2022年數(shù)學(xué)高考全國I卷十問

2022年數(shù)學(xué)高考全國I卷十問

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院何小亞

記得魯迅先生在其雜文《不滿》中寫道：“不滿是向上的車輪，能夠載著不

自滿的人類，向人道前進(jìn)。多有不自滿的人的種族，永遠(yuǎn)前進(jìn)，永遠(yuǎn)有希望。多

有只知責(zé)人不知反省的人的種族，禍哉禍哉！”盡管2022年的數(shù)學(xué)高考、錄取已

經(jīng)塵埃落定，為了實(shí)現(xiàn)先生所倡導(dǎo)的“向上、前進(jìn)”的目標(biāo)，為了響應(yīng)首都醫(yī)科

大學(xué)饒毅校長的強(qiáng)國所需的“去太監(jiān)化”倡議，我們需要對今年的試卷做深入的

反思，如此才能做到精益求精，日臻完善.下面，就今年的數(shù)學(xué)全國I卷談?wù)勔恍?/p>

自己的想法，就教于各位方家.

］中二的數(shù)j白了9

簡單題只有兩題：第1題，集合題；第2題，復(fù)數(shù)題.其余的題大多是中上

難度以上的題.佛祖也懷疑人生：絕大多數(shù)考生不懂高中數(shù)學(xué)？

2.時間都去哪兒了？

全卷只有19題有圖形，但也要作輔助線，而第3,4、8、9、10、11、14、

16、18、21、22題，這么多題要考生自己畫圖.考生懵逼：時間都去哪兒了？

3.計算量合適嗎？

計算量太大.除了立體幾何比較正常外，函數(shù)和圓錐曲線部分重復(fù)的計算量

很大.運(yùn)算復(fù)運(yùn)算，考生淚心酸！

4.知識內(nèi)容、方法分布合理嗎？

知識點(diǎn)分布不合理，重復(fù)內(nèi)容、重復(fù)方法過多.第10、14、15重復(fù)考查了

切線；對于韋達(dá)定理則是矯枉過正，以前的課程標(biāo)準(zhǔn)不作要求，現(xiàn)在則是在第

11、16、21重復(fù)考查了韋達(dá)定理；導(dǎo)數(shù)居然重復(fù)在第7、8、10、15、18、22題

考查.天吶，干嘛出那么多切線、韋達(dá)定理、導(dǎo)數(shù)高考題？現(xiàn)在的國家棟梁，他

們當(dāng)年高考根本沒考導(dǎo)數(shù)??！

5.哪些試題比較“精彩”？

第19題，這是一道思維量、計算量控制得比較好的立體幾何題，幾何法與

坐標(biāo)法的難度比較均衡，而且把立體幾何的核心內(nèi)容都考察到位了.唯一的遺憾

是沒有按照中、中上、難來三級設(shè)問，影響了得分率.

第20題，因形式新穎且復(fù)雜而嚇?biāo)缹殞毜摹凹埨匣ⅰ备怕暑}.懂概率的人都

知道，條件概率是個好東西，利用它可以把一個很難求的復(fù)雜事件的概率轉(zhuǎn)化為

一些簡單事件的條件概率之和一一全概率公式，體現(xiàn)了“追求簡單化！”這一數(shù)

學(xué)靈魂，進(jìn)而得出計算條件概率的貝葉斯公式.好東西就是要經(jīng)?？?！只不過第1

問的答案有點(diǎn)不精確的古怪：結(jié)果已經(jīng)是有999%。的把握了，你卻問有沒有99%

的把握.就好比是人家已經(jīng)結(jié)婚了，你卻問人家有沒有99%的把握結(jié)婚，呵！呵！

第22題，函數(shù)壓軸題.純粹從試題本身而言，小巧玲瓏，結(jié)構(gòu)新穎，思維巧

妙,非常漂亮,給命題人點(diǎn)個贊!對基本初等函數(shù)的增長快慢和相互之間的聯(lián)系，

以及對獨(dú)立性檢驗(yàn)、條件概率等數(shù)學(xué)概念理解深刻這些基本功（鄙人走南闖北反

復(fù)強(qiáng)調(diào)的“葵花寶典”）扎實(shí)的考生，此題和20題其實(shí)并不難??！好多優(yōu)秀生都

被前面那些毫無創(chuàng)意的繁難的陳舊高考題纏住了，根本沒機(jī)會展示自己的基本功.

