數(shù)學(xué)人教B版必修4學(xué)案2.3.3向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算與度量公式

2.3.3向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算與度量公式基礎(chǔ)知識基本能力1．掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式．(重點(diǎn))2．熟記與數(shù)量積有關(guān)的一些常用度量公式．(重點(diǎn)、易混點(diǎn))1．能熟練地求解具有坐標(biāo)的兩個(gè)向量的數(shù)量積．(重點(diǎn))2．能運(yùn)用數(shù)量積來表示兩個(gè)向量的夾角，并會用數(shù)量積來判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．(重點(diǎn)、難點(diǎn))3．能夠運(yùn)用坐標(biāo)表達(dá)式解決與長度、夾角、垂直、正投影等有關(guān)的實(shí)際問題．(難點(diǎn))1．向量內(nèi)積的坐標(biāo)運(yùn)算已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則a·b＝a1b1＋a2b2.知識拓展非零向量a＝(x1，y1)與b＝(x2，y2)夾角θ的范圍與坐標(biāo)運(yùn)算的數(shù)量積的關(guān)系是：(1)θ為銳角或零角?x1x2＋y1y2＞0；(2)θ為直角?x1x2＋y1y2＝0；(3)θ為鈍角或平角?x1x2＋y1y2＜0.【自主測試1】若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且a·b＝eq\f(4,3)，則x等于()A．3B．eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3)D．－3解析：由題意，得2x－6x＝eq\f(4,3)，解得x＝－eq\f(1,3).答案：C2．用向量的坐標(biāo)表示兩個(gè)向量垂直的條件已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則a⊥b?a1b1＋a2b2＝0.名師點(diǎn)撥解決兩向量垂直的問題時(shí)，在表達(dá)方式上有一定的技巧，如a＝(m，n)與b＝k(n，－m)總是垂直的，當(dāng)兩向量的長度相等時(shí)，k取±1.【自主測試2】已知a＝(2,5)，b＝(λ，－3)，且a⊥b，則λ＝__________.解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，即2λ－15＝0，∴λ＝eq\f(15,2).答案：eq\f(15,2)3．向量的長度、距離和夾角公式(1)向量的長度：已知a＝(a1，a2)，則|a|＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2))，即向量的長度等于它的坐標(biāo)平方和的算術(shù)平方根．(2)兩點(diǎn)之間的距離公式：如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(3)向量的夾角的余弦公式：已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則兩個(gè)向量a，b的夾角的余弦為cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2))).你會求出與向量a＝(m，n)同向的單位向量a0的坐標(biāo)嗎？答：a0＝eq\f(a,|a|)＝eq\f(1,\r(m2＋n2))(m，n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,\r(m2＋n2))，\f(n,\r(m2＋n2)))).【自主測試3－1】已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，則△ABC為()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．無法判斷解析：由eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－4,2)，eq\o(CA,\s\up6(→))＝(3，－3)，得eq\o(AB,\s\up6(→))2＝2，eq\o(BC,\s\up6(→))2＝20，eq\o(CA,\s\up6(→))2＝18.∵eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(CA,\s\up6(→))2＝eq\o(BC,\s\up6(→))2，即AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC為直角三角形．答案：B【自主測試3－2】已知m＝(3，－1)，n＝(x，－2)，且〈m，n〉＝eq\f(π,4)，則x等于()A．1B．－1C．－4D．4解析：coseq\f(π,4)＝eq\f(3x＋2,\r(10)×\r(x2＋4))，解得x＝1.答案：A【自主測試3－3】已知a＝(3，x)，|a|＝5，則x＝__________.解析：由|a|2＝9＋x2＝25，解得x＝±4.答案：±41．向量模的坐標(biāo)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)剖析：向量的模即為向量的長度，其大小應(yīng)為平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離，如a＝(x，y)，則在平面直角坐標(biāo)系中，一定存在點(diǎn)A(x，y)，使得eq\o(OA,\s\up6(→))＝a＝(x，y)，∴|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|a|＝eq\r(x2＋y2)，即|a|為點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離；同樣若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)，即平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)間的距離公式．由此可知向量模的運(yùn)算其實(shí)質(zhì)即為平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間距離的運(yùn)算．2．