初中數(shù)學(xué)模型-輔助圓思想

PAGE14初三秋季·第11講·目標(biāo)班·教師版初三秋季·第11講·目標(biāo)班·教師版PAGE15PAGE1輔助圓思想題型一：共頂點等線段題型一：共頂點等線段在中，，是的中點，是線段上的動點，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段．⑴若且點與點重合（如圖1），線段的延長線交射線于點，請補全圖形，并寫出的度數(shù)；⑵在圖2中，點不與點重合，線段的延長線與射線交于點，猜想的大?。ㄓ煤拇鷶?shù)式表示），并加以證明；（2012年北京中考節(jié)選）⑴圖略，．⑵如圖，連接，根據(jù)對稱性可知，，以為圓心、長為半徑作，則，∴．已知：中，，中，，．連接、，點、、分別為、、的中點．⑴如圖1，若、、三點在同一直線上，且，則的形狀是___________，此時________；⑵如圖2，若、、三點在同一直線上，且，證明，并計算的值（用含的式子表示）；（海淀一模）⑴等邊三角形，1；⑵證明：連接、．由題意，得，，．∵、、三點在同一直線上，∴、、三點在同一直線上．∴．∵為中點，∴在中，．在中，．∴．∴、、、四點都在以為圓心，為半徑的圓上．∴．又∵，∴．∴．∴．由題意，，又．∴．∴．在Rt中，．題型二：共斜邊的直角三角形∵， ∴．∴．題型二：共斜邊的直角三角形已知，是的平分線．將一個直角的直角頂點在射線上移動，點不與點重合．如圖，當(dāng)直角的兩邊分別與射線、交于點、時，請判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；與的數(shù)量關(guān)系是相等．常規(guī)證法：過點作，，垂足分別為點．∵，易得，∴，而，∴．∵是的平分線，∴，又∵，∴．∴．輔助圓證法：∵，∴四點共圓，∵平分，∴，∴．如圖，四邊形是正方形，是上一點，交的外角平分線于，求證：．連接∵四邊形是正方形，∴，∵是外角平分線，∴，∴，∵，∴四點共圓，∴，∴，∴．在矩形ABCD中，點P在AD上，AB=2，AP=1，將三角板的直角頂點放在點P處，三角板的兩直角邊分別能與AB、BC邊相交于點E、F，連接EF．將三角板從⑴中的位置開始，繞點P順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點A重合時停止，在這個過程中，請你觀察、探究并解答：①∠PEF的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；②直接寫出從開始到停止，線段EF的中點所經(jīng)過的路線長．備用圖（朝陽一模）⑴在矩形ABCD中，，AP=1，CD=AB=2，∴PB=，．∵，∴．∴．∴△ABP∽△DPC．∴，即．∴PC=2．⑵①∠PEF的大小不變．理由：過點F作FG⊥AD于點G．∴四邊形ABFG是矩形．∴．∴GF=AB=2，．∵，∴．∴．∴△APE∽△GFP.∴．∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=．即tan∠PEF的值不變．∴∠PEF的大小不變．②.輔助圓證法：連接，∵，∴四點共圓，∴，∴不會發(fā)生變化．題型三：四點共圓的簡單應(yīng)用題型三：四點共圓的簡單應(yīng)用如圖，在四邊形中，是的平分線，若，求證：．∵，∴是圓內(nèi)接四邊形，∵平分，∴，∴．已知：如圖，正方形中，為對角線，，將繞頂點逆時針旋轉(zhuǎn)（），旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別交于點、點，交于點、點，聯(lián)結(jié)．在的旋轉(zhuǎn)過程中，的大小是否改變？若不變寫出它的度數(shù)，若改變，寫出它的變化范圍．∵是對角線，∴，∵，∴四點共圓，∴，∴的大小不發(fā)生改變．（海淀區(qū)2010-2011學(xué)年度第一學(xué)期初三期末25）如圖一，在△ABC中，分別以AB，AC為直徑在△ABC外作半圓和半圓，其中和分別為兩個半圓的圓心.F是邊BC的中點，點D和點E分別為兩個半圓圓弧的中點.