高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件市賽課一等獎?wù)n件

第一章函數(shù)與極限復(fù)習(xí)主要內(nèi)容回顧經(jīng)典例題1/79（一）函數(shù)定義（二）極限概念（三）連續(xù)概念一、主要內(nèi)容2/79函數(shù)定義反函數(shù)隱函數(shù)反函數(shù)與直接函數(shù)之間關(guān)系基本初等函數(shù)復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)函數(shù)性質(zhì)單值與多值奇偶性單調(diào)性有界性周期性3/791、函數(shù)定義4/79函數(shù)分類函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)(分段函數(shù),有沒有窮多項(xiàng)等函數(shù))代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)有理函數(shù)無理函數(shù)有理整函數(shù)(多項(xiàng)式函數(shù))有理分函數(shù)(分式函數(shù))5/79(1)單值性與多值性:2、函數(shù)性質(zhì)6/79(2)函數(shù)奇偶性:偶函數(shù)奇函數(shù)yxo7/79(3)函數(shù)單調(diào)性:

設(shè)函數(shù)f(x)定義域?yàn)镈，區(qū)間ID，假如對于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)及，當(dāng)時(shí)，恒有：(1),則稱函數(shù)在區(qū)間I上是單調(diào)增加；或(2),則稱函數(shù)在區(qū)間I上是單調(diào)遞減；單調(diào)增加和單調(diào)降低函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。8/79(4)函數(shù)有界性:9/79設(shè)函數(shù)f(x)定義域?yàn)镈，假如存在一個不為零數(shù)l,使得對于任一,有.且f(x+l)=f(x)恒成立,則稱f(x)為周期函數(shù),l稱為f(x)周期.（通常說周期函數(shù)周期是指其最小正周期）.(5)函數(shù)周期性:oyx10/793、反函數(shù)4、隱函數(shù)11/795、反函數(shù)與直接函數(shù)之間關(guān)系12/796、基本初等函數(shù)1）冪函數(shù)2）指數(shù)函數(shù)3）對數(shù)函數(shù)4）三角函數(shù)5）反三角函數(shù)13/797、復(fù)合函數(shù)8、初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次函數(shù)復(fù)合步驟所組成并可用一個式子表示函數(shù),稱為初等函數(shù).14/79左右極限兩個主要極限求極限慣用方法無窮小性質(zhì)極限存在充要條件判定極限存在準(zhǔn)則無窮小比較極限性質(zhì)數(shù)列極限函數(shù)極限等價(jià)無窮小及其性質(zhì)唯一性無窮小二者關(guān)系無窮大15/791、極限定義16/7917/79左極限右極限18/79無窮小:極限為零變量稱為無窮小.絕對值無限增大變量稱為無窮大.無窮大:在同一過程中,無窮大倒數(shù)為無窮小;恒不為零無窮小倒數(shù)為無窮大.無窮小與無窮大關(guān)系2、無窮小與無窮大19/79定理1在同一過程中,有限個無窮小代數(shù)和仍是無窮小.定理2有界函數(shù)與無窮小乘積是無窮小.推論1在同一過程中,有極限變量與無窮小乘積是無窮小.推論2常數(shù)與無窮小乘積是無窮小.推論3有限個無窮小乘積也是無窮小.無窮小運(yùn)算性質(zhì)20/79定理推論1推論23、極限性質(zhì)21/794、求極限慣用方法a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.22/795、判定極限存在準(zhǔn)則(夾逼準(zhǔn)則)23/79(1)(2)6、兩個主要極限24/79定義:7、無窮小比較25/79定理(等價(jià)無窮小替換定理)8、等價(jià)無窮小性質(zhì)9、極限唯一性26/79左右連續(xù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)連續(xù)函數(shù)性質(zhì)初等函數(shù)連續(xù)性間斷點(diǎn)定義連續(xù)定義連續(xù)充要條件連續(xù)函數(shù)運(yùn)算性質(zhì)非初等函數(shù)連續(xù)性振蕩間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)第一類第二類27/791、連續(xù)定義28/79定理3、連續(xù)充要條件2、單側(cè)連續(xù)29/794、間斷點(diǎn)定義30/79(1)跳躍間斷點(diǎn)(2)可去間斷點(diǎn)5、間斷點(diǎn)分類31/79跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).特點(diǎn):可去型第一類間斷點(diǎn)跳躍型0yx0yx32/790yx無窮型振蕩型第二類間斷點(diǎn)0yx第二類間斷點(diǎn)33/796、閉區(qū)間連續(xù)性7、連續(xù)性運(yùn)算性質(zhì)定理34/79定理1

