空間向量與立體幾何學(xué)案-北京市高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

2024屆北京高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案之《空間向量與立體幾何》知識點(diǎn)總結(jié)第一部分立體幾何初步1.1基本立體圖形一、空間幾何體1.多面體：一般地，由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面.2.旋轉(zhuǎn)體：一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體.這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸.二、棱柱、棱錐、棱臺(tái)1.棱柱：一般地，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱①記作：棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F12.棱錐：一般地，有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐。①記作：棱錐SABCD3.棱臺(tái)：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺(tái)。①記作：棱臺(tái)ABCDA1B1C1D1三、棱柱的分類與正棱柱的性質(zhì)1.棱柱的分類(1)按底面多邊形的邊數(shù)分類：底面是三角形、四邊形、五邊形……的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……(2)按側(cè)棱、底面分類：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱；側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，直棱柱的側(cè)面都是矩形.底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱；底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體，平行六面體的六個(gè)面都是平行四邊形.(3)常見的四棱柱及其關(guān)系2.正棱柱的性質(zhì)(1)側(cè)棱垂直于底面，側(cè)面垂直于底面；(2)側(cè)面都是全等的矩形；(3)底面是全等的正多邊形.四、棱錐的分類與正棱錐的性質(zhì)1.棱錐的分類按底面多邊形的邊數(shù)分類：底面是三角形、四邊形、五邊形……的棱錐分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐……2.正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐.3.正棱錐的性質(zhì)(1)正棱錐的側(cè)面都是全等的等腰三角形；(2)正棱錐的各側(cè)棱都相等；(3)正棱錐的頂點(diǎn)與底面正多邊形中心的連線垂直于底面.五、棱臺(tái)的分類與正棱臺(tái)的性質(zhì)1.棱臺(tái)的分類由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺(tái)分別叫做三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)……2.正棱臺(tái)的性質(zhì)（由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái).）(1)正棱臺(tái)的側(cè)棱都相等，側(cè)面是全等的等腰梯形，各等腰梯形的高(正棱臺(tái)的斜高)相等.(2)正棱臺(tái)的兩底面以及平行于底面的截面是相似正多邊形.(3)正棱臺(tái)的兩底面中心連線、相應(yīng)的邊心距和斜高組成一個(gè)直角梯形；正棱臺(tái)的兩底面中心連線、側(cè)棱和兩底面中心分別與該側(cè)棱相應(yīng)端點(diǎn)的連線也組成一個(gè)直角梯形.六、圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球和簡單組合體1.圓柱：以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱。①記作：圓柱O'O2.圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐。①記作：圓錐SO1.2立體圖形的直觀圖一、用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟1.在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O.畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對應(yīng)的x'軸與y'軸，兩軸相交于點(diǎn)O'，且使∠x'O'y'=45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面.2.已知圖形中平行于x軸或y軸的線段,在直觀圖中分別畫成平行于x'軸或y'軸的線段3.已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，

在直觀圖中長度為原來的一半.二、畫空間幾何體的直觀圖的一般步驟1.在已知圖形中取水平平面，作互相垂直的x軸、y軸，再取z軸，使∠xOz=90°，∠yOz=90°.2.畫直觀圖時(shí)，把x軸、y軸、z軸畫成相對應(yīng)的x'軸、y'軸、z'軸，使∠x'O'y'=45°(或135°)，∠x'O'z'=90°，x'軸、y'軸確定的平面表示水平面.3.已知圖形中平行于x軸、y軸、z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x'軸、y'

軸和z'軸的線段.4.已知圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的

線段，在直觀圖中長度為原來的一半.5.擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，將被遮擋的部分改為虛線，就得到了空間幾何體的直

觀圖.三、平面圖形的直觀圖及相關(guān)計(jì)算1.由于斜二測畫法中平行于x軸的線段的長度在直觀圖中保持不變，而平行于y軸的線段的長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?，并且∠x'O'y'=45°(或135°)，因此平面多邊形的直觀圖中任意一點(diǎn)到x'軸的距離都為原圖形中相應(yīng)點(diǎn)到x軸距離的12sin45°=22.設(shè)一個(gè)平面多邊形的面積為S原圖，利用斜二測畫法得到的直觀圖的面積為S直觀圖，則有S直觀圖=24S原圖1.3簡單幾何體的表面積與體積一、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積1.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積：多面體的表面積就是圍成多面體各個(gè)面的面積的和.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是圍成它們的各個(gè)面的面積的和.2.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積幾何體體積公式棱柱V棱柱=Sh(其中S為棱柱的底面積，h為棱柱的高)棱錐V棱錐=13Sh(其中S為棱錐的底面面積，h棱臺(tái)V棱臺(tái)=13h(S'+S'S+S)(其中S'，S分別為棱臺(tái)的上、下底面面積，h3.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積公式之間的關(guān)系二、圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積1.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積和側(cè)面積幾何體圖形面積公式圓柱底面積：S底面=πr2；側(cè)面積：S側(cè)面=2πrl；表面積：S=2πr(r+l)圓錐?底面積：S底面=πr2；側(cè)面積：S側(cè)面=πrl；表面積：S=πr(r+l)圓臺(tái)上底面面積：S上底面=πr'2；下底面面積：S下底面=πr2；側(cè)面積：S側(cè)面=π(r'+r)l；表面積：S=π(r'2+r2+r'l+rl)2.圓柱、圓錐與圓臺(tái)的側(cè)面積公式之間的關(guān)系3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積幾何體體積公式圓柱V=πr2h(r為底面半徑，h為圓柱的高)圓錐V=13πr2h(r為底面半徑，h圓臺(tái)V=13πh(r'2+r'r+r2)(r'，r分別為上、下底面半徑，h4.球的表面積和體積公式(設(shè)球的半徑為R)(1)表面積公式：S=4πR2；(2)體積公式：V=43πR3三、空間幾何體的表面積(側(cè)面積)1.求空間幾何體表面積的兩種方法(1)求表面積問題的思路是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題，即空間圖形平面化.求多面體的表面積時(shí)，常將它們沿著若干條棱剪開，然后展開成平面圖形；求旋轉(zhuǎn)體的表面積時(shí)，要從旋轉(zhuǎn)體的生成過程及其幾何特征入手，將其展開，同時(shí)要弄清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)的側(cè)面展開圖中的邊長之間的關(guān)系.(2)求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí)，通常將所給的幾何體分割成基本的柱、錐、臺(tái)體，先求這些柱、錐、臺(tái)體的表面積，再通過求和或作差求幾何體的表面積，注意銜接部分的處理.四、空間幾何體的體積1.常見求幾何體體積的方法(1)公式法：直接代入公式求解.(2)等積轉(zhuǎn)換法：此種方法適用于求三棱錐的體積，三棱錐的任何一個(gè)面都可以作為底面，只需選用底面面積和高都易求的形式即可.(3)補(bǔ)體法：將幾何體補(bǔ)成易求解的幾何體.常見的補(bǔ)體有：①可將正四面體補(bǔ)為正方體，如圖所示.②可將三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐補(bǔ)成長方體或正方體，如圖所示(PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC).③可將三棱柱補(bǔ)成平行六面體，如圖所示.④可將臺(tái)體補(bǔ)成錐體，如圖所示.(4)分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.2.求組合體體積的方法：求組合體的體積，首先應(yīng)弄清楚它的組成部分，然后根據(jù)公式求出各簡單幾何體的體積，再相加或相減.五、與球有關(guān)的切、接問題1.與球有關(guān)的切、接問題的處理思路(1)“接”的處理①構(gòu)造正(長)方體，轉(zhuǎn)化為正(長)方體的外接球問題；②利用球心與截面圓心的連線垂直于截面來確定球心所在直線；③畫出過球心的截面圓，將空間問題平面化，注意以球的半徑R、截面圓的半徑r、球心到截面的距離d為三邊構(gòu)成的直角三角形，即R2=d2+r2.(2)“切”的處理①體積分割求內(nèi)切球半徑；②作出合適的截面(過球心或切點(diǎn)等)，在平面上求解；③多球相切問題，連接各球球心，轉(zhuǎn)化為處理多面體問題.2.幾個(gè)常見結(jié)論(1)正方體的棱長為a，球的半徑為R，若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R=3a；若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R=a；若球與正方體的各棱相切，則2R=2a.(2)若長方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R=a(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶11.4空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1.4.1平面一、平面概念幾何里所說的“平面”是從生活中的一些物體中抽象出來的，平面是向四周無限延展的畫法我們常用矩形的直觀圖，即平行四邊形表示平面當(dāng)平面水平放置時(shí)，常把平行四邊形的一邊畫成橫向當(dāng)平面豎直放置時(shí)，常把平行四邊形的一邊畫成豎向圖示??表示方法(1)用希臘字母表示：如平面α、平面β、平面γ等；(2)用代表平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)表示：如平面ABCD；(3)用代表平面的平行四邊形相對的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫英文字母表示：如平面AC、平面BD二、平面的基本性質(zhì)文字語言圖形語言符號語言作用基本事實(shí)1過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，即不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面A，B，C三點(diǎn)不共線?存在唯一的平面α，使A，B，C∈α①確定平面；②判定點(diǎn)、線共面基本事實(shí)2如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)?A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α①判定直線在平面內(nèi)；②判定點(diǎn)在平面內(nèi)基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線P∈α，且P∈β?α∩β=l，且P∈l①判定兩平面相交；②判定點(diǎn)在直線上三、基本事實(shí)1和基本事實(shí)2的推論文字語言圖形語言符號語言推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A?l?有且只有一個(gè)平

