八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)-二次根式的性質(zhì)

第1講二次根式的性質(zhì)【板塊一】二次根式的概念與基本性質(zhì)方法技巧一般地，我們把形如￠7(a≥0)的式子叫做二次根式，“、?一”稱為二次根號(hào).開平方時(shí)，被開方數(shù)a的取值范圍是a三0，二次根式有兩個(gè)非負(fù)性，也叫二次根式的雙重非負(fù)性，即被開方數(shù)a的取值范圍是a三0，算術(shù)平方根的結(jié)果”a≥0.題型一判斷式子是否為二次根式【例1】下列式子中是二次根式的有()①丫q:②4；③-Jx2+1；?壺:⑤J-3'2:⑥井X(X>1)；⑦Jx2+2X+3A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)【分析】形如、-a(a≥0)的式子叫做二次根式，被開方數(shù)a的取值范圍是a≥0;②⑥不符合被開方數(shù)a的取值范圍是a≥0,④是開3次方，①③⑤⑦為二次根式，故選C【解答】C題型二二次根式有意義的字母的取值范圍【例2】在下列式子：①?；②(x—2)0；③、K中，x不可以取2的是()X—2A.只有① B.只有② C①和② D.①和③【分析】二次根式中被開方數(shù)大于等于零，零指數(shù)幕的底數(shù)不為零，分母的值不為零.①?,X-2≠0,X—2則X≠2;②(X-2)0,X-2≠0，則X≠2;③%-X-2中，X-2≥0，解得X≥2,故X不可以取2的是①和②，故選C【解谷】C題型三二次根式的雙重非負(fù)性【例3】若X,y為實(shí)數(shù)，y="X2-4+「-x2+1，則4y-3X的平方根是 .X—2IX2-【分析】\ ,故只有X2-4=0,即X=±2,又,「X-2≠0,.?.X=-2,y= =-\o"CurrentDocument"[4—X2≥O X—2 44y-3X=-1-(-6)=5,故4y-3r的平方根是土?√5.【解答】士、演.【例4】已知|7-9m|+(n-3)2=9m-7--；m-4,求(n—m)2019的值.【分析】非負(fù)數(shù)有三種呈現(xiàn)形式：絕對(duì)值，平方，算術(shù)平方根，幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和一定是非負(fù)數(shù)，若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)均為0?【解答】■∣7—9m∣+(n—3)2=9m—7—√m—4,Λ∣7—9m∣+(n—3)2+*m—4=9m—7≥0,.?.9m—7+(n—3)2+Ym—4=9m—7,(n—3)2+-Wm—4=0,Λn—3=0,m—4=0,/.n=3,m=4,(n—m)2019=(-1)2019=-1.題型四二次根式中的隱含條件的運(yùn)用【例5】若實(shí)數(shù)X,y,m適合關(guān)系式-;3x+5y—2—m+`γ^3x+3y—m=χx—20+y?-√20—x—y,求m的值.【分析】由(X+y)-20≥0,20-(X+y)≥0,所以X+y=20.再利用兩個(gè)二次根式的和等于0,即每一個(gè)被開方數(shù)等于0.【解答】?.?％+y—20≥0,20—(%+y)≥0,Λ%+y=20.Λv3x+5y-2一m+J3x+3y-m=0,?「√3X+5y-2一m≥0,√3X+3y-m≥0,.?3X+3y—m=0,Λm=3(x+y)=3×20=60.針對(duì)練習(xí)1.X取何值時(shí)，下列各式有意義；(2)車；⑶、F—、,??E；(4)三.√2X-1 x|-5 X-6【解答】(1)X>?； (2)X≤4且X≠-5;(3)1≤X≤2;(4)X≥5且X≠6.2.代數(shù)式?√X+?；X=T+VX-2的最小值是()A.0 B.1+22 C.1 D.不存在【解答】B..方程\；|x+y∣-5+、：y+18=0的解是【解答】［7318X=23y=-18或.已知X,y為實(shí)數(shù)，且滿足“X+3-(3y-1)vi-3y=0,則(Xy)2019=【解答】一1.如果X,y,Z為實(shí)數(shù)，且滿足∣4X-4y+1∣+J2y+Z+z2-Z+?=0,求(y+z)X2的值.【解答】?.?