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數學也很有趣第1頁引子——題外話《達.芬奇密碼》整個陷阱能夠說是一個數學和哲學雙重陷阱。書中整個邏輯過程對一個熱愛數學和古代希臘哲學人來說完全是很普通事情，沒有更多神秘之處。然而，對普通人來說，這些引人入勝巧合足以令人感到深不可測——我們總是對自己不了解東西感到神秘。而數學會解釋這些神秘，變成漂亮數學符號，或是其它，比如說。第2頁這個其貌不揚希臘字母引發(fā)了生物學家、畫家、音樂家、歷史學家、建筑家乃至神秘主義者關注，從遠古到現在，對它探索從未停頓。這就是數學魅力。一切科學起源于、依賴于數學。第3頁畢達哥拉斯學派——五角星之謎畢達哥拉斯是古希臘數學家和哲學家。他大批追隨者被稱為畢達哥拉斯學派。畢達哥拉斯偉大貢獻之一是畢達哥拉斯定理，我們叫做勾股定理。（趣味數學中相關于這個定理很多證實方法，現在也依然在繼續(xù)）他們認為這個世界是一個有理數世界。畢達哥拉斯學派標志是一個五角星。第4頁然而，問題出現了，正是從這五角星里產生了無理數。在右邊正五邊形中，將全部頂點用對角線連接能夠得到一個五角星。五角星中央是一個小正五邊形，一樣連接對角線能夠得到一個更小五角星，這個過程能夠無限進行下去。應該注意到，第5頁柏拉圖立體柏拉圖是古希臘思想家、天體物理學家，或者，也能夠稱為幾何學家。柏拉圖是畢達哥拉斯學派人士學生。柏拉圖非常偏愛幾何。在他學校入口題著一行字：“不懂幾何者勿入我門”。柏拉圖曾經對宇宙起源和運動過程作了大量討論和研究。他試圖用五個多面體來解釋物質結構。但就數學而言，這些立體與黃金百分比關系匪淺（現在看來頗覺可笑，實際上當我們發(fā)覺黃金百分比與世界有如此關聯之后，這完全是能夠了解）他傳世名言：上帝是一位幾何學家。土火空氣水第6頁歐幾里德極限中間比歐幾里德是亞歷山大城亞歷山大學院第一批教師——數學教師。歐幾里德可能不是最偉大數學家，但他《幾何原本》絕對是世界上最偉大和影響最廣數學教材之一，一直被原封不動地使用到十九世紀中葉——我們知道，那個時候建立在微積分一類當代數學基礎上解析幾何正蓬勃發(fā)展。《幾何原本》有這么一個簡單幾何問題，是一個分線段問題：將一條線段按極限中間比分割后，這時整條線段和較長部分比值等于較長部分和較短部分比值。我們能夠經過一個方程來處理這個問題。設BC=1,AC=則，即,解得，所以，極限中間比為也就是黃金百分比第7頁我們黃金百分比實際上，倒數，而平方黃金百分比還有很多迷人表示方法，比如：不論怎么說，首先是一個極其有趣數字：

，由此出發(fā)，倒數,平方第8頁無限平方根：設若，那么：無限連分式：設，因為這個連分數無窮性，我們能夠得到等式：這又是一個定義黃金百分比式子。，右邊根式是一樣無窮根式，所以我們有，也就是說第9頁黃金矩形第10頁在任意一對母子長方形上各畫一條對角線，它們將在一點交叉：弧DE是以DF為半徑四分之一圓弧，一樣，將全部正方形內切四分之一圓弧連接起來形成螺旋我們稱為對數螺旋，這一螺旋會無限靠近對角線交點不過永遠不能抵達；無限縮小黃金矩形也逐步會聚向這一點不過永遠也不能抵達；這一點被稱為“上帝之眼”。黃金矩形：矩形ABCD邊AB與邊AD之比符合黃金百分比，從中切去正方形AEFD，得到EBCF是一個新黃金矩形，與原矩形對應邊百分比恰為，這個過程能夠無限進行下去；第11頁斐波納契及斐波納契數列之一

