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文檔簡介
正方形的性質(zhì)與判定第一章特殊平行四邊形第2課時
知識點1
用定義判定正方形1.如果要證明平行四邊形
ABCD為正方形,那么我們需要在四邊形
ABCD是平行四邊形的基礎(chǔ)上,進一步證明(B)A.AB=BD且
AC⊥
BDB.∠
A=∠
B且
AB=ADC.∠
A=∠
B且
AC=BDD.AC和
BD互相垂直平分2.已知四邊形
ABCD中,∠
A=∠
B=∠
C=90°,若使四邊形
ABCD是正方形,則還需加上一個條件
AB=BC(答案不唯一)
.
知識點2
有一個角是直角的菱形是正方形3.如圖,正方形
ABCD的對角線
AC,BD相交于點O,過點
B作
AC的平行線,過點
C作
DB的平行線,它們相交于點E.求證:四邊形OBEC是正方形.4.如圖,有4個動點E,F,G,H分別從正方形
ABCD的4個頂點出發(fā),沿著
AB,BC,CD,DA以同樣的速度向
B,C,D,A各點移動.請判斷四邊形EFGH的形狀.解:由題可知
AE=BF=CG=DH.∵四邊形
ABCD是正方形,∴∠
A=∠
B=∠
C=∠
D=90°,AB=BC=CD=DA,∴
AH=DG=CF=BE,∴Rt△AEH≌Rt△DHG≌Rt△CGF≌Rt△BFE,∴EF=EH=HG=GF,∠EHA=∠HGD,∴四邊形EFGH是菱形.∵∠EHA=∠HGD,∠HGD+∠GHD=90°,∴∠EHA+∠GHD=90°,∴∠EHG=90°,∴菱形EFGH是正方形.知識點3
有一組鄰邊相等的矩形是正方形5.如圖,在矩形紙片
ABCD中,AB=6cm,BC=8cm.現(xiàn)將其沿
AE對折,使得點
B落在邊
AD上的點
B1處,折痕與邊
BC交于點E,則
CE的長為(D)
A.6cm B.4cmC.3cm D.2cm6.(教材母題變式)矩形
ABCD的對角線
AC,BD相交于點O,請你添加一個適當?shù)臈l件
AB=BC(答案不唯一)
,使其成為正方形.(只填一個即可)
7.如圖,在Rt△ABC中,∠
C=90°,∠
CAB,∠
ABC的平分線交于點
D,DE⊥
BC于點E,DF⊥
AC于點F.求證:四邊形
CEDF是正方形.證明:過點
D作
DG⊥
AB于點G.∵
AD平分∠
BAC,DF⊥
AC,∴
DF=DG.同理
DE=DG,∴
DF=DE.易知∠
C=∠
DFC=∠
DEC=90°,∴四邊形
CEDF是矩形.又∵
DF=DE,∴矩形
CEDF是正方形.8.若順次連接四邊形
ABCD各邊中點所得四邊形是正方形,則四邊形
ABCD一定是(D)A.矩形B.對角線互相垂直的四邊形C.菱形D.對角線互相垂直平分且相等的四邊形9.如圖,以
A,B為其中兩個頂點作位置不同的正方形,一共可以作(C)
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個10.如圖,AD是△ABC的角平分線,DE,DF分別是△ABD和△ACD的高,則下列結(jié)論:①OA=OD;②
AD⊥EF;③
AE+DF=AF+DE;④當∠
BAC=90°時,四邊形
AEDF是正方形.其中一定正確的是(B)
A.①②③ B.②③④
C.①③④ D.①②③④11.如圖,正方形
ABCD的邊長為6cm,對角線
AC,BD相交于點O,過點O的任一直線EF分別交邊
AB,CD于點E,F,則陰影部分的面積是
9cm2
.