那么多“未來的科學(xué)家”被埋沒，我為中國感到痛惜！請原諒我的杞人憂天！

2019年的全國I卷第4題“維納斯美女題”已經(jīng)犯了一個單選題居然既可以

選B又可以選C這么嚴(yán)重的錯誤⑴.真是巧了，今年的全國I卷中最糟糕的又是

第4題.

首先，打著育人的噱頭，為聯(lián)系實(shí)際而聯(lián)系實(shí)際，生搬硬套，毫無技術(shù)含量

且粗暴地把兩水位間的水庫形狀看作一個棱臺.老百姓會罵你?。耗苓@樣看嗎？

眼瞎了？為什么不用專業(yè)一點(diǎn)的數(shù)學(xué)建模術(shù)語“理想化為”或者是“簡化假設(shè)為”

來表達(dá).但理想化不是胡思亂想和癡心妄想，要遵從合理性、科學(xué)性，不要給老

百姓造成數(shù)學(xué)傻兒的印象.

其次，此題考什么？這是考死記硬背一一袁亞湘院士極力反對的語文老師教

的數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最低層次的水平.有人狡辯稱，這是考你估算，誰叫你去

算?。磕憧脊浪?，那為什么還要給出什么參考數(shù)據(jù)根號7近似值2.65,考數(shù)學(xué)還

考“躲貓貓”？還有人狡辯說，就是要考你自己推導(dǎo)棱臺體積公式！既然是這樣，

為什么不設(shè)計成類比猜想、邏輯證明、推廣應(yīng)用的壓軸題？這是第4小題哦，后

面還有那么多的繁難題，哪有時間來推導(dǎo)啊！況且這一批考生因初中要求降低，

有幾個知道“相似多邊形面積之比等于相似比的平方”還要轉(zhuǎn)化為棱錐高之比.

上周與11個數(shù)學(xué)教授把酒問青天，我問了一下，沒有一個記得棱臺體積公式，

當(dāng)然我除外.要是他們今年參加高考，肯定是沒機(jī)會做數(shù)學(xué)教授啦，呵呵！

第三，從社會政治的角度，此題是絕大多數(shù)人做不了，才第4題啊，考生心

里怎么想？“好你個‘南水北調(diào)'，你要了我的命！”這不是拉仇恨、給社會添亂

嗎？要想考生喜歡、關(guān)注“南水北調(diào)”，為什么不設(shè)計成簡單題？充分地發(fā)揮心

理光環(huán)效應(yīng)一一會做心中自然爽！如此才能做到“引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會主義建設(shè)成

果，增強(qiáng)社會責(zé)任感

6.這套試卷的導(dǎo)向好不好？

這套試卷的導(dǎo)向很不好，如此考法，大家只能去狂刷二級結(jié)論題.

有人居然宣稱，這套試卷就是為反刷題而出.如此說法，如果不是不夠?qū)I(yè)

的話，那就是居心不良.今年這樣的全國卷，你不刷題行嗎？今年大家數(shù)學(xué)都考

得不好，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)比平時少了三、四十分.那些刷知識拓展和挖掘深度的題的學(xué)

校有優(yōu)勢，那些刷題強(qiáng)度夠，但只是蜻蜓點(diǎn)水、跟屁蟲式地刷的學(xué)校則是白刷了.

用那么多毫無創(chuàng)意的陳舊難題，能選拔出喜歡數(shù)學(xué)，有數(shù)學(xué)天賦的考生？你

們知不知道許多中學(xué)、培訓(xùn)機(jī)構(gòu)里有很多厲害的高中數(shù)學(xué)老師總結(jié)出了對付全國

卷的套路？

要對付這樣的全國卷，老師們不得不去刷許多“二級結(jié)論”.例如，陳舊的

21題兩問的運(yùn)算量都很大，對付第一問，刷齊次化解法；對付第二問，三角形

面積公式要拓展到第6個：頂點(diǎn)坐標(biāo)行列式公式，別忘了系數(shù)是二分之一哦！又

比如，第12題，比較陳舊的高考題，它難在需要熟悉三個二級結(jié)論：”若函數(shù)f(x)

