微分方程和其分類省名師優(yōu)質(zhì)課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

一、微分方程概念二、二階線性偏微分方程分類微分方程及其解法第1頁(yè)

函數(shù)是研究客觀事物運(yùn)動(dòng)規(guī)律一個(gè)主要工具，所以尋求客觀事物運(yùn)動(dòng)改變過程中函數(shù)關(guān)系是十分主要，然而，在許多問題中，往往不能直接找出所需函數(shù)關(guān)系。但依據(jù)問題所給條件，有時(shí)能夠列出含有要找函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)關(guān)系式，這么關(guān)系式就是所謂微分方程。第2頁(yè)解

為了便于闡述微分方程相關(guān)概念，先看下面例子：例1

一曲線經(jīng)過點(diǎn)，且在該曲線上任一點(diǎn)切線斜率為，求這曲線方程。對(duì)上式兩邊積分有因?yàn)樗笄€經(jīng)過點(diǎn)一、微分方程概念第3頁(yè)1.微分方程定義凡含有未知函數(shù)以及未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)（或微分）方程叫微分方程。例2.微分方程分類

3.微分方程階微分方程中所出現(xiàn)未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)階數(shù)。第4頁(yè)例2

判斷以下方程是否為微分方程？若是，是幾階

微分方程？解（1）是，1階；（2）是，1階；（3）是，2階；（4）是，3階；（5）是，1階；（6）不是。第5頁(yè)4.微分方程解

任何代入微分方程后使微分方程恒成立函數(shù)。（1）微分方程通解

假如在微分方程解中，所含獨(dú)立常數(shù)個(gè)數(shù)與微分方程階數(shù)相同，這么解就叫微分方程通解（2）微分方程特解當(dāng)微分方程通解中各任意常數(shù)都取定值時(shí)所得解（3）微分方程初始條件第6頁(yè)確定通解中任意常數(shù)附加條件。5.微分方程解幾何意義通解圖象:積分曲線族.特解圖象:微分方程積分曲線.例3解第7頁(yè)

又因?yàn)檫@個(gè)解中含有兩個(gè)獨(dú)立任意常數(shù)，而方程為二階微分方程，所以第8頁(yè)所以方程滿足初始條件特解為第9頁(yè)二階線性偏微分方程分類

本章將介紹二階線性偏微分方程基本概念、分類方法和偏微分方程標(biāo)準(zhǔn)化.尤其對(duì)于常系數(shù)二階線性偏微分方程化簡(jiǎn)方法也進(jìn)行了詳細(xì)討論，這對(duì)后面偏微分方程求解是十分有用.第10頁(yè)

在數(shù)學(xué)物理方程建立過程中，我們主要討論了三種類型偏微分方程：波動(dòng)方程；熱傳導(dǎo)方程；穩(wěn)定場(chǎng)方程．這三類方程描寫了不一樣物理現(xiàn)象及其過程，后面我們將會(huì)看到它們解也表現(xiàn)出各自不一樣特點(diǎn)．我們?cè)诮馕鰩缀沃兄缹?duì)于二次實(shí)曲線其中為常數(shù)，且設(shè)10.2數(shù)學(xué)物理方程分類第11頁(yè)則當(dāng)

時(shí)，上述二次曲線分別為雙曲線、拋物線和橢圓．受此啟發(fā)，下面我們來(lái)對(duì)二階線性偏微分方程進(jìn)行分類.

下面主要以含兩個(gè)自變量二階線性偏微分方程為例，進(jìn)行理論分析．而對(duì)于更多個(gè)自變量情形盡管要復(fù)雜一些，但討論基本方法是一樣．兩個(gè)自變量(x,y)二階線性偏微分方程所含有普遍形式為第12頁(yè)（10.2.1）其中為已知函數(shù)．

定理10.2.1

假如是方程(10.2.2)普通積分，則是方程第13頁(yè)(10.2.3)一個(gè)特解．在詳細(xì)求解方程(10.2.10)時(shí)，需要分三種情況討論判別式1.當(dāng)判別式以求得兩個(gè)實(shí)函數(shù)解

時(shí)，從方程(10.2.10)可第14頁(yè)也就是說，偏微分方程(10.2.1)有兩條實(shí)特征線．于是，令即可使得．同時(shí)，依據(jù)(10.2.4)式，就能夠斷定．所以，方程(10.2.6)即為(10.2.4)第15頁(yè)或者深入作變換于是有所以第16頁(yè)又能夠深入將方程(10.2.11)化為

這種類型方程稱為雙曲型方程．我們前面建立波動(dòng)方程就屬于這類型．2．當(dāng)判別式時(shí)：這時(shí)方程(10.2.10)一定有重根第17頁(yè)因而只能求得一個(gè)解，比如，，特征線為

一條實(shí)特征線．作變換就能夠使由(10.2.4)式能夠得出，一定有，故可推出．這么就能夠任意選取另一個(gè)變換，只要它和彼此獨(dú)立，即雅可俾式第18頁(yè)即可．這么，方程(10.2.6)就化為

