《第1章 勾股定理》單元測試卷 2021-2022學年 北師大版八年級數學上冊

第1章勾股定理

一、選擇題（本大題共8個小題，每小題只有一個正確選項，每小題3分，共

24分）

1.下列各組數中不是勾股數的是（）

A.3,4,5B.4,5,6C.5,12,13D.6,8,10

2.下列條件中，不能判定△A8C為直角三角形的是（）

A.a：b：c=5：12：13B.NA+N8=NC

C.ZA：NB：ZC=2：3：5D.。=6，b=12,c=10

3.在一水塔A的東北方向32m處有一抽水池B,在水塔4的東南方向24nl處有一建筑工地

C,在5c間需建一條直水管道，則水管的長為（）

A.45〃？B.40/77C.50mD.56/n

4.如果△ABC的三邊長分別是加2-］、2m.m2+l那么（）

A.ZVIBC是直角三角形，且斜邊長為2,"

B.ZVIBC是銳角三角形

C.△ABC是直角三角形，且斜邊長為,息+i

D.△ABC是否為直角三角形，需看，”的值

5.如圖，在△ABO中，ZD=90°,CD=6,AD=8,ZACD=2ZB,則BO的長是（）

6.如圖，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,點M為BC邊中點，MNLAC于點、N,那么

7.如圖所示：是一段樓梯，高BC是3,〃，斜邊4C是5N，如果在樓梯上鋪地毯，那么至少

C.1mD.8機

8.如圖，在長方形4BC。中，AB^3cm,AD=9cm,將此長方形折疊，使點8與點O重合,

C.10cm2D.12C/H2

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

9.在△ABC中，若三條邊的長度分別為9,12、15,則以兩個這樣的三角形所拼成的四邊

形的面積是.

10.若直角三角形的兩條直角邊長為小b,且滿足（a-3）2+\b-4|=0,則該直角三角形

的第三條邊長為.

11.如圖，已知A8：8C：CD：D4=2：2：3：1,且NA8C=90°,則NBA。的度數為.

12.在△ABC中，AB=V34）AC=5,若8c邊上的高等于3,則8C邊的長為.

13.如圖，點尸是等邊△ABC內一點，連接孫，PB,PC,PA：PB：PC=3：4：5,以AC

為邊作C^/XAPB,連接PP',則有以下結論：①△APP'是等邊三角形；②X

PCP'是直角三角形；③NAPB=150°；?ZAPC=105°.其中一定正確的

是.(把所有正確答案的序號都填在橫線上)

14.如圖，一個機器人從點。出發(fā)，向正東方向走到達點A”再向正北方向走到達

點42,再向正西方向走9機到達點43，再向正南方向走12機到達點44，再向正東方向走

15機到達點4.按如此規(guī)律下去，當機器人走到點4時，離點。的距離是m.

北

4A2

西,東

兒：

4-^5

南

三、解答題(本大題共94小題，共58分)

15.在RtZkABC中，ZACB=90°,CO_LAB于點。，AC=20,BC=15,

(1)求AB的長；

(2)求CO的長.

16.如圖所示，一架云梯長25如斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7如這個梯子的頂端距

地面有多高？如果梯子頂端下滑了4,“，那么梯子的底端在水平方向上也滑動了4根嗎？

OBBr

17如圖，四邊形48co中，NAOC=90°,AD=\2,CD=9,AB=25,BC=20,求四邊

形ABC。的面積.

18如圖是一塊地，已知40=4根，CD=3m,AB=\3m,BC=Um,且C￡)_LAD,求這塊地

的面積.

19如圖，己知BE_LAE,ZA=Z￡BC=60°,AB=4,BC2=12,CD2=3,DE=3.求證:

(1)4BEC為等邊三角形；

(2)EDLCD.

20如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6c〃?，BC=Scm,現將直角邊AC沿直線

AO對折，使它落在斜邊A8上，且與AE重合，求CQ的長.

21如圖所示，等腰三角形ABC的底邊長為8cm腰長為5c/n,一動點P在底邊上從B向C

以0.25c,”/s的速度運動，當點P運動到PA與腰垂直的位置時，求點P運動的時間.

A

RP

22閱讀理解：

我們知道在直角三角形中，有無數組勾股數，例如5,12,13；9,40,41；…但其中也

有一些特殊的勾股數，例如：3,4,5是三個連續(xù)正整數組成的勾股數.

解決問題：

(1)在無數組勾股數中，是否存在三個連續(xù)偶數能組成勾股數？若存在，試寫出一組勾

股數；

(2)在無數組勾股數中，是否還存在其他的三個連續(xù)正整數能組成勾股數？若存在，求

出勾股數；若不存在，說明理由.

23臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心，在周圍數卜千米的范圍內形成氣旋風暴，

有極強的破壞力，據氣象臺觀測，距沿海某城市A的正南方向240千米的B處有一臺風

中心，其中心風力為12級，每遠離臺風中心25千米，風力就會減弱一級，該臺風中心

現正以20千米/時的速度沿北偏東30°的方向往C移動，如圖所示，且臺風中心的風力

不變.若城市所受風力達到或超過4級，則稱受臺風影響.

(1)該城市是否會受臺風的影響？請說明理由.

(2)若會受到臺風影響，則臺風影響城市的持續(xù)時間有多長？

(3)該城市受到臺風影響的最大風力為幾級？

參考答案與試題解析

選擇題（共8小題）

1.下列各組數中不是勾股數的是（）

A.3,4,5B.4,5,6C.5,12,13D.6,8,10

【分析】分別求出兩小邊的平方和、最長邊的平方，看看是否相等即可.

【解答】解：A、：32+42=52,

.?.以3、4、5為邊能組成直角三角形，

即3、4、5是勾股數，故本選項錯誤；

B、V42+52^62,

.?.以4、5、6為邊不能組成直角三角形，

即4、5、6不是勾股數，故本選項正確；

C、V52+122=132,

.?.以5、12、13為邊能組成直角三角形，

即5、12、13是勾股數，故本選項錯誤；

。、V62+82=102,

以6、8、10為邊能組成直角三角形，

即6、8、10是勾股數，故本選項錯誤；

故選:B.

2,下列條件中，不能判定△A8C為直角三角形的是（）

A.a：b：c=5：12：13B.ZA+ZB=ZC

C.ZA：ZB：ZC=2：3：5D.a=6,b=\2,c=10

【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方或最大角是

否是90°即可.

【解答】解:A、；52+122=132,.?.△ABC是直角三角形,故能判定△ABC是直角三角

形；

'：ZA+ZB=ZC,.,.ZC=90°,故能判定aABC是直角三角形；

C、；乙4：ZB：ZC=2：3：5,AZC=——X180°=90°,故能判定△ABC是直

2+3+5

角三角形：

。、：62+102wi22,.?.△ABC不是直角三角形，故不能判定△ABC是直角三角形；

故選：D.

3.在一水塔A的東北方向32機處有一抽水池B,在水塔A的東南方向24m處有一建筑工地

C,在間需建一條直水管道，則水管的長為（）

A.45mB.40mC.50mD.56/w

【分析】由題意可知東北方向和東南方向間剛好是一直角，利用勾股定理解圖中直角三

角形即可.

【解答】解：已知東北方向和東南方向剛好是一直角，

AZBAC=90°,

又：A8=32機，AC=24m,

ABC=VAB2+BC2=V322+242=40（m）-

4.如果△ABC的三邊長分別是切2-i、2m、那么（）

A.△ABC是直角三角形，且斜邊長為2根

B.△ABC是銳角三角形

C.ZVIBC是直角三角形，且斜邊長為〃P+i

D.ZVIBC是否為直角三角形，需看〃?的值

【分析】根據勾股定理的逆定理判定即可.

【解答】解：?△ABC中的三邊分別是川-1,2m,m2+l

又（川-1）2+（2m）2—（m2+l）2,

.?.△ABC是直角三角形，斜邊為小2+1.

故選：C.

5.如圖，在△AB。中，ZD=90°,CD=6,A￡>=8,ZACD=2ZB,則8。的長是()

BD

A.12B.14C.16D.18

【分析】根據勾股定理求出AC,根據三角形的外角的性質得到N8=NCA8,根據等腰

三角形的性質求出8C,計算即可.

【解答】解：VZD=90°,CD=6,AO=8,

.,.AC=^AD2K;D2=1O,

VZACD=2ZB,ZACD=ZB+ZCABf

：.ZB=4CAB,

ABC=AC=10,

:?BD=BC+CD=T6,

故選：C.

6.如圖，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,點M為3c邊中點，MN上AC于點、N,那么

MN等于（）

A.AB.aC.衛(wèi)D.

5555

【分析】連接AM,根據等腰三角形三線合一的性質得到AMLBC,根據勾股定理求得

AM的長，再根據在直角三角形的面積公式即可求得MN的長.