面α，使A∈α，l?α推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面?a∩b=P?有且只有一個(gè)平面α，使a?α，b?α推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面?a∥b?有且只有一個(gè)平面α，使a?α，b?α四、探究共面、共線問題1.點(diǎn)、線共面問題的證明點(diǎn)、線共面問題，主要依據(jù)基本事實(shí)1、基本事實(shí)2及其推論，解決此類問題一般有如下方法：(1)納入平面法：先由部分元素確定一個(gè)平面，再證其他元素也在該平面內(nèi)；(2)輔助平面法(平面重合法)：先由部分點(diǎn)、線確定平面α，再由其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合；(3)反證法：假設(shè)不共面，結(jié)合題設(shè)推出矛盾.2.點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問題(1)證明點(diǎn)共線問題主要依據(jù)基本事實(shí)3，常用方法有以下兩種：①首先找出兩個(gè)平面，然后證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)基本事實(shí)3知，這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上；②選擇其中兩點(diǎn)，確定一條直線，然后證明其他點(diǎn)也在這條直線上.(2)證明三線共點(diǎn)的步驟：①首先說明兩條直線共面且交于一點(diǎn)；②然后說明這個(gè)點(diǎn)在另兩個(gè)平面上，并且這兩個(gè)平面相交；③得到交線也過此點(diǎn)，從而得到三線共點(diǎn)1.4.2空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系一、異面直線1.定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.2.異面直線的畫法：如圖(1)(2)所示，為了表示異面直線不共面的特點(diǎn)，作圖時(shí)，通常用一個(gè)或兩個(gè)平面襯托.二、空間中直線與直線的位置關(guān)系1.共面直線：（1）相交直線：在同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)（2）平行直線：在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)2.異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)三、空間中直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a在平面α外a與α相交a與α平行公共點(diǎn)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)符號表示a?αa∩α=Aa∥α圖形表示???四、空間中平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系兩個(gè)平面平行兩個(gè)平面相交公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，且這些公共點(diǎn)在一條直線上符號表示α∥βα∩β=l圖形表示??五、異面直線的判定1.判定兩條直線是異面直線的方法(1)證明兩條直線既不平行又不相交；(2)過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線；(3)先提出與結(jié)論相反的假設(shè)，即兩條直線相交或平行，再由此假設(shè)推出與已知條件或某一公理、定理或某一已被證明是正確的命題相矛盾的結(jié)果，最后推翻假設(shè)，從而證明結(jié)論是正確的，即兩直線異面.六、空間中直線、平面位置關(guān)系的判斷1.判斷空間直線、平面的位置關(guān)系，主要從以下三個(gè)方面考慮(1)根據(jù)線面關(guān)系的定義或定理判斷；(2)借助長方體或四面體模型判斷；(3)先假設(shè)所給定的結(jié)論成立，看能否推出矛盾.1.5空間直線、平面的平行1.5.1直線與直線平行一、基本事實(shí)4文字語言平行于同一條直線的兩條直線平行圖形語言?符號語言a∥bb∥c?作用證明兩條直線平行說明基本事實(shí)4表述的性質(zhì)通常叫做平行線的傳遞性二、等角定理文字語言如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)符號語言O(shè)A∥O'A'，OB∥O'B'?∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=180°圖形語言?作用判定兩個(gè)角相等或互補(bǔ)三、基本事實(shí)4與等角定理在空間圖形中的運(yùn)用1.空間中兩直線平行的證明方法(1)利用定義證明兩條直線共面且無公共點(diǎn)；(2)利用平面幾何知識(三角形、梯形的中位線，平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等)證明；(3)利用基本事實(shí)4，即若證明a∥b，可找到第三條直線c，使a∥c，b∥c，從而得到a∥b.2.空間中角相等的證明方法(1)等角定理是較常用的方法；(2)轉(zhuǎn)化為平面圖形中的三角形全等或相似來證明.1.5.2直線與平面平行一、直線與平面平行的判定定理1.文字語言：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行，簡記為線線平行?線面平行.2.圖形語言：3.符號語言：

l?α，a?α，l∥a?l∥α.二、直線與平面平行的性質(zhì)定理1.文字語言：一條直線與一個(gè)平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行，簡記為線面平行?線線平行.2.圖形語言：3.符號語言：

a∥α，a?β，α∩β=b?a∥b.三、證明直線與平面平行1.證明直線與平面平行的方法(1)定義法：證明直線與平面無公共點(diǎn).(2)利用判定定理：關(guān)鍵是在平面內(nèi)找出一條與已知直線平行的直線.通常需要作輔助線，作輔助線時(shí)可以通過已有的平行關(guān)系構(gòu)造平行四邊形，或是有中點(diǎn)時(shí)可以構(gòu)造中位線.四、線面平行中的探索性問題1.平行關(guān)系的探索性問題經(jīng)常是在一條直線上確定是否存在某點(diǎn)，使過該點(diǎn)的直線平行于一個(gè)固定平面，求解時(shí)可先假設(shè)存在，根據(jù)結(jié)論逆向推理，同時(shí)注意線面平行的性質(zhì)定理和判定定理的交替使用.1.5.3平面與平面平行一、平面與平面平行的判定定理1.文字語言：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行，簡記為線面平行?面面平行.2.圖形語言：3.符號語言：a?α，b?α，a∩b=P，a∥β，b∥β?α∥β.二、平面與平面平行的性質(zhì)定理1.文字語言：兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行，簡記為面面平行?線線平行.2.圖形語言：3.符號語言：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b?a∥b.三、證明兩個(gè)平面平行1.平面與平面平行的判定方法(1)定義法：兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn).(2)利用判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行.(3)轉(zhuǎn)化為線線平行：平面α內(nèi)的兩條相交直線與平面β內(nèi)的兩條相交直線分別平行，則α∥β.(4)利用平行平面的傳遞性：若α∥β，β∥γ，則α∥γ.在立體幾何中，線線平行、線面平行、面面平行之間可以相互轉(zhuǎn)化，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如圖：1.6空間直線、平面的垂直直線與直線垂直一、空間兩直線所成的角1.兩條異面直線所成的角：如圖，已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O分別作直線a'∥a，b'∥b，我們把直線a'與b'所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).空間兩條異面直線所成角α的取值范圍為0°<α≤90°.如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直.2.空間兩直線所成的角當(dāng)兩條直線a，b相互平行時(shí)，規(guī)定它們所成的角為0°，所以空間兩條直線所成

