專題01-抽象問題有形化-破解抽象函數(shù)難題(解析版)

第頁最新高考數(shù)學壓軸題命題區(qū)間探究與突破專題第一篇函數(shù)與導數(shù)專題01抽象問題有形化，破解抽象函數(shù)難題一．方法綜述抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征式子的一類函數(shù)．由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式抽象，對學生思維能力考查的起點較高，使得此類問題成為函數(shù)內(nèi)容的難點之一，使多數(shù)學生感覺無從下手，望而生畏．事實上，解決此類問題時，只要準確掌握函數(shù)的基本性質(zhì)，熟知我們所學的基本初等函數(shù)，將抽象函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為具體函數(shù)問題，問題就迎刃而解了．具體的可概括為函數(shù)性質(zhì)法、賦值法和構(gòu)造函數(shù)法.二．解題策略類型一函數(shù)性質(zhì)法【例1】【2020屆重慶一高一模】已知定義在R上的函數(shù)滿足，且為偶函數(shù)，若在內(nèi)單調(diào)遞減，則下面結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵函數(shù)滿足，∴=，∴f（x）在R上是以6為周期的函數(shù)，∴f（12.5）＝f（12+0.5）＝f（0.5），又為偶函數(shù)，∴f（x）的對稱軸為x＝3，∴f（3.5）＝f（2.5），又∵0＜0.5＜1.5＜2.5＜3，且在（0，3）內(nèi)單調(diào)遞減，∴f（2.5）＜f（1.5）＜f（0.5），即f（3.5）＜f（-4.5）＜f（12.5），故選B．【指點迷津】1.先研究清楚函數(shù)的奇偶性、對稱性和周期性等性質(zhì)，這樣函數(shù)就不再抽象了，而是變得相對具體，我們就可以畫出符合性質(zhì)的草圖來解題.2.解決抽象函數(shù)問題常用的結(jié)論(1)函數(shù)y＝f(x)關(guān)于x＝對稱?f(a＋x)＝f(b－x)?f(x)＝f(b＋a－x)．特例：函數(shù)y＝f(x)關(guān)于x＝a對稱?f(a＋x)＝f(a－x)?f(x)＝f(2a－x)；函數(shù)y＝f(x)關(guān)于x＝0對稱?f(x)＝f(－x)(即為偶函數(shù))．(2)函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(a，b)對稱?f(a＋x)＋f(a－x)＝2b?f(2a＋x)＋f(－x)＝2b.特例：函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(a,0)對稱?f(a＋x)＋f(a－x)＝0?f(2a＋x)＋f(－x)＝0；函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(0,0)對稱?f(x)＋f(－x)＝0(即為奇函數(shù))．(3)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)?函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a對稱；y＝f(x＋a)是奇函數(shù)?函數(shù)y＝f(x)關(guān)于(a,0)對稱．(4)對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：①若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a；②若f(x＋a)＝，則T＝2a；③若f(x＋a)＝－，則T＝2a；(a>0)④若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，則T＝|a－b|；⑤若f(2a－x)＝f(x)且f(2b－x)＝f(x)(a≠b)，則T＝2|b－a|.（5）奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性：奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反．【舉一反三】【2020屆湖北荊門一中一?！渴嵌x在實數(shù)集上的奇函數(shù)，，，若（1），則（1）（2）（3）．【答案】49【解析】是定義在上的奇函數(shù)，滿足，，且函數(shù)關(guān)于對稱，即，即，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，，（1）（2），（3）（1），（4），所以（1）（5）（9），（2）（6）（3）（7）（4）（8），所以（1）（2）（3）．故答案為：49．類型二賦值法【例2】【2020屆洛陽一高一?！咳艉瘮?shù)滿足對其定義域內(nèi)任意成立.（1）求的值；（2）求的值.【解析】(1)令，有∴(2)令，則有.【指點迷津】根據(jù)對題目給出的抽象的函數(shù)性質(zhì)的理解，將條件和結(jié)論有機地結(jié)合起來，作適當變形，我們找到一個符合題意的具體函數(shù)或給變量賦值，把抽象函數(shù)問題化為具體的數(shù)學問題，從而問題得解.【舉一反三】【2020屆山西運城一中期末】定義在R上的函數(shù)滿足，且當時，，對任意R，均有．（1）求證：對任意R，恒有；（2）求證：是R上的增函數(shù)；（3）若，求的取值范圍．【解析】（1）證明：令a＝b＝0，得f(0)＝f2(0)，又因為f(0)≠0，所以f(0)＝1.當x<0時，－x>0，所以f(0)＝f(x)f(－x)＝1，即，又因為時，，所以對任意x∈R，恒有f(x)>0.（2）證明：設(shè)，則，所以f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)f(x1)．因為x2－x1>0，所以f(x2－x1)>1，又f(x1)>0，則f(x2－x1)f(x1)>f(x1)，即f(x2)>f(x1)，所以f(x)是R上的增函數(shù)．（3）由f(x)·f(2x－x2)>1，f(0)＝1得f(3x－x2)>f(0)，又由f(x)為增函數(shù)，所以3x－x2>0?0<x<3.故x的取值范圍是(0，3)．類型三構(gòu)造函數(shù)法【例3】【2020屆湖南株洲一高一?！恳阎x在上的函數(shù)的導函數(shù)為，對任意，有，且.