2020春浙教版八年級數(shù)學(xué)下冊課件：四邊形中常用輔助線專題訓(xùn)練(共43張PPT)

八年級數(shù)學(xué)(下)——測試卷(二十四)

四邊形中常用輔助線專題訓(xùn)練一、平行四邊形有關(guān)的輔助線作法1．如圖，已知點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的對角線AC的中點(diǎn)，四邊形OCDE是平行四邊形．求證：OE與AD互相平分．1．證明：連結(jié)AE、OD，因為四邊形OCDE是平行四邊形，所以O(shè)C∥DE，OC＝DE，因為O是AC的中點(diǎn)，所以AO∥ED，AO＝ED，所以四邊形AODE是平行四邊形，所以AD與OE互相平分．2．平行四邊形的其中一個判定定理是：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．請你證明這個判定定理．已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC.求證：四邊形ABCD是平行四邊形．證明：2．證明：連接AC，如圖所示：可證△ABC≌△CDA(SSS)，∴∠BAC＝∠DCA，∠ACB＝∠CAD，∴AB∥CD，BC∥AD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．3．如圖，在△ABC中，E，F(xiàn)為AB上兩點(diǎn)，AE＝BF，ED//AC，F(xiàn)G//AC交BC分別為D，G.求證：ED＋FG＝AC.3．證明：過點(diǎn)E作EH∥BC，交AC于H，因為ED∥AC，所以四邊形CDEH是平行四邊形，所以ED＝HC，又FG∥AC，EH∥BC，所以∠AEH＝∠B，∠A＝∠BFG，又AE＝BF，所以△AEH≌△FBG，所以AH＝FG，所以FG＋DE＝AH＋HC＝AC.4．在?ABCD中，BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)E.如圖，過點(diǎn)A作AF⊥DC，交DC的延長線于點(diǎn)F，分別交BE，BC于點(diǎn)G，H，且AB＝AE.求證：ED－AG＝FC.4．證明：作AQ⊥BE交DF的延長線于P，垂足為Q，連接PB，PE，∵AB＝AE，AQ⊥BE，∴∠ABE＝∠AEB，BQ＝EQ，∴PB＝PE，∴∠PBE＝∠PEB，∴∠ABP＝∠AEP，∵AB∥CD，AF⊥CD，∴AF⊥AB，∴∠BAF＝90°，∵AQ⊥BE，∴∠ABG＝∠FAP，可證△ABG≌△FAP(ASA)，∴AG＝FP，∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠ABP＋∠BPC＝180°，∠BCP＝∠D，∵∠AEP＋∠PED＝180°，∴∠BPC＝∠PED，可證△BPC≌△PED(AAS)，∴PC＝ED，∴ED－AG＝PC－AG＝PC－FP＝FC.二、與矩形有關(guān)的輔助線作法．

名師點(diǎn)撥和矩形有關(guān)的題型一般有兩種：(1)計算型題，一般通過作輔助線構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題；(2)證明或探索題，一般連結(jié)矩形的對角線借助對角線相等這一性質(zhì)解決問題．5．如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD的對角線AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作EF∥BC，分別交AB，CD于E，F(xiàn)，連接PB，PD.若AE＝2，PF＝8.求圖中陰影部分的面積．6．如圖，已知矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)P，PA＝3，PB＝4，PC＝5.求PD的長．6．過點(diǎn)P分別作兩組對邊的平行線EF，GH交AB于E，交CD于F，交BC于點(diǎn)H，交AD于G.因為四邊形ABCD是矩形，所以PF2＝CH2＝PC2－PH2，DF2＝AE2＝AP2－EP2，PH2＋PE2＝BP2，所以PD2＝PC2－PH2＋AP2－EP2＝PC2＋AP2－PB2＝52＋32－42＝18，7．如圖，矩形EFGH的頂點(diǎn)E，G分別在菱形ABCD的邊AD，BC上，頂點(diǎn)F，H在菱形ABCD的對角線BD上．若E為AD中點(diǎn)，F(xiàn)H＝2，求菱形ABCD的周長．7．連接EG，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E為AD中點(diǎn)，∴AE＝ED，易證△DEH≌△BGF，∴BG＝DE，∴AE＝BG，AE∥BG，∴四邊形ABGE是平行四邊形，∴AB＝EG，∵EG＝FH＝2，∴AB＝2，∴菱形ABCD的周長＝8.8．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，BC，CD，DA(不包括端點(diǎn))上運(yùn)動，且滿足AE＝CG，AH＝CF.(1)求證：△AEH≌△CGF；(2)試判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由．(3)請?zhí)骄克倪呅蜤FGH的周長一半與矩形ABCD一條對角線長的大小關(guān)系，并說明理由．證明：(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C.可證△AEH≌△CGF(SAS)；(2)∵由(1)知，△AEH≌△CGF，則EH＝GF，同理證得△EBF≌△GDH，則EF＝GH，∴四邊形EFGH是平行四邊形；(3)四邊形EFGH的周長一半大于或等于矩形ABCD一條對角線長度．理由如下：作G關(guān)于BC的對稱點(diǎn)G′，連接EG′，可得EG′的長度就是EF＋FG的最小值．連接AC，∵CG′＝CG＝AE，AB∥CG′，∴四邊形AEG′C為平行四邊形，∴EG′＝AC.在△EFG′中，∵EF＋FG′≥EG′＝AC，∴四邊形EFGH的周長一半大于或等于矩形ABCD一條對角線長度．三、和菱形有關(guān)的輔助線的作法