角α的取值范圍是0°≤α≤90°.二、求異面直線所成的角1.求異面直線所成角的一般步驟(1)構(gòu)造：恰當(dāng)?shù)剡x擇一個(gè)點(diǎn)，用平移法(或補(bǔ)形法)構(gòu)造異面直線所成的角(或其補(bǔ)角).(2)證明：證明(1)中所作的角(或其補(bǔ)角)就是所求異面直線所成的角.(3)計(jì)算：通過解三角形或其他方法，求出(1)中所構(gòu)造的角的大小.(4)結(jié)論：假設(shè)所構(gòu)造的角的大小為α，若0°<α≤90°，則α即為所求異面直線所成角的大小；若90°<α<180°，則180°α即為所求.直線與平面垂直一、直線與平面垂直的定義1.定義：一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α.直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足.2.圖示：二、直線與平面垂直的判定定理文字語言如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直符號語言l⊥a，l⊥b，a∩b=P，a?α，b?α?l⊥α圖形語言?三、直線與平面所成的角1.斜線：與一個(gè)平面α相交，但不與這個(gè)平面垂直的直線叫做這個(gè)平面的斜線，如圖中直線l.2.斜足：斜線和平面的交點(diǎn)叫做斜足，如圖中點(diǎn)A.3.射影：過斜線上斜足以外的一點(diǎn)P向平面α引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影.4.直線與平面所成的角平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角，如圖中∠PAO.規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°.設(shè)直線與平面所成的角為θ，則0°≤θ≤90°.四、直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行圖形語言?符號語言a⊥α，b⊥α?a∥b作用線面垂直?線線平行；作平行線五、空間中的距離1.點(diǎn)到平面的距離過一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離.2.直線到平面的距離一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線到這個(gè)平面的距離.3.平行平面間的距離如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離.六、證明直線與平面垂直1.證明直線與平面垂直的常用方法(1)利用定義，即證明直線a垂直于平面α內(nèi)的任意一條直線，從而得到直線a⊥平面

α(一般不易驗(yàn)證任意性).(2)利用判定定理，即證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直.(3)利用平行線垂直平面的傳遞性質(zhì)，即如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面(a∥b，b⊥α?a⊥α).(4)如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么它也垂直于另一個(gè)平面(a⊥α，α∥β?a⊥β).2.解決線面垂直問題，常轉(zhuǎn)化為證明線線垂直，而證明線線垂直常見的方法如下：(1)利用勾股定理的逆定理；(2)利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)；(3)利用菱形的對角線互相垂直；(4)利用線面垂直的定義，即a⊥α，b?α，則a⊥b；(5)利用平行轉(zhuǎn)化，即a∥b，b⊥c，則a⊥c.七、探究直線與平面所成的角1.求斜線與平面所成角的大小的步驟(1)作角①作垂線：過斜線上一點(diǎn)(不是斜足)作平面的垂線；②作射影：連接垂足和斜足；③作平面角：斜線與它在平面上的射影所成的角即為所求，即將空間角(斜線與平面所成的角)轉(zhuǎn)化為平面角(兩條相交直線所成的角).(2)證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角，關(guān)鍵是證垂直.(3)計(jì)算：通常在垂線段、斜線和射影所構(gòu)成的直角三角形中計(jì)算.八、點(diǎn)到平面的距離1.求點(diǎn)到平面的距離的常用方法(1)等體積法：即利用三棱錐的換底法，通過不同角度的體積相等得到點(diǎn)到平面的距離.(2)平行轉(zhuǎn)化法：當(dāng)由點(diǎn)向平面作垂線不易操作時(shí)，可利用線面平行或面面平行轉(zhuǎn)化為直線(平面)上其他點(diǎn)到平面的距離.2.當(dāng)直線與平面平行時(shí)，直線上任意一點(diǎn)到平面的距離都相等；當(dāng)平面與平面平行時(shí)，一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等.平面與平面垂直一、二面角1.二面角半平面的定義平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常稱為半平面二面角的相關(guān)概念從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面二面角的畫法?

?二面角的記法二面角αlβ或二面角αABβ或二面角PlQ或二面角PABQ2.二面角的平面角(1)定義：在二面角αlβ的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角.(2)圖形：?(3)范圍：∠AOB的范圍是0°≤∠AOB≤180°.二、平面與平面垂直的定義文字語言一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直圖形語言?符號語言α⊥β三、平面與平面垂直的判定定理文字語言如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直圖形語言?符號語言l⊥α，l?β?α⊥β四、平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直圖形語言?符號語言α⊥β，α∩β=l，a?α，a⊥l?a⊥β五、證明平面與平面垂直1.證明平面與平面垂直的方法(1)利用平面與平面垂直的定義①找出兩相交平面的平面角；②證明這個(gè)平面角是直角；③根據(jù)定義，可知這兩個(gè)相交平面互相垂直.(2)利用平面與平面垂直的判定定理①定思路：分析題意，根據(jù)題中已知條件，在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一條直線與另一

個(gè)平面垂直.②證線面：選擇恰當(dāng)方法證明線面垂直.③證面面：根據(jù)面面垂直的判定定理(如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這

兩個(gè)平面垂直)證明.(3)若一個(gè)平面與另一個(gè)平面的垂面平行，則這兩個(gè)平面互相垂直.六、求二面角的大小1.求二面角的平面角的大小的步驟簡記為“一作二證三求”.2.作二面角的平面角的常見方法(1)定義法：在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，過該點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于

棱的射線.如圖①，∠AOB為二面角αlβ的平面角.(2)垂面法：過棱上一點(diǎn)作垂直于棱的平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面各有一

條交線，這兩條交線所成的角即二面角的平面角.如圖②，∠AOB為二面角αlβ的

平面角.(3)垂線法：如圖③，過二面角的一個(gè)半平面內(nèi)不在棱上的點(diǎn)A向另一個(gè)平面作垂

線，垂足為B，由點(diǎn)B向二面角的棱作垂線，垂足為O，連接AO，則∠AOB為二面角αlβ的平面角.(4)射影面積法：若多邊形的面積為S，它在一個(gè)平面內(nèi)的射影圖形的面積為S'，且多

