二十七 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

PAGE9-二十七拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共30分，多選題全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分)1．若點(diǎn)P到點(diǎn)(0，2)的距離比它到直線y＝－1的距離大1，則點(diǎn)P的軌跡方程為()A．y2＝4xB．x2＝4yC．y2＝8xD．x2＝8y【解析】選D.因?yàn)辄c(diǎn)P到點(diǎn)(0，2)的距離比它到直線y＝－1的距離大1，所以點(diǎn)P到點(diǎn)(0，2)的距離等于它到直線y＝－2的距離，所以點(diǎn)P的軌跡是以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2))為焦點(diǎn)，y＝－2為準(zhǔn)線的拋物線，則點(diǎn)P的軌跡方程是x2＝8y.【補(bǔ)償訓(xùn)練】動點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))到點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，0))的距離比它到直線x＋2＝0的距離大1，則動點(diǎn)P的軌跡是().A．橢圓 B．雙曲線C．雙曲線的一支 D．拋物線【解析】選D.因?yàn)閯狱c(diǎn)到點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，0))的距離比它到直線x＝－2的距離大1，所以動點(diǎn)到點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，0))的距離等于它到直線x＝－3的距離，所以由拋物線的定義知：該動點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，0))為焦點(diǎn)，以直線x＝－3為準(zhǔn)線的拋物線．2．(多選題)已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上的點(diǎn)P(m，－2)到焦點(diǎn)的距離為4，則m的值為()A．4B．－2C．－4D．2【解析】選AC.由題可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－2py(p>0)，由定義知點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為4，故eq\f(p,2)＋2＝4，所以p＝4，所以x2＝－8y.將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入x2＝－8y，得m＝±4.3．在拋物線y2＝－4x上有一點(diǎn)P，P到橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,15)＝1左頂點(diǎn)的距離最小，這個(gè)最小值為()A．2eq\r(3)B．2＋eq\r(3)C．eq\r(3)D．2－eq\r(3)【解析】選A．設(shè)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))，橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,15)＝1左頂點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，0))，所以P到橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,15)＝1左頂點(diǎn)的距離為d＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋4))2＋y2)，而y2＝－4x，所以d＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋4))2＋y2)＝eq\r(x2＋4x＋16)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋2))2＋12)≥2eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－2時(shí)取等號，即P到橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,15)＝1左頂點(diǎn)的距離的最小值為2eq\r(3).4．已知拋物線Z：x2＝4y的焦點(diǎn)為F，圓F：x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－1))2＝4與拋物線Z在第一象限的交點(diǎn)為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(m2,4)))，直線l：x＝teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<t<m))與拋物線Z的交點(diǎn)為A，直線l與圓F在第一象限的交點(diǎn)為B，則△FAB周長的取值范圍為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，5))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，6))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，7))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，8))【解析】選B.由拋物線x2＝4y得：Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))，準(zhǔn)線為y＝－1；設(shè)x＝t與y＝－1交于點(diǎn)D，由拋物線定義知：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AD))；由圓F：x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－1))2＝4知：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF))＝2；由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝4y，,x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－1))2＝4，,x>0，y>0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1，))即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1))，則m＝2，設(shè)Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xB，yB))，因?yàn)?<t<m＝2，所以1<yB<3，所以△FAB的周長為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AD))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BD))＝2＋yB＋1＝y(tǒng)B＋3，因?yàn)閥B＋3∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，6))，所以△FAB周長的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，6)).5．拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線方程為y＝－1，則實(shí)數(shù)a的值是()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,4)D．－eq\f(1,2)【解析】選A．由條件知a≠0，則y＝ax2可以變形為x2＝eq\f(1,a)y，由于準(zhǔn)線是y＝－1，可知a＞0，拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為x2＝2py(p＞0)，2p＝eq\f(1,a)，則p＝eq\f(1,2a)，又由于－eq\f(p,2)＝－1，知p＝2，所以eq\f(1,2a)＝2，解得a＝eq\f(1,4).6．