【解答】解：連接AM,

：AB=AC,點M為BC中點，

：.AM±CM（三線合一），BM=CM,

：AB=AC=5,BC=6,

：.BM=CM^3,

在Rtz^ABM中，AB=5,BM=3,

，根據勾股定理得：A.M—4§2_32=4,

又,/SAAMC^—MN-AC=1AM-MC,

22

...MN=^1=￡

AC5

故選：C.

7.如圖所示：是一段樓梯，高BC是3〃?，斜邊AC是，”，如果在樓梯上鋪地毯，那么至少

【分析】先根據直角三角形的性質求出AB的長，再根據樓梯高為BC的高=3,〃，樓梯的

寬的和即為AB的長，再把AB、BC的長相加即可.

【解答】解：:△ABC是直角三角形，BC^3m,AC=5〃？

?■?AB=VAC2-BC2=V52-32=4/M,

...如果在樓梯上鋪地毯，那么至少需要地毯為A8+8C=7米.

故選：C.

8.如圖，在長方形ABC。中，AB=3cm,AD=9cm,將此長方形折疊，使點B與點O重合,

D.\2cirr

【分析】首先根據翻折的性質得到EO=BE,再設出未知數，分別表示出線段AE,ED,

BE的長度，然后在Rtz\ABE中利用勾股定理求出AE的長度，進而求出AE的長度，就

可以利用面積公式求得aABE的面積了.

【解答】解：???長方形折疊，使點8與點。重合，

：.ED=BE,

AE=xcm,貝ljEO=BE=(9-x)cm,

在Rt/\ABE中，

AB2+AE2=BE2,

.*.32+J?=(9-x)2,

解得:x=4,

...△ABE的面積為:3X4XA=6(cm2).

2

故選：A.

二.填空題(共6小題)

9.在△ABC中，若三條邊的長度分別為9,12、15,則以兩個這樣的三角形所拼成的四邊

形的面積是108.

【分析】首先利用勾股定理的逆定理，判定給三角形的形狀，求拼成的四邊形的面積就

是這樣兩個三角形的面積和，由此列式解答即可.

【解答】解：；92+122=225,匕2=225,

.*.92+122=152,

這個三角形為直角三角形，且9和12是兩條直角邊；

二拼成的四邊形的面積=」X9X12X2=108.

2

故答案為：108.

10.若直角三角形的兩條直角邊長為“、h,且滿足Q-3)2+|/>-4|=0,則該直角三角形

的第三條邊長為5.

【分析】根據非負數的性質得。=3,b=4,再利用勾股定理可求出斜邊長.

【解答】解：；(a-3)2+|6-4|=0,

??a-3=0,b-4=0,

?'?a=3,b=4,

二直角三角形斜邊為：^y32+42=5,

故答案為：5.

11.如圖，已知AB：BC：CQ：D4=2：2：3：1,且NABC=90°,則/BA。的度數為135°

【分析】根據AB：BC：CD：DA=2：2：3：I,可設AB=2x,BC=2x,CD=3x,AD

=x,利用勾股定理求得AC=2亞x,發(fā)現A￡>2+AC2=C￡>2,從而/DAC=90°,即可.

【解答】解：BC：CD：QA=2：2：3：1,

設BC=2x,CD=3x,AD=Xt

：.AB=BC,

VZABC=90°,

/MC=22

VAB+BC=2V2X>N8AC=45。,

AD2+AC2=7+8/=9,，

CD2=9?,

：.AD1+ACl=CD1,

：.ZDAC=90",

...NBAO=NBAC+/￡)AC=45°+90°=135°,

故答案為：135°.

12.在△ABC中，AB=V34,AC=5,若8c邊上的高等于3,則BC邊的長為9或1.

【分析】AABC中，NACB分銳角和鈍角兩種：

①如圖1,/ACB是銳角時，根據勾股定理計算8。和CD的長可得8c的值：

②如圖2,/ACB是鈍角時，同理得：C￡>=4,BD=5,根據3c=3。-CO代入可得結

論.

【解答】解：有兩種情況：

①如圖1,是△A8C的高，

.?.NA￡>B=/4OC=90°,

）=22=

由勾股定理得：BZVAB-AD7（V34）2-32=5

=22=

CDVAC-AD752-32=4,

:.BC=BD+CD=5+4=9；

②如圖2,同理得：CO=4,30=5,

：.BC=BD-CD=5-4=l,

綜上所述，8C的長為9或1；

故答案為：9或1.

