假設(shè)模態(tài)法-振動(dòng)力學(xué)課件

第四節(jié)

假設(shè)模態(tài)法在采用模態(tài)疊加法討論連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)，是將連續(xù)系統(tǒng)的解寫作全部模態(tài)函數(shù)的線性組合：：模態(tài)函數(shù)：模態(tài)坐標(biāo)若取前n

個(gè)有限項(xiàng)作為近似解，則有：：應(yīng)該是系統(tǒng)的模態(tài)函數(shù)，但實(shí)際中由于無法得到等原因而代以假設(shè)模態(tài)，即滿足部分或全部邊界條件，但不一定滿足動(dòng)力學(xué)方程的試函數(shù)族。：與假設(shè)模態(tài)所對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo).一、假設(shè)模態(tài)法概述假設(shè)模態(tài)法是連續(xù)系統(tǒng)的另一類離散化的方法，它是利用有限個(gè)已知的模態(tài)函數(shù)線性組合近似確定系統(tǒng)的響應(yīng)。

n值取決于精度要求，n越多精度越高，但同時(shí)也帶來計(jì)算量越大，是系統(tǒng)的實(shí)際模態(tài)函數(shù)，計(jì)算時(shí)以假設(shè)模態(tài)近似，滿足部分或全部邊界條件，n越大，越接近真實(shí)的模態(tài)，解的精度越高。

用假設(shè)模態(tài)法可以建立由有限個(gè)廣義坐標(biāo)表示的動(dòng)力學(xué)方程。二、廣義坐標(biāo)的動(dòng)力學(xué)方程滿足幾何邊界條件的假設(shè)模態(tài)

二、廣義坐標(biāo)的動(dòng)力學(xué)方程寫成矩陣形式：

梁上由和處集中力引起的非保守力虛功令代入拉格朗日方程矩陣形式方程顯然與集中質(zhì)量法求法（解法）不同，結(jié)果形式相同，即都離散為一個(gè)有限自由度系統(tǒng)。例題：變截面圓軸一端自由，一端固定，如圖截面的極慣性矩，求軸扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的前兩階固有頻率。解：將軸的扭轉(zhuǎn)假設(shè)模態(tài)的線性組合設(shè)

等截面精確解由得

注意：由于近似模態(tài)不是真正自然振型，故相當(dāng)于增加約束即剛度，所以對(duì)于各階近似頻率均有，即它解出了的上限。工程上常取一系列近似方案，并算出結(jié)果中選一組最小的以梁的彎曲振動(dòng)為例，設(shè)梁以某階模態(tài)中作頻率的自由振動(dòng)：

（瑞利法使用單個(gè)試函數(shù)）由機(jī)械能守恒（保守系統(tǒng)）三、瑞利法（基于能量原理的假設(shè)模態(tài)法）稱為系統(tǒng)參考動(dòng)能若分子、分母用近似函數(shù)表示，是精確模態(tài)時(shí)，為精確頻率；若是試函數(shù)（它滿足位移邊界條件，不滿足動(dòng)力學(xué)方程）則為近似解；同樣的理由瑞利商對(duì)于有集中質(zhì)量和彈性支承的情況有例題：

等截面懸臂粱在自由端處有一集中質(zhì)量量，用瑞利法估計(jì)其基頻。解：若選均布載荷下靜變形曲線為試函數(shù)：

若選均布載荷下靜變形曲線為試函數(shù)：均布載荷下靜變形曲線為試函數(shù)：

若采用自由端受集中力靜撓曲線為試函數(shù)若采用自由端受集中力靜撓曲線為試函數(shù)若采用自由端受集中力靜撓曲線為試函數(shù)問題：請(qǐng)同學(xué)回答哪個(gè)是精確解？為什么？

均布載荷下靜變形曲線為試函數(shù)：若采用自由端受集中力靜撓曲線為試函數(shù)將瑞利法使用的單個(gè)試函數(shù)改進(jìn)為若干個(gè)獨(dú)立的試函數(shù)

的線性組合。

使瑞利商取駐值，即

得到關(guān)于的齊次線性方程，非零解條件可計(jì)算系統(tǒng)固有頻率

為滿足位移邊界條件的試函數(shù)族，稱作里茨基函數(shù)。選擇系數(shù)四、里茨法（改進(jìn)的瑞利法）對(duì)梁的彎曲振動(dòng)有求導(dǎo)，得到本征方程：這又是多自由度系統(tǒng)特征值問題，它可求得n個(gè)本征值

