第4章計數(shù)原理知識點清單高二上學(xué)期數(shù)學(xué)湘教版選擇性

新教材湘教版2019版數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第4章知識點清單目錄第4章計數(shù)原理4.1兩個計數(shù)原理4.2排列4.3組合4.4二項式定理第4章計數(shù)原理4.1兩個計數(shù)原理一、兩個計數(shù)原理的理解計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理相同點兩個計數(shù)原理都可以用來計算完成某件事的方法種數(shù)，最終的目的都是完成某件事不同點1.完成一件事有n類辦法，這n類

辦法之間是彼此獨(dú)立的.2.每一類中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事.3.把各類辦法中的方法數(shù)相加就是完成這件事的所有方法數(shù)1.完成一件事需要若干個步驟，完成每個步驟又有若干種方法.2.只有每個步驟都完成了才算完成這件事，每個步驟缺一不可.3.把完成每個步驟的方法數(shù)相乘就是完成這件事的所有方法數(shù)注意點類類獨(dú)立，不重不漏步步相依，步驟完整二、兩個計數(shù)原理的選擇與應(yīng)用1.合理選擇兩個計數(shù)原理當(dāng)完成一件事可以分為相互排斥的幾類時，選擇分類加法計數(shù)原理；當(dāng)完成一件事可以分為幾個相互關(guān)聯(lián)的步驟時，選擇分步乘法計數(shù)原理.在求解過程中要注意列舉法、樹狀圖法、間接法等的靈活應(yīng)用.2.類中有步，步中有類問題從A→D共有m1×(m2+m3+m4)×m5種方法.從A→B共有(m1×m2×m3+m4×m5)種方法.“類”用“+”連接，“步”用“×”連接，“類”獨(dú)立，“步”連續(xù)，“類”標(biāo)志一件事的完成，“步”則缺一不可.三、涂色問題?1.涂色問題的兩種解決方案(1)選擇正確的涂色順序，按步驟逐一涂色，應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理進(jìn)行計算；(2)先根據(jù)涂色時所用顏色種數(shù)進(jìn)行分類處理，再在每一類的涂色方法數(shù)的計算中應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理，最后根據(jù)分類加法計數(shù)原理對每一類的涂色方法數(shù)求和，即得到最終的涂色方法數(shù).4.2排列4.3組合一、排列與組合概念的理解1.排列的定義包含兩個過程：(1)取出元素：從n個不同元素中取出m(m≤n)個不同的元素(可分成m步，一步取一個、不放回地取)；(2)按序排列：把這m個不同的元素按照一定的順序排成一列.因此，兩個排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個排列的元素及其排列順序完全相同.2.組合是從n個不同元素中取出m(m≤n)個不同的元素，不論次序地構(gòu)成一組.兩個

組合相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個組合的元素完全相同.二、排列數(shù)公式與組合數(shù)公式1.排列數(shù)公式(1)Anm=n(n1)(n2)·…·(nm+1)(常用來求值)；(2)Anm=n!(n-m)!2.組合數(shù)公式(1)Cnm=An(2)Cnm=(3)Cnm=Cnn-m（反映對稱性，當(dāng)m>n2時，通常將(4)Cn+1m=Cnm三、與排列數(shù)、組合數(shù)有關(guān)的計算1.求解此類問題時要注意對公式的選擇與靈活應(yīng)用.2.解有關(guān)排列數(shù)、組合數(shù)的方程或不等式的步驟四、有限制條件的排列問題?1.“在”與“不在”問題解決此類問題，常用的方法是特殊位置(元素)分析法，遵循的原則是優(yōu)先排特殊位置(元素)，即需先滿足特殊位置(元素)的要求，再處理其他位置(元素)，如果有兩個及以上的約束條件，那么在考慮一個約束條件的同時要兼顧其他條件；當(dāng)直接求解困難時，可考慮用間接法解題.2.“相鄰”與“不相鄰”問題(1)當(dāng)元素被要求相鄰時，通常采用“捆綁法”，即把相鄰元素看作一個整體并與其他元素進(jìn)行排列.(2)當(dāng)元素被要求不相鄰時，通常采用“插空法”，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰元素插在前面元素形成的空中.3.“定序”問題在排列問題中，某些元素已排定了順序，對這些元素進(jìn)行排列時，不再考慮其順序.在具體的計算過程中，可采用“除階乘法”解決，即n個元素的全排列中有m(m≤n)個元素的順序固定，則滿足題意的排法有Ann五、分組與分配問題1.分組問題的求解策略(1)非均勻不編號分組：將n個不同元素分成m(m≤n)組，每組元素數(shù)目均不相等，依