這類方程稱為拋物型方程．熱傳導(dǎo)（擴(kuò)散）方程就屬于這種類型．第19頁(yè)3.當(dāng)判別式面討論，只不過得到時(shí)：這時(shí)，能夠重復(fù)上和是一對(duì)共軛復(fù)函數(shù)，或者說，偏微分方程(10.2.1)兩條特征線是一對(duì)共軛復(fù)函數(shù)族．于是是一對(duì)共軛復(fù)變量．深入引進(jìn)兩個(gè)新實(shí)變量第20頁(yè)于是所以

方程(10.2.11)又能夠深入化為第21頁(yè)

這種類型方程稱為橢圓型方程．拉普拉斯(Laplace)方程、泊松(Poisson)方程和Helmholtz方程都屬于這種類型．

總而言之，要判斷二階線性偏微分方程屬于何種類型，只需討論判別式

即可.

第22頁(yè)10.3二階線性偏微分方程標(biāo)準(zhǔn)化對(duì)于二階線性偏微分方程(10.3.1)若判別式為，則二階線性偏微分方程分為三類：第23頁(yè)時(shí)，方程稱為雙曲型;時(shí)，方程稱為拋物型;時(shí)，方程稱為橢圓型;1.雙曲型偏微分方程

因?yàn)殡p曲型方程對(duì)應(yīng)判別式所以特征曲線是兩族不一樣實(shí)函數(shù)曲線，第24頁(yè)設(shè)特征方程解為令(10.3.2)進(jìn)行自變量變換，則原偏微分方程變?yōu)橐韵滦问降?5頁(yè)(10.3.3)

上式稱為雙曲型偏微分方程第一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式，再作變量代換，令或則偏微分方程又變?yōu)榈?6頁(yè)(10.3.4)上式稱為雙曲型偏微分方程第二種形式．注：上式中“*”號(hào)不代表共軛，僅說明是另外函數(shù)。如與是兩個(gè)不一樣函數(shù)。

2．拋物型偏微分方程第27頁(yè)因?yàn)閽佄镄推⒎址匠膛袆e式線是一族實(shí)函數(shù)曲線．，所以特征曲其特征方程解為(10.3.5)所以令進(jìn)行自變量變換，則原偏微分方程變?yōu)?10.3.6)第28頁(yè)上式稱為拋物型偏微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式．3.橢圓型偏微分方程橢圓型偏微分方程判別式，所以特征曲線是一組共軛復(fù)變函數(shù)族．其特征方程解為(10.3.7)若令第29頁(yè)(10.3.8)作自變量變換，則偏微分方程變?yōu)?10.3.9)上式稱為橢圓型偏微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式．第30頁(yè)10.4二階線性常系數(shù)偏微分方程深入化簡(jiǎn)

假如二階偏微分方程系數(shù)是常數(shù)，則標(biāo)準(zhǔn)形式方程還能夠深入化簡(jiǎn)．下面按三種類型分別介紹化簡(jiǎn)方法1.雙曲型

對(duì)于以下含常系數(shù)第一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式雙曲型標(biāo)準(zhǔn)方程還可深入化簡(jiǎn)第31頁(yè)注：上式中用小寫字母代表常系數(shù)，方便與我們不妨令大寫字母代表某函數(shù)區(qū)分開來(lái),比如．為了化簡(jiǎn)，從而有(10.4.2)第32頁(yè)其中

由第二種標(biāo)準(zhǔn)形式雙曲型偏微分方程（含常系數(shù)）能夠進(jìn)一步化簡(jiǎn)(10.4.3)式中均為常系數(shù)．若令第33頁(yè)

則有(10.4.4)(10.4.5)其中第34頁(yè)對(duì)于含常系數(shù)拋物型偏微分標(biāo)準(zhǔn)方程（含常系數(shù)）

（10.4.6）還能夠深入化簡(jiǎn)．上式中小寫字母均為常系數(shù)．為了化簡(jiǎn)，不妨令從而有(10.4.7)2.拋物型第35頁(yè)3.橢圓型對(duì)于以下第一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式橢圓型標(biāo)準(zhǔn)方程(含常系數(shù))(10.4.8)還能夠深入進(jìn)行化簡(jiǎn)．上式中小寫字母為常系數(shù)．第36頁(yè)為了化簡(jiǎn)，不妨令從而有(10.4.9)其中第37頁(yè)

含有兩個(gè)自變量線性偏微分方程普通形式也能夠?qū)懗上旅嫘问剑浩渲蠰

是二階線性偏微分算符，G是x,y函數(shù)．線性偏微分算符有以下兩個(gè)基本特征：10.5線性偏微分方程解特征第38頁(yè)其中均為常數(shù)．深入有以下結(jié)論：1.齊次線性偏微分方程解有以下特征：為方程解時(shí)，則也為方程解；(1).當(dāng)為方程解，則也是方程解；(2)若2.非齊次線性偏微分方程解含有以下特征：第39頁(yè)為非齊次方程特解，為齊次方程通解，則