和特征向量以及各階模態(tài)?？梢郧蟪l以外的高階頻率；改善瑞利法對(duì)基頻的估計(jì)，基頻精度更提高了。此外，里茲法與假設(shè)模態(tài)法相比，若兩者用了相同試函數(shù)則結(jié)果完全相同，而里茲法的極值是偏導(dǎo)數(shù)所得，假設(shè)模態(tài)的極值直接由拉氏（變分）原理得到。里茲法相對(duì)瑞利法的改進(jìn)優(yōu)點(diǎn)：例題：圖示楔形懸臂粱寬度為1，距固定端處高用里茲法求系統(tǒng)的前二階固有頻率。

解：設(shè)由特征方程

精確解

求基頻取誤差3.07％采用等截面懸臂梁的模態(tài)函數(shù)復(fù)雜，所以不采用。

若取

誤差僅為0.065%0.07%若要取得較好的，可取

精確解作業(yè)：

6.17模態(tài)綜合法工程上通常只取子結(jié)構(gòu)的若干階低階模態(tài)參與綜合?？紤]界面協(xié)調(diào)條件后，使廣義坐標(biāo)數(shù)進(jìn)一步減少，對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，采用模態(tài)綜合法可大大節(jié)省計(jì)算工作量模態(tài)綜合法是非常有效分析方法。如飛機(jī)、汽輪機(jī)組有限元法20世紀(jì)五六十年代發(fā)展起來的方法.吸取了集中質(zhì)量法與假設(shè)模態(tài)法的優(yōu)點(diǎn).有限元法是目前工程中計(jì)算復(fù)雜結(jié)構(gòu)廣泛使用的方法.每個(gè)單元作為彈性體，單元內(nèi)各點(diǎn)的位移用節(jié)點(diǎn)位移的插值函數(shù)表示（單元的假設(shè)模態(tài)）.由于是僅對(duì)單元、而非整個(gè)結(jié)構(gòu)取假設(shè)模態(tài)，因此模態(tài)函數(shù)可取得十分簡單，并且可令各個(gè)單元的模態(tài)相同.將復(fù)雜結(jié)構(gòu)分割成有限個(gè)單元，單元端點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)，將節(jié)點(diǎn)的位移作為廣義坐標(biāo)，并將單元的質(zhì)量和剛度集中到節(jié)點(diǎn)上.以桿的縱向振動(dòng)為例進(jìn)行介紹.桿的縱向振動(dòng)單元質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的求解將桿劃分為多個(gè)單元;取出其中一個(gè)單元進(jìn)行分析.兩端節(jié)點(diǎn)位移u1(t)、u2(t)x

位置截面的位移：：單元假設(shè)模態(tài)（形函數(shù)）取為一個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)有單位位移、而其余節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)皆為零時(shí)，單元的靜變形函數(shù):例如：x

位置截面的位移：單元?jiǎng)幽埽簡卧|(zhì)量矩陣為常數(shù)時(shí)：材料密度：截面積單元?jiǎng)菽埽簡卧獎(jiǎng)偠染仃嚍槌?shù)時(shí)：彈性模量f(x,t)

對(duì)虛位移的虛功：：與節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)ue

對(duì)應(yīng)的單元廣義力列陣若軸向力

f(x,t)

為常力全系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程以上對(duì)單元所作的分析必須進(jìn)行綜合，以擴(kuò)展到總體結(jié)構(gòu).以一個(gè)例子進(jìn)行說明:桿劃分為三個(gè)單元單元質(zhì)量矩陣：單元?jiǎng)偠染仃嚕簡卧鴺?biāo)全部節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)列陣：節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)約束條件：只有三個(gè)獨(dú)立定義獨(dú)立的廣義坐標(biāo)：廣義坐標(biāo)列陣：節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)與廣義坐標(biāo)之間的關(guān)系：全系統(tǒng)的動(dòng)能：質(zhì)量矩陣M

也可直接利用單元質(zhì)量矩陣組集而成.方法：將單元質(zhì)量矩陣me1、me2

和me3

的各個(gè)元素統(tǒng)一按qi

(i=1,2,3)

的下標(biāo)重新編號(hào)，放入M

中與編號(hào)相對(duì)應(yīng)的行和列中：單元質(zhì)量矩陣：和廣義坐標(biāo)相對(duì)應(yīng)的質(zhì)量矩陣：全系統(tǒng)的勢能：也可組集得到：當(dāng)桿上有常值軸向力作用時(shí)，三根桿的廣義外力陣為：系統(tǒng)的廣義力陣：作用力的總虛功：與廣義坐標(biāo)q對(duì)應(yīng)的廣義力陣.