次記為m1，m2，…，mm，不考慮各組間的順序，不管是否分盡，分法種數(shù)N=Cnm1Cn-(m1+m(2)均勻不編號分組：將n個不同元素分成不編號的m(m≤n)組，假定其中r組元素個

數(shù)相等，不管是否分盡，其分法種數(shù)為NArr數(shù)).若再有k組均勻分組，則應(yīng)再除以Ak(3)非均勻編號分組：將n個不同元素分成m(m≤n)組，各組元素數(shù)目均不相等，且考

慮各組間的順序，其分法種數(shù)為N·Amm(其中N(4)均勻編號分組：將n個不同元素分成m(m≤n)組，其中r組元素個數(shù)相等且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為NArr·Am2.相同元素分配問題的處理策略(1)隔板法：如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，那么可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板形成一個“盒”.每一種插入隔板的方法對應(yīng)著小球放入盒子的一種方法，此方法稱為隔板法.隔板法專門用于解決相同元素的分配問題.(2)將n個相同的元素分給m個不同的對象(n≥m)，有Cn-1m-1種方法.可理解為(空中插入(m1)塊板.六、排列、組合的綜合問題1.解決排列、組合問題首先要區(qū)分是排列問題還是組合問題，有序則用排列知識求解，無序則用組合知識求解，要遵循兩個原則：(1)按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；(2)按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步.4.4二項式定理一、二項式定理及相關(guān)概念1.公式(a+b)n=Cn0an+Cn1an1b+…+Cnranrbr+…+(其中0≤r≤n，r∈N，n∈N+)叫作二項式系數(shù)，在定理中，令a=1，b=x，則得到公式(1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrx2.二項展開式的通項為Tr+1=Cnranrbr，它是(a+b)n展開式的第(r+1)項二、二項式系數(shù)的有關(guān)性質(zhì)1.對稱性在二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等，即Cnr=2.單調(diào)性和最大值二項式系數(shù)從兩端向中間逐漸增大，當(dāng)n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)Cnn當(dāng)n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)Cnn-12，3.各二項式系數(shù)的和(1)Cn0+Cn1+…+(2)Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn三、求二項展開式中的特定項(項的系數(shù))1.對于常數(shù)項，隱含的條件是字母的指數(shù)為0.2.對于有理項，一般先寫出展開式的通項，然后令其所有的字母的指數(shù)都等于整數(shù).求解時必須合并通項中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其為整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解.3.對于整式項，其通項中同一字母的指數(shù)合并后應(yīng)是非負(fù)整數(shù)，求解方式與求有理項一致.四、三項展開式問題1.求三項式中特定項的方法(1)因式分解法：先通過因式分解將三項式變成兩個二項式，然后用二項式定理分別展開.(2)逐層展開法：先將三項式分成兩組，用二項式定理展開，再把其中含兩項的展開.(3)利用組合知識：把三項式(a+b+c)n看成n個(a+b+c)的積，利用組合知識分析項的構(gòu)成，注意最后把各個同類項合并.五、賦值法求展開式中的系數(shù)和1.賦值法是解決展開式中系數(shù)或展開式中系數(shù)的和、差問題的常用方法.要根據(jù)所求，靈活地對字母賦值，通常賦的值為0，1或1.(1)對形如(ax+b)n，(ax2+bx+c)m(a，b，c∈R，m，n∈N+)的式子，常令x=1；對形如(ax+by)n(a，b∈R，n∈N+)的式子，常令x=y=1.(2)一般地，令f(x)=(ax+b)n，即f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn，則(ax+b)n的展開式中各項系數(shù)之和為f(1)；奇數(shù)項系數(shù)之和為a0+a2+a4+…=f(1)+f(-1)2偶數(shù)項系數(shù)之和為a1+a3+a5+…=f(1)-六、二項式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用1.求展開式中二項式系數(shù)最大的項時，可直接根據(jù)性質(zhì)求解.2.求二項展開式中系數(shù)的最值問題有兩種思路：(1)看成關(guān)于n的函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性