渾水潛流動(dòng)量方程的解析解

渾水潛流動(dòng)量方程的解析解

1對(duì)推進(jìn)重新理解的普及法的解釋沙位法是泥沙運(yùn)動(dòng)力學(xué)的中心主題之一。它對(duì)輸送沙水流的泥沙運(yùn)輸、基質(zhì)和底邊界條件具有重要意義和價(jià)值。它還關(guān)系到河流、河口和海洋泥沙運(yùn)動(dòng)以及底板和土壤之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。為此很多研究人員對(duì)挾沙力問(wèn)題從不同角度進(jìn)行了探討和研究［1－7］,取得了大量的研究成果,促進(jìn)了對(duì)挾沙力問(wèn)題認(rèn)識(shí)的提高。關(guān)于挾沙力與各物理量的關(guān)系已經(jīng)進(jìn)行過(guò)大量的探討,基本方法包括經(jīng)驗(yàn)分析、因次分析和能量平衡等方法。由于影響挾沙力的各種要素的多樣性和相互關(guān)系的復(fù)雜性,以及認(rèn)知方式、研究方法、水域特征、資料來(lái)源的差異,導(dǎo)致現(xiàn)有的挾沙力公式種類繁多、結(jié)構(gòu)各異。僅從動(dòng)力影響因子流速來(lái)看,指數(shù)從0.0~4.0范圍存在著大量不同的用于不同水域的量化公式,這還不包含泥沙本身特性的相關(guān)因子的影響。目前被人們普遍認(rèn)可的挾沙能力統(tǒng)一公式并不多見(jiàn)［6］,從理論上嚴(yán)格導(dǎo)出挾沙力公式并解釋挾沙力公式形式多樣的原因,還沒(méi)有見(jiàn)到報(bào)道。本文從渾水潛流動(dòng)量方程［8］出發(fā),根據(jù)最小能耗率原理［9］對(duì)挾沙力的一般形式進(jìn)行了推導(dǎo)和分析,并根據(jù)推導(dǎo)所得挾沙力公式,解釋現(xiàn)有挾沙力公式的多樣性。最后根據(jù)Grass［10］的方法,將所得一般關(guān)系推廣應(yīng)用到海洋挾沙力的計(jì)算公式,并用實(shí)測(cè)資料對(duì)推得的公式進(jìn)行了驗(yàn)證和比較,其結(jié)果與河流和海洋中的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)吻合很好。2計(jì)算公式與測(cè)量方法Parker等［8，11］根據(jù)流體質(zhì)量守恒和動(dòng)量守恒定律導(dǎo)出了渾水潛流方程中的動(dòng)量平衡方程為式中u為垂向平均流速;D為渾水潛流層厚度;R=ρs/ρ-1,ρs為泥沙顆粒密度,ρ為水體密度;g為重力加速度;c為垂向平均體積含沙量;S為底坡,,對(duì)于大多數(shù)河流情況S遠(yuǎn)小于1,η為床面坐標(biāo);CD為阻力系數(shù);x為沿床面方向坐標(biāo);t為時(shí)間。將渾水潛流動(dòng)量方程(1)延拓到整個(gè)含沙水流水深,即D→h,h為水深,則式(1)成為式(2)在穩(wěn)定均勻渾水流動(dòng)情況下為由式(3)可以得到根據(jù)式(4)質(zhì)量含沙量C可以表示為值得注意的是式(5)的推導(dǎo)過(guò)程與含沙量的高低無(wú)關(guān),也就是說(shuō),式(5)對(duì)于高低含沙量都適用。平衡狀態(tài)下,水流系統(tǒng)遵守最小能耗率原理［9］,即式中α為常數(shù),式(6)表明在平衡條件下無(wú)量綱單位流功最小且為常數(shù),則進(jìn)而式(5)成為CD是一個(gè)與流體的雷諾數(shù)和床面相對(duì)糙率高度有關(guān)的函數(shù),其范圍一般在0.001~0.01內(nèi),在缺乏資料的條件下,可取0.0025近似代替［12］。