2022年中考數(shù)學：圖形的變化（二）

2022年中考數(shù)學專題：圖形的變化（二）

1.以下四個標志,每個標志都有圖案和文字說明，其中的圖案是軸對稱圖形是

()

2.下列圖形都是由一個圓和兩個相等的半圓組合而成的，其中既是軸對稱圖形

又是中心對稱圖形的是（）

3.將一張三角形紙片按如圖步驟①至④折疊兩次得圖⑤，然后剪出圖⑤中的陰

影部分，則陰影部分展開鋪平后的圖形是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.矩形D.菱形

4.下列圖形中，是軸對稱圖形且對稱軸條數(shù)最多的是（）

AB⑥C,D0

5.下列四幅圖案是四所大學?；盏闹黧w標識，其中是中心對稱圖形的是（

)

Wt?■???

A.B.

6.如圖，在矩形ABCD中，48=5,40=3,點E為BC上一點，把ACDE

沿DE翻折，點C恰好落在AB邊上的F處，則CE的長是()

7.對稱美是美的一種重要形式，它能給與人們一種圓滿、協(xié)調(diào)和平的美感，下

8.如圖，團04BC的頂點。(0,0),4(1,2)，點C在x軸的正半軸上，延長

BA交y軸于點D.將A0DA繞點。順時針旋轉(zhuǎn)得到△,當點。

的對應(yīng)點D,落在。4上時，D'A'的延長線恰好經(jīng)過點C,則點C的坐

標為()

A.(2百，0)B.(2V5,0)C.(2V3+1,0)D.(275+1,0)

9.已知在RPACB中，4c=90°,^ABC=75°,48=5,點E為邊AC上

的動點，點F為邊AB上的動點，則線段FE+EB的最小值是()

A.也B.-C.V5D.V3

22

10.在平面直角坐標系中，將點4(-3,-2)向右平移5個單位長度得到點B,

則點B關(guān)于y軸對稱點B'的坐標為()

A.(2,2)B.(-2,2)C.(-2,-2)D.(2,-2)

11.如圖，將酊1BCD沿對角線AC翻折，點B落在點E處，CE交AD于點

F,若NB=80。，Z.ACE=2Z.ECDFC=a,FD=b,貝EXBCD的周

長為

12.如圖，4MON=40°,以。為圓心,4為半徑作弧交OM于點A,交ON

于點B,分別以點A,B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在

乙MON的內(nèi)部相交于點C,畫射線OC交AB于點D,E為04上一動

點，連接BE,DE,則陰影部分周長的最小值為

13.已知菱形48CD的面積為2b，點E是一邊BC上的中點，點P是對角線BD

上的動點.連接AE,若AE平分ABAC,則線段PE與PC的和的最小值

為—，最大值為—.

14.如圖，三角形紙片ABC中，點D,E,F分別在邊AB,AC,BC上，

B尸=4,CF=6,將這張紙片沿直線DE翻折，點A與點F重合.若

DE//BC,AF=EF,則四邊形ADFE的面積為.

15.如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(0,3),點B的坐標為(4,0),

連接AB，若將AABO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△4B。‘，則點A'的

16.如圖，在R^ABC中，NB4c=90。，AB=2霹，AC=6,點E在線段

4C上，且4E=1,D是線段BC上的一點，連接OE,把四邊形ABDE

沿直線DE翻折，得到四邊形FGDE,當點G恰好落在線段AC上時，

AF=.

17.如圖，0中，區(qū)，岡，將因繞點S逆時針旋轉(zhuǎn)S得到S，連

接國，則叵］的值是

18.如圖所示的圖案由三個葉片組成，繞點。旋轉(zhuǎn)120°后可以和自身重合.若

每個葉片的面積為4cm2,AAOB為120°,則圖中陰影部分的面積之和為

cm2.

19.已知拋物線y=%2_2x-3與x軸交于A,B兩點(點4在點B的左側(cè))與

y軸交于點C,點0(4,y)在拋物線上，E是該拋物線對稱軸上一動點，當BE+

DE的值最小時，4ACE的面積為.

20.將一副三角板如圖放置在平面直角坐標系中，頂點4與原點0重合，AB在

x軸正半軸上，且AB=4遍，點E在4D上，DE=\AD,將這副三角

板整體向右平移一個單位，C，E兩點同時落在反比例函數(shù)y=E的

圖象上.

21.在平面直角坐標系xOy中，。。的半徑為1.對于點A和線段BC,給出如

下定義：若將線段BC繞點4旋轉(zhuǎn)可以得到。。的弦B'CXB',。分別是B,

C的對應(yīng)點)，則稱線段BC是。。的以點4為中心的“關(guān)聯(lián)線段”.