⑴連結(jié)，證明：；⑵如圖二，過點A分別作半圓和半圓的切線，交BD的延長線和CE的延長線于點P和點Q，連結(jié)PQ，若∠ACB=90°,DB=5，CE=3，求線段PQ的長;⑶如圖三，過點A作半圓的切線，交CE的延長線于點Q，過點Q作直線FA的垂線，交BD的延長線于點P，連結(jié)PA.證明：PA是半圓的切線.⑴如圖一，∵，，F(xiàn)分別是AB，AC，BC邊的中點，∴F∥AC且F=A，F(xiàn)∥AB且F=A，∴∠BF=∠BAC，∠CF=∠BAC，∴∠BF=∠CF∵點D和點E分別為兩個半圓圓弧的中點，∴F=A=E，F(xiàn)=A=D，∠BD=90°，∠CE=90°，∴∠BD=∠CE.∴∠DF=∠FE.∴.⑵如圖二，延長CA至G，使AG=AQ,連接BG、AE.∵點E是半圓圓弧的中點，∴AE=CE=3∵AC為直徑，∴∠AEC=90°，∴∠ACE=∠EAC=45°，AC==，∵AQ是半圓的切線，∴CA⊥AQ，∴∠CAQ=90°，∴∠ACE=∠AQE=45°，∠GAQ=90°∴AQ=AC=AG=同理：∠BAP=90°，AB=AP=∴CG=,∠GAB=∠QAP∴，∴PQ=BG∵∠ACB=90°，∴BC==∴BG==，∴PQ=. ⑶證法一：如圖三，設(shè)直線FA與PQ的垂足為M，過C作CS⊥MF于S，過B作BR⊥MF于R，連接DR、AD、DM.∵F是BC邊的中點，∴.∴BR=CS，由⑵已證∠CAQ=90°,AC=AQ，∴∠2+∠3=90°∵FM⊥PQ,∴∠2+∠1=90°，∴∠1=∠3,同理：∠2=∠4,∴，∴AM=CS，∴AM=BR，同⑵可證AD=BD，∠ADB=∠ADP=90°,∴∠ADB=∠ARB=90°,∠ADP=∠AMP=90°∴A、D、B、R四點在以AB為直徑的圓上，A、D、P、M四點在以AP為直徑的圓上，且∠DBR+∠DAR=180°，∴∠5=∠8,∠6=∠7,∵∠DAM+∠DAR=180°，∴∠DBR=∠DAM∴，∴∠5=∠9，∴∠RDM=90°，∴∠5+∠7=90°，∴∠6+∠8=90°，∴∠PAB=90°，∴PA⊥AB,又AB是半圓直徑，∴PA是半圓的切線.如圖，分別切于兩點，滿足，且，，求的度數(shù)．∵都是的切線，∴∵，∴∴，∴三點都在以為圓心，為半徑的圓上．設(shè)，則，∴∵，∴在中，，即∴，∴，即．如圖，分別是正方形的邊的中點，相交于，求證：．連接∵是的中點，∴，∴，∴，即，∴四點共圓，∴，，很明顯，∴，∴．如圖，已知在五邊形中，，，且．求證：．連接，∵，，∴，∴，∴，∴四點共圓．同理四點共圓，∴五點共圓，∵，∴．題型一共頂點等線段如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點，點的坐標(biāo)為，連結(jié)．⑴求證：是等邊三角形；⑵點在線段的延長線上，連結(jié)，作的垂直平分線，垂足為點，并與軸交于點，分別連結(jié)、．①若，直接寫出的度數(shù)；②若點在線段的延長線上運動（不與點重合），的度數(shù)是否變化？若變化，請說明理由；若不變，求出的度數(shù)；⑴證明：如圖，∵一次函數(shù)的圖象與x軸交于點A（－3，0），B（0，）．∵C（3，0）．∴OA＝OC．又y軸⊥AC，∴AB＝BC．xOABC1PEy1在Rt△xOABC1PEy1∴△ABC是等邊三角形.⑵①答：∠AEP=120°．②解：如圖，作EH⊥CP于點H，∵y軸垂直平分AC，△ABC是等邊三角形，∴EA=EC，∠BEA＝∠BEC＝，∠DEP=30°．∴∠BEH=60°．∵ED垂直平分AP，∴EA=EP．∴EA＝EC＝EP，∴EH垂直平分CP，在△CEP中，∠CEH=∠PEH＝，∵∠BEH=∠BEC＋∠CEH＝＋=60°．∴∠AEP=∠AEC＋∠PEC＝120°．輔助圓的證法：∵點在軸上，∴，∵，∴以為圓心、長為半徑作圓，在該圓上，∴．題型二共斜邊的直角三角形如圖，正方形的中心為，面積為，為正方形內(nèi)一點，且，，求的長．連接，∵是正方形，∴，，∵，∴四點共圓，∴