對(duì)于天然情況,阻力系數(shù)可以用冪函數(shù)形式表示式中p和q為無(wú)量綱常數(shù);z0為糙率高度;u*為摩阻速度。Soulsby［12］給出的阻力系數(shù)關(guān)系與大量的實(shí)測(cè)和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合很好,在河流和海洋水動(dòng)力計(jì)算中得到了廣泛的應(yīng)用,其表達(dá)式可以寫成Christoffersen和Jonson［13］提出的糙率高度公式與Nikuradse的試驗(yàn)結(jié)果吻合很好,其形式為式中ν為運(yùn)動(dòng)黏滯系數(shù);ks為Nikuradse糙率高度。Colebrook和White［14］提出的精度相對(duì)較低的簡(jiǎn)單形式為式(8)與確定條件式(10)和式(11)或式(12)一起即為一般形式的挾沙力公式。對(duì)于紊流粗糙區(qū)水流,即u*ks/ν>70,式(12)成為z0=ks/30;對(duì)于紊流光滑區(qū)水流,即u*ks/ν<5,式(12)成為z0=ν/9u*;對(duì)于紊流過(guò)渡區(qū)水流,即5<u*ks/ν<70,應(yīng)滿足式(11)或式(12)。一般情況下,淤泥質(zhì)或平坦的沙質(zhì)底床上的流動(dòng)可以視為紊流光滑區(qū)或過(guò)渡區(qū),粗沙或礫石底床上的流動(dòng)為紊流粗糙區(qū)［12］。為了數(shù)學(xué)上處理的方便,常將所有的沙質(zhì)底床上的流動(dòng)視為紊流粗糙區(qū)。在粒徑大于60μm時(shí),這種簡(jiǎn)化近似用于計(jì)算臨界流速以上的所有摩阻速度u*的誤差小于10%。3與其他截沙公式的比較根據(jù)水流紊動(dòng)流特性,針對(duì)根據(jù)阻力系數(shù)CD在不同流區(qū)的取值對(duì)式(8)進(jìn)一步討論并與其他挾沙力公式進(jìn)行比較。很明顯,式(8)中不含泥沙起動(dòng)流速項(xiàng),從物理意義上講,無(wú)論水流流速是否達(dá)到泥沙起動(dòng)流速,其挾沙能力都是存在的,泥沙起動(dòng)流速只是作為挾沙能力的外部條件。3.1泥質(zhì)底床在層流區(qū),由于CD=3/Re［15，16］,Re為水流雷諾數(shù),則式(8)成為根據(jù)紊流理論,淤泥質(zhì)海床底邊界層內(nèi)流體基本處于層流狀態(tài),而挾沙力與近底含沙量在整個(gè)水深的平均值成比例關(guān)系,故式(13)理論上可用于淤泥質(zhì)底床。式中F=D0/(DK+a/DK)為泥沙因子,D0=0.11mm為特定粒徑,a=0.0024mm2為特定面積,DK為大于等于0.03mm的泥沙粒徑,V1為潮流時(shí)空平均流速,V2為平均波動(dòng)流速。式(14)的單純潮流作用的簡(jiǎn)單形式為C=0.0273ρsV21/(gh)。劉家駒公式是在總結(jié)連云港和天津港海域的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上分析得出的經(jīng)驗(yàn)公式,在上述海域得到了廣泛的驗(yàn)證和應(yīng)用并載入《海港水文規(guī)范》。式(13)說(shuō)明劉家駒公式從理論上完全可以推導(dǎo)得出,其系數(shù)應(yīng)該不是常數(shù)。從式(13)的推導(dǎo)條件來(lái)看,河流中緩慢流動(dòng)的細(xì)顆粒泥沙的挾沙力應(yīng)該可以采用此式計(jì)算。3.2u3/gh因子的指數(shù)式(16)可以寫成式(17)可以寫成C=K(u3/ωgh)0.92即為韓其為［17］挾沙力公式,韓其為的公式是用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)得出的。