(1)如圖，點A,Bi，G，B2,C2,B3,C3的橫、縱坐標都是整數(shù).在

線段B】G，82c2，83c3中，。。的以點4為中心的“關(guān)聯(lián)線段”是_

B2c2_；

(2)2MBe是邊長為1的等邊三角形，點4(0』)，其中t^O.若BC是。。

的以點A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，求t的值；

(3)在2MBe中，AB=1,4C=2.若BC是。。的以點4為中心的“關(guān)

聯(lián)線段”，直接寫出04的最小值和最大值，以及相應(yīng)的BC長.

22.如圖，在內(nèi)4ABe中，點P為斜邊BC上一動點，將AABP沿直線AP折

疊，使得點B的對應(yīng)點為B',連接AB',CB',BB',PB'.

(1)如圖①，若PB'1AC,證明：PB'=AB'.

(2)如圖②，若,BP=3PC,求cos^B'AC的值.

(3)如圖③，若乙4cB=30。，是否存在點P,使得AB=CB；若存在,

求此時？的值；若不存在，請說明理由.

23.如圖，在平面直角坐標系中,2L4BC的頂點坐標分別是4(0,4),8(0,2),C(3,2).

(1)將ZL4BC以。為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180。，畫出旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的△力1當前；

(2)將ZL4BC平移后得到△4282c2，若點4的對應(yīng)點公的坐標為(2,2),求

△41cle2的面積.

24.實踐與探究

操作一：如圖①，已知正方形紙片ABCD,將正方形紙片沿過點A的直線

折疊，使點B落在正方形ABCD的內(nèi)部，點B的對應(yīng)點為點M，折痕為

AE,再將紙片沿過點A的直線折疊，使AD與AM重合，折痕為AF,

則^EAF=度.

操作二：如圖②，將正方形紙片沿EF繼續(xù)折疊，點C的對應(yīng)點為點N.我

們發(fā)現(xiàn)，當點E的位置不同時，點N的位置也不同.當點E在BC邊的

某一位置時，點N恰好落在折痕AE上，則乙1EF=度.

在圖②中，運用以上操作所得結(jié)論，解答下列問題：

(1)設(shè)AM與NF的交點為點P.求證：AANP=AFNE；

⑵若48，則線段AP的長為

4

I_______v

BE

圖①圖②

25.如圖，在44BC中，AB=AC,^BAC=a,M為BC的中點，點。在MC上,

以點4為中心，將線段力。順時針旋轉(zhuǎn)a得到線段AE,連接BE,DE.

(1)比較“AE與4以D的大??；用等式表示線段BE,BM,MD之間的數(shù)

量關(guān)系，并證明;

(2)過點”作4B的垂線，交0E于點N,用等式表示線段NE與N。的數(shù)

量關(guān)系，并證明.

26.學習了圖形的旋轉(zhuǎn)之后，小明知道，將點P繞著某定點A順時針旋轉(zhuǎn)一定

的角度a，能得到一個新的點P',經(jīng)過進一步探究，小明發(fā)現(xiàn)，當上述點

P在某函數(shù)圖象上運動時，點P'也隨之運動，并且點P'的運動軌跡能形成

一個新的圖形.

試根據(jù)下列各題中所給的定點A的坐標、角度a的大小來解決相關(guān)問題.

【初步感知】

如圖1,設(shè)4(1,1),a=90。，點P是一次函數(shù)y=kx+b圖象上的動點，

已知該一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點.

(1)點旋轉(zhuǎn)后，得到的點P；的坐標為—(1,3)_；

(2)若點P的運動軌跡經(jīng)過點P2’(2,l),求原一次函數(shù)的表達式.

【深入感悟】

如圖2,設(shè)4(0,0),a=45。，點P是反比例函數(shù)y=-^(x<0)的圖象上

的動點，過點P'作二、四象限角平分線的垂線，垂足為M,求AOMP'的

面積.

【靈活運用】

如圖3,設(shè)4(1,一百)，a=60。，點P是二次函數(shù)y=)2+2V5x+7圖

象上的動點，已知點8(2,0)、C(3,0)，試探究ABCP'的面積是否有最小值？

若有，求出該最小值；若沒有，請說明理由.

27.如圖，在平面直角坐標系中，矩形04BC的兩邊0C、。4分別在坐標軸

上，且。4=2,0C=4,連接0B.反比例函數(shù)y=^(x>0)的圖象經(jīng)

過線段OB的中點D,并與AB、BC分別交于點E.F.一次函數(shù)y=

k2x+b的圖象經(jīng)過E、F兩點.