12.如圖,在矩形
ABCD中,AE平分∠
BAD,交
BC于點E,過點E作EF⊥
AD于點F,連接
BF交
AE于點P,連接PD.求證:四邊形
ABEF是正方形.證明:∵四邊形
ABCD是矩形,∴∠FAB=∠
ABE=90°,AF∥
BE.∵EF⊥
AD,∴∠FAB=∠
ABE=∠
AFE=90°,∴四邊形
ABEF是矩形.∵
AE平分∠
BAD,AF∥
BE,∴∠FAE=∠
BAE,∠FAE=∠
AEB,∴∠
BAE=∠
AEB,∴
AB=BE,∴矩形
ABEF是正方形.13.如圖,在Rt△ABC中,∠
ACB=90°,過點
C的直線MN∥
AB,D為
AB邊上一點,過點
D作
DE⊥
BC,交直線MN于點E,垂足為F,連接
CD,BE.(1)求證:CE=AD.(2)填空:①當
AB=
2
BD時,四邊形
BECD是菱形;
②在①的基礎(chǔ)上,當∠
A的度數(shù)為
45°
時,四邊形
BECD是正方形.
解:(1)∵
DE⊥
BC,∴∠
DFB=90°,∵∠
ACB=90°,∴∠
ACB=∠
DFB,∴
AC∥
DE,∵MN∥
AB,即
CE∥
AD,∴四邊形
ADEC是平行四邊形,∴
CE=AD.(2)①理由:略.②理由:略.正方形的性質(zhì)與判定第一章特殊平行四邊形第3課時
知識點
正方形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用1.(臺州中考)下列命題正確的是(C)A.對角線相等的四邊形是平行四邊形B.對角線相等的四邊形是矩形C.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形D.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形2.下列說法不正確的是(D)A.既是矩形又是菱形的四邊形是正方形B.正方形是對角線相等的菱形C.正方形是對角線互相垂直的矩形D.正方形是對角線互相平分的平行四邊形3.(宜昌中考)如圖,正方形
ABCD的邊長為1,E,F分別是對角線
AC上的兩點,EG⊥
AB,EI⊥
AD,FH⊥
AB,FJ⊥
AD,垂足分別為G,I,H,J,則圖中陰影部分的面積等于(B)4.如圖,在?ABCD中,AC⊥
BD于點O.若不增加任何字母與輔助線,要使得四邊形
ABCD是正方形,則還需增加的一個條件是
AC=BD(答案不唯一)
.
5.如圖,在正方形
ABCD中,E是對角線
BD上的點,求證:AE=CE.6.如圖,在正方形
ABCD中,點E,F分別在邊
BC,CD上,且
BE=CF.連接
AE,BF,AE與
BF交于點G.下列結(jié)論錯誤的是(C)
A.AE=BFB.∠
DAE=∠
BFCC.∠
AEB+∠
BFC=90°D.AE⊥
BF8.(紹興中考)如圖為某城市部分街道示意圖,四邊形
ABCD為正方形,點G在對角線
BD上,GE⊥
CD,GF⊥
BC,AD=1500m,小敏行走的路線為
B→A→G→E,小聰行走的路線為
B→A→D→E→F.若小敏行走的路程為3100m,則小聰行走的路程為
4600
m.
9.(邵陽中考)如圖,平行四邊形
ABCD的對角線
AC,BD相交于點O,∠OBC=∠OCB.(1)求證:平行四邊形
ABCD是矩形;(2)請?zhí)砑右粋€條件使矩形
ABCD為正方形,并說明理由.解:(1)∵四邊形
ABCD是平行四邊形,∴OA=OC,OB=OD,∵∠OBC=∠OCB,∴OB=OC,∴
AC=BD,∴平行四邊形
ABCD是矩形.(2)AB=AD(或
AC⊥
BD,答案不唯一).理由:略.10.(青島中考)如圖,在菱形
ABCD中,E,O,F分別為
AB,AC,AD的中點,連接
CE,CF,OE,OF.(1)求證:△BCE≌△DCF.(2)當
AB與
BC滿足什么關(guān)系時,四邊形
AEOF是正方形?請說明理由.11.(上海中考)如圖,在四邊形
ABCD中,AD∥
BC,AD=CD,E是對角線
BD上一點,且EA=EC.(1)求證:四邊形
ABCD是菱形;(2)如果
BE=BC,
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