2010高三數(shù)學高考數(shù)列專題學案等比數(shù)列

第3課時等比數(shù)列基礎(chǔ)過關(guān)等比數(shù)列的定義：一）=q（q為不等于零的常數(shù)）?等比數(shù)列的通項公式：⑴an=aiqn1 ⑵an=amqnm等比數(shù)列的前n項和公式：$=?一（q°* ”（q1）TOC\o"1-5"\h\z等比中項：如果a,b,c成等比數(shù)列，那么b叫做a與c的等比中項，即b2= （或b= ）.等比數(shù)列｛an｝的幾個重要性質(zhì)：⑴m,n,p,q€N*，若m+n=p+q,貝U .⑵Sn是等比數(shù)列｛an｝的前n項和且SM0貝yS,S>n—Sn,S3n-S>n成 數(shù)列.⑶若等比數(shù)列｛an｝的前n項和S滿足｛Sn｝是等差數(shù)列，則｛an｝的公比q= .典型例題例1.已知等比數(shù)列｛an｝中，ai+an=66,a2an-1=128,S=126，求項數(shù)n和公比q的值.解：T｛an｝是等比數(shù)列，…a1an=a2an—1,a1an66，解得a1a1an66，解得a1an128a1

an64或a164an2若a1=2,an=64,貝U2qn—1=64???qn=32q由s.=瑚1qn)2(132q)126,1q 1q解得q=2，于是n=6若a1=64,an=2,貝U64q^1=21?-qn=—q32由Sn由Sn=印(1qn)1q164(132q)126變式訓練1.已知等比數(shù)列｛an｝中，a1a9=64,a3+a7=20,則an= 解：64或1由a由aiag64由日3日7 20日3￡7 64日3日7 20：；f或：；：6 ?'?q2=1或q2=2,「.aii=a7q2,-aii=64或aii=1例2.設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q(q>0)，它的前n項和為40,前2n項和為3280，且前n項中數(shù)值最大項為27,求數(shù)列的第2n項.403280ai(1qn403280解：若q解：若q=1，貝Vnai=40，2nai=3280矛盾，?q工1ai(1q2n)iq兩式相除得：qn=81,q=1+2ai又■/q>0,?q>1,ai>0?-｛an｝是遞增數(shù)列.anan=27=aiqn1=a18112a1解得ai=1,q=3,n=4變式訓練2?已知等比數(shù)列｛an｝前n項和S=2n—1,｛an2｝前n項和為Tn,求Tn的表達式.解：(1)Tai+2a22=0,.?.公比q=亞ai又.S4一S2=—,8將q=—1代入上式得ai=1,2，?an=aiqn1=(——)n1(n€N)⑵an專(—舟)n、()4n<5???原不等式的解為n=1或n=3或n=5.例3.有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是 12,求這四個數(shù).解：設(shè)這四個數(shù)為a—d,a,a+d,(ad)a依題意有：(ad)2a16aad12解得：a4或a9d4d6?這四個數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1變式訓練3.設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項和，$36,Sn324Sn6144(16)，則n等于

A.15 B.16 C.17 D.18答案： D。解析：由 Sn 324,Sn 6 144得 an an 1an2an3 an 4 an 5 180，再由S6 326,a, an36,q咚引324,n18。2例4.已知函數(shù)f(x)=(x—1)2,數(shù)列｛an｝是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列｛bn｝是公比為q的等比數(shù)列(q豐1)若a1=f(d—1),a3=f(d+1),b1=f(q—1),b3=f(q+1),求數(shù)列｛an｝,｛bn｝的通項公式；⑵設(shè)數(shù)列｛cn｝對任意的自然數(shù)n均有：二二二(n1)an1，求數(shù)列｛cn｝前n項和Sn.b1 b2 bn解：(1)a1=(d——2)2,a3=d2,a3—a1=2d即d2—(d—2)2=2d,解之得d=2二a1=0,an=2(n—1)又b1=(q—2)2,b3=q2,b3=b1q2即q2=(q—2)2q2,解之得q=3b1=1,bn=3n1孕(n1)an1nan4n,Cn4n3n1bnS1=C1+C2+C3+…+Cn=4(1X3+2x3+3x3+???+nX3n—1)設(shè)Sn1X3°2X3+3X2+"?+nX3—13Sn 1x1+2x3+3x3+???+nx3—2S—2Sn1+3+32+33+…+3n—1—nX3n=1(3n1)2—3nnSn -3n--2 4.S=2n3n—3n+1變式訓練4?已知等差數(shù)列｛an｝的首項a1=1,公差d>0,且第二項,變式訓練4?已知等差數(shù)列｛an｝的首項a1=1,公差d>0,且第二項,第五項，第十四項分別是等比數(shù)列｛bn｝的第二項，第三項，第四項.⑴求數(shù)列｛an｝與｛bn｝的通項公式;⑵設(shè)數(shù)列｛Cn｝對任意正整數(shù)n,均有C1 C2b1 b2C3b3Cnan1bn,求C1+C2+C3+"?+C2007的值.解：⑴由題意得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2(d>0)解得d=2,.an=2n—1,bn=3n—1⑵當n=1時，ci=3當n》2時，??』an1an,?-cn 如n!)故cn23n1bn 23(n2)2 2006 2007CiC2 C200732323 23 3歸納小結(jié)1.在等比數(shù)列的求和公式中， 當公比q工1時，適用公式鯉門,且要注意n表示項數(shù);iq當q=1時，適用公式Sn=na1;若q的范圍未確定時，應(yīng)對q=1和q工1討論求和.2?在等比數(shù)列中，若公比q>0且q工