(1)分別求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；

(2)點P是x軸上一動點，當PE+PF的值最小時，點P的坐標為.

28.如圖，在5X5的方格紙中，線段AB的端點均在格點上，請按要求畫圖.

(1)如圖1,畫出一條線段AC,使AC=AB,C在格點上；

(2)如圖2,畫出一條線段EF，使EF,AB互相平分，E,F均在

格點上；

(3)如圖3,以4,B為頂點畫出一個四邊形，使其是中心對稱圖形，且

頂點均在格點上.

29.如圖，點E為正方形ABCD外一點，乙4EB=90。，將Rt21ABE繞A點逆

時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到AADF,DF的延長線交BE于H點.

(1)試判定四邊形AFHE的形狀，并說明理由;

(2)已知BH=7,BC=13,求的長.

30.在RPABC中，44cB=90。，AB=5,BC=3,將AABC繞點B順時

針旋轉(zhuǎn)得到△A'BC,其中點A,C的對應(yīng)點分別為點A',C.

(1)如圖1,當點4落在AC的延長線上時，求AA'的長；

(2)如圖2,當點C落在AB的延長線上時，連接CG,交A'B于點M,

求BM的長；

(3)如圖3,連接44,CC,直線CC交AA,于點。，點E為AC的

中點，連接DE.在旋轉(zhuǎn)過程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的

最小值；若不存在，請說明理由.

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參考答案

1.D

2.A

[※解析※]

根據(jù)中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義逐項判斷即可.

解：4既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故此選項符合題意;

B.不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

C.不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

D.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

3.D

[※解析※]

對折是軸對稱得到的圖形，根據(jù)最后得到的圖形可得是沿對角線折疊2次后,

剪去一個三角形得到的，按原圖返回即可.

解：如圖，由題意可知，剪下的圖形是四邊形BACD,

由折疊可知CA=AB,

???4ABC是等腰三角形，

又44BC和4BCD關(guān)于直線BC對稱,

二四邊形B4CD是菱形，

4.D

[※解析※]

根據(jù)軸對稱圖形的概念逐項進行判斷即可.

解：A.是軸對稱圖形，共有1條對稱軸;

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B.不是軸對稱圖形，沒有對稱軸；

C.不是軸對稱圖形，沒有對稱軸；

D.是軸對稱圖形，共有2條對稱軸.

5.C

[※解析※]

根據(jù)中心對稱圖形的意義逐項判斷即可.

解：人不是中心對稱圖形，故本選項不合題意;

B.不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

C.是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

D.不是中心對稱圖形，故本選項不合題意.

6.D

[※解析※]

設(shè)CE=x，貝BE=3-x由折疊性質(zhì)可知，EF=CE=x,DF=CD=AB=5,

求出4F=4,BF=AB-AF=1,在Rt^BEF中，BE2+BF2=EF2,即

(3-X)2+12=X2,即可求解.

解：設(shè)CE=x,貝BE=3-x.

由折疊性質(zhì)可知，EF=CE=x,DF=CD=AB=5.

在Rt”DAF中，4。=3,DF=5.

AF=4.

■■BF=AB-AF=1.

在Rt」BEF中，BE2+BF2=EF2.

即(3-x)2+l2=x2.

解得x=|.

7.A

[※解析※]

根據(jù)中心對稱圖形的定義逐項作出判斷.

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解：4、是中心對稱圖形，故選項符合題意；

B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故選項不符合題意;

C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故選項不符合題意;

是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故選項不符合題意.

8.B

[※解析※]

延長4'。'交y軸于點E,延長D'A',由題意。0的延長線經(jīng)過點C,如圖,

:.AD—1,0D=2,

0A=7AD2+0D2=Vl2+22=V5.

由題意：△OA'D'=AOAD,

???A'D'=AD=1,OA'=0A=V5,OD'=0D=2,/.A'D'O=/.ADO=90°,

AA'OD'=乙DOD'.

則OD'LA'E,OA平分/.A'OE,

A'OE為等腰三角形.

OE=OA'=V5,ED'=A'D'=1.

vEOLOC,OD'1EC,

AOED'-ACEO.

?_E_Dt—_E_O

一OD，-OC9

1x/5

:.—=—.

2OC

：.OC=2V5.

C(2V5,0).

9.B

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[※解析※]

作點尸關(guān)于直線力8的對稱點尸'，如下圖所示，此融EF+EgEF'+EB,再由

點到直線的距離垂線段長度最短求解即可.

