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以BD⊥AC．…因?yàn)镻A⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，所以PA⊥BD．…又因?yàn)锳C∩PA=A，所以BD⊥平面PAC，…又CE?平面PAC，所以BD⊥CE．…20．正方體ABCD﹣A’B'C'D'的棱長(zhǎng)為a，連接A’C',A'D，A'B，BD，BC’，C’D，得到一個(gè)三棱錐A'﹣BC’D．求：（1）求異面直線A’D與C’D′所成的角；(2）三棱錐A'﹣BC’D的體積．【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積;LM:異面直線及其所成的角．【分析】（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出異面直線A'D與C'D′所成的角．（2）求出平面BC’D的法向量,從而求出點(diǎn)A到平面BC'D的距離，由此能求出三棱錐A'﹣BC’D的體積．【解答】解:（1）∵正方體ABCD﹣A'B’C'D’的棱長(zhǎng)為a，∴以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，A′（a，0,a），D（0，0，0）,C′(0,a,a），B（a，a,0）,D′（0，0，a），=（﹣a，0，﹣a），=（0，﹣a,0），設(shè)異面直