用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算來分析“(a·b)·c＝a·(b·c)”不恒成立剖析：設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，c＝(x3，y3)，則a·b＝x1x2＋y1y2,b·c＝x3x2＋y3y2.∴(a·b)·c＝(x1x2＋y1y2)(x3，y3)＝(x1x2x3＋y1y2x3，x1x2y3＋y1y2y3)，a·(b·c)＝(x1，y1)(x3x2＋y3y2)＝(x1x3x2＋x1y2y3，x2x3y1＋y1y2y3)．假設(shè)(a·b)·c＝a·(b·c)成立，則有(x1x2x3＋y1y2x3，x1x2y3＋y1y2y3)＝(x1x3x2＋x1y2y3，x2x3y1＋y1y2y3)，∴x1x2x3＋y1y2x3＝x1x3x2＋x1y2y3，x1x2y3＋y1y2y3＝x2x3y1＋y1y2y3.∴y1y2x3＝x1y2y3，x1x2y3＝x2x3y1.∴y2(y1x3－x1y3)＝0，x2(x1y3－x3y1)＝0.∵b是任意向量，∴x2和y2是任意實(shí)數(shù)．∴y1x3－x1y3＝0.∴a∥c.這與a，c是任意向量，即a，c不一定共線相矛盾．∴假設(shè)不成立．∴(a·b)·c＝a·(b·c)不恒成立．3．教材中的“思考與討論”在直角坐標(biāo)系xOy中，任作一單位向量eq\o(OA,\s\up6(→))旋轉(zhuǎn)90°到向量eq\o(OB,\s\up6(→))的位置，這兩個(gè)向量的坐標(biāo)之間有什么關(guān)系？你能用上述垂直的條件，證明下面的誘導(dǎo)公式嗎？cos(α＋90°)＝－sinα，sin(α＋90°)＝cosα.反過來，你能用這兩個(gè)誘導(dǎo)公式，證明上述兩個(gè)向量垂直的坐標(biāo)條件嗎？把兩向量垂直的坐標(biāo)條件可視化．有條件的同學(xué)可用“幾何畫板”、“Scilab”等數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行可視化研究．剖析：如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，畫出一單位圓，有A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)，且β－α＝90°，也就是β＝α＋90°.過點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N，則△BNO≌△OMA．∴|eq\o(OM,\s\up6(→))|＝|eq\o(NB,\s\up6(→))|，|eq\o(ON,\s\up6(→))|＝|eq\o(MA,\s\up6(→))|.當(dāng)點(diǎn)A在第一象限時(shí)，點(diǎn)B在第二象限，∴|eq\o(ON,\s\up6(→))|＝－cosβ，|eq\o(NB,\s\up6(→))|＝sinβ，|eq\o(OM,\s\up6(→))|＝cosα，|eq\o(MA,\s\up6(→))|＝sinα，從而有－cosβ＝－cos(α＋90°)＝sinα，sinβ＝sin(α＋90°)＝cosα，即cos(α＋90°)＝－sinα，sin(α＋90°)＝cosα.題型一向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算【例題1】已知a＝(－6,2)，b＝(－2,4)，求a·b，|a|，|b|，〈a，b〉．分析：直接套用基本公式a·b＝x1x2＋y1y2，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))，cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))即可．解：a·b＝(－6,2)·(－2,4)＝12＋8＝20.|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(－6，2×－6，2)＝eq\r(36＋4)＝2eq\r(10)，|b|＝eq\r(－22＋42)＝eq\r(20)＝2eq\r(5).∵cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(20,2\r(10)×2\r(5))＝eq\f(\r(2),2)，且〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝eq\f(π,4).反思如果已知向量的坐標(biāo)，則可以直接用公式來計(jì)算數(shù)量積、模和夾角等問題；如果向量的坐標(biāo)是未知的，一般考慮用定義和運(yùn)算律進(jìn)行轉(zhuǎn)化．〖互動(dòng)探究〗設(shè)平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，(1)求a－2b的坐標(biāo)表示和模的大?。?2)若c＝a－(a·b)·b，求|c|.解：(1)∵a＝(3,5)，b＝(－2,1)，∴a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)，|a－2b|＝eq\r(72＋32)＝eq\r(58).(2)∵a·b＝－6＋5＝－1，∴c＝a＋b＝(1,6)，∴|c|＝eq\r(12＋62)＝eq\r(37).題型二平面向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算【例題2】在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，k)，且△ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角，求k的值．分析：對△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別討論，并利用坐標(biāo)反映垂直關(guān)系．解：當(dāng)A＝90°時(shí)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，∴2×1＋3×k＝0.∴k＝－eq\f(2,3).當(dāng)B＝90°時(shí)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1－2，k－3)＝(－1，k－3)，∴2×(－1)＋3×(k－3)＝0.∴k＝eq\f(11,3).當(dāng)C＝90°時(shí)，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，∴－1＋k(k－3)＝0，∴k＝eq\f(3±\r(13),2).因此，△ABC有一個(gè)角為直角時(shí)，k＝－eq\f(2,3)，或k＝eq\f(11,3)，或k＝eq\f(3±\r(13),2).