2022-2023學(xué)年湖南省長沙市高二年級下冊學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設(shè)全集，集合滿足，則（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A．1 B． C． D．3．下列函數(shù)中，最小值為2的是（）A． B． C． D．4．若，則的值為（）A．0 B． C．1 D．5．長、寬、高分別為2，，的長方體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．6．如圖，在梯形中，，，，若，則（）A．9 B．10 C．11 D．127．雅禮女籃一直是雅禮中學(xué)的一張靚麗的名片，在剛剛結(jié)束的2022到2023賽季中國高中籃球聯(lián)賽女子組總決賽中，雅禮中學(xué)女籃隊員們敢打敢拼，最終獲得了冠軍．在頒獎儀式上，女籃隊員12人（其中1人為隊長），教練組3人，站成一排照相，要求隊長必須站中間，教練組三人要求相鄰并站在邊上，總共有多少種站法（）A． B． C． D．8．已知實數(shù)，記函數(shù)構(gòu)成的集合．已知實數(shù)、，若，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．若，則C． D．二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9．已知變量，之間的經(jīng)驗回歸方程為，且變量，之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示，則下列說法正確的是（）681012632A．變量，之間成負(fù)相關(guān)關(guān)系B．C．可以預(yù)測，當(dāng)時，約為2.6D．由表格數(shù)據(jù)知，該經(jīng)驗回歸直線必過點10．已知函數(shù)，實數(shù)，滿足，則（）A． B．，，使得C． D．11．已知，分別為隨機事件，的對立事件，，，則下列說法正確的是（）A． B．C．若，獨立，則 D．若，互斥，則12．矩形中，為邊的中點，將沿直線翻轉(zhuǎn)成．若為線段的中點，則在翻轉(zhuǎn)過程中，正確的命題是（）A．是定值B．點在圓上運動C．一定存在某個位置，使D．一定存在某個位置，使平面三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．曲線在點處的切線方程為__________．14．若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為__________．15．已知甲、乙兩支隊伍中各有20人，甲隊中有個男生與個女生，乙隊伍中有個男生與個女生，若從甲、乙兩隊中各取1個人，表示所取的2個人中男生的個數(shù)，則當(dāng)方差取到最大值時，的值為__________．16．已知，滿足，，當(dāng)時，．已知，則函數(shù)，的零點個數(shù)為__________，這些零點的和為__________．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）已知等差數(shù)列中，，且前10項和．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．18．（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱中，，，，依次為，的中點．（1）求證：；（2）求與平面所成角的正弦值．19．（本小題滿分12分）一個盒子中裝有大量形狀、大小一樣但質(zhì)量不盡相同的小球，從中隨機抽取50個作為樣本，稱出它們的質(zhì)量（單位：克），質(zhì)量分組區(qū)間為，，，，由此得到樣本的質(zhì)量頻率分布直方圖如圖所示．（1）求的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計盒子中小球質(zhì)量的眾數(shù)與平均數(shù)；（2）從盒子中隨機抽取3個小球，其中質(zhì)量在內(nèi)的小球個數(shù)為，求的分布列和均值．（以直方圖中的頻率作為概率）20．（本小題滿分12分）（1）已知，，分別為三個內(nèi)角，，的對邊．請用向量方法證明等式；（2）若三個正數(shù)，，滿足，證明：以，，為長度的三邊可以構(gòu)成三角形．21．（本小題滿分12分）已知拋物線，點在拋物線上，直線交于，兩點，是線段的中點，過作軸的垂線交于點．（1）求點到拋物線焦點的距離；（2）是否存在實數(shù)使，若存在，求的值；若不存在，說明理由．22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）證明；（2）關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．答案一、二、選擇題題號123456789101112答案ABCBBDBDACDCDBCDABD2．B【解析】由題意，化簡得，則，所以復(fù)數(shù)的虛部為．3．C【解析】當(dāng)時，，故A錯誤；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，又，故B錯誤；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故C正確；當(dāng)時，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，因為，故D錯誤．4．B【解析】．5．B【解析】該長方體對角線長為，外接球的半徑為，，．6．D【解析】法一：因為，所以，所以．因為，，，所以，化簡得．故．法二：利用投影可以迅速求解法三：坐標(biāo)法8．D【解析】因為，，設(shè)，則，，即有，所以，其他的選項都不對．9．ACD【解析】由得，所以，成負(fù)相關(guān)關(guān)系，故A正確；當(dāng)時，的預(yù)測值為2.6，故C正確；，故．故經(jīng)驗回歸直線過，故D正確；因為，所以，，故B錯誤．10．CD【解析】畫出函數(shù)的圖象，如圖所示．由圖知，則，故A錯，C對．由基本不等式可得，所以，則，故B錯，D對．11．BCD【解析】選項A中：，故選項A錯誤，選項B正確；選項C中：，獨立，則，則，故選項C正確；選項D中：，互斥，則，根據(jù)條件概率公式，故選項D正確，故選BCD．12．ABD【解析】取中點，連接，，則，，平面平面，平面，平面，D正確；，定值，定值，根據(jù)余弦定理得，，所以是定值．A正確；點以為軸旋轉(zhuǎn)，B正確；當(dāng)矩形滿足時存在，其他情況不存在，C不正確．所以ABD正確．三、填空題13．14．【解析】，，即，，雙曲線方程為，漸近線方程為．15．10【解析】法一：的可能取值為0，1，2，則，，，所以的分布列為012，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以當(dāng)取到最大值時，的值為10．法二：的可能取值為0，1，2，則，由對稱性可知，由數(shù)學(xué)直觀想象可知當(dāng)取到最大值時，最大，所以的值為10．16．1326（第一空2分，第二空3分）【解析】函數(shù)和的周期為4，都關(guān)于點中心對稱，分別畫出和的圖象，可得答案．四、解答題17．【解析】（1）由已知得解得所以數(shù)列的通項公式為．（2），所以．18．【解析】（1）因為三棱柱為直三棱柱，所以平面，又平面，所以，又，，，平面，所以平面，又平面，則，又，，，平面，所以平面，又平面，則．（2）以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，．設(shè)平面的一個法向量為，由得令可得．設(shè)與平面所成角為，所以，即與平面成角的正弦值為．19．【解析】（1）由題意，得，解得．由頻率分布直方圖可估計盒子中小球質(zhì)量的眾數(shù)為20克，50個樣本中小球質(zhì)量的平均數(shù)為（克）．故由樣本估計總體，可估計盅子中小球質(zhì)量的平均數(shù)為24.6克．（2）由題意知，該盒子中小球質(zhì)量在內(nèi)的概率為，則．的可能取值為0，1，2，3，則，，，．的分布列為0123（或者）．20．【解析】（1）因為，則，即．（2）因為，所以，即，則即所以，，為長度的三邊可以構(gòu)成三角形．21．【解析】（1）拋物線方程為，點到拋物線焦點的距離為．（2）法一：如圖，設(shè)，．把代入得，，由根與系數(shù)的關(guān)系得，．，點的坐標(biāo)為．假設(shè)存在實數(shù)，使，則．又是的中點，．由（1）知．軸，，又．，解得，即存在，使．法二：假設(shè)存在實數(shù)，使，如圖，設(shè)，．把代入得，，由根與系數(shù)的關(guān)系得，．，點的坐標(biāo)為．，代入，得，，解得，即存在，使．22．【解析】（1），由可得；由可得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即．（2）