嚴(yán)格單調(diào)連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)連續(xù)反函數(shù).定理28、初等函數(shù)連續(xù)性定理335/79定理4基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù).定理5一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù).定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)區(qū)間.9、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值.36/79定理2(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.37/79推論在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間任何值.38/79第二章復(fù)習(xí)主要內(nèi)容回顧39/79求導(dǎo)法則基本公式導(dǎo)數(shù)微分關(guān)系高階導(dǎo)數(shù)高階微分一、主要內(nèi)容40/791、導(dǎo)數(shù)定義定義41/792.右導(dǎo)數(shù):單側(cè)導(dǎo)數(shù)1.左導(dǎo)數(shù):42/792、基本導(dǎo)數(shù)公式（常數(shù)和基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式）43/793、求導(dǎo)法則(1)函數(shù)和、差、積、商求導(dǎo)法則(2)反函數(shù)求導(dǎo)法則44/79(3)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則(4)對數(shù)求導(dǎo)法先在方程兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).適用范圍:45/79(5)隱函數(shù)求導(dǎo)法則用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo).(6)參變量函數(shù)求導(dǎo)法則46/794、高階導(dǎo)數(shù)記作二階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),(二階和二階以上導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù))47/795、微分定義定義(微分實(shí)質(zhì))48/796、導(dǎo)數(shù)與微分關(guān)系定理7、微分求法求法:計(jì)算函數(shù)導(dǎo)數(shù),乘以自變量微分.49/79基本初等函數(shù)微分公式50/79函數(shù)和、差、積、商微分法則8、微分基本法則微分形式不變性51/79第三章微分中值定理及其應(yīng)用-復(fù)習(xí)內(nèi)容回顧52/79洛必達(dá)法則Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理單調(diào)性,極值與最值,凹凸性,拐點(diǎn).導(dǎo)數(shù)應(yīng)用一、主要內(nèi)容53/791、羅爾中值定理54/792、拉格朗日中值定理有限增量公式.55/793、柯西中值定理推論56/794、洛必達(dá)法則定義這種在一定條件下經(jīng)過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值方法稱為洛必達(dá)法則.關(guān)鍵:將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可處理類型.注意：洛必達(dá)法則使用條件.57/795、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用定理(1)函數(shù)單調(diào)性判定法58/79定義(2)函數(shù)極值及其求法59/79定理(必要條件)定義函數(shù)極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值點(diǎn)稱為極值點(diǎn).極值是函數(shù)局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn).60/79定理(第一充分條件)定理(第二充分條件)61/79求極值步驟:62/79步驟:1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)函數(shù)值,比較大小,那個大那個就是最大值,那個小那個就是最小值;注意:假如區(qū)間內(nèi)只有一個極值,則這個極值就是最值.(最大值或最小值)(3)最大值、最小值問題63/79實(shí)際問題求最值應(yīng)注意:1)建立目標(biāo)函數(shù);2)求最值;(4)曲線凹凸與拐點(diǎn)定義64/7965/79定理166/79方法1:方法2:67/79第四章復(fù)習(xí)主要內(nèi)容68/79積分法原函數(shù)選擇u有效方法基本積分表第一換元法第二換元法直接積分法分部積分法不定積分一、主要內(nèi)容69/791、原函數(shù)定義原函數(shù)存在定理即：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)．70/792、不定積分(1)定義71/79(2)微分運(yùn)算與求不定積分運(yùn)算是互逆.(3)不定積分性質(zhì)72/793、基本積分表是常數(shù))73/7974/795、第一類換元法4、直接積分法第一類換元公式（湊微分法）由定義直