已知直線l與拋物線y2＝8x交于A，B兩點(diǎn)，且直線l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(8，8)，則線段AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是()A．eq\f(25,4)B．eq\f(25,2)C．eq\f(25,8)D．25【解析】選A．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，直線l的方程為y＝eq\f(4,3)(x－2).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(4,3)（x－2），,y2＝8x))得B點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－2))，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝2＋8＋2＋eq\f(1,2)＝eq\f(25,2)，所以線段AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為eq\f(25,4).二、填空題(每小題5分，共10分)7．一種衛(wèi)星接收天線如圖所示，其曲面與軸截面的交線為拋物線．在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到信號裝置(信號裝置安裝在拋物線的焦點(diǎn)處).已知接收天線的口徑(直徑)為5m，深度為1m，則信號裝置與衛(wèi)星接收天線中心O的距離為________．【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系：設(shè)拋物線的方程為y2＝2pxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p>0))，利用已知條件可得：點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,2)))在拋物線上，所以eq\f(25,4)＝2p，則eq\f(p,2)＝eq\f(25,16)，所以信號裝置與衛(wèi)星接收天線中心O的距離為eq\f(25,16)m.答案：eq\f(25,16)m8．已知兩個(gè)點(diǎn)A(－2，0)，B(2，0)，在x軸上任取一點(diǎn)P，過P作x軸的垂線m，則以B為圓心，以線段AP的長為半徑的圓與直線m的交點(diǎn)的軌跡方程為______．【解析】方法一：設(shè)點(diǎn)M是軌跡上任意點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線l：x＝－2的垂線，垂足為N，連接MB，則MN＝MB，所以根據(jù)拋物線的定義可得點(diǎn)M的軌跡是以l：x＝－2為準(zhǔn)線，以B為焦點(diǎn)的拋物線，所以p＝4，所以軌跡方程為y2＝8x.方法二：設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，縱坐標(biāo)為y，在直角三角形BPM中，由勾股定理得MP2＝AP2－BP2，所以y2＝(x＋2)2－(x－2)2＝8x，所以軌跡方程為y2＝8x.答案：y2＝8x三、解答題(每小題10分，共20分)9．已知動點(diǎn)P(x，y)(x≥0)到定點(diǎn)F(2，0)的距離減去到y(tǒng)軸的距離等于2.(1)求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)過F作斜率為k的直線l與軌跡C相交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中垂線與x軸相交于N，求eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF))·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(NF)))的值．【解析】(1)根據(jù)題意可知，點(diǎn)P(x，y)(x≥0)到定點(diǎn)F(2，0)的距離等于它到直線x＝－2的距離，所以動點(diǎn)P的軌跡為拋物線，由eq\f(p,2)＝2可得p＝4，即軌跡C的方程為y2＝8x.(2)設(shè)直線l：x＝my＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m≠0))，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，y1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，y2))，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝my＋2，,y2＝8x))可得，y2－8my－16＝0，所以y1＋y2＝8m，y1y2＝－16，x1x2＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y1y2))2,64)＝4，x1＋x2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(my1＋2))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(my2＋2))＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y1＋y2))＋4＝8m2＋4，于是eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋2))＝x1x2＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋x2))＋4＝4＋16m2＋8＋4＝16eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m2＋1))，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4m2＋2，4m))，所以線段AB的中垂線方程為y－4m＝－m·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4m2＋2))))，令y＝0，可得Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4m2＋6，0))，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(NF))＝4m2＋4，故eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF))·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(NF)))＝eq\f(16\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m2＋1)),4m2＋4)＝4.10．已知動點(diǎn)P到點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))的距離比到直線x＝－eq\f(5,4)的距離小1.(1)求動點(diǎn)P的軌跡E的方程．(2)已知直線l與E交于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，若|AB|＝4，求點(diǎn)M到直線x＝－eq\f(5,4)距離的最小值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．【解析】(1)因?yàn)閯狱c(diǎn)P到點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))的距離比到直線x＝－eq\f(5,4)的距離小1，所以動點(diǎn)P到點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))的距離等于它到直線x＝－eq\f(1,4)的距離，所以由拋物線的定義得動點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))為焦點(diǎn)、以直線x＝－eq\f(1,4)為準(zhǔn)線的拋物線，且焦準(zhǔn)距為p＝eq\f(1,2)，所以動點(diǎn)P的軌跡E的方程為y2＝x.