邊形所在面與該平面所成的二面角為θ，則cosθ=S'S.第二部分空間向量與立體幾何2.1空間向量及其運(yùn)算一、空間向量的概念及幾類特殊向量1.空間向量：在空間中，具有大小和方向的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的長度或模2.單位向量：模為1的向量3.零向量：長度為0的向量4.相等向量：長度相等且方向相同的向量5.相反向量：長度相等且方向相反的向量6.共線(平行)向量：如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線(平行)向量7.方向向量：在直線l上取非零向量a，把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量8.共面向量：平行于同一個(gè)平面的向量，叫做共面向量二、空間向量的線性運(yùn)算1.加法：（1）三角形法則：a+（2）平行四邊形法則：a2.減法：a?3.數(shù)乘運(yùn)算：（1）當(dāng)λ>0時(shí)，λa=λOA=（2）當(dāng)λ<0時(shí)，λa=λOA=（3）當(dāng)λ=0時(shí)，λ4.運(yùn)算律運(yùn)算律(λ，μ∈R)交換律a+結(jié)合律(a分配律(λ+μ)a三、空間向量共線、共面的有關(guān)定理1.共線向量定理：對任意兩個(gè)空間向量a，b(2.共面向量定理：向量p與不共線的兩個(gè)空間向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(四、空間向量的數(shù)量積數(shù)量積a·b=|a||運(yùn)算律(λa)·ba·(a性質(zhì)和應(yīng)用若a，ba·a=|a||acos<a，b>=五、空間向量共線、共面的結(jié)論和應(yīng)用1.空間向量共線、共面的結(jié)論(1)證明空間三點(diǎn)A，B，P共線：①AP=λAB；②OP=OA+λAB；③OP=xOA+yOB，其中x+y=1.(O為空間不與A，B，P重合的任一點(diǎn))(2)證明空間四點(diǎn)A，B，P，M共面：①M(fèi)P=xMA+yMB；②OP=OM+xMA+yMB；③OP=xOA+yOB+zOM，其中x+y+z=1；④PM∥AB(或PA∥MB或PB∥AM).(O為空間不與A，B，P，M重合的任一點(diǎn))2.空間向量共線、共面的應(yīng)用共線向量定理除了可以證明三點(diǎn)共線，還可以證明空間中兩直線平行.由于空間中兩個(gè)非零向量共線時(shí)，這兩個(gè)向量所在的直線可能平行，也可能重合，所以在證明時(shí)要說明一條直線上有一點(diǎn)不在另一條直線上，從而推得兩直線平行，不能由向量平行直接推出線線平行.共面向量定理除了可以證明四點(diǎn)共面，還可以證明線面平行，同理，也要說明線不在面內(nèi).六、利用數(shù)量積求長度(距離或模)1.求解線段的長度、兩點(diǎn)間的距離時(shí)，均可將其轉(zhuǎn)化為求對應(yīng)有向線段表示的向量的模，將此向量表示為已知的幾個(gè)向量的和或差的形式，分析已知向量兩兩之間的夾角以及它們的模，然后利用公式|a|=a?a(推廣公式：七、利用數(shù)量積求異面直線所成的角或其余弦值1.求兩條異面直線所成的角或其余弦值的步驟(1)根據(jù)題設(shè)條件取與兩條異面直線分別平行的非零向量(即兩條直線的方向向量)；(2)將求異面直線所成角的問題轉(zhuǎn)化為求向量夾角的問題；(3)利用公式cos<a(4)將所求得的余弦值加上絕對值即得異面直線所成角的余弦值，進(jìn)而可求出異面直線所成角的大小.2.2空間向量基本定理一、空間向量基本定理1.如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p=xa+yb二、空間向量的正交分解1.如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示.由空間向量基本定理可知，對空間中的任意向量a，均可以分解為三個(gè)向量三、空間向量基本定理的應(yīng)用1.用基底表示空間向量若未給定基底，則先選擇基底，選擇時(shí)，要盡量選擇共起點(diǎn)的三個(gè)向量，再就是看基向量的模及其夾角是否已知或易求.基底確定后，利用空間向量的三角形法則、平行四邊形法則和共線向量的特點(diǎn)，把目標(biāo)向量逐步分解，向基底靠近，最后化簡整理求出結(jié)果.2.用基底法解決立體幾何問題利用基底法可解決立體幾何中線面關(guān)系問題及與夾角、距離(長度)有關(guān)的問題，解題時(shí)，首先要確定基底，將所需向量用基底表示出來，然后通過向量運(yùn)算解決問題.基底法是向量法中的一種.2.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示一、空間直角坐標(biāo)系1.空間直角坐標(biāo)系在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{i，j，k}，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以i，j，2.相關(guān)概念