A

3

BcD

圖2

A

—

BDC

圖1

13.如圖，點P是等邊△ABC內一點，連接B4,PB,PCPA：PB：PC=3：4：5,以AC

為邊作^AP'C^/\APB,連接PP',則有以下結論:①△APP'是等邊三角形；②X

PCP'是直角三角形；③NAPB=150°；?ZAPC=105°.其中一定正確的是①②

③.（把所有正確答案的序號都填在橫線上）

A

BC

【分析】先運用全等得出AP>,ZCAP'=NBAP,從而NPAP'=/BAC=60°,

得出△以「'是等邊三角形，ZAP'尸=60°,PP'=AP,再運用勾股定理逆定理得出

NPP'C=90°,由此得解.

【解答】解：△4BC是等邊三角形,則Na4c=60。，又△AP'C四△APB,則AP=AP',

^PAP'=/8AC=60°，

...△APP'是正三角形，①正確；

又B4：PB：PC=3：4：5,

.?.設B4=3x,則：PP'=B4=3x,P'C=PB=4x,PC=5x,

根據勾股定理的逆定理可知：△PCP是直角三角形，且/PP'C=90°,②正確；

又△4PP是正三角形，

AZAP'尸=60°,

.../APB=150°③正確；錯誤的結論只能是NAPC=105°.

故答案為①②③.

14.如圖，一個機器人從點。出發(fā)，向正東方向走3機到達點A”再向正北方向走6機到達

點A2,再向正西方向走9機到達點A3,再向正南方向走12機到達點A4,再向正東方向走

15根到達點45.按如此規(guī)律下去，當機器人走到點46時，離點。的距離是，外

北

46

南

【分析】由題意可知：04=3；4A2=3X2；A2A3=3X3；可得規(guī)律：Atl-\An—3n,根

據規(guī)律可得到：A5A6=3X6=18,進而求得4的橫縱坐標.

【解答】解：根據題意可知當機器人走到。點時，

缶46=18米，

點46的坐標是(6+3=9,18-6=12),

即(9,12).

所以，當機器人走到點A6時，

離點。的距離是｛g2+]22=15.

故答案為：15.

三.解答題(共2小題)

15.在中，/4C8=90°,CL>_LA8于點。，AC=20,BC=15,

(1)求AB的長;

(2)求C￡>的長.

D'B

【分析】(1)根據勾股定理A8=JAC2+BC2,代入計算即可;

(2)根據三角形的面積公式，代入計算即可求出CO的長.

【解答】解：(1)'：ZACB=90°,

/MS=VAC2+BC2,

VBC=15,AC=20,

22=22=25,

:.AB=ylAc+BCV20+15

；.AB的長是25；

(2)：SAJ4BC=LC?8C=X4B?CD,

22

：.ACtBC=AB'CD,

VAC=20,BC=15,AB=25,

...20X15=258,

/.CD=12,

：.CD的長是12.

16.如圖所示，一架云梯長25m斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7/n,這個梯子的頂端距

地面有多高？如果梯子頂端下滑了4,小那么梯子的底端在水平方向上也滑動了4m嗎？

【分析］在RtaABC中，利用勾股定理可求出AB的長度，在中，利用勾股定

理可求出BE的長度，用其減去BC的長度即可得出結論.

【解答】解：在RtZ\AOB中，'：AB=25m,OB=1m,O^^AB2-OB2,

OA=VAB2-0B2=V252-72=24(M),

?H=4m,

：.OA'=OA-AA'=20機；

在Rt&VOB'中，'JOB'2=A，B'2-OA'2,

OB_22=15(m),

：.BB'=OB'-08=8(m).

故這個梯子的頂端距地面24根；梯子的底端在水平方向上不是滑動了4處而是滑動了

17如圖，四邊形ABCD中，ZADC=90°,AD=\2,CD=9,AB=25,BC=20,求四邊

形ABC。的面積.

【考點】勾股定理；勾股定理的逆定理.

【答案】見試題解答內容

【分析】連接AC,根據勾股定理求出AC,根據勾股定理的逆定理求出△4CB是直角三

角形，分別求出AABC和△ACO的面積，即可得出答案.

【解答】解：連接AC,AB

在△AQC中，

VZD=90°,AD=12,CD=9,

.,MC=AyAD24CD2=15,

S&ABC=^AD'CD=^X12X9=54,

22

在△ABC中，

；AC=15,48=25,BC=20,

△ACS是直角三角形，

.*.SAACB=—>4C.BC=AX15X20=150.

22

/.四邊形ABCD的面積=SMBC+5AACD=150+54=204.

18如圖是一塊地，已知AO=4m,CD=3m,AB=\3m,BC=12/n,S.CDLAD,求這塊地

的面積.

【考點】勾股定理；勾股定理的逆定理.

【答案】見試題解答內容

【分析】連接AC,利用勾股定理可以得出三角形ACD和ABC是直角三角形，aABC的

面積減去△AC。的面積就是所求的面積.