關于兔子繁殖問題斐波納契數列之起源——關于兔子繁殖問題：將一對兔子放進一個四面都是墻地方。假定一對兔子每個月生一對小兔，新生小兔子過兩個月之后又開始生小兔子，那么一年之后這墻內應該有多少對兔子？理想數學情況下：每對兔子均能按期正常生殖，保持健康。斐波納契是中世紀意大利數學家。他引進了阿拉伯數字及其運算法則來代替復雜羅馬數字。斐波納契在他《算盤書》中給出了許多實際問題處理方法。因為家庭影響，他相對重視實用性。第12頁關于兔子繁殖問題

第13頁關于兔子繁殖問題

某月大兔子數目等與上月大兔子數目加上在這個月成熟上月小兔子數目。上月小兔子數目恰好為上上個月大兔子數目。所以，任何一個月里大兔子數目恰好是本月前兩個月大兔子數目標和。這個數目符合以下數列：

1，1，2，3，5，8，13，…每個月小兔子數目恰好為上個月大兔子數目。除去第一個月數字之外，從第二個月起，它符合大兔子數目標序列：

1，1，2，3，5，8，13，…這兩個數列，除前兩項之外每一項都等于前兩項和，被稱為斐波納契數列。所以，任何一月墻內兔子數目應該為：1，2，3，5，8，13，21，…第14頁爬樓梯問題一個孩子要爬樓梯，他每次最多爬兩階，假如有n階臺階，那么他有多少種方法能夠爬上樓梯?n=1時有一個方法，=1：1；n=2時有兩種方法，=2：11，2；n=3時有三種方法，=3：111，12，21；n=4時有五種方法，=5：1111，112，121，211，22；n=5時有八種方法，=8：11111，1112，1121，1211，2111，122，212，221；依次往下我們發(fā)覺這些可能數字，恰好會組成斐波納契數列。第15頁雄蜂家譜蜂巢中有蜂王、工蜂、雄蜂。前二者是雌性，由蜂王受精卵孵化而來；而雄蜂則是由蜂王未受精卵孵化來。所以，雌蜂有父親和母親，而雄蜂卻只有母親。從圖上看，任何一只雄蜂有一個父母（母親），兩個祖父母（母親父母），三個曾祖父母（祖母父母和祖父母親），家譜中每一代親族數字組成一個斐波納契數列：1，1，2，3，5，8，13，…♀♀♂♀♂♂♀♀♀♀♂♂♀♀♀♂♀♀♂♂♀♂♀♀♂♀♀♂♂♀♀♀♂♀♀♂♀♀♂♂♀♀♀♂♀♀♂♂♀♂♀♀♂♀第16頁數學魔術給出一個斐波納契數列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181……數列中前n項和為第n+2項減去1：1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89=232=233-1；數列中任何十個連續(xù)數字和都等于11與第七個數字乘積：5+8+13+21+34+55+89+144+233+377=144×11=1584；將數列中相鄰數字乘積相加，所得結果恰為最終一個數字平方：1×1+1×2+2×3+3×5+5×8+8×13=169=13×13。任取數列中四個相鄰數字，如1，2，3，5，外面兩個數字乘積1×5

=5，里面數字積兩倍2×2×3=12，以及里面數字平方和2×2+3×3=13，恰好組成勾股定理數組。第17頁數學魔術給出一個斐波納契數列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987……數列中任何一項平方與其相鄰兩項乘積之相差1：3×3=2×5-1，13×13=8×21+1；巧合是，數列中最終一個數字以60為周期重復，第14個數字377以7結尾，第74個1304969544928657也以7結尾；電腦計算能夠發(fā)覺最終兩位數周期為300，后三位是1500，后四位是15000，后五位是150000，后六位是1500000，有什么規(guī)律？？愈加巧合是，斐波納契數列通項公式在它被提出六百多年后被發(fā)覺了，叫做比內公式：所以當n很大時候，這個公式能夠近似取做第18頁斐波納契與黃金百分比？我們看一下斐波納契數列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987,1597…中連續(xù)兩個數字之間比率：

1/1=1.0000002/1=2.0000003/2=1.5000005/3=1.6666678/5=1.60000013/8=1.62500021/13=1.61538534/21=1.61904855/34=1.61764789/55=1.618182144/89=1.617978233/144=1.618056377/233=1.618026610/377=1.618037987/610=1.618033聯絡前面表示黃金百分比連分式：