既關(guān)于直線x=a也關(guān)于點(diǎn)(b,t)對稱(a,b),則此函數(shù)是周期函數(shù)，其周期等于……

(此處省略不寫結(jié)果和另外兩個二級結(jié)論，以考考全國的數(shù)學(xué)教授讀者們，嘻！

嘻！)”另外，弦振動函數(shù)的8個結(jié)論；三次多項(xiàng)式函數(shù)其圖像何時是N形，何

時是V\形？同構(gòu)函數(shù)：尋找同構(gòu)函數(shù)比大小、10大導(dǎo)函數(shù)不等式專題、四種指

數(shù)、對數(shù)同構(gòu)函數(shù)型；不等式證明中的作差構(gòu)造、化簡整理構(gòu)造、同構(gòu)變換構(gòu)造、

極值點(diǎn)偏移問題；函數(shù)恒成立問題、分離變量法、極限法、洛必達(dá)法則法、上下

凸函數(shù)不等式與二階導(dǎo)數(shù).⑵只要是智力沒有問題的學(xué)生，在這些厲害的老師的

幫助下，也能取得很好的分?jǐn)?shù).換句話說：“烏雞能變鳳凰！"國家真正需要的是

選拔出努力上進(jìn)、有學(xué)習(xí)潛力的真正人才，而不是一窩窩名校的“烏雞”！

7.教育部統(tǒng)一命題能保證命題的質(zhì)量？

你想想，每年就那么一些命題人,況且這么多年，每年要命制六套高考試卷，

他們能不江郎才盡嗎？解決這一難題，還是要數(shù)學(xué)的化歸思想：分類簡化，放權(quán)

管理，實(shí)施分省命題，如此可以降低風(fēng)險，保持試題的創(chuàng)新.為了公平，命題組

里的中學(xué)老師不能命制試題.過去分省命題，7個命題人，只有一個中上水平的中

學(xué)老師，為了保證公平，他是不能出題的.其角色一是大學(xué)教授與中學(xué)師生的溝

通者；二是試卷出好后讓其來試考，以此來掌控難度.

8.為什么要讓數(shù)學(xué)來背“選拔性不好”這口黑鍋？

這套卷子考下來的結(jié)果就是簡單粗暴地難.有人辯解說，是為了選拔人才而

故意把數(shù)學(xué)卷出難的.這樣的理由根本站不住腳！

首先，選拔人才的三個主科是語文、英語和數(shù)學(xué).英語本質(zhì)上就是語文，只

是發(fā)音形式和書寫形式不同.你既然想要“科技強(qiáng)國”，為什么不先解決三科“文

重理輕”的結(jié)構(gòu)不平衡問題？為什么不可以調(diào)整這三科的總分為：語文150分,

英語100分，數(shù)學(xué)200分（突出數(shù)學(xué)“強(qiáng)國”地位，擴(kuò)大選拔區(qū)間，解決分?jǐn)?shù)扎

堆問題，和語文一樣考150分鐘）？

其次，數(shù)學(xué)是生產(chǎn)力，數(shù)學(xué)是財富，數(shù)學(xué)是獨(dú)立于社會科學(xué)和自然科學(xué)之上

的學(xué)科，它是決定我們國家未來“科技強(qiáng)國”“解決‘卡脖子'問題”等國策成

敗的關(guān)鍵.怎么能把大多數(shù)努力上進(jìn)，喜歡數(shù)學(xué)，有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛力的真正人才考

“趴下了"？為什么要讓他們受“習(xí)得性無助”的傷害？你讓2023屆使用全國

I卷的近四百萬考生如何面對數(shù)學(xué)？為什么要讓數(shù)學(xué)教師在英語老師、語文老師

面前抬不起頭？你讓學(xué)科地位至高無上的數(shù)學(xué)老師情何以堪？讓這么多人因數(shù)

學(xué)而心里添堵，你這不就是給國家添亂嗎？怎么能讓這么重要的數(shù)學(xué)學(xué)科背選拔

性不好這口“黑鍋”？

第三，眾所周知，試卷不是越難越有區(qū)分度，尤其是今年這套卷子.大家都

明白：“提高1分，干掉1千！”可是，細(xì)密的天網(wǎng)塌了三、四十分，你還能干掉

誰？當(dāng)前，數(shù)學(xué)在為各高校選拔人才方面確實(shí)扮演著重要角色，但選拔性不是說

一定要把北大、清華與中大、華工、暨大、華師這些學(xué)校區(qū)分出來，篩子太細(xì)，

反而把人才篩掉了.