∣4X—4y+1∣+O2y+Z+(Z-工)2=0,又二，∣4X-4y+1∣≥0,Y2y+Z≥0,(z—,)2≥0,2 2.?.4X—4y+1=0,2y+Z=0,Z—5=0,，X=——,y=——,Z=~,；?(y+Z)X2=(?+^^-)(—?)2=-^-.4 2 2 16【板塊二】二次根式的兩個(gè)基本性質(zhì)的綜合運(yùn)用方法技巧二次根式的兩個(gè)性質(zhì)(y7)2=α(a≥0)和VG=Ial，可以運(yùn)用上述兩個(gè)性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算和化簡(jiǎn).題型五 右=∣α∣的運(yùn)用【例1】已知0<a<1,化簡(jiǎn)【分析】???a=(.a)2,1=a即Ya<—=.???原式==ya+ —(-=—Ta)=2√α.Vaaa【解答】2、a【例2】若化簡(jiǎn)|1-％|—Jx2-8X+16的結(jié)果為2X—5,則X的取值范圍是.【分析】根據(jù)X的取值化簡(jiǎn)絕對(duì)值和二次根式的性質(zhì)分析.???|1-X—、、:X2-8X+16=|1-X—?(x-4?=2X—5,貝U|1—x∣一工(X—4)2=X—1+X—4,即1—X≤0,X—4≤0,解得1≤X≤4.【解答】1≤X≤4.題型六晨")2=a(a≥0)的運(yùn)用【例3】已知^ABC的三邊a,b,c滿足關(guān)系式a+b+C—2Ya—5—4Yb—4—6Cc—1+4=0,試求△ABC的周長(zhǎng).【分析】根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，運(yùn)用a=Q?a)2配方，然后利用非負(fù)性解題.【解答】?/a+b+c—2a——5—4bb—4—6Cc—1+4=0,/.(a—5)—27a—5+1+(b—4)—4bb—4+4+(c—1)—6、cc—1+9=0,/?(`/a—5—1)2+(?b—4—2)2+(%；C—1—3)2=0,/.a—5=1,b—4=4,C—1=9./a=6,b=8,C=10,4ABC的周長(zhǎng)為6+8+10=24.題型七二次根式的規(guī)律探究【例4】觀察分析，探求出規(guī)律，然后填空：√2,2,而，2、/2,√1θ,—，…，(第n個(gè)數(shù)).【分析】由題意可知，被開方數(shù)是2的倍數(shù)，由此即可求解：√2=H,2= ,√6=√2^3,2√2=22X4,√10=V2X5,/?第6個(gè)數(shù)是C12=2√3,第n個(gè)數(shù)是%：2n.【解答】2%?回,西.【例5】觀察下列各式:…，請(qǐng)你猜想:(3)請(qǐng)你將猜想到的規(guī)律用含有自然數(shù)n(n≥1)的代數(shù)式表達(dá)出來.【分析】先將被開方數(shù)化為假分?jǐn)?shù)，再用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn).【解答】⑴\；4+1=5、WY5+7=6⑵F+115=13X15+1=15⑶I,,nH---=(n+1)J---(n≥1).n+2 n+2題型八求值【例6】已知：X=2—√10,求代數(shù)式X2—4X—6的值.【分析】由％=2-√10得％-2=-√10，兩邊平方可得二次式.【解答】?二％=2—V10, ％—2=一<10,.，.(%—2)2=(—V10)2,%2—4x+4=10,；.X2—4x=6,；.X2—4x—6=0.【例7】已知x=2—√5，那么x4—8x3+16x2—%+1的值是.【分析】由X=2—55得出X2—4X—1=0,用X2—4X—1除X4—8X3+16X2—X+1,得出商和余數(shù)，利用：被除數(shù)=除數(shù)×商十余數(shù)，將多項(xiàng)式化簡(jiǎn)，再代值計(jì)算.【解答】由X=2—√5得X—2=一√5，兩邊平方，得X2—4X+4=5,；.x2—4x—1=0,；.X4—8X3+16X2—X+1=(X2—4X—1)(X2—4X+1)+(—X+2)=2—X=√5.題型九復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)【例8】先閱讀下面的解答過程，然后作答:形如、m+2、、C的化簡(jiǎn)，只要我們找到兩個(gè)非負(fù)數(shù)a,b，使a+b=m,ab=n，這樣(工a)2+(√b)2=m,Va?bb=7n，那么便有Fm±2、：n=Qa±tb)=Va±Yb(a>b).