(2)過點(diǎn)M作直線x＝－eq\f(5,4)的垂線，垂足為N，交準(zhǔn)線于C，過A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A1，B1，則|MN|＝|MC|＋1＝eq\f(1,2)(|AA1|＋|BB1|)＋1＝eq\f(1,2)(|AF|＋|BF|)＋1≥eq\f(1,2)|AB|＋1＝3，所以點(diǎn)M到直線x＝－eq\f(5,4)距離的最小值是3，當(dāng)且僅當(dāng)A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)取等號，設(shè)AB方程為x＝ky＋eq\f(1,4)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ky＋\f(1,4)，,y2＝x，))所以y2－ky－eq\f(1,4)＝0，所以4y2－4ky－1＝0，所以y1＋y2＝k，y1y2＝－eq\f(1,4)，所以(y1－y2)2＝k2－4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝k2＋1，(x1－x2)2＝k2(y1－y2)2＝k2(k2＋1)，所以|AB|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)＝k2＋1＝4，所以k＝±eq\r(3)，又Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(k（y1＋y2）＋\f(1,2),2)＝eq\f(k2＋\f(1,2),2)＝eq\f(3＋\f(1,2),2)＝eq\f(7,4)，eq\f(y1＋y2,2)＝eq\f(k,2)＝±eq\f(\r(3),2)，所以M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,4)，±\f(\r(3),2))).(30分鐘50分)一、選擇題(每小題5分，共20分，多選題全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分)1．已知P為拋物線y2＝4x上一個(gè)動點(diǎn)，Q為圓x2＋(y－4)2＝1上一個(gè)動點(diǎn)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線距離之和的最小值是()A．2eq\r(5)－1B．2eq\r(5)－2C．eq\r(17)－1D．eq\r(17)－2【解析】選C.由拋物線定義可知，點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離可轉(zhuǎn)化為其到焦點(diǎn)F的距離，即求|PQ|＋|PF|的最小值．設(shè)圓的圓心為點(diǎn)C，因?yàn)閨PQ|≥|PC|－1，所以|PQ|＋|PF|≥|PC|－1＋|PF|≥|FC|－1＝eq\r(17)－1，故選C.2．若拋物線x2＝8y上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為8，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為()A．6B．±6C．7D．±4eq\r(3)【解析】選A．設(shè)點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))，因?yàn)閽佄锞€方程為x2＝8y，所以其準(zhǔn)線方程為y＝－2，又因?yàn)閽佄锞€上點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為8，由拋物線的定義得：y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2))＝8，即y＝6，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為6.3．(多選題)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|＝5.若以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0，2)，則C的方程可能為()A．y2＝x B．y2＝2xC．y2＝4x D．y2＝16x【解析】選CD.易知拋物線的焦點(diǎn)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)).由拋物線的定義，得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(p,2)，\r(2p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(p,2)))))).設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2).因?yàn)閳A過點(diǎn)N(0，2)，所以NF⊥NM，即eq\f(2,－\f(p,2))×eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(p,2))))－2)),5－\f(p,2))＝－1.①設(shè)eq\r(p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(p,2))))＝t，則①式可化為t2－4eq\r(2)t＋8＝0，解得t＝2eq\r(2)，即p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8.故拋物線的方程可能為y2＝4x或y2＝16x.4．如果P1，P2，…，Pn是拋物線C：y2＝4x上的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為x1，x2，…，xn，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)，若x1＋x2＋…＋xn＝10，則|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|等于()A．n＋10 B．n＋20C．2n＋10 D．2n＋20【解析】選A．由拋物線的方程y2＝4x可知其焦點(diǎn)為(1，0)，準(zhǔn)線為x＝－1，由拋物線的定義可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|PnF|＝xn＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝x1＋1＋x2＋1＋…＋xn＋1＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n、＝n＋10.二、填空題(每小題5分，共10分)5．已知M是拋物線x2＝4y上一點(diǎn)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，點(diǎn)A在圓C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，則|MA|＋|MF|的最小值是________．【解析】依題意，由點(diǎn)M向拋物線x2＝4y的準(zhǔn)線l：y＝－1引垂線，垂足為M1(圖略)，則有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，結(jié)合圖形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圓心C(－1，5)到y(tǒng)＝－1的距離再減去圓C的半徑，即等于6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5.答案：56．若拋物線y2＝2x上一點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為eq\r(3)，則點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)的距離為________.【解析】設(shè)M(x，y)，則由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝2x，,x2＋y2＝3，))得x2＋2x－3＝0.解得x＝1或x＝－3(舍).所以點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)的距離d＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)三、解答題(每小題10分，共20分)7．某隧道橫斷面由拋物線及矩形的三邊組成，尺寸如圖所示，某卡車空車時(shí)能通過此隧道，現(xiàn)載一集裝箱，箱寬3米，車與箱共高4.5米，問此車能否通過此隧道？說明理由．【解析】不能．理由如下：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B(－3，－3)，A(3，－3).設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p＞0)，將B點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得9＝－2p·(－3)，所以p＝eq\f(3,2)，所以拋物線方程為x2＝－3y(－3≤y≤0).因?yàn)檐嚺c箱共高4