9.高考數(shù)學(xué)試卷如何選拔出“科技強(qiáng)國”的數(shù)學(xué)“鳳凰”？

建議借鑒過去全國各地分省命題成功的經(jīng)驗(yàn)，考慮到文理合卷的現(xiàn)實(shí)，比較

好的難度分?jǐn)?shù)比例結(jié)構(gòu)是易20%、中30%、中上30%、難20%；五道填空題，可

以選擇三道分別按照易、中；中、中上；中上、難來設(shè)置兩空：六道解答題都設(shè)

置三問，前三道題的三問按照“易、中、中上”的難度設(shè)置，后三道題的三問按

照“中、中上、難”的難度設(shè)置.不能把很多選擇題和填空題小題當(dāng)著解答大題

來出.確定好創(chuàng)新題和難題后，一定要運(yùn)用雙向細(xì)目表來保證那些重要知識點(diǎn)的

覆蓋率，避免再出現(xiàn)重復(fù)內(nèi)容、重復(fù)方法的考查.如此難度結(jié)構(gòu)的高考試卷，加

上那么多名校的“強(qiáng)基計劃”、自主招生、數(shù)學(xué)競賽，足以保證選出真正的“鳳

凰”.

高考要想選拔出真正的數(shù)學(xué)“鳳凰”，數(shù)學(xué)試題必須致力于考查學(xué)生對數(shù)學(xué)

概念和數(shù)學(xué)原理的本質(zhì)理解，通過設(shè)置背景、內(nèi)容新穎的問題（problem）來考

查學(xué)生獨(dú)立的問題解決能力.要多出一些考查數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，“刷題”沒用但與智

力密切相關(guān)的problem,……（專業(yè)秘籍，此處省略1000字，呵呵！）少出那些

刷二級結(jié)論的難題，因?yàn)閿?shù)學(xué)真正好的學(xué)生能夠現(xiàn)場構(gòu)造一個新的反應(yīng)，而不是

重復(fù)一個舊的反應(yīng).

10.高考困難中考容易行不行？

鑒于高考扮演著為各個高校選拔人才的第一重任，因此，與中考相比，

其難度要求是必要的，但中考則不然.為了落實(shí)“雙減”政策，教育部今年3月

29日專門發(fā)文《教育部辦公廳關(guān)于做好2022年中考命題工作的通知》指導(dǎo)全國

各地的中考命題工作，“要科學(xué)設(shè)置試卷難度”“中考、畢業(yè)兩考合一，……，防

止試卷過難，增加學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)……”.于是，今年各省市中考數(shù)學(xué)試卷的難度

急劇下降，考生開心、家長開心、教師開心，實(shí)現(xiàn)了真正的減負(fù).不過一到錄取

時候，很多數(shù)學(xué)特長生卻哭了：“雖然今年很簡單，但我還是很想哭.三年努力學(xué)

數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)優(yōu)勢白費(fèi)了！”“我哭死啦，平時就靠數(shù)學(xué)拉別人二三十分，嗚！嗚！

嗚！”

要解決名校掐尖、生源質(zhì)量均衡、弱化學(xué)校差異、實(shí)現(xiàn)教育公平等問題，中

考各科降低難度是大勢所趨，不過，鑒于數(shù)學(xué)學(xué)科的獨(dú)特性，鄙人認(rèn)為數(shù)學(xué)中考

試卷不能為了簡單而簡單，還是要在保證大家都合格的基礎(chǔ)上追求區(qū)分度，這從

命題技術(shù)上完全可以做到.相對而言，今年廣州的中考數(shù)學(xué)卷就出得不錯，總體

難度略有下降，但又保持了一定的區(qū)分度，減緩了“文重理輕”的不平衡，維護(hù)

了數(shù)學(xué)的尊嚴(yán)，給命題者點(diǎn)個贊！！

最后，作為一個多年的數(shù)學(xué)高考命題專業(yè)人士，鄙人想對往后的考生和數(shù)學(xué)

老師說，應(yīng)該是受一些突發(fā)事件的影響，今年的全國數(shù)學(xué)I卷出現(xiàn)了如此意外的

急變，但這也不過如同數(shù)學(xué)上的“可去間斷點(diǎn)”，是可以去掉而繼續(xù)連續(xù)的.每個

人都會犯錯，但只有愚人才會執(zhí)過不改.我相信黨和國家的糾錯能力！希望大家

還是要努力學(xué)好數(shù)學(xué)，教好數(shù)學(xué)，千萬不能放棄數(shù)學(xué)，科技強(qiáng)國還要靠大家對數(shù)