名師點(diǎn)撥和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線，借助菱形的判定定理或性質(zhì)定定理解決問題．

9．如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，將菱形ABCD繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，對應(yīng)得到菱形AEFG，點(diǎn)E在AC上，EF與CD交于點(diǎn)P，求DP的長．10．如圖，已知A，F(xiàn)，C，D四點(diǎn)在同一條直線上，AF＝CD，AB∥DE，且AB＝DE.若EF＝3，DE＝4，∠DEF＝90°，求當(dāng)四邊形EFBC為菱形時，AF的長度．11．如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，且BE＝DF.(1)求證：?ABCD是菱形；(2)若AB＝5，AC＝6，求?ABCD的面積．11．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B＝∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，∵BE＝DF，∴△AEB≌△AFD∴AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形；12．如圖，四邊形ABCD是菱形，E為邊AB上一個定點(diǎn)，F(xiàn)是AC上一個動點(diǎn)，求證：EF＋BF的最小值等于DE長．12．證明：連結(jié)BD，DF.因為AC，BD是菱形的對角線，所以AC垂直BD且平分BD，所以BF＝DF，所以EF＋BF＝EF＋DF≥DE，當(dāng)且僅當(dāng)F運(yùn)動到DE與AC的交點(diǎn)G處時，上式等號成立，所以EF＋BF的最小值恰好等于DE的長．四、正方形的有關(guān)輔助線

名師點(diǎn)撥正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，有關(guān)正方形的試題較多．解決正方形的問題有時需要作輔助線，作正方形對角線是解決正方形問題的常用輔助線．13．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G在對角線BD上(不與點(diǎn)B，D重合)，GE⊥DC于點(diǎn)E，GF⊥BC于點(diǎn)F，連結(jié)AG.(1)寫出線段AG，GE，GF長度之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)若正方形ABCD的邊長為1，∠AGF＝105°，求線段BG的長．13．(1)證明：連接GC，由正方形的性質(zhì)知AD＝CD，∠ADG＝∠CDG，可證△ADG≌△CDG，∴AG＝CG，由題意知∠GEC＝∠GFC＝∠DCB＝90°，∴四邊形GFCE是矩形，∴GF＝EC.在Rt△GEC中，根據(jù)勾股定理，得GC2＝GE2＋EC2，∴AG2＝GE2＋GF2；14．在正方形ABCD中，對角線BD所在的直線上有兩點(diǎn)E，F(xiàn)滿足BE＝DF，連接AE，AF，CE，CF，如圖所示．(1)求證：△ABE≌△ADF；(2)試判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由．14．證明：(1)∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠ABE＝∠ADF，可證△ABE≌△ADF(SAS)；(2)連接AC，四邊形AECF是菱形．理由：∵正方形ABCD，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥EF，∴OB＋BE＝OD＋DF，即OE＝OF，∵OA＝OC，OE＝OF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵AC⊥EF，∴四邊形AECF是菱形．15．如圖，正方形ABCD的對角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC上(AE＜BE)，且∠EOF＝90°，OE，DA的延長線交于點(diǎn)M，OF，AB的延長線