解：作F關(guān)于4。的對稱點F',延長AF\BC交于點B',

：.Z.BAB'=30°,EF=EF',

???FE+EB=BE+EF',

???當B、E、9共線且與2夕垂直時，BE+EF，長度最小，即求BD的長，

即作BD_L4B'于D,

在4ABD中，BD=^AB=^,

10.C

[※解析※]

根據(jù)點的平移規(guī)律左減右加可得點8的坐標，然后再根據(jù)關(guān)于8軸的對稱點

的坐標特點：橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變可得答案.

解：點4(-3,-2)向右平移5個單位長度得到的B的坐標為(-3+5,-2),即

(2,-2),

則點B關(guān)于y軸的對稱點e的坐標是：(-2,-2).

11.4a+2b

[※解析※]

根據(jù)已知條件證明2MFC為等腰三角形.推出AF=FC=a.設(shè)乙ECD=x,則

乙4CE=2x,在44DC中，由三角形內(nèi)角和定理可知，2x+2x+x+80。=180。,

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解得x=20°,由外角定理可證明MFC為等腰三角形.所以DC=FC=a.故

平行四邊形ABCD的周長為2(DC+AC)=2(a+a+b)=2=4a+2b.

解：vZB=80°,四邊形力BCD為平行四邊形.

???乙D=80°.

由折疊可知^ACB=^ACE,

又AD//BC,

:.Z-DAC=Z-ACB,

???Z.ACE=Z-DAC,

??"4FC為等腰三角形.

???AF=FC=a.

設(shè)/.ECD=X,則A.ACE=2x,

???Z,DAC=2%,

在44DC中，由三角形內(nèi)角和定理可知，2x+2x+x+80°=180°,

解得：x=20°.

???由三角形外角定理可得^DFC=4x=80°,

故4DFC為等腰三角形.

??.DC=FC=a.

:.AD=AF+FD=a+b,

故平行四邊形4BCD的周長為2(DC+4D)=2(Q+Q+匕)=4a+2b.

12.4+9

[※解析※]

根據(jù)作圖得到。4=OB=。。=4,^BOD=^AOD=20°,用弧長公式可計算

出BD的長度，作B點關(guān)于OM的對稱點F,連接DF交OM于E',連接OF,

如圖，證明40DF為等邊三角形得到DF=4,接著根據(jù)兩點之間線段最短可

判斷此時+的值最小，從而得到陰影部分周長的最小值.

解：由作法得。C平分4MoN,0A=OB=OD=4,

乙BOD=Z.AOD=-/.MON=工x40。=20°,

22

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???BD的長度為蟹=加

作B點關(guān)于0M的對稱點F,連接DF交0M于E',連接0F,如圖,

???OF=0B,^.FOA=Z.B0A=40°,

OD=OF,

.??40DF為等邊三角形，

???DF=OD=4,

,:E'B=E'F,

E'B+E'D=E'F+E'D=DF=4,

???此時+的值最小,

二陰影部分周長的最小值為4+^.

13.V3;2+V7

[※解析※]

根據(jù)點E是一邊BC上的中點及4E平分MAC判定2MBC是等邊三角形，根

據(jù)菱形4BC0的面積求出菱形的邊長；求PE+PC的最小值，點E和點C是

定點，點P是線段BC上動點，由軸對稱最值問題，可求出最小值；求和的

最大值，觀察圖形可知，當PE和PC的長度最大時，和最大，即點P和點D

重合時，PE+PC的值最大.

解：根據(jù)圖形可畫出圖形，如圖所示，

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過點B作BF"AC交4E的延長線于點F,

???乙F=Z.CAE,Z.EBF=乙ACE,

???點E是8C的中點,

^AACE=AFBE(AAS)f

：.BF=AC,

???4E平分Z.BAC,

???Z-BAE=Z-CAE,

:.乙BAE=乙F,

???AB=BF=AC,

在菱形ABCD中，AB=BC,

AB=BC=AC,即44BC是等邊三角形；

???乙ABC=60°,

設(shè)力B=a,則BD=y/3a,

二菱形4BCD的面積=\AC-BD=2V3,即i-a-V3a=2V3,

???a=2,BPAB=BC=CD=2；

???四邊形4BCD是菱形，

.?.點A和點。關(guān)于BD對稱，

：.PE+PC=AP+EP,

當點A,P,E三點共線時，4P+EP的和最小，此時AE=g;

點P和點。重合時，PE+PC的值最大，此時PC=DC=2,

過點。作DG1.BC交BC的延長線于點G,連接DE,

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-AB//CD,^ABC=60°,

???Z.DCG=60°,

CG=1,DG=V3,

???EG-2,

DE=y/EG2+DG2=上+（遮/=V7，

止匕時PE+PC=2+V7;

即線段PE與PC的和的最小值為遮；最大值為2+夕.