O叫做原點(diǎn)，i，j，k都叫做坐標(biāo)向量，通過每兩條坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它們把空間分成八個(gè)部分注意：(1)坐標(biāo)向量i，j，k滿足(2)畫空間直角坐標(biāo)系Oxyz時(shí)，一般使∠xOy=135°(或45°)，∠yOz=90°(3)在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系，如圖所示.我們建立的坐標(biāo)系一般都是右手直角坐標(biāo)系.二、空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)1.如圖，在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，i，j，k為坐標(biāo)向量，對空間任意一點(diǎn)A，對應(yīng)一個(gè)向量OA，且點(diǎn)A的位置由向量OA=xi+yj+zk.在單位正交基底{i，j2.空間直角坐標(biāo)系中位于坐標(biāo)軸、坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)如下表所示：點(diǎn)的位置x軸上y軸上z軸上Oxy平面Oyz平面Ozx平面Oxy平面坐標(biāo)形式(x，0，0)(0，y，0)(0，0，z)(x，y，0)(0，y，z)(x，0，z)(x，y，0)3.空間直角坐標(biāo)系中對稱點(diǎn)的坐標(biāo)空間點(diǎn)的對稱問題可類比平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對稱問題，掌握對稱點(diǎn)的變化規(guī)律，才能準(zhǔn)確求解.對稱點(diǎn)的問題常常用“關(guān)于誰對稱，誰保持不變，其余坐標(biāo)相反”這個(gè)結(jié)論來解決.例如：(1)點(diǎn)(a，b，c)關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為(?(2)點(diǎn)(a，b，c)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為(a，?b，?c)(3)點(diǎn)(a，b，c)關(guān)于Oxy平面的對稱點(diǎn)為(a，b，?c)4.(1)已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為x1(2)已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，則△ABC重心的坐標(biāo)為x1三、空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示1.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，給定向量a，作OA=a，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a=xi+yj+zk注意：符號(x，y，z)具有雙重意義，它既可以表示點(diǎn)，也可以表示向量2.設(shè)a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，則a+b=(a1+b1，a2+b2，a3+b3)；ab=(a1b1，a2b2，a3b3)；λa=(λa1，λa2，λa3)，λ∈R；a·b=a1b1+a2b2+a3b3.四、空間向量的平行、垂直及模、夾角的坐標(biāo)表示1.設(shè)a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，則結(jié)論坐標(biāo)表示平行a∥b(b≠0)?a=λb?a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)垂直a⊥b(a≠0，b≠0)?a·b=a1b1+a2b2+a3b3=0模|a|=a?a=a12+a22夾角cos<a，b>=a?b|a||b|=a1b1+a2b五、空間兩點(diǎn)間的距離公式1.設(shè)P1(x1，y1，z1),P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則P(x2x1，y2y1，z2z1)，所以P1P2=|P1P22.特別地，空間任意一點(diǎn)P(x，y，z)到原點(diǎn)O的距離OP=|OP|=x2六、利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決空間平行、垂直問題1.建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算解決空間平行、垂直問題的方法稱為“坐標(biāo)法”，是向量法中的一種.2.與向量坐標(biāo)有關(guān)的平行、垂直問題主要有兩種類型：一是判定平行、垂直；二是已知平行或垂直求參數(shù).利用向量的坐標(biāo)證明兩直線平行或垂直的步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求出有關(guān)直線的方向向量；(3)證明兩直線平行即證明兩直線的方向向量共線；證明兩直線垂直即證明兩直線的方向向量的數(shù)量積為0；(4)還原到幾何問題，得出結(jié)論.七、利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求夾角和長度1.利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求異面直線所成角或線段長度的步驟(1)根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)利用已知條件寫出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而獲得相關(guān)向量的坐標(biāo)；(3)利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求得相關(guān)向量的夾角，并將它轉(zhuǎn)化為異面直線所成的角；利用兩點(diǎn)間的距離公式求出線段的長度2.4空間向量的應(yīng)用2.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系一、空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示1.點(diǎn)的位置向量如圖，在空間中，我們?nèi)∫欢c(diǎn)O作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)P就可以用向量?來表示.我們把向量?稱為點(diǎn)P的位置向量.2.空間直線的向量表示式如圖(1)，a是直線l的方向向量，在直線l上取AB=a，設(shè)P是直線l上的任意一點(diǎn)，由向量共線的條件可知，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使得AP=ta，即(2)，取定空間中的任意一點(diǎn)O，可以得到點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使OP=OA+ta(i)，圖1圖2將AB=a代入(i)式，得OP=OA+tAB(i)式和(ii)式都稱為空間直線的向量表示式.3.空間平面的向量表示式如圖，取定空間任意一點(diǎn)O，可以得到，空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實(shí)數(shù)x，y，使OP=OA+xAB+yAC(iii).我們把(iii)式稱為空間平面ABC的向量表示式.二、空間直線的方向向量和平面的法向量1.空間直線的方向向量：若l是空間一直線，A，B是直線l上的任意兩點(diǎn)，則稱AB為直線l的方向向量，與AB平行的任意非零向量也是直線l的方向向量.2.平面的法向量：與平面垂直的直線的方向向量，稱為平面的法向量.利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟：(1)設(shè)法向量為n=(x，y，z)(2)在已知平面內(nèi)找或求兩個(gè)不共線向量a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b(3)建立方程組n(4)解方程組：用一個(gè)未知量表示其他兩個(gè)未知量，然后對這個(gè)未知量賦特殊值，從而得到平面的一個(gè)法向量.三、空間中直線、平面的平行位置關(guān)系向量表示線線平行設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得u1=λu2線面平行設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?則l∥α?u⊥n?u·n面面平行設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1=λn2四、空間中直線、平面的垂直位置關(guān)系向量表示線線垂直設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2，則l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2=0線面垂直設(shè)直線l的方向向量為u，平面α的法向量為n，則l⊥α?u∥n??λ∈R，使得u=λn面面垂直設(shè)平面α，β的法向量分別為n1，n2，則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2=0五、利用空間向量解決平行問題1.解決立體幾何問題的方法常用方法有幾何法、基底法和坐標(biāo)法.幾何法是利用判定定理和性質(zhì)定理解決問題；基底法是利用基向量進(jìn)行向量運(yùn)算，從而解決問題；坐標(biāo)法是通過建系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決問題.基底法和坐標(biāo)法都是向量法.在解決具體問題時(shí)，要靈活選擇不同方法，使解題方便，當(dāng)圖形的垂直特征明顯且坐標(biāo)易求時(shí)可優(yōu)先選擇坐標(biāo)法.2.利用空間向量證明線線平行(1)基底法：分別用基向量表示出要證明的兩條直線的方向向量，然后通過線性運(yùn)算，證明兩方向向量共線即可.(2)坐標(biāo)法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量的坐標(biāo)之間的線性關(guān)系進(jìn)行證明.3.利用空間向量證明線面平行(1)設(shè)直線l的方向向量是u，平面α的法向量是n，要證明l∥α，只需證明u⊥n，即證明u·n=0.求解平面的法向量時(shí)，對未知數(shù)的賦值與相關(guān)運(yùn)算一定要準(zhǔn)確.(2)根據(jù)線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行進(jìn)行證明.要證明一條直線和一個(gè)平面平行，只需在平面內(nèi)找一個(gè)向量，證明它與已知直線的方向向量是共線向量即可，但需要特別注意已知直線的方向向量不在平面內(nèi).(3)根據(jù)共面向量定理進(jìn)行證明，即要證明一條直線和一個(gè)平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用這個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量線性表示即可.4.利用空間向量證明面面平行(1)向量法：設(shè)平面α的法向量為u，平面β的法向量為v，則α∥β?u∥v；(2)轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化為證明線面平行、線線平行.六、利用空間向量解決垂直問題1.利用向量方法證明線線垂直(1)坐標(biāo)法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出兩直線方向向量的坐標(biāo)，然后通過數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算證明數(shù)量積等于0，從而證明兩條直線的方向向量互相垂直.(2)基向量法：利用空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及相關(guān)運(yùn)算律，結(jié)合圖形的幾何特征，將與兩直線有關(guān)的向量分別用基向量表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律證明此數(shù)量積等于0，從而證明兩條直線互相垂直.2.用坐標(biāo)法證明線面垂直的兩種思路(1)基向量法：根據(jù)線面垂直的判定定理證明，先用基向量表示直線的方向向量a，然后在平面內(nèi)找兩條相交直線，并分別用基向量表示它們的方向向量b，c，由a·b=0且a·c=0(2)法向量法：求出直線的方向向量與平面的法向量，利用向量的線性運(yùn)算判定直線的方向向量與平面的法向量平行，從而可得線面垂直.3.證明面面垂直的三種方法(1)利用兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理，證明其中一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，即轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.(2)直接求解兩個(gè)平面的法向量，證明這兩個(gè)法向量垂直，從而得到兩個(gè)平面垂直.(3)證明一個(gè)平面的法向量平行于另一個(gè)平面.2.4.2用空間向量研究距離、夾角問題一、空間距離的向量求法1.直線外一點(diǎn)到直線的距離如圖①，u為直線l的單位方向向量，P?l，A∈l，Q∈l，AP=a，AP在直線l上的投影向量為PQ=|圖①圖②圖③2.平面外一點(diǎn)到平面的距離如圖②，設(shè)平面α的法向量為n，P?α，A∈α，PQ⊥α，AP在直線l上的投影向量為QP，則點(diǎn)P到平面α的距離3.其他距離(1)兩平行直線之間的距離：在其中一條直線上取定一點(diǎn)，將所求轉(zhuǎn)化為直線外一點(diǎn)到直線的距離.(2)兩異面直線a，b之間的距離：如圖③，在a，b上分別取點(diǎn)A，B，求出與a，b的方向向量都垂直的向量n，則AB在向量n上的投影向量的長度即為異面直線a，b的距離，為|AB(3)平行的線面、面面間的距離：轉(zhuǎn)化為平面外一點(diǎn)到平面的距離.二、空間角的向量求法空間角向量求法范圍異面直線l1與l2所成的角θ設(shè)l1與l2的方向向量分別為u，v，則cosθ=|cos<u，v0，直線AB與平面α所成的角θ，如圖①設(shè)直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ=|cos<0，平面α與平面β的夾角θ，如圖②設(shè)平面α，β的法向量分別為n1，n2，則cosθ=|cos<n1，n2>|=|0，三、用空間向量研究距離問題?1.用向量法求距離問題的兩種思路(1)轉(zhuǎn)化為求向量模的問題.過已知點(diǎn)作已知直線或已知平面的垂線段，利用待定系數(shù)法求出垂足的坐標(biāo)，然后通過已知點(diǎn)坐標(biāo)及垂足坐標(biāo)求出表示此距離的向量的模，這是求各種距離的通法.(2)直接套用相關(guān)公式求解.用向量法求點(diǎn)到直線的距離時(shí)需注意以下幾點(diǎn)：①不必找點(diǎn)在直線上的垂足以及垂線段；②可以選直線上的任意點(diǎn)，但一般選較易求得坐標(biāo)的特殊點(diǎn)；③直線的方向向量可以任取，但必須保證計(jì)算正確.2.求直線到平面(或兩平面之間)的距離的前提是線面(或面面)平行，求解時(shí)可在直線上(或其中一個(gè)平面上)找到一點(diǎn)，然后將問題轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn)到平面的距離.注意：這個(gè)點(diǎn)要選取適當(dāng)，以方便求解為主.點(diǎn)到平面的距離的求解步驟：(1)建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)寫出(求出)相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)求出平面的一個(gè)法向量；(4)找出從已知點(diǎn)出發(fā)的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向量；(5)求出法向量與斜線段對應(yīng)的向量的數(shù)量積的絕對值，再除以法向量的模，即得點(diǎn)到平面的距離.四、用空間向量研究夾角問題1.角的范圍與關(guān)系利用向量法求空間角時(shí)，要注意空間角的范圍與向量夾角范圍的區(qū)別.異面直線所成的角的范圍為0，π2，兩平面夾角的范圍為0，π2，當(dāng)向量夾角為鈍角時(shí)，異面直線所成的角和兩平面夾角為向量夾角的補(bǔ)角.線面角的范圍為0，2.空間角的向量求法(1)兩異面直線所成的角①坐標(biāo)法：適合建立空間直角坐標(biāo)系的問題優(yōu)先選擇此法解決.②基底法：在一些不適合建立空間直角坐標(biāo)系的問題中，我們經(jīng)常用基底法.由公式cos<a，b>=a?b|a||b|求向量a，b的夾角的關(guān)鍵是求出a·b，(2)直線與平面所成的角求解步驟如下：①建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；②求直線的方向向量u；③求平面的法向量n；④計(jì)算：設(shè)線面角為θ，則sinθ=|u?n||u||n|(3)兩個(gè)平面的夾角求解步驟如下：①建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；②分別求兩個(gè)平面的法向量n1，n2；③計(jì)算：設(shè)兩個(gè)平面的夾角為θ，則cosθ=|cos<n1，n2>|=|五、用空間向量解決與距離、夾角有關(guān)的探索性問題1.利用空間向量解決與距離、夾角有關(guān)的探索性問題的步驟(1)假設(shè)存在(或假設(shè)結(jié)論成立)；(2)建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，得到相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)得到有關(guān)向量的坐標(biāo)；(4)利用距離或夾角的計(jì)算公式列關(guān)系式求解；(5)根據(jù)解的情況得出結(jié)論.二、典型習(xí)題訓(xùn)練之選擇題1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，兩個(gè)面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長之和為（