設(shè)，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】構(gòu)造函數(shù),則,又,故.在上單調(diào)遞減.又,故為奇函數(shù),故為偶函數(shù).又.又偶函數(shù)在上單調(diào)遞減.故.故，故選D【指點迷津】導數(shù)、不等式、函數(shù)相結(jié)合的問題,往往考查函數(shù)的單調(diào)性、大小比較、解不等式等,問題的關(guān)鍵點在于利用好已知條件中含有原函數(shù)和它的導函數(shù)的式子,考慮用構(gòu)造函數(shù)法，通過構(gòu)造函數(shù),使抽象函數(shù)問題具體化.如本題從QUOTEfx+f'x<0fx+f'x<0出發(fā)，聯(lián)想構(gòu)造函數(shù)QUOTE,從而可以用上已知條件來判斷函數(shù)單調(diào)性，進一步達到比較大小的目的.一般：（1）條件含有QUOTE，就構(gòu)造QUOTE,（2）若QUOTE，就構(gòu)造QUOTE，（3）QUOTE，就構(gòu)造QUOTE，（4）QUOTE就構(gòu)造QUOTE，等便于給出導數(shù)時聯(lián)想構(gòu)造函數(shù).【舉一反三】【2020屆福建泉州一中期末】已知定義在R上的連續(xù)函數(shù)滿足，且，為函數(shù)的導函數(shù)，當時，有，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】，，在單調(diào)遞增，，當時，，當時，，又，當時，，當時，，又滿足，圖象關(guān)于直線對稱，當時，，當時，，不等式等價于或解得：，故選D三．強化訓練1．【2020屆安徽廬山陽一中期末】已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，滿足，則（1）（2）（3）A． B．0 C．2 D．20【考點】B【解析】根據(jù)題意，定義域為的奇函數(shù)滿足，即，變形可得：，則有，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，又由（4），（3）（1），（4），故（1）（2）（3）（1）（2）（3）（4），故選：．2.【2020屆重慶廣益中學校月考】已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，若對任意，都有恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【解析】為偶函數(shù)且在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)對任意都有恒成立等價于當時，取得兩個最值，故選3.【2020屆廣東惠州中學模擬】已知定義在上的偶函數(shù)滿足，且當時，，則在區(qū)間上函數(shù)的圖象與軸的交點的個數(shù)為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】因為是上偶函數(shù)，且滿足，∴滿足，令，則，∴；∴是最小正周期為2的周期函數(shù)，當時，解得或，故在區(qū)間上解的個數(shù)為6，又因為，故在區(qū)間上解的個數(shù)為7，即函數(shù)的圖象在區(qū)間上與x軸的交點的個數(shù)為7，故選B.4．【2020屆浙江高三專練】已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】函數(shù)為偶函數(shù)，則，由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，化簡得，解得或，因此，不等式的解集為，故選B.5.【2020屆河北高三月考】定義在上的偶函數(shù)滿足，對且，都有，則有（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為，所以，及是周期為的函數(shù)，結(jié)合是偶函數(shù)可得，，由且，得在上遞增，因此，即，故選A．6.【2020屆江西撫州二中期末】已知對任意實數(shù)都有，，若不等式（其中）的解集中恰有兩個整數(shù)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，故，在取得極小值，根據(jù)圖像，欲使解集中恰有兩個整數(shù)，則比較點與四個點，，，連線的斜率，由可得，故選C．7.【2020江西南臨川二中一?！恳阎嵌x域為的奇函數(shù)，滿足，若（1），則（1）（2）（3）A．50 B．2 C．0 D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，是定義域為的奇函數(shù)，則，且；又由即有，則，進而得到，為周期為4的函數(shù)，若（1），可得（3）（1），（2），（4），則（1）（2）（3）（4），則（1）（2）（3）（1）（2）（3）（4）；故選：．8.【2020屆甘肅甘南一中期末】定義在實數(shù)集上的不恒為零的偶函數(shù)滿足，則．【考點】0【解析】由，得，設(shè)，則，即是周期為2的周期函數(shù)，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，則當時，，即（1）（1），得（1）．又，則，則（1），即，得，則，當時，（2），即．9．【2020屆江蘇鹽城一中期末】）已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，且，則的解集為________.【答案】【解析】令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為，，即，所以，解得.10.【山西大學附屬中學2019屆9月診斷】已知函數(shù)f(x)在(－1，1)上有定義，當且僅當0<x<1時f(x)<0,且對任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(QUOTE),試證明(1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞減【解析】證明：(1)由f(x)+f(y)=f(QUOTE)可令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f(QUOTE)=f(0)=0∴f(x)=－f(－x)∴f(x)為奇函數(shù)(2)先證f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減令0<x1<x2<1,則f(x2)－f(x