14.5V3

[※解析※]

???將這張紙片沿直線應(yīng)翻折，點A與點6重合，

.??龐垂直平分"，AD=DF,AE=EF,4ADE=4EDF,

'：DE//BC,

：./.ADE=ZB,乙EDF=LBFD,Z.AFC=90°,

；?乙B=Z-BFD,

BD=DF,

：.BD=AD,即，為46的中點，

:.DE為AABC的中位線，

/.DE=|BC=5,

'：AF=EF,

是等邊三角形，

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在RtAACE中，Z.CAF=60°,CF=6,

，AF=-^=2^3,

tan600

...AG=V3,

/.四邊形/〃叫的面積為IDE-AGX2=5百,

15.(7,4)

[※解析※]

作AClx軸于點C,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC=A'O'=OA=3,A'C=O'B=

OB=4,進而求解.

解：作AClx軸于點C,

由旋轉(zhuǎn)可得4。'=90。，OBlx軸，

二四邊形為矩形，

BC=A'O'=OA=3,A'C=O'B=OB=4,

二點4坐標為(7,4).

16.2\/6

3

[※解析※]

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由折疊的性質(zhì)可得4B=FG=2或，AE=EF=1,4B4C=4E"=90。，在

RPEFG中，由勾股定理可求EG=3,由銳角三角函數(shù)可求EH,HF的長，在

Rt“AHF中，由勾股定理可求AF.

解：如圖，過點F作于H,

,?,把四邊形4BDE沿直線DE翻折，得到四邊形FGDE,

AB—FG-2或，AE=EF=1,Z.BAC=乙EFG—90°,

???EG=VFF2+FG2=VTT8=3,

???sin"EG=^=卷,

.HF_2>/2

=9

13

???H口口F=—26,

3

???COS4FEG=翳嚏'

EH_1

1~3

EH=I，

4

???

AH=AE+EH=-3

AF=7AH2+HF2=

17.0

[※解析※]

連接□,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得岡，岡，得到S為等邊三角形，由S,

國，得出國垂直平分S,于是求出國，國，可得回，即可求解.

解：如圖，連接區(qū)1,設(shè)區(qū)與回交于點S,

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國將國繞點s逆時針旋轉(zhuǎn)a得到□,

□，□

s為等邊三角形，

回，□；

□,國，

□，

區(qū)1,國，

S垂直平分S,

回，區(qū)I,

S

□，

故答案為S

本題考查了圖形的變換S旋轉(zhuǎn)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判

定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，準確把握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18.4

[※解析※]

根據(jù)題中條件可知圖中陰影部分的面積之和等于三個葉片的面積和的三分之

解：?.?三個葉片組成，繞點。旋轉(zhuǎn)120。后可以和自身重合,

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而乙40B為120°,

二圖中陰影部分的面積之和=|(4+4+4)=4(cm2).

19.4

[※解析※]

先求出A,8兩點的坐標和拋物線的對稱軸為直線x=l,再確定C、D的坐

標，連接4。交直線％=1于七，交y軸于尸點，如圖，根據(jù)兩點之間線段最

短可判斷此時BE+DE的值最小，接著根據(jù)待定系數(shù)法求出直線AD的解析式,

則然后根據(jù)三角形面積公式計算.

解：當y=0時，/一2刀一3=0,解得與=-1,&=3,則火一1,0),8(3,0),

拋物線的對稱軸為直線x=l,

當x=0時，y=x2-2x-3=-3,則C(0,-3),

當x=4時，y=x2-2x-3=5,則0(4,5),

連接4。交直線％=1于心交y軸于尸點，如圖，

vBE+DE=￡4+DE=AD,

??.此時BE+DE的值最小，

設(shè)直線4D的解析式為y=kx+b,

把4-1,0),D(4,5)代入得解得｛仁：，

二直線4。的解析式為y=x+1,

當x=l時，y=x+l=2,則E(l,2),

當％=0時，y=x+l=l,則F(0,l),

,，?S^ACE=SAACF+SAECF=-x4xl+-x4xl=4.

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20.12-V3

[※解析※]

先求出C、E的坐標，然后表示出平移后的坐標，根據(jù)k=得到關(guān)于t的

方程，解方程即可求得.

