北師大版九年級數(shù)學上冊 （正方形的性質(zhì)與判定）特殊平行四邊形新課件(第2課時)

正方形的性質(zhì)與判定第一章特殊平行四邊形第2課時

知識點1

用定義判定正方形1.如果要證明平行四邊形

ABCD為正方形,那么我們需要在四邊形

ABCD是平行四邊形的基礎(chǔ)上,進一步證明(B)A.AB=BD且

AC⊥

BDB.∠

A=∠

B且

AB=ADC.∠

A=∠

B且

AC=BDD.AC和

BD互相垂直平分2.已知四邊形

ABCD中,∠

A=∠

B=∠

C=90°,若使四邊形

ABCD是正方形,則還需加上一個條件

AB=BC(答案不唯一)

.

知識點2

有一個角是直角的菱形是正方形3.如圖,正方形

ABCD的對角線

AC,BD相交于點O,過點

B作

AC的平行線,過點

C作

DB的平行線,它們相交于點E.求證:四邊形OBEC是正方形.4.如圖,有4個動點E,F,G,H分別從正方形

ABCD的4個頂點出發(fā),沿著

AB,BC,CD,DA以同樣的速度向

B,C,D,A各點移動.請判斷四邊形EFGH的形狀.解:由題可知

AE=BF=CG=DH.∵四邊形

ABCD是正方形,∴∠

A=∠

B=∠

C=∠

D=90°,AB=BC=CD=DA,∴

AH=DG=CF=BE,∴Rt△AEH≌Rt△DHG≌Rt△CGF≌Rt△BFE,∴EF=EH=HG=GF,∠EHA=∠HGD,∴四邊形EFGH是菱形.∵∠EHA=∠HGD,∠HGD+∠GHD=90°,∴∠EHA+∠GHD=90°,∴∠EHG=90°,∴菱形EFGH是正方形.知識點3

有一組鄰邊相等的矩形是正方形5.如圖,在矩形紙片

ABCD中,AB=6cm,BC=8cm.現(xiàn)將其沿

AE對折,使得點

B落在邊

AD上的點

B1處,折痕與邊

BC交于點E,則

CE的長為(D)

A.6cm B.4cmC.3cm D.2cm6.(教材母題變式)矩形

ABCD的對角線

AC,BD相交于點O,請你添加一個適當?shù)臈l件

AB=BC(答案不唯一)

,使其成為正方形.(只填一個即可)

7.如圖,在Rt△ABC中,∠

C=90°,∠

CAB,∠

ABC的平分線交于點

D,DE⊥

BC于點E,DF⊥

AC于點F.求證:四邊形

CEDF是正方形.證明:過點

D作

DG⊥

AB于點G.∵

AD平分∠

BAC,DF⊥

AC,∴

DF=DG.同理

DE=DG,∴

DF=DE.易知∠

C=∠

DFC=∠

DEC=90°,∴四邊形

CEDF是矩形.又∵

DF=DE,∴矩形

CEDF是正方形.8.若順次連接四邊形

ABCD各邊中點所得四邊形是正方形,則四邊形

ABCD一定是(D)A.矩形B.對角線互相垂直的四邊形C.菱形D.對角線互相垂直平分且相等的四邊形9.如圖,以

A,B為其中兩個頂點作位置不同的正方形,一共可以作(C)

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個10.如圖,AD是△ABC的角平分線,DE,DF分別是△ABD和△ACD的高,則下列結(jié)論:①OA=OD;②

AD⊥EF;③

AE+DF=AF+DE;④當∠

BAC=90°時,四邊形

AEDF是正方形.其中一定正確的是(B)

A.①②③ B.②③④

C.①③④ D.①②③④11.如圖,正方形

ABCD的邊長為6cm,對角線

AC,BD相交于點O,過點O的任一直線EF分別交邊

AB,CD于點E,F,則陰影部分的面積是

9cm2

.