【解答】解：連接AC,

,JCDLAD

：.ZADC=90°,

"：AD=4,CD=3,

：.AC2=AD1+CD2=42+32=25,

又FOO,

：.AC=5,

又：BC=12,AB=13,

.,.AC2+BC2=52+122=169,

又：AB2=I69,

:.AC2+BC2^AB2,

：.ZACB=90°,

:?S四邊彩ABCD=5AABC-SA4OC=30-6=24〃/.

19如圖，已知BE_LAE,ZA=ZEBC=60°,AB=4,BC2=12,CD2=3,DE=3.求證:

（1）△BEC為等邊三角形;

(2)EDLCD.

【考點】等邊三角形的判定與性質；勾股定理.

【專題】三角形；數據分析觀念.

【答案】(1)(2)見解答過程.

【分析】(1)在RtZ\ABE中，求得AE=2,BE?=12,從而有BE=BC,即可得出△BEC

為等邊三角形；

(2)求得DE2+CD2=12=EC2,所以△CCE為直角三角形，且/。=90°,即可解決問

題.

【解答】證明：(1)在中，

VZA=60°,/AE8=90°,

AZABE=30°.

：AB=4,

：.AE=1AB=2,BE2=AB2-AE2=12.

2

又

：.BE=BC.

又,.?/C8E=60°,

.,.△BEC為等邊三角形.

(2)：△BEC為等邊三角形，

：.EC2=BC2=\2.

又,：D爛=9,CD2=3,

：.DE1+CD2=12=EC2,

.?.△CCE為直角三角形，且N￡>=90°,

:.EDLCD.

20如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6C7〃，BC=8an,現將直角邊AC沿直線

對折，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，求CO的長.

【答案】見試題解答內容

【分析】先由勾股定理求AB=10.再用勾股定理從△OEB中建立等量關系列出方程即可

求的長.

【解答】解：：兩直角邊AC=6c，〃，BC=Scm,

在RtZ\A3C中，由勾股定理可知AB=10,

現將直角邊AC沿直線4。對折，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CO=DE,AE

=AC=6,

；.BE=10-6=4,

設。E=CD=x,80=8-x,

在RtZ\8DE中，根據勾股定理得：BD2=DE2+BE2,即(8-x)2=x1+42,

解得x=3.

即CD的長為3cm.

21如圖所示，等腰三角形ABC的底邊長為8CM,腰長為5cm,一動點P在底邊上從B向C

以0.25c，的速度運動，當點P運動到PA與腰垂直的位置時，求點P運動的時間.

【考點】等腰三角形的性質；勾股定理；相似三角形的判定與性質.

【專題】動點型；分類討論.

【答案】見試題解答內容

【分析】根據等腰三角形三線合一性質可得到8。的長，由勾股定理可求得4。的長，再

分兩種情況進行分析：①②南_LA8,從而可得到運動的時間.

【解答】解：如圖，作ACBC,交BC于點。，

,?*BC=8c/nj

：.BD=CD=AfiC=4cw,

2

9：AB=5cm,

?\AD=3cmf

分兩種情況：當點P運動f秒后有B4_LAC時，

'：AP2=PD1+AD2=PC1-AC2,

：.PD2+AD2=PC2-AC2,

：.PD2+32^(P￡>+4)2-52,

.,.PD=2.25cm,

：.BP=4-2.25=1.75=0.253

.”7秒，

當點尸運動/秒后有PALAB時，同理可證得PD=2.25,

.\BP=4+2.25=6.25=0.25r,

；，=25秒，

點P運動的時間為7秒或25秒.

我們知道在直角三角形中，有無數組勾股數，例如5,12,13；9,40,41；…但其中也

有一些特殊的勾股數，例如：3,4,5是三個連續(xù)正整數組成的勾股數.

解決問題：

（1）在無數組勾股數中，是否存在三個連續(xù)偶數能組成勾股數？若存在，試寫出一組勾

股數；

（2）在無數組勾股數中，是否還存在其他的三個連續(xù)正整數能組成勾股數？若存在，求

出勾股數；若不存在，說明理由.

【考點】勾股定理的證明.

【專題】實數：一元二次方程及應用：運算能力.

【答案】（D存在，6、8、10；

（2）不存在，理由詳見解答.

【分析】（1）設出三個連續(xù)的偶數，利用勾股定理列方程求解即可；

（2）設出三個連續(xù)的正整數，利用勾股定理求解，檢驗即可.

【解答】解：（1）設中間的偶數為⑶