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第4章圖像變換4.1傅里葉變換4.2離散余弦變換4.3K-L變換4.4小波變換
2023/9/172023/9/174.數(shù)字圖像傅里葉變換的頻譜分布和統(tǒng)計(jì)特性
1)數(shù)字圖像傅里葉變換的頻譜分布數(shù)字圖像的二維離散傅里葉變換所得結(jié)果的頻率成分如圖4.10所示,左上角為直流成分,變換結(jié)果的四個(gè)角的周?chē)鷮?duì)應(yīng)于低頻成分,中央部位對(duì)應(yīng)于高頻部分。為了便于觀察譜的分布,使直流成分出現(xiàn)在窗口的中央,可采用圖示的換位方法,根據(jù)傅里葉頻率位移的性質(zhì),只需要用f(x,y)乘上因子進(jìn)行傅里葉變換即可實(shí)現(xiàn),變換后的坐標(biāo)原點(diǎn)移動(dòng)到了窗口中心,圍繞坐標(biāo)中心的是低頻,向外是高頻。4.1.2離散傅里葉變換2023/9/17圖4.10二維傅里葉變換的頻譜分布
4.1.2離散傅里葉變換2023/9/17圖4.11頻率位移示例4.1.2離散傅里葉變換2023/9/17
圖4.11為二維離散傅里葉變換的頻率位移特性。圍繞坐標(biāo)中心的是低頻,向外是高頻,頻譜由中心向周邊放射,而且各行各列的譜對(duì)中心點(diǎn)是共軛對(duì)稱的,利用這個(gè)特性,在數(shù)據(jù)存儲(chǔ)和傳輸時(shí),僅存儲(chǔ)和傳輸它們中的一部分,進(jìn)行逆變換恢復(fù)原圖像前,按照對(duì)稱性補(bǔ)充另一部分?jǐn)?shù)據(jù),就可達(dá)到數(shù)據(jù)壓縮的目的。
2)圖像傅里葉變換的統(tǒng)計(jì)分布(1)傅里葉變換后的零頻分量F(0,0),也稱作直流分量,根據(jù)傅里葉變換公式有:
它反映了原始圖像的平均亮度。
4.1.2離散傅里葉變換2023/9/17(2)對(duì)大多數(shù)無(wú)明顯顆粒噪音的圖像來(lái)說(shuō),低頻區(qū)集中了85%的能量,這一點(diǎn)成為對(duì)圖像變換壓縮編碼的理論根據(jù),如變換后僅傳送低頻分量的幅值,對(duì)高頻分量不傳送,反變換前再將它們恢復(fù)為零值,就可以達(dá)到壓縮的目的。(3)圖像灰度變化緩慢的區(qū)域,對(duì)應(yīng)它變換后的低頻分量部分;圖像灰度呈階躍變化的區(qū)域,對(duì)應(yīng)變換后的高頻分量部分。除顆粒噪音外,圖像細(xì)節(jié)的邊緣、輪廓處都是灰度變化突變區(qū)域,它們都具有變換后的高頻分量特征。4.1.2離散傅里葉變換4.2離散余弦變換
數(shù)字圖像處理中的正交變換,除了傅里葉變換以外,還經(jīng)常用到離散余弦變換(DiscreteCosineTransform,DCT)。DCT是與傅里葉變換相關(guān)的一種變換,它類似于離散傅里葉變換(DiscreteFourierTransform,DFT),但是只使用實(shí)數(shù)。離散余弦變換相當(dāng)于一個(gè)長(zhǎng)度大概是它兩倍的離散傅里葉變換,這個(gè)離散傅里葉變換是對(duì)一個(gè)實(shí)偶函數(shù)進(jìn)行的(因?yàn)橐粋€(gè)實(shí)偶函數(shù)的傅里葉變換仍然是一個(gè)實(shí)偶函數(shù))。2023/9/174.2離散余弦變換對(duì)信號(hào)和圖像進(jìn)行有損數(shù)據(jù)壓縮。離散余弦變換具有很強(qiáng)的“能量集中”特性。大多數(shù)的自然信號(hào)(包括聲音和圖像)的能量都集中在離散余弦變換后的低頻部分。2023/9/17DCT的步驟分塊:在對(duì)輸入圖像進(jìn)行DCT前,需要將圖像分成子塊。變換:對(duì)每個(gè)塊的每行進(jìn)行DCT變換,然后每列進(jìn)行變換。得到的是一個(gè)的變換系數(shù)矩陣。(0,0)位置的元素就是直流分量,矩陣中的其他元素根據(jù)其位置,表示不同頻率的交流分量。4.2.1一維離散余弦變換2023/9/17式中是第u個(gè)余弦變換系數(shù),u是廣義頻率變量,;是時(shí)域N點(diǎn)序列,;兩式構(gòu)成了一維離散余弦變換對(duì)。2023/9/174.2.1一維離散余弦變換
4.2.2二維離散余弦變換2023/9/174.2.2二維離散余弦變換2023/9/174.2.3離散余弦變換的矩陣表示
二維離散余弦變換具有系數(shù)為實(shí)數(shù),正變換與逆變換的核相同的特點(diǎn)。離散余弦變換是一種正交變換。為了分析計(jì)算方便,還可以用矩陣的形式來(lái)表示。設(shè)f為一個(gè)N點(diǎn)的離散信號(hào)序列,可以用一個(gè)的列向量表示,F(xiàn)為頻域中一個(gè)的列向量。的矩陣C為離散余弦變換矩陣,一維離散余弦變換表示為2023/9/17二維離散余弦變換為正變換2023/9/172023/9/174.2.3離散余弦變換的矩陣表示2023/9/174.2.3離散余弦變換的矩陣表示2023/9/174.2.3離散余弦變換的矩陣表示結(jié)果分析:離散余弦變換具有信息強(qiáng)度集中的特點(diǎn)。圖像進(jìn)行DCT變換
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