高等數(shù)學(xué)-第二節(jié)-對面積的曲面積分省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件市賽課一等獎?wù)n件

第二節(jié)對面積曲面積分

定義1對于空間曲面Σ,假如Σ上任意一點(diǎn)都有切平面,當(dāng)切點(diǎn)連續(xù)變動時,切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動,此曲面Σ稱為光滑曲面.本節(jié)下面所研討一系列問題皆與本章第一節(jié)所述問題完全類似.1/19一、對面積曲面積分定義二、對面積曲面積分性質(zhì)三、對面積曲面積分計算四、對面積曲面積分應(yīng)用2/19

把曲面Σ分成n片小曲面,這些小曲面為

S1,

S2,…,

Sn,

Si也表示

Si面積(i=1,2,…,n).一、對面積曲面積分定義設(shè)有一曲面形構(gòu)件,它所占位置空間曲面Σ見圖9-4,

面密度為連續(xù)函數(shù)u=f(x,y,z),利用分割、作和、取極限方法求該構(gòu)件質(zhì)量.在

Si上取點(diǎn)Mi(

i,

i,

i),稱

Si任意取兩點(diǎn)間距離最大值為

Si直徑,

Si圖9-4,3/19則曲面形構(gòu)件質(zhì)量為式中λ為n片小曲面直徑中最大值.

Si圖9-4,4/19

定義2設(shè)Σ是光滑曲面,函數(shù)u=f(x,y,z),在Σ上有界,分Σ為n片小曲面,這些小曲面為

S1,

S2,…,

Sn,

Si

也表示

Si

面積(i=1,2,…,n).假如存在,則稱該值f(x,y,z)在Σ上對面積曲面積分,也稱為第一型曲面積分,記成在Si上取點(diǎn)Mi(

i,

i,

i),記λ為n片小曲面直徑最大值.其中f(x,y,z)稱為被積分函數(shù),Σ稱為積分曲面.5/19假如是閉合曲面Σ上積分,又可記成定理1當(dāng)f(x,y,z)在光滑或分段光滑曲面Σ上連續(xù)時,存在.6/19二、對面積曲面積分性質(zhì)

設(shè)下面所包括曲面積分是存在,則有下述性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)k為常數(shù),則性質(zhì)2

7/19性質(zhì)3將Σ分成Σ1與Σ2,則

k為常數(shù),A為Σ面積.性質(zhì)4性質(zhì)5若在Σ上f(x,y,z)

g(x,y,z),則8/19性質(zhì)7當(dāng)f(x,y,z)在光滑曲面Σ上連續(xù)時,必有(

,

,

)在Σ上,使得性質(zhì)6在Σ上若沒m

f(x,y,z)

M,則其中A表示Σ面積.9/19三、對面積曲面積分計算

定理2設(shè)曲面Σ:在z=z(x,y),它在xOy面上投影區(qū)域為Dxy,z=z(x,y)在Dxy上含有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),f(x,y,z)在Σ上連續(xù),則有公式假如曲面Σ投影到y(tǒng)Oz或zOx面,則有下述計算曲面積分公式10/19

定理3設(shè)f(x,y,z)與Σ滿足定理2條件,若f(x,y,z)=f(x,y,-z),Σ關(guān)于xOy對稱,Σ1表示Σ位于xOy面上方部分,則有若f(x,y,z)=

f(x,y,

z),則有11/19例1求其中Σ為平面中解出在第一卦限中部分.將Σ在xOy面上投影區(qū)域記為Dxy,如圖9-512/19圖9-513/19例2求其中

:x2+y2=R2,0

z

h(R>0)

解法1把Σ分成前后兩部分Σ1與Σ2,則Dyz:-R

y

R,0

z

h解法2面積微分dS=2

Rdz,故14/19設(shè)有一分布著質(zhì)量光滑曲面Σ,在點(diǎn)(x,y,z)處面密度為連續(xù)函數(shù)f(x,y,z),利用微元分析法不難推得下面各公式.四、對面積曲面積分應(yīng)用質(zhì)量設(shè)重心為則15/19轉(zhuǎn)動慣量式中Ix,Iy,Iz,Io,分別表示曲面對x軸,y軸,z軸以及原點(diǎn)轉(zhuǎn)動慣量.16/19例3求拋物面殼質(zhì)量此殼面密度為μ=z.所求質(zhì)量為17/