解：VAB=4百，

BD=6AB=12,

???C(4V3+6,6),

■■■DE=-AD,

4

??.E的坐標為(3次，9),

設(shè)平移t個單位后，則平移后C點的坐標為(4V3+6+C,6),平移后E點

的坐標為(3V3+t,9),

???平移后C,E兩點同時落在反比例函數(shù)y的圖象上，

(4y/3+6+t)X6=(3V3+t)X9,

解得t=12-y/3,

21.(1)B2c2；(2)t=±V3;(3)當04min=l時，此時BC=6;當O/ax=2

時,此時BC哈

[※解析※]

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(1)以點力為圓心，分別以48I，4CI，AB2,4C2,4B3，AC3為半徑畫圓，進而觀察

是否與。。有交點即可；

(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△4夕。是等邊三角形，且B9是。。的弦，進而畫

出圖象，則根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可進行求解；

(3)由BC是。。的以點4為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，則可知夕,都在。。上,

且AB'=AB=1,AC'=AC=2,然后由題意可根據(jù)圖象來進行求解即可.

(1)由題意得：

通過觀察圖象可得:線段B2c2能繞點/旋轉(zhuǎn)90°得到。。的“關(guān)聯(lián)線段”，

&&83c3都不能繞點/進行旋轉(zhuǎn)得到；

故答案為B2c2；

(2)由題意可得：當BC是。。的以點4為中心的“關(guān)聯(lián)線段”時，則有△

是等邊三角形，且邊長也為1,當點［在y軸的正半軸上時，如圖所示：

設(shè)夕。與y軸的交點為〃連接OB',易得"C，ly軸,

/.B'D=DC=p

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0D=y/OB'2-B'D2=y,AD=y/AB'2-B'D2=y,

/.OA=遮，

t=V3;

當點4在y軸的正半軸上時，如圖所示：

t=—V3;

(3)由BC是。。的以點4為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，則可知都在。0上,

且AB'=AB=1,AC=AC=2,則有當以夕為圓心，1為半徑作圓，然后以點

/為圓心，2為半徑作圓，即可得到點力的運動軌跡，如圖所示：

由運動軌跡可得當點4也在。。上時為最小，最小值為1,此時AC'為。。的

直徑，

二4AB'C'=90°,

AAC'B'=30°,

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，BC=B'C=AC-cos300=V3;

由以上情況可知當點4B，,。三點共線時，0A的值為最大，最大值為2,如圖

所示：

連接OU,B'C\過點L作。了，04于點尸，

0C=1,AC=0A=2,

設(shè)OP=x,則有AP=2—x,

,由勾股定理可得：CP*2=AC'2-AP2=0C'2-OP2,BP2?-(2-x)2=1-

解得：x=；,

c'P=—4,

:.B'P-OB'-OP=-4,

在Rt△夕PC，中，B'C=yjB'P2+CP2=

2

BC——2;

綜上所述：當。/也=1時，此時FC=V3;當04max=2時，此時BC若.

22.(1)見解析；

(2)cos^B'AC=|；

(3)1或；

[※解析※]

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(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)易得PB'=AB'.

(2)設(shè)4B=4C=a,AC,PB咬于點。，推出/ABC為等腰直角三角形.再

判定ACDP-AB'DA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得邊的比.設(shè)B'D=b,則

CD=—b.則AD=a——h,PD=—a—b,由竺=史解得b=—a.再過

444AD47

點。作DE1W于點E,則4DE為等腰直角三角形.所以^E=sin45°x

4

-a

B'D7AE=AB-B'E=^a,AD=^a.即可求出結(jié)果;

(3)分①點尸在8c外的圓弧上；②點P在BC上兩種情況分別求解即可.

解：(1)證明：?.?PB'14C,^CAB=90°,

■■■Z-B'PA/.BAP,

又由折疊可知^BAP=Z.B'AP,

???Z.B'PA=NB'AP.

故PB'=AB'.

(2)設(shè)AB=AC=a,AC.PB咬于點D,

則為等腰直角三角形,

??,BC3a，PC斗，PB=*

由折疊可知，乙PB2=ZB=45°,

又/.ACB=45°,

^PB'A=AACB,

又“DP=Z.B'DA,

???ACDP-/XB'DA.

Vza

CD絲=9=工=立.①

B'DDAB'Aa4

設(shè)B'D=b,則CD=—b.

4

.：AD=AC-CD=a-^b,

PD=PB--B'D=PB-B'D=^a-b,

V2

由①籌=1得:4

解得：b=苧%

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過點。作OE1A9于點E,則4夕DE為等腰直角三角形.

4

=-Q

??.B'E=sin45OxB'D=*=?十。7

AE=AB'-B'E=AB-B'E=a--a=-a.

77

乂AD—AC一CD—a——b=a—a=-a.