學(xué)的不離不棄！

2022年數(shù)學(xué)高考全國I卷附后：

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1,若集合M={x|?<4},N={x|3x..l},則)

A.{x|0?x<2}B.{x|g,,x<2}C.{x|3?x<16}D.{x|^?x<16}

2.若i(l-z)=l,則z+5=()

A.-2B.-1C.1D.2

3.在A/WC中，點(diǎn)￡)在邊AB上,BD=2DA.記點(diǎn)=力,CD=ri,貝!J麗=()

A.3m-2fiB.-2/n+3nC.3m+2nD.2m+3n

4.南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該

水庫水位為海拔148.5m時,相應(yīng)水面的面積為140.0A/；水位為海拔157.5%時,相應(yīng)水面

的面積為180.0A/.將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔

148.5/77上升到157.5加時，增加的水量約為(百工2.65)()

A.l.OxlO9^3B.1.2xl09m3C.1.4xl09/n3D.1.6xl09w3

5.從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為()

6.記函數(shù)f\x)=sin(fox+—)+b(a)＞0)的最小正周期為T.若上＜T＜乃，且y=/(x)的圖

43

像關(guān)于點(diǎn)鳥,2)中心對稱，則.嗎)=()

35

A.1B.-C.-D.3

22

7.設(shè)。=O.ld",b=g,c=-伍09，貝！J()

A.a<b<cB.c<h<aC.c<a<bD.a<c<h

8.已知正四棱錐的側(cè)棱長為/，其各頂點(diǎn)都在同一球面上若該球的體積為36〃，且3蒯3G,

則該正四棱錐體積的取值范圍是()

A.[18,B.[?,4C.俘，mD.[18,27]

44443

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知正方體ABCD-A,4G。，則()

A.直線BQ與。所成的角為90°B.直線BG與C4,所成的角為90°

C.直線8G與平面B8QQ所成的角為45。D.直線8G與平面ABCZ)所成的角為45。

10.已知函數(shù)一x+l，貝11()

A.f(x)有兩個極值點(diǎn)B.f(x)有三個零點(diǎn)

C.點(diǎn)(0,1)是曲線y=/(x)的對稱中心D.直線y=2x是曲線y=/(x)的切線

11.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)41,1)在拋物線C:x2=2p)O>0)上，過點(diǎn)8(0,7)的直線交C于

P,。兩點(diǎn)，則()

A.C的準(zhǔn)線為y=-1B.直線他與。相切

C.\OP\\OQ\>\OA^D.\BP\-\BQ\>\BA^

12.已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)廣(x)的定義域均為/?，記g(x)=_f(x)若/(|■-2x),g(2+x)

均為偶函數(shù)，則()

A./(0)=0B.g(-g)=OC./(-1)=/(4)D.g(-l)=g(2)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(1_』)(x+?的展開式中X2/的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

X

14.寫出與圓+丁=1和(>3)2+(y-4)2=16都相切的一條直線的方程.

15.若曲線y=(x+a)/有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則。的取值范圍是—.

16.已知橢圓C:「+與=l(a>A>0),C的上頂點(diǎn)為A，兩個焦點(diǎn)為冗，居，離心率為'過

a-b~2

耳目垂直于AF2的直線與C交于D,E兩點(diǎn)，|OE|=6,則MDE的周長是____.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)記S.為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，已知4=1,｛1｝是公差為！的等差數(shù)列.

凡3

(1)求｛%,｝的通項(xiàng)公式；

(2)證明：1+—+...+—<2.

4%可

18.(12分)記AABC的內(nèi)角A,B，。的對邊分別為。,b,c，已知f^-=>28

1+sinAI+cos2Z?

(1=,求5；

(2)求《婪的最小值.

C

19.(12分)如圖，直三棱柱ABC-A4G的體積為4,△ABC的面積為2&.

(1)求A到平面A8C的距離；

(2)設(shè)。為AC的中點(diǎn)，,平面ABC,平面488人，求二面角A—BD—C的正

弦值.

20.(12分)一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分

為良好和不夠良好兩類)的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例(稱為病例組)，

同時在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人(稱為對照組)，得到如下