由式(17)可見(jiàn),u3/ωgh因子的指數(shù)為11/12≈0.92時(shí),水流流動(dòng)應(yīng)在紊流光滑區(qū)。泥沙粒徑與水深的比值一般在10－8~10－3內(nèi),阻力系數(shù)變動(dòng)在紊流光滑區(qū),從而在理論上證實(shí)u3/ωgh因子的指數(shù)多取0.92是合理的,驗(yàn)證實(shí)測(cè)結(jié)果與計(jì)算結(jié)果吻合精度較高。3.3卡東南角公式的簡(jiǎn)介代入式(8)得式(19)與維利卡諾夫公式形式一致。在天然情況下,河流和海水的流動(dòng)多為紊流粗糙區(qū),所以維利卡諾夫公式被廣泛地應(yīng)用。謝才系數(shù)實(shí)質(zhì)上也是一個(gè)與阻力有關(guān)的系數(shù),從理論上講,在不同的流區(qū),謝才系數(shù)的計(jì)算公式是不同的。但謝才公式是根據(jù)實(shí)際明渠資料得到的,而實(shí)際明渠水流絕大多數(shù)為粗糙區(qū)的紊流。對(duì)謝才系數(shù)的研究一般都在紊流粗糙區(qū)內(nèi)進(jìn)行,得到的現(xiàn)有謝才系數(shù)的計(jì)算公式,包括曼寧公式,一般只能適用于紊流粗糙區(qū)。這也導(dǎo)致了式(20)只能用于紊流粗糙區(qū)。3.4阻力系數(shù)與雷諾數(shù)指數(shù)關(guān)系的提出從紊流光滑區(qū)到粗糙區(qū)的阻力系數(shù)與雷諾數(shù)的指數(shù)關(guān)系在-1/4~0范圍內(nèi)變化,阻力系數(shù)可以用該范圍的指數(shù)與雷諾數(shù)逐段擬合。式(21)也可以解釋衍生挾沙力公式的多樣性,將維利卡諾夫公式與劉家駒公式線性組合的挾沙力公式形式,也應(yīng)歸于此類挾沙力公式。從上述分析可知,阻力系數(shù)CD與雷諾數(shù)的指數(shù)關(guān)系從層流區(qū)的-1次方到紊流光滑區(qū)的-1/4次方,再到紊流粗糙區(qū)的0次方,對(duì)應(yīng)挾沙力公式中的u3/ωgh因子的指數(shù)從2/3≈0.67到11/12≈0.92,再到1而成為維利卡諾夫公式。從而說(shuō)明因子u3/ωgh的指數(shù)介于0.67和1之間,范圍小于張瑞瑾認(rèn)為的0.3745到1.43的區(qū)間,超出該范圍的指數(shù)在理論上的合理性需要進(jìn)一步探討。鑒于從層流區(qū)到紊流粗糙區(qū)雷諾數(shù)影響的復(fù)雜性,式(8)阻力系數(shù)的影響可以直接與因子u3/ωgh冪次相關(guān),寫成下面的形式從上面分析可以看出,m為常數(shù),與因子u3/ωgh無(wú)關(guān),m范圍介于0.67和1之間。K為待定常數(shù),其值是水沙特性、水深、沉速的函數(shù),與因子u3/ωgh無(wú)關(guān)。式(22)與張瑞瑾公式形式上完全一致。4討論4.1er公式的求解對(duì)于Manning-Strickler公式,p=0.0474,q=1/3,那么將式(24)代入式(8),得4.2方均根波浪軌道速度urs根據(jù)Grass［10］的方法,如果由于流單獨(dú)作用導(dǎo)致的單寬輸沙率可以表示為式中qc為流單獨(dú)作用下的單寬輸沙率;U為流的速度;AG和n為系數(shù)。則波流聯(lián)合作用的單寬輸沙率可以表示為式中qt為波、流共同作用下的單寬輸沙率;urms為方均根波浪軌道速度;對(duì)于小振幅波動(dòng),G為常數(shù),Grass認(rèn)為G=0.08,Soulsby［12］認(rèn)為G=0.08只適用于urms<U時(shí),對(duì)于沙波底床根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)G可以校正為0.018。