1=1.000000

毫無疑問，越往后我們會發(fā)覺這個百分比越來越靠近黃金百分比。利用極限知識我們能夠證實，只要一個數列符合任一項為前面兩項之和，這個數列就滿足這一性質。第19頁關于我們本身肚臍是人體黃金分割點，而咽喉則是上肢黃金分割點。量一下肩膀到指尖距離，用它除以肘關節(jié)到指尖距離；用臀部到地面距離除以膝蓋到地面距離……處處都是黃金百分比。假如不太嚴格講，人體最少能找出18個“黃金點”、15個“黃金矩形”、6個“黃金指數”、3個“黃金三角”。生活中人們最舒適環(huán)境溫度為22℃－24℃，也源于體溫36℃－37℃與0.618乘積恰好是22.4℃－22.8℃。DNA分子每個微觀雙螺旋結構都是以長34個埃與寬21個埃之比組成，34和21是斐波那契系列中數字，它們比率為1.6190476。第20頁達.芬奇與帕奇歐里交往甚密。帕奇歐里是意大利中世紀數學家，寫了一本書名為《神圣百分比》，主要是關于黃金百分比與幾何學。達.芬奇為此書畫了插圖，包含那些漂亮柏拉圖立體。達.芬奇《畫論》開頭就說，非數學家不得讀此作品！《蒙娜麗莎》科學家達.芬奇第21頁薩爾瓦多.達利《最終晚餐》《圣熱羅尼莫》讓我們詫異事實之繪畫第22頁黃金樂曲在西方普通認為畢達哥拉斯發(fā)覺了音程、音調和琴弦長度關系，讓數學和音樂聯絡在了一起。在中世紀，音樂甚至是數學課程一部分。哲學家和音樂家認為，天體在規(guī)則運動中創(chuàng)造友好音樂，并用數學完美表示出來——“天體音樂”。小提琴共鳴箱每邊有12根或是更多弧形曲線，而最底部弓形通常在這些線條黃金分割點上。鋼琴鍵盤上一個八度音階包含13個鍵：8個白鍵和5個黑鍵，而5個黑鍵又分兩組，一組3個，一組2個。奏鳴曲普通分為兩部分：呈示部，展開和再現部。即使作曲家可能是無意識，不過莫扎特鋼琴奏鳴曲中，組成展開和再現部與呈示部小節(jié)數百分比為1.62，與黃金百分比相當靠近。第23頁數字金字塔古希臘歷史學家希羅多德提到過：金字塔在建筑時考慮到每一面面積等于以金字塔高度為邊正方形面積。設SE為金字塔側面三角形高，SO為金字塔高度，我們能很輕易算出，而實際測量結果是這個比值為1.619,非?？拷S金百分比。第24頁無所不在黃金百分比埃菲爾鐵塔世界七大奇跡之一帕特農神廟（當代數學中由來是帕特農神廟中雅典娜雕像作者菲迪亞斯）：第25頁不可思議梅花花瓣是5枚，像桃、李、櫻、杏、蘋果、梨等與梅同屬薔薇科都是5瓣花，常見花瓣還有：鳶尾花、百合花是3枚，飛燕草是8枚，瓜葉菊是13枚，向日葵有是21枚，有是34枚，雛菊花瓣有是34枚、55枚或89枚，而其它數目標花瓣花則極少。而這些花瓣數恰好就是“斐波納契數列”當中“斐波納契數”。有一個叫著“噴嚏麥”花草，新一枝從葉腋長出，而另外新枝又從舊枝長出來，這種花草老葉片和新葉片數目就像兔子問題一樣。第26頁神圣百分比將相鄰葉子連接起來形成一個螺旋，連接枝干與葉片那些線之間角度恰為，恰好是向日葵中，順時針和逆時針螺旋數目比最常見是55/34，也有89/55、144/89，甚至233/144。相同植物，比如螺旋草，松果……第27頁計算機繪制斐波納契螺旋第28頁就是這個對數螺旋，向日葵中有，鸚鵡螺中有，太空星系中有，是可怕漩渦和颶風，也是獵鷹在捕捉獵物時翱翔軌跡。假如依據完全只依據牛頓運動定律，地球運動軌跡將是一個對數螺旋，很久以后，地球要么朝太陽飛去，要么就飛向太空。第29頁曾有一位學者耐心地數過一朵花，它剛好有157瓣，不符合斐波納契數列，但他卻發(fā)覺其中有13瓣與其它144瓣有顯著不一樣，這13與144又符合這個數列數，這終究