例如：化簡(jiǎn)√7+4v3.首先把％7+4v3化為v7+212，這里m=7,n=12；由于4+3=7,4×3=12,即(工-4)2+(v3)2=7,√4?√3=V12,.?.√7+4√3=C7+2<12=.；(：4+g)=2+M.由上述例題的方法化簡(jiǎn)：(1)√13-2√42；(2)V7-^40；(3)√2-v3.【分析】由例題所給信息知關(guān)鍵是要找到兩個(gè)合適的非負(fù)數(shù).【解答】(1)413-2√42^=、巧-√6>=√7-X；(2)√7-√40=√7-2v10= ：5—√2)=√5—√2；(3NK=?,'1(4-2<3)=2?￠(.-1)=豆(石—1)=且—豆.2ι 2, 2, 2, 2,【例9】閱讀下列材料，再解決問題：閱讀材料：數(shù)學(xué)上有一種根號(hào)內(nèi)又帶根號(hào)的數(shù)，它們能通過完全平方公式及二次根式的性質(zhì)化去里面的一層根號(hào).例如：√3+2√2=J3+2X1X√2=針+2X1X、4+0'2^)=V(I+κ2)2=1+√2.解決問題：⑴在括號(hào)內(nèi)填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：J14+675L=&)+2X3X亞+(J=A~>+2X3X*+(F=JQ+6)=⑵根據(jù)上述思路，試將工;28-10√3予以化簡(jiǎn).【分析】通過完全平方公式，將被開方數(shù)化成平方的形式，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)，化去里面的一層根號(hào).【解答】(1)√14+6√5=\-9+2X3X√5+5=?3+2X3X、5+(%：5)=?E=3+√5；⑵\：’28-10√3=<25—2X5X33+3=3—2X5X√3+(√3"=虱5—<3)2=5—√3.針對(duì)訓(xùn)練2.已知實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)力益+√α2+2ab+b2+|五一a|—.a0b【解答】由a,b在數(shù)軸上的位置可得a<0,a+b<0,且一a>0,b—√2<0.原式=|a|+|a+b|+|?2—a|一|b一七2|=-a—a—b+√2—a+b—√2=-3a..已知｛(3%+1)(2-%)=-√3X+1?V2-X，試化簡(jiǎn)|X—2|+V9X2+6X+1.【解答】???(33%+1)(2-%)=√'3X+1?X.-2-%,.?.3x+1≥0,2—X三0,，一∣≤X≤2,又,:|X—21+、:9X2+6X+1=|X—21+13x+11=—(X—2)+(3x+1)=2X+3..若X,y都是實(shí)數(shù)，且滿足y>.-%+,：x-1+1,試化簡(jiǎn)代數(shù)式：|X—1|—%(X-I)2—C2-2y+1%2Y2 7 y-1【解答】???1—X≥0,X—1≥0,.??1—X=0,，X=1,y>0+0+1,即y>1,Λy—1>0,2 2 2 2原式=|X—11—|X—11—ly_11=—-_1=—1y-1 --1.當(dāng)1<X<5時(shí)，化簡(jiǎn)：?x2-2%+1—√x2-10%+25.【解答】原式=大(X-D2— (X-5>=|X—1|—|X—5|,又??1<X<5,原式=(X—1)—[—(X—5)]=2X—6..若X,y為實(shí)數(shù)，且y=√1-4X+V4X-1+1,求.—+2+——,■--2+-的值.2 -y- -y-【解答】?.'1-4X≥0, 4X—1≥0,.?.1-4X=0,，X=14，原式=Y=謔Y—+-=2+1=5y- 2 212，y=a—1Xa—1 1—2a+a2aa2—6a+9IZfAf/七6.已知a為偶數(shù)，且1■廠a=3 ,求 1————2-3——的值.【解答】?.?J∣S?=Λ=l,.??a-1≥0,3-a>0,Λ1<a<3,又，：a為偶數(shù)，，a=2,又?二1-2a+a2a—1aa2—6a+9_(a—1)2 Ia—31Ia2—3a a—1 a(a—3)?.?a=2,a-3<0,一 -1 1 1 3.二原式=a—1——=a—1+-=2—1+-=-.a a 2 27.對(duì)于題目“化簡(jiǎn)求值：1+4+a