477

AP-a2

cos^B'AC=C0SZJL4D=—=f-=-.

AD|a5

(3)存在點P,使得CB'=AB=m.

???乙4cB=30°,4CAB=90°.

???BC=2m.

①如答圖2所不，

由題意可知，點的運動軌跡為以4為圓心、AB為半徑的半圓A.

當P為BC中點時，PC=BP=AP=AB'=m,

又上B=60°,

???4P4B為等邊三角形.

又由折疊可得四邊形ABP夕為菱形.

PB'//AB,

PB'LAC.

又vAP=AB',

則易知AC為P9的垂直平分線.

故CB'=PC=AB^m,滿足題意.

此時，上=2=工

人」BC2m20

②當點落在BC上時，如答圖3所示，

止匕時CB'—AB=m,

則PB'=1(2m-m)=

i3

???PC=CB'+PB'=m+-m=-m,

22

...PC.=_—如=_一3?

BC2m4

綜上所述，意的值為1或

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答圖3

23.(1)見解析；

(2)11

[※解析※]

(1)根據(jù)中心對稱的性質(zhì)分別作出4B,C的對應(yīng)點4，為，G即可.

(2)根據(jù)平移變換的性質(zhì)分別作出A,B,C的對應(yīng)點A2,B2,C2即可,

再根據(jù)三角形的面積公式求出4&GC2的面積.

解：(1)如圖，△為B1G即為所求.

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⑵如圖，△4282c2即為所求.△①。論的面積=4x8-ix3x2-1x2x

24.操作一：45；

操作二：60；

(1)見解析；

(2)273-2

[※解析※]

操作一：由正方形的性質(zhì)得4BAD=90°,再由折疊的性質(zhì)得：^BAE=LMAE,

ADAF=Z.MAF,即可求解；

操作二：證AZNF是等腰直角三角形，得乙4FN=45。，則^LAFD=^AFM=

45°+,NFE,求出Z.NFE=ACFE=30°,即可求解；

(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)得4V=FN,再證乙NAP=4NFE=30°,由4S4

即可得出結(jié)論；

(2)由全等三角形的性質(zhì)得4P=FE,PN=EN,再證"E8=60。，然后

由含30。角的直角三角形的性質(zhì)得BE=^AB=1,AE=2BE=2,AN=

V3PN=^3a,AP=2PN=2a,由AN+EN=4E得出方程，求解即可.

操作一：

解：二?四邊形ABCD是正方形，

ZC=/.BAD=90°,

由折疊的性質(zhì)得：^BAE=^MAE,^DAF=￡.MAF,

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:.Z-MAE+Z.MAF=Z-BAE+Z-DAF=^BAD=45°,

即Z.EAF=45°,

操作二：

解：?.?四邊形"BCD是正方形，

???=NC=90°,

由折疊的性質(zhì)得：乙NFE=LCFE,Z.ENF=zC=90°,2LAFD=Z.AFM,

:.(ANF=180°-90°=90°,

由操作一得：^EAF=45°,

?."4N?是等腰直角三角形，

???乙AFN=45°,

???Z.AFD=乙AFM=45°+乙NFE,

:.2(45°+乙NFE)+乙CFE=180°,

???乙NFE=Z-CFE=30°,

Z>lEF=90o-30o=60o,

(1)證明：?.Y4VF是等腰直角三角形，

：.AN=FN,

v/-AMF=乙ANF=90°,乙APN=乙FPM,

???乙NAP=乙NFE=30°,

在2L4NP和4FNE中，

乙ANP=乙FNE=90°

AN=FN,

乙NAP=Z.NFE

AAANP=AFNE(ASA^；

(2)由(1)得：AANP=AFNEf

???4P=FE,PN=EN,

v乙NFE=Z.CFE=30°,(ENF=zC=90°,

???乙NEF=Z.CEF=60°,

???Z,AEB=60°,

???Z.B=90°,

??^BAE=30°,

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???BE=3—AB=1,

??.AE—2BE=2,

設(shè)PN=EN=a,

v^ANP=90°,4NAP=30。,

：?AN=V3PN=V3a,AP=2PN=2a,

???AN+EN=AE,

???V3a+Q=2,

解得：a=V3-1,

???AP=2a=2V3—2，

25.(1)/-BAE=LCAD,BM=BE+MD,理由見詳解；(2)DN=EN,理由

見詳解.