12.如圖,在矩形

ABCD中,AE平分∠

BAD,交

BC于點E,過點E作EF⊥

AD于點F,連接

BF交

AE于點P,連接PD.求證:四邊形

ABEF是正方形.證明:∵四邊形

ABCD是矩形,∴∠FAB=∠

ABE=90°,AF∥

BE.∵EF⊥

AD,∴∠FAB=∠

ABE=∠

AFE=90°,∴四邊形

ABEF是矩形.∵

AE平分∠

BAD,AF∥

BE,∴∠FAE=∠

BAE,∠FAE=∠

AEB,∴∠

BAE=∠

AEB,∴

AB=BE,∴矩形

ABEF是正方形.13.如圖,在Rt△ABC中,∠

ACB=90°,過點

C的直線MN∥

AB,D為

AB邊上一點,過點

D作

DE⊥

BC,交直線MN于點E,垂足為F,連接

CD,BE.(1)求證:CE=AD.(2)填空:①當

AB=

2

BD時,四邊形

BECD是菱形;

②在①的基礎(chǔ)上,當∠

A的度數(shù)為

45°

時,四邊形

BECD是正方形.

解:(1)∵

DE⊥

BC,∴∠

DFB=90°,∵∠

ACB=90°,∴∠

ACB=∠

DFB,∴

AC∥

DE,∵MN∥

AB,即

CE∥

AD,∴四邊形

ADEC是平行四邊形,∴

CE=AD.(2)①理由:略.②理由:略.正方形的性質(zhì)與判定第一章特殊平行四邊形第3課時

知識點

正方形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用1.(臺州中考)下列命題正確的是(C)A.對角線相等的四邊形是平行四邊形B.對角線相等的四邊形是矩形C.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形D.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形2.下列說法不正確的是(D)A.既是矩形又是菱形的四邊形是正方形B.正方形是對角線相等的菱形C.正方形是對角線互相垂直的矩形D.正方形是對角線互相平分的平行四邊形3.(宜昌中考)如圖,正方形

ABCD的邊長為1,E,F分別是對角線

AC上的兩點,EG⊥

AB,EI⊥

AD,FH⊥

AB,FJ⊥

AD,垂足分別為G,I,H,J,則圖中陰影部分的面積等于(B)4.如圖,在?ABCD中,AC⊥

BD于點O.若不增加任何字母與輔助線,要使得四邊形

ABCD是正方形,則還需增加的一個條件是

AC=BD(答案不唯一)

.

5.如圖,在正方形

ABCD中,E是對角線

BD上的點,求證:AE=CE.6.如圖,在正方形

ABCD中,點E,F分別在邊

BC,CD上,且

BE=CF.連接

AE,BF,AE與

BF交于點G.下列結(jié)論錯誤的是(C)

A.AE=BFB.∠

DAE=∠

BFCC.∠

AEB+∠

BFC=90°D.AE⊥

BF8.(紹興中考)如圖為某城市部分街道示意圖,四邊形

ABCD為正方形,點G在對角線

BD上,GE⊥

CD,GF⊥

BC,AD=1500m,小敏行走的路線為

B→A→G→E,小聰行走的路線為

B→A→D→E→F.若小敏行走的路程為3100m,則小聰行走的路程為

4600

m.

9.(邵陽中考)如圖,平行四邊形

ABCD的對角線

AC,BD相交于點O,∠OBC=∠OCB.(1)求證:平行四邊形

ABCD是矩形;(2)請?zhí)砑右粋€條件使矩形

ABCD為正方形,并說明理由.解:(1)∵四邊形

ABCD是平行四邊形,∴OA=OC,OB=OD,∵∠OBC=∠OCB,∴OB=OC,∴

AC=BD,∴平行四邊形

ABCD是矩形.(2)AB=AD(或

AC⊥

BD,答案不唯一).理由:略.10.(青島中考)如圖,在菱形

ABCD中,E,O,F分別為

AB,AC,AD的中點,連接

CE,CF,OE,OF.(1)求證:△BCE≌△DCF.(2)當

AB與

BC滿足什么關(guān)系時,四邊形

AEOF是正方形?請說明理由.11.(上海中考)如圖,在四邊形

ABCD中,AD∥

BC,AD=CD,E是對角線

BD上一點,且EA=EC.(1)求證:四邊形

ABCD是菱形;(2)如果

BE=BC,