根據(jù)Grass的方法,式(8)考慮波、流聯(lián)合作用時(shí)的關(guān)系式為對(duì)于小振幅波式中Hw為波高,L為波長(zhǎng),T為波周期。上述波流聯(lián)合作用挾沙力公式用于海洋中是認(rèn)為潮流為恒定流,這顯然與實(shí)際不符,由于潮流的周期性,上式U應(yīng)改為方均根流速［32］式中Urms為方均根流速或有效速度,在河流中Urms=U。5水文、泥沙、泥沙的實(shí)測(cè)研究采用河流和近岸實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)式(8)進(jìn)行驗(yàn)證,驗(yàn)證情況如圖1和圖2。實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)包括文獻(xiàn)[19-31]中的包括長(zhǎng)江、黃河以及國(guó)外的14條河流3456個(gè)實(shí)測(cè)站位的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)以及浙江和福建海域的舟山、甌江口、臺(tái)州、大漁灣和三門灣海域共30個(gè)海灣和河口的水文、泥沙實(shí)測(cè)站位資料。其中河流中泥沙粒徑的范圍為0.02~7.6mm,近岸泥沙粒徑的范圍為0.0015~0.05mm,近岸實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)均包含大、中、小潮過(guò)程,有效速度由對(duì)應(yīng)完整潮周期內(nèi)的實(shí)測(cè)流速計(jì)算得到。6“紊流粗糙度區(qū)”從理論上導(dǎo)出了挾沙力的一般公式,在不同水流條件下,該公式與劉家駒、張瑞瑾、韓其為、竇國(guó)仁和維利卡諾夫等公式形式一致,也即各挾沙力公式為該式在一定條件下的結(jié)果。論文公式中包含的阻力系數(shù)的不同將導(dǎo)致公式指數(shù)的變化,直接影響到挾沙力的公式形式及計(jì)算,也是各家公式形式上差異的主要原因。式(8)為一般公式,因子u3/ωgh無(wú)需添加指數(shù),張瑞瑾公式中的指數(shù)只是體現(xiàn)在阻力系數(shù)中。從理論上指出張瑞瑾公式中的指數(shù)應(yīng)介于0.67和1之間,縮小了張瑞瑾在實(shí)際中得到的0.3745到1.43的范圍。劉家駒公式應(yīng)適用于淤泥質(zhì)海域,水流為層流或接近層流,且公式前的系數(shù)不為常數(shù),是一個(gè)水流特征(黏滯系數(shù))、泥沙特征(沉速、粒徑)或底床特征(糙率高度)與水深的函數(shù)。指出了韓其為公式指數(shù)為0.92應(yīng)適用于水流流動(dòng)在紊流光滑區(qū)的情況。維利卡諾夫及竇國(guó)仁公式適用于紊流粗糙區(qū)的水流條件,天然河流和一般的明渠水流一般都處于阻力平方區(qū),阻力系數(shù)只取決于邊壁的相對(duì)糙率。式(13)中,取,即,則式(13)與劉家駒單純水流作用的情況相一致。劉家駒公式為同時(shí)考慮潮流和波浪作用的挾沙力公式,其表達(dá)式為在紊流區(qū),阻力系數(shù)采用冪函數(shù)的形式進(jìn)行討論。當(dāng)阻力系數(shù),即時(shí),代入式(8)得對(duì)于紊流光滑區(qū)水流,),阻力系數(shù),代入式(8)得對(duì)于紊流粗糙區(qū)水流,。采用被廣為接受的關(guān)系式ks=2.5d50,那么在紊流粗糙區(qū),CD