[※解析※]

(1)???Z-DAE—Z.BAC=a,

**?乙DAE—乙BAD=乙BAC—4BAD,

B|J4BAE=

在ZL4BE和zMCO中，

AB=AC

Z-BAE=Z-CAD,

AE=AD

???44BEMZL4CD(S4S),

???BE=CD,

為BC的中點，

???BM=CM,

BE+MD=BM；

(2)如圖，作EH_L4B交BC于H,交4B于F,

由(1)ZL4BE三A4CO得：/.ABE=Z.ACD,

,:Z.ACD=乙ABC,

:.Z-ABE=乙ABD,

在4BEF和4BHF中，

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Z-EBF=Z.HBF

BF=BF,

乙BFE=乙BFH

仝/BHFG4SA）,

?,.BE=BH,

由（1）知：BE+MD=BM,

???MH=MD,

MN//HF,

EN_MH

DN~MD9

???EN=DN.

26.(1)(1,3)；

(2)y=*+|；

(3)i；

(4)存在最小值，?

[※解析※]

【初步感知】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)即可得出答案；

(2)運用待定系數(shù)法即可求出答案；

【深入感悟】設(shè)雙曲線與二、四象限平分線交于N點，通過聯(lián)立方程組求出

點N的坐標，再分兩種情況：①當x4-l時，作PQ_Lx軸于Q,證明

^PQA=△P'M4(44S),再運用三角形面積公式即可求出答案；②當-1<%<0

時，作PH_Ly軸于點H,同理可得到答案；

【靈活運用】連接AB,AC,將B,C繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)60。得B',C,

作4H1X軸于點H,證明△CAO=ACAB(SAS),根據(jù)待定系數(shù)法求出。。的

函數(shù)表達式為：y=gx,設(shè)過P且與平行的直線[解析式為y=V3x+b,

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由于^BCP,=S^,C,P,當直線I與拋物線相切時取最小值，再根據(jù)一元二次方

程根的判別式求解即可.

解：【初步感知】

(1)如圖1,????,(-1,1),4(1,1),

軸，=2,

由旋轉(zhuǎn)可得：P/4〃y軸，Pi'4=2,

故答案為：(1.3)；

(2),?嚇2'(2,1),

由題意得22(1，2),

1,1),Pz(L2)在原一次函數(shù)圖象上，

二設(shè)原一次函數(shù)解析式為y=kx+b,

??.原一次函數(shù)解析式為y="+*

【深入感悟】

設(shè)雙曲線與二、四象限平分線交于N點，則:

3=一沁＜0)，

解得：m

???N(-1,1),

①當時，

作PQ_Lx軸于Q,

???Z.QAM=乙POP'=45°,

Z.PAQ=乙P'AN,

PM1AM,

A4P'MA=/.PQA=90°,

.?.在zlPQ力和△P'M力中，

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(/LPQA=NP'MA

\^PAQ="'AM,

IAP=AP'

：.APQA=△P'MA(AAS),

SAP，M4=^APQA=?=5，

即^AOMPi=J'

②當-1<X<0時，

作PH_Ly軸于點H,

■■4POP'=NOY=45°,

4PON="'OY,

???^MP'O=90°-/.MOY-4P'OY=45°-AP'OY,

■：乙POH=乙POP'-Z.P'OY=45°-LP'OY,

AZ.POH=乙MP'O,

在APOH^/\OP，M中，

(Z.PHO=Z.OMP'

\z.POH=^MP'O,

(PO=P'O

APOH=△OP'MQ4AS),

SAPW。=S"HO=?=］，

綜上所述，40M)的面積為i;

【靈活運用】

如圖4,連接AB,AC,將B,C繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)60。得B',作AH1x

軸于點H,

???AQ-圾，B(2,0),C(3,0),

：.OH=BH=1,BC=1,

???OA=AB=OB=2,

.?.40AB為等邊三角形，此時夕與。重合，即9(0,0),

連接CO,v/.CAC'=ABAB'=60°,

/.CAB=/.CAB',

C'A。和4a4B中，

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'C'A=CA

AC'AO=乙CAB,

BA=OA

???△CAO=ACABAS),

CO=CB=1,AC'OA=ZLCBA=120°,

.?.作Clly軸于G,

在Rt/\C'G。中，/.COG=90°-^C'B'C=30°,

???C'G=-OC=-,

22

“V3

OG=—,

2

???C'G，?)，此時OC'的函數(shù)表達式為：y=B，

設(shè)過P且與平行的直線，解析式為y=V3x+b,

■:SABCP，=S〉B，c，P，

??.當直線1與拋物線相切時取最小值，

y=V3x+b

則

y=-x24-2A/3X+7’

、2

即V3x4-=|x2+273%+7,

???1x2+V3x+7—6=0,

當^=0時，得b=5,

??.y=73%+y,

設(shè)1與