高等數(shù)學(xué)中值定理定義

第三章中值定理應(yīng)用研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài)利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理推廣微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、羅爾(Rolle)定理第一節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理第三章極值的定義:設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義,若對(duì)該鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn),恒有則稱在點(diǎn)處取得極大值(或極小值),而稱為函數(shù)的極大值點(diǎn)(或極小值點(diǎn)).極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為函數(shù)的極值點(diǎn).極值的必要條件定理:如果在點(diǎn)處可導(dǎo),且在處取得極值,則注1.在極值點(diǎn)處并非都有.注2.使的點(diǎn)也并非都是極值點(diǎn)，我們把的點(diǎn)稱為駐點(diǎn).注3.若在極值點(diǎn)處存在切線，則該切線是水平切線.一羅爾（Rolle）定理滿足:(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(3)

f(a)=f(b)使證:故在[a,b]上取得最大值

M和最小值m.在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束又因?yàn)?/p>

f(a)=f(b)，所以最大值與最小值必定至少有一個(gè)在區(qū)間內(nèi)部，而這一個(gè)就是我們要找的一個(gè)極值點(diǎn).若M>

m,則M和m

中至少有一個(gè)與端點(diǎn)值不等,不妨設(shè)則至少存在一點(diǎn)使注意:1)定理?xiàng)l件不全具備,結(jié)論不一定成立.例如,則該點(diǎn)為極值點(diǎn),所以機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束使2)定理?xiàng)l件只是充分的.本定理可推廣為在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)證明提示:

設(shè)證F(x)在[a,b]上滿足羅爾定理.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.

證明方程有且僅有一個(gè)小于1的正實(shí)根.證:1)存在性.則在[0,1]連續(xù),且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假設(shè)另有為端點(diǎn)的區(qū)間滿足羅爾定理?xiàng)l件,至少存在一點(diǎn)但矛盾,故假設(shè)不真!設(shè)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、拉格朗日中值定理(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)滿足:(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點(diǎn)使思路:利用逆向思維找出一個(gè)滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù)作輔助函數(shù)顯然,在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且證:問題轉(zhuǎn)化為證由羅爾定理知至少存在一點(diǎn)即定理結(jié)論成立.拉氏目錄上頁下頁返回結(jié)束證畢拉格朗日中值定理的有限增量形式:推論:若函數(shù)在區(qū)間I上滿足則在

I上必為常數(shù).證:在I

上任取兩點(diǎn)日中值公式,得由的任意性知,在

I

上為常數(shù).令則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.

證明等式證:設(shè)由推論可知(常數(shù))令x=0,得又故所證等式在定義域上成立.自證:經(jīng)驗(yàn):欲證時(shí)只需證在I上機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(P111例3.1.3)例3.

證明不等式證:設(shè)中值定理?xiàng)l件,即因?yàn)楣室虼藨?yīng)有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(P111例3.1.4)三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(3)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)使?jié)M足:要證柯西目錄上頁下頁返回結(jié)束證:作輔助函數(shù)且使即由羅爾定理知,至少存在一點(diǎn)思考:柯西定理的下述證法對(duì)嗎?兩個(gè)

不一定相同錯(cuò)!機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束上面兩式相比即得結(jié)論.柯西定理的幾何意義:注意:弦的斜率切線斜率機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.1.5設(shè)至少存在一點(diǎn)使證:結(jié)論可變形為設(shè)則在[0,1]上滿足柯西中值定理?xiàng)l件,因此在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)

,使即證明機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.設(shè)思考:例4結(jié)論是否可用羅爾定理證明?易證

(x)在[0,1]上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件,使因此存在機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束至少存在一點(diǎn)使證明分析:把求證的結(jié)論移項(xiàng),設(shè)輔助函數(shù):內(nèi)容小結(jié)1.微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的應(yīng)用(1)證明恒等式(2)證明不等式(3)證明有關(guān)中值問題的結(jié)論關(guān)鍵:利用逆向思維設(shè)輔助函數(shù)費(fèi)馬引理機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)1.填空題1)函數(shù)在區(qū)間[1,2]上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件,則中值2)設(shè)有個(gè)根,它們分別在區(qū)間機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束上.方程(P45題14)2.設(shè)且在內(nèi)可導(dǎo),證明至少存在一點(diǎn)使提示:由結(jié)論可知,只需證即驗(yàn)證在上滿足羅爾定理?xiàng)l件.設(shè)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(P56例5)3.若可導(dǎo),試證在其兩個(gè)零點(diǎn)間一定有的零點(diǎn).提示:設(shè)欲證:使只要證亦即作輔助函數(shù)驗(yàn)證在上滿足羅爾定理?xiàng)l件.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束4.設(shè)求證存在使可導(dǎo)，且在連續(xù)，證：因此至少存在顯然在上滿足羅爾定理?xiàng)l件,即設(shè)輔助函數(shù)使得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(P44題8)設(shè)證明對(duì)任意有證：5.不妨設(shè)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束作業(yè)P1145,7（1），（3）第二節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束費(fèi)馬費(fèi)馬(1601–1665)法國(guó)數(shù)學(xué)家,他是一位律師,數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余愛好.他興趣廣泛,博覽群書并善于思考,在數(shù)學(xué)上有許多重大貢獻(xiàn).他特別愛好數(shù)論,他提出的費(fèi)馬大定理:歷經(jīng)358年,直到1993年才由美國(guó)普林斯頓大學(xué)的安德魯.懷爾斯教授經(jīng)過十年的潛心研究才得到解決.引理是后人從他研究解決最值的方法中提煉出來的.拉格朗日(1736–1813)法國(guó)數(shù)學(xué)家.他在方程論,解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻(xiàn),近百余年來,數(shù)學(xué)中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作,他是對(duì)分析數(shù)學(xué)產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.柯西(1789–1857)法國(guó)數(shù)學(xué)家,他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要集中在微