）A． B．C． D．2．（2023·北京順義·高三統(tǒng)考期末）在棱長為1的正方體中，動(dòng)點(diǎn)P在棱上，動(dòng)點(diǎn)Q在線段上、若，則三棱錐的體積（

）A．與無關(guān)，與有關(guān) B．與有關(guān)，與無關(guān)C．與都有關(guān) D．與都無關(guān)3．（2023秋·北京通州·高三統(tǒng)考期末）要制作一個(gè)容積為的圓柱形封閉容器，要使所用材料最省，則圓柱的高和底面半徑應(yīng)分別為（

）A．， B．，C．， D．，4．（2023秋·北京東城·高三統(tǒng)考期末）如圖，在正方體中，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，下列說法中正確的是（

）①存在點(diǎn)，使得；②存在點(diǎn)，使得；③對于任意點(diǎn)，到的距離為定值；④對于任意點(diǎn)，都不是銳角三角形.A．①③ B．②③ C．②④ D．③④5．（2023秋·北京海淀·高三統(tǒng)考期末）設(shè)、是兩個(gè)不同的平面，直線，則“對內(nèi)的任意直線，都有”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．（2023秋·北京西城·高三統(tǒng)考期末）如圖，正方形和正方形所在的平面互相垂直．是正方形及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合，是正方形及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合．設(shè)，給出下列三個(gè)結(jié)論：①，使；②，使；③，使與所成的角為．其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．37．（2023秋·北京石景山·高三統(tǒng)考期末）已知直線與平面滿足，則下列判斷一定正確的是A． B． C． D．8．（2023·北京東城·統(tǒng)考一模）設(shè)m，n是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，且，，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件9．（2023·北京朝陽·統(tǒng)考一模）在長方體中，與平面相交于點(diǎn)M，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A．B．C． D．10．（2023·北京豐臺(tái)·統(tǒng)考一模）如圖，在直三棱柱中，，，，，點(diǎn)在棱上，點(diǎn)在棱上，給出下列三個(gè)結(jié)論：①三棱錐的體積的最大值為；②的最小值為；③點(diǎn)到直線的距離的最小值為．其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．311．（2023·北京房山·統(tǒng)考一模）如圖，已知正方體，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．與三條直線所成的角都相等的直線有且僅有一條B．與三條直線所成的角都相等的平面有且僅有一個(gè)C．到三條直線的距離都相等的點(diǎn)恰有兩個(gè)D．到三條直線的距離都相等的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)12．（2023·北京順義·統(tǒng)考一模）在正方體中，點(diǎn)，分別是棱和線段上的動(dòng)點(diǎn)，則滿足與垂直的直線（

）A．有且僅有1條 B．有且僅有2條 C．有且僅有3條 D．有無數(shù)條13．（2023·北京西城·統(tǒng)考二模）將邊長為的正方形沿對角線折起，折起后點(diǎn)記為．若，則四面體的體積為（

）A． B．C． D．14．（2023·北京朝陽·二模）如圖，在棱長為2的正方體中，P為線段的中點(diǎn)，Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．存在點(diǎn)Q，使得B．存在點(diǎn)Q，使得平面C．三棱錐的體積是定值D．存在點(diǎn)Q，使得PQ與AD所成的角為15．（2023·北京豐臺(tái)·統(tǒng)考二模）若某圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，則它的體積為（

）A． B． C． D．16．（2023·北京海淀·統(tǒng)考二模）已知正方形ABCD所在平面與正方形CDEF所在平面互相垂直，且，P是對角線CE的中點(diǎn)，Q是對角線BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)之間距離的最小值為（

）A．1 B． C． D．三、典型習(xí)題訓(xùn)練之填空題17．（2023秋·北京朝陽·高三統(tǒng)考期末）如圖，在棱長為a的正方體中，P，Q分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)T在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，滿足．給出下列四個(gè)結(jié)論：①點(diǎn)T可以是棱的中點(diǎn)；②線段長度的最小值為；③點(diǎn)T的軌跡是矩形；④點(diǎn)T的軌跡圍成的多邊形的面積為．其中所有正確結(jié)論的序號是．18．（2023秋·北京海淀·高三統(tǒng)考期末）如圖，在正三棱柱中，是棱上一點(diǎn)，，則三棱錐的體積為.19．（2023秋·北京昌平·高三統(tǒng)考期末）已知正三棱錐的六條棱長均為是底面的中心，用一個(gè)平行于底面的平面截三棱錐，分別交于點(diǎn)（不與頂點(diǎn)，重合）.給出下列四個(gè)結(jié)論：①三棱錐為正三棱錐；②三棱錐的高為；③三棱錐的體積既有最大值，又有最小值；④當(dāng)時(shí)，.其中所有正確結(jié)論的序號是.20．（2023秋·北京石景山·高三統(tǒng)考期末）在四棱錐中，面，底面是正方形，，則此四棱錐的外接球的半徑為．21．（2023·北京西城·統(tǒng)考一模）如圖，在棱長為的正方體中，點(diǎn)，分別在線段和上．給出下列四個(gè)結(jié)論：

①的最小值為；②四面體的體積為；③有且僅有一條直線與垂直；④存在點(diǎn)，，使為等邊三角形．其中所有正確結(jié)論的序號是．22．（2023·北京海淀·統(tǒng)考一模）在中，，D是邊AC的中點(diǎn)，E是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），過點(diǎn)E作AC的平行線交BC于點(diǎn)F，將沿EF折起，點(diǎn)B折起后的位置記為點(diǎn)P，得到四棱錐．如圖所示．給出下列四個(gè)結(jié)論：①平面PEF；②不可能為等腰三角形；③存在點(diǎn)E，P，使得；④當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，．其中所有正確結(jié)論的序號是．23．（2023·北京門頭溝·統(tǒng)考一模）在正方體中，棱長為，已知點(diǎn)、分別是線段、上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.①與垂直；②直線與直線不可能平行；③二面角不可能為定值；④則的最小值是.其中所有正確結(jié)論的序號是.24．（2023·北京平谷·統(tǒng)考一模）如圖，矩形ABCD中，，M為BC的中點(diǎn)，將沿直線AM翻折，構(gòu)成四棱錐，N為的中點(diǎn)，則在翻折過程中，①對于任意一個(gè)位置總有平面；②存在某個(gè)位置，使得；③存在某個(gè)位置，使得；④四棱錐的體積最大值為．上面說法中所有正確的序號是．25．（2023·北京延慶·統(tǒng)考一模）四面體的三條棱兩兩垂直，，，為四面體外一點(diǎn)，給出下列命題：①不存在點(diǎn)，使四面體三個(gè)面是直角三角形；②存在點(diǎn)，使四面體是正三棱錐；③存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)，使點(diǎn)在四面體的外接球面上；④存在點(diǎn)，使與垂直且相等，且.其中真命題的序號是.26．（2023·北京房山·統(tǒng)考二模）如圖所示，在正方體中，是棱上一點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)．給出下面幾個(gè)結(jié)論：①四邊形是平行四邊形；②四邊形可能是正方形；③存在平面與直線垂直；④任意平面與平面垂直；⑤平面與平面夾角余弦的最大值為．其中所有正確結(jié)論的序號是．27．（2023·北京昌平·統(tǒng)考二模）如圖，在長方體中，，動(dòng)點(diǎn)分別在線段和上.給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②不可能是等邊三角形；③當(dāng)時(shí)，；④至少存在兩組，使得三棱錐的四個(gè)面均為直角三角形.其中所有正確結(jié)論的序號是.28．（2023·北京東城·統(tǒng)考二模）如圖，在正方體中，是的中點(diǎn)，平面將正方體分成體積分別為，（）的兩部分，則