反思(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a≠0，則向量a與b垂直?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.(2)向量垂直的坐標(biāo)表示x1x2＋y1y2＝0與向量共線的坐標(biāo)表示x1y2－x2y1＝0很容易混淆，應(yīng)仔細(xì)比較并熟記，當(dāng)難以區(qū)分時(shí)，要從意義上鑒別，垂直是a·b＝0，而共線是方向相同或相反．題型三數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算在幾何中的應(yīng)用【例題3】已知三個(gè)點(diǎn)A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．(1)求證：AB⊥AD；(2)若四邊形ABCD為矩形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求矩形ABCD的兩對角線所夾的銳角的余弦值．解：(1)證明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－3,3)．∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝1×(－3)＋1×3＝0，∴eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AD,\s\up6(→))，即AB⊥AD．(2)若四邊形ABCD為矩形，則eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,1)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(x＋1，y－4)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝1，,y－4＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝5.))∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,5)．從而eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,4)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－4,2),∴|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(5)，|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝2eq\r(5)，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝8＋8＝16.設(shè)eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(\o(AC,\s\up6(→))·\o(BD,\s\up6(→)),\o(|\o(AC,\s\up6(→))|,\s\up6())\o(|\o(BD,\s\up6(→))|,\s\up6()))＝eq\f(16,2\r(5)×2\r(5))＝eq\f(4,5)，∴矩形ABCD的兩條對角線所夾的銳角的余弦值為eq\f(4,5).反思用向量法解決幾何問題的關(guān)鍵是把有關(guān)的邊用向量表示，然后把幾何圖形中的夾角、垂直、長度等問題都統(tǒng)一為向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可，最后再回歸到原始幾何圖形中進(jìn)行說明．題型四利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算證明不等式【例題4】證明：對于任意的a，b，c，d∈R，恒有不等式(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．分析：設(shè)m＝(a，b)，n＝(c，d)，用m·n≤|m|·|n|即可，要注意等號成立的條件．證明：設(shè)m＝(a，b)，n＝(c，d)，兩向量夾角為θ，則m·n＝|m||n|cosθ，∴ac＋bd＝eq\r(a2＋b2)·eq\r(c2＋d2)·cosθ，∴(ac＋bd)2＝(a2＋b2)(c2＋d2)cos2θ≤(a2＋b2)(c2＋d2)，當(dāng)且僅當(dāng)m與n共線時(shí)等號成立．∴(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)得證．反思本題直接利用代數(shù)方法也易得證．若從不等式的特征構(gòu)造向量，利用向量的數(shù)量積和模的坐標(biāo)運(yùn)算來證，顯得比較靈活，體現(xiàn)了向量的工具性．題型五易錯(cuò)辨析【例題5】設(shè)平面向量a＝(－2,1)，b＝(λ，－1)(λ∈R)，若a與b的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞)B．(2，＋∞)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))錯(cuò)解：由a與b的夾角為鈍角，得a·b＜0，即－2λ－1＜0，解得λ＞－eq\f(1,2).故選C．錯(cuò)因分析：a·b＜0?a與b的夾角為鈍角或平角．因此上述解法中需要對結(jié)論進(jìn)行檢驗(yàn)，把a(bǔ)與b的夾角為平角的情況舍去．正解：a·b＜0?(－2,1)·(λ，－1)＜0?λ＞－eq\f(1,2).又設(shè)b＝ta(t＜0)，則(λ，－1)＝(－2t，t)，所以t＝－1，λ＝2，即λ＝2時(shí)，a和b反向，且共線，所以λ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞)．故選A．1．設(shè)m，n是兩個(gè)非零向量，且m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，則以下等式中，與m⊥n等價(jià)的個(gè)數(shù)為()①m·n＝0；②x1x2＝－y1y2；③|m＋n|＝|m－n|；④|m＋n|＝eq\r(m2＋n2).A．1B．2C．3D．4解析：①②中的等式顯然與m⊥n等價(jià)；對③④中的等式的兩邊平方，化簡，得m·n＝0，因此也是與m⊥n等價(jià)的，故選D．答案：D2．已知向量a＝(－2,1)，b＝(－2，－3)，則向量a在向量b方向上的投影的數(shù)量為()A．－eq\f(\r(13),13)B．eq\f(\r(13),13)C．0D．1答案：B3．(2012·廣東廣州測試