29．（2023·北京通州·統(tǒng)考三模）在棱長為1正方體中，點(diǎn)P滿足，其中，，給出下列四個(gè)結(jié)論：①所有滿足條件的點(diǎn)P組成的區(qū)域面積為1；②當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值：③當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到距離的最小值為1；④當(dāng)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得平面則所有正確結(jié)論的序號為.30．（2023·北京密云·統(tǒng)考三模）如圖，在正方體，P為線段上的動(dòng)點(diǎn)（且不與，重合），則以下幾種說法：①②三棱錐CBPD的體積為定值③過P，C，三點(diǎn)作截面，截面圖形為三角形或梯形④DP與平面所成角的正弦值最大為上述說法正確的序號是.四、典型習(xí)題訓(xùn)練之解答題31．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，平面，．(1)求證：平面PAB；(2)求二面角的大?。?2．（2023秋·北京通州·高三統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，分別是，的中點(diǎn).(1)求證:平面；(2)再從條件①，條件②兩個(gè)中選擇一個(gè)作為已知，求平面與平面夾角的余弦值.條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.33．（2023秋·北京朝陽·高三統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求二面角的余弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．34．（2023秋·北京東城·高三統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，平面.(1)求證：為的中點(diǎn)；(2)再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線與平面所成角的正弦值.條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.35．（2023秋·北京海淀·高三統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，平面，為棱的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)再從條件①?條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求二面角的余弦值.條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.36．（2023秋·北京西城·高三統(tǒng)考期末）如圖，四邊形為梯形，，四邊形為平行四邊形．(1)求證：∥平面；(2)若平面，求：（ⅰ）直線與平面所成角的正弦值；（ⅱ）點(diǎn)D到平面的距離．37．（2023秋·北京豐臺(tái)·高三統(tǒng)考期末）如圖，已知正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若點(diǎn)F是線段的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．38．（2023秋·北京昌平·高三統(tǒng)考期末）如圖，在多面體中，側(cè)面為矩形，平面，平面.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求直線到平面的距離.39．（2023秋·北京房山·高三統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為1的正方形，平面，為棱的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)再從條件①、條件②、條件③中選擇一個(gè)作為已知，求：直線與平面所成角的正弦值，以及點(diǎn)到平面的距離.條件①：；條件②：平面；條件③：.40．（2023秋·北京石景山·高三統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐PABCD中，CD平面PAD，為等邊三角形，，，E，F(xiàn)分別為棱PD，PB的中點(diǎn).(1)求證AE平面PCD；(2)求平面AEF與平面PAD所成銳二面角的余弦值；(3)在棱PC上是否存在點(diǎn)G，使得DG平面AEF？若存在，求的值，若不存在，說明理由.41．（2023·北京順義·高三統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，，，E是的中點(diǎn)．(1)求證：直線∥平面；(2)已知，點(diǎn)M在棱上，且二面角的大小為，再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求的值．條件①：平面平面；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．42．（2023·北京東城·統(tǒng)考一模）如圖，在長方體中，，和交于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB的中點(diǎn).(1)求證：∥平面；(2)再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求（i）平面CEF與平面BCE的夾角的余弦值；（ii）點(diǎn)A到平面CEF的距離.條件①：；條件②：直線與平面所成的角為.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.43．（2023·北京西城·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐中，平面，，，，．為棱上一點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)．再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，完成下列兩個(gè)問題(1)求證：為的中點(diǎn)；(2)求二面角的余弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．44．（2023·北京豐臺(tái)·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，AC交BD于點(diǎn)O，，．點(diǎn)E是棱PA的中點(diǎn)，連接OE，OP．(1)求證：平面PCD；(2)若平面PAC與平面PCD的夾角的余弦值為，再從條件①，條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求線段OP的長．條件①：平面平面；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．45．（2023·北京石景山·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)面為等腰直角三角形，且，點(diǎn)為棱上的點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn).(1)求證：；(2)從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，求平面與平面所成銳二面角的大小.條件①：；條件②：平面平面；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.46．（2023·北京海淀·統(tǒng)考一模）如圖，直三棱柱中，，，，是的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．47．（2023·北京門頭溝·統(tǒng)考一模）如圖，在三棱錐中，，，O為AC的中點(diǎn).(1)證明：；(2)再從條件①?條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求二面角的余弦值及點(diǎn)A到平面BPC的距離.①；②.48．（2023·北京房山·統(tǒng)考一模）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面ABCD，，M為BC的中點(diǎn).(1)求證：平面PBD；(2)求平面ABCD與平面APM所成角的余弦值；(3)求D到平面APM的距離.49．（2023·北京順義·統(tǒng)考一模）如圖，在長方體中，，，E是的中點(diǎn)，平面與棱相交于點(diǎn)F．(1)求證：點(diǎn)F為的中點(diǎn)；(2)若點(diǎn)G為棱上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)G到平面的距離．50．（2023·北京平谷·統(tǒng)考一模）如圖，在三棱柱中，D，E，G分別為的中點(diǎn)，與平面交于點(diǎn)F，，，．(1)求證：F為的中點(diǎn)；(2)再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線FG與平面BCD所成角的正弦值．條件①：平面平面；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．51．（2023·北京延慶·統(tǒng)考一模）如圖，四棱錐中，底面是梯形，，面，是等腰三角形，，，是的中點(diǎn).(1)求證：；(2)設(shè)與所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角為，從以下所給的三個(gè)條件中選出其中一個(gè)作為已知條件，求四棱錐的體積.①；②；③．52．（2023·北京東城·統(tǒng)考二模）如圖，直角三角形和等邊三角形所在平面互相垂直，，是線段上一點(diǎn).(1)設(shè)為的中點(diǎn)，求證：；(2)若直線和平面所成角的正弦值為，求的值.53．（2023·北京西城·統(tǒng)考二模）如圖，在直三棱柱中，，，分別為，，的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．54．（2023·北京朝陽·二模）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，且，E是PC的中點(diǎn)，平面ABE與線段PD交于點(diǎn)F.(1)證明：F為PD的中點(diǎn)；(2)再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線BE與平面PAD所成角的正弦值.條件①：三角形BCF的面積為；條件②：三棱錐的體積為1.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.55．（2023·北京豐臺(tái)·統(tǒng)考二模）如圖，在多面體中，面是正方形，平面，平面平面，，，，四點(diǎn)共面，，．(1)求證：；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)過點(diǎn)與垂直的平面交直線于點(diǎn)，求的長度．56．（2023·北京海淀·統(tǒng)考二模）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD為菱形，E，F(xiàn)分別為AB，PD的中點(diǎn)．(1)求證：EF//平面PBC；(2)若，二面角的大小為，再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知．求PD的長．條件①：；條件②：．57．（2023·北京房山·統(tǒng)考二模）如圖，已知直三棱柱中，，為中點(diǎn)，，再從條件①，條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，完成以下問題：(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．58．（2023·北京昌平·統(tǒng)考二模）在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，且平面，分別是的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且.(1)求證：平面；(2)再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線與平面所成角的正弦值.條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答記分.59．（2023·北京通州·統(tǒng)考三模）如圖，在三棱錐中，平面平面BCD，，O為BD的中點(diǎn).(1)證明：.(2)若是等腰直角三角形，，，點(diǎn)E在棱AD上（與A，D不重合），若二面角的大小為，求點(diǎn)D到面BCE的距離.60．（2023·北京密云·統(tǒng)考三模）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，，分別是，的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值.2024屆北京高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案之《空間向量與立體幾何》答案1．【解】如圖，過做平面，垂足為，過分別做，，垂足分別為，，連接，由題意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面與底面夾角分別為和，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)椋矫?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以?同理：，又，故四邊形是矩形，所以由得，所以，所以，所以在直角三角形中，在直角三角形中，，，又因?yàn)椋欣忾L之和為.故選：C2．【解】因?yàn)闉檎襟w，所以因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離也即到平面的距離，也即點(diǎn)到平面的距離不隨的變化而變化，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，過點(diǎn)作，根據(jù)正方體的特征可知：平面，因?yàn)槠矫?，所以，，所以平面，則有，因?yàn)榍?，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以點(diǎn)到的距離也即到的距離，且距離為1，所以（定值），所以（定值），則三棱錐的體積不隨與的變化而變化，也即與與都無關(guān).故選：.3．【解】解：設(shè)圓柱的高為，底面半徑為．，．當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)取等號．此時(shí)．即當(dāng)，時(shí)取得最小值．故選：C.4.【解】由題知，在正方體中，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，建立以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向得空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長為1，所以，設(shè)，其中，所以，當(dāng)時(shí)，無解，故①錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，解得，故②正確；因?yàn)椋渲?，所以到的距離為，不是定值，故③錯(cuò)誤；因?yàn)?，其中，所以，所以三角形為直角三角形或鈍角三角形，不可能為銳角三角形，故④正確；故選：C5．【解】因?yàn)?、是兩個(gè)不同的平面，直線，若對內(nèi)的任意直線，都有，根據(jù)線面垂直的定義可知，，，所以，“對內(nèi)的任意直線，都有”“”；若，因?yàn)?，對?nèi)的任意直線，與的位置關(guān)系不確定，所以，“對內(nèi)的任意直線，都有”“”.因此，“對內(nèi)的任意直線，都有”是“”的充分而不必要條件.故選：A.6．【解】因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，則兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，對于①，因?yàn)?，所以不妨設(shè)，其中，則，故，因?yàn)?，所以，則，所以，，，即，所以，故①錯(cuò)誤；對于②，結(jié)合①中結(jié)論，，假設(shè)，則，即，即，顯然令，可以成立，所以假設(shè)成立，故②正確；對于③，結(jié)合②中結(jié)論，假設(shè)與所成的角為，則，即，令，則，，，所以上述等式成立，故假設(shè)成立，故③正確；綜上：②③正確，①錯(cuò)誤，所以正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是.故選：C.7．【解】因?yàn)?，可得，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，且，所?故選：D.8．【解】當(dāng)，時(shí)，可推出，但是推不出，當(dāng)時(shí)，由可知，又，所以，綜上可知，“”是“”的必要不充分條件.故選：B9．【解】如圖，連接，交于，連接，，在長方體中，平面與平面的交線為,而平面，且平面，所以，又，，所以，故C正確.對于A，因?yàn)殚L方體中與不一定垂直，故推不出，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)殚L方體中與不一定相等，故推不出，故B錯(cuò)誤；對于D，由B知，不能推出與垂直，而是中線，所以推不出，故D錯(cuò)誤.故選：C10．【解】在直三棱柱中平面，對于①：因?yàn)辄c(diǎn)在棱上，所以，又，又，，，點(diǎn)在棱上，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在點(diǎn)、在點(diǎn)時(shí)取等號，故①正確；對于②：如圖將翻折到與矩形共面時(shí)連接交于點(diǎn)，此時(shí)取得最小值，因?yàn)?，，所以，所以，即的最小值為，故②錯(cuò)誤；對于③：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，所以，，則點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，則，所以當(dāng)取最大值，且時(shí)，即當(dāng)在點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)點(diǎn)到直線的距離的最小值為，故③正確；故選：C11．【解】對選項(xiàng)A：根據(jù)對稱性知與三條直線的夾角相等，則與平行的直線都滿足條件，有無數(shù)條，錯(cuò)誤；對選項(xiàng)B：根據(jù)對稱性知平面與三條直線所成的角相等，則與平面平行的平面都滿足條件，有無數(shù)個(gè)，錯(cuò)誤；對選項(xiàng)C：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長為，，，上一點(diǎn)，則，，，點(diǎn)到直線的距離為，同理可得到直線和的距離為，故上的點(diǎn)到三條直線的距離都相等，故有無數(shù)個(gè)，錯(cuò)誤；對選項(xiàng)D：上的點(diǎn)到三條直線的距離都相等，故有無數(shù)個(gè)，正確；故選：D12．【解】過點(diǎn)作，垂足為，連接，當(dāng)，高度一樣，即時(shí)，一定有，理由如下：在正方體中，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，且平面，所以，?所以當(dāng)，高度一樣，即時(shí)，一定有，此時(shí)滿足條件的直線有無數(shù)條.故選：D.13.【解】如圖1，連接與相交于點(diǎn)，則.如圖2，將正方形沿對角線折起，折起后點(diǎn)記為．因?yàn)?，，，平面，平面，所以平面，因?yàn)檎叫芜呴L為，所以,，又因?yàn)?所以,所以.所以四面體的體積為．故選：A14.【解】A：正方體中，而P為線段的中點(diǎn)，即為的中點(diǎn)，所以，故不可能平行，錯(cuò)；B：若為中點(diǎn)，則，而，故，又面，面，則，故，，面，則面，所以存在Q使得平面，對；C：由正方體性質(zhì)知：，而面，故與面不平行，所以Q在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，到面的距離不一定相等，故三棱錐的體積不是定值，錯(cuò)；D：構(gòu)建如下圖示空間直角坐標(biāo)系，則，，且，所以，，若它們夾角為，則，令，則，當(dāng)，則，；當(dāng)則；當(dāng)，則，；所以不在上述范圍內(nèi)，錯(cuò).故選：B15．【解】因?yàn)閳A錐的軸截面是邊長為2的正三角形，所以圓錐的底面半徑為1，且圓錐的高，故體積為.故選：A16．【解】取邊的中點(diǎn)為,連接,P是CE的中點(diǎn)，則,由于,平面平面,平面平面，平面,故平面,平面,故,在直角三角形中，,,要使最小，則最小，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)最小，故的最小值為,所以，、故選：C17．【解】由題知，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令正方體棱長則，，，，，，，，，，設(shè)，對于①，當(dāng)點(diǎn)T為棱的中點(diǎn)時(shí)，，則，不滿足，所以點(diǎn)T不是棱的中點(diǎn)，故①錯(cuò)誤.，因?yàn)樗?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取，，，，連結(jié)，，，，則，，，即所以四邊形EFGH為矩形，因?yàn)椋?，所以，，又和為平面中的兩條相交直線，所以平面EFGH，又，，所以為EG的中點(diǎn)，則平面EFGH，為使，必有點(diǎn)平面EFGH，又點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)的軌跡為四邊形EFGH，又，，所以，則點(diǎn)的軌跡為矩形EFGH，故③正確面積為，即，故④正確又因?yàn)椋?，，則，即，所以，點(diǎn)在正方體表面運(yùn)動(dòng)，則，解得，所以，結(jié)合點(diǎn)的軌跡為矩形EFGH，分類討論下列兩種可能取得最小值的情況當(dāng)，或時(shí)，，當(dāng)，或時(shí)，因?yàn)?，所以?dāng)，或時(shí)，取得最小值為，即，故②正確.綜上所述：正確結(jié)論的序號是②③④故答案為：②③④.18．【解】取中點(diǎn)為,連接，因?yàn)闉檎切?，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所?且平面，所以平面，,即到平面的距離為，又因?yàn)?平面,平面,所以平面，又因?yàn)槭抢馍弦稽c(diǎn)，所以到平面的距離為,所以,故答案為:.19.【解】如圖所示∵用一個(gè)平行于底面的平面截三棱錐，且為正三棱錐，是底面的中心∴三棱錐為正三棱錐，故①正確；∵正三棱錐的六條棱長均為,是底面的中心，∴三棱錐的高為,的高為，且,,∴，故②正確，∵點(diǎn)不與頂點(diǎn)，重合，∴，設(shè)的高為，則，得，∴，，在上，上，所以在上遞增，上遞減，故在上有最大值，無最小值，故③錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)分別為線段的三等分點(diǎn)，∴，且∴.故④正確;故答案為：①②④20．【解】將四棱錐PABCD補(bǔ)成正方體如圖：則此四棱錐的外接球即為正方體的外接球，正方體的對角線長為，所以四棱錐的外接球的直徑為，因此四棱錐的外接球的半徑為故答案為：21．【解】對于①，由于在上運(yùn)動(dòng)，在上運(yùn)動(dòng)，所以的最小值就是兩條直線之間距離，而，所以的最小值為；對于②，，而，所以四面體的體積為；對于③，由題意可知，當(dāng)與重合，與重合時(shí)，，又根據(jù)正方體性質(zhì)可知，，所以當(dāng)為中點(diǎn)，與重合時(shí)，此時(shí)，故與垂直的不唯一，③錯(cuò)誤；對于④，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，，則此時(shí).所以只需要與的夾角能等于即可.以為原點(diǎn)，、、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