2024屆江蘇省南京市上元中學九年級數學第一學期期末綜合測試模擬試題含解析

2024屆江蘇省南京市上元中學九年級數學第一學期期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．若，則函數與在同一平面直角坐標系中的圖象大致是（）A． B． C． D．2．一元二次方程的解是（）A．5或0 B．或0 C． D．03．在數軸上表示不等式﹣2≤x＜4，正確的是（）A． B．C． D．4．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，若AB＝4，cos∠ABC＝，則BD的長為（）A．2 B．4 C．2 D．45．如圖，矩形ABCD中，E是AB的中點，將△BCE沿CE翻折，點B落在點F處，tan∠BCE=．設AB=x，△ABF的面積為y，則y與x的函數圖象大致為A． B．C． D．6．下列運算中，計算結果正確的是（）A．a4?a＝a4 B．a6÷a3＝a2 C．（a3）2＝a6 D．（ab）3＝a3b7．下列事件中是必然發(fā)生的事件是（）A．拋兩枚均勻的硬幣，硬幣落地后，都是正面朝上B．射擊運動員射擊一次，命中十環(huán)C．在地球上，拋出的籃球會下落D．明天會下雨8．觀察下列圖形，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．9．如圖是我們學過的反比例函數圖象，它的表達式可能是（）A． B． C． D．10．如圖，點A在反比例函數y=(x＞0)的圖象上，過點A作AB⊥x軸，垂足為點B，點C在y軸上，則△ABC的面積為()A．3 B．2 C． D．1二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，是的內接三角形，，的長是，則的半徑是__________．12．如圖，是的兩條切線，為切點，點分別在線段上，且，則__________．13．若反比例函數的圖像上有兩點，，則____．（填“>”或“=”或“<”）14．如圖，在中，，，點在上，且，則______．______．15．如圖，矩形的對角線、相交于點，AB與BC的比是黃金比，過點C作CE∥BD，過點D作DE∥AC，DE、交于點，連接AE，則tan∠DAE的值為___________.（不取近似值）16．若弧長為4π的扇形的圓心角為直角，則該扇形的半徑為．17．方程的解是_____________．18．如圖，在由10個完全相同的正三角形構成的網格圖中，∠α、∠β如圖所示，則sin（α+β）＝_____________．三、解答題(共66分)19．（10分）為了維護國家主權和海洋權利，海監(jiān)部門對我國領海實現了常態(tài)化巡航管理，如圖，正在執(zhí)行巡航任務的海監(jiān)船以每小時50海里的速度向正東方航行，在A處測得燈塔P在北偏東60°方向上，繼續(xù)航行1小時到達B處，此時測得燈塔P在北偏東30°方向上．（1）求∠APB的度數；（2）已知在燈塔P的周圍25海里內有暗礁，問海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？．20．（6分）某商場經銷-種進價為每千克50元的水產品，據市場分析，每千克售價為60元時，月銷售量為，銷售單價每漲1元時，月銷售量就減少，針對這種情況，請解答以下問題：（1）當銷售單價定為65元時，計算銷售量和月銷售利潤；（2）若想在月銷售成本不超過12000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應定為多少？21．（6分）已知：平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD的長是關于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的兩個實數根．（1）m為何值時，四邊形ABCD是菱形？求出這時菱形的邊長；（2）若AB的長為2，那么?ABCD的周長是多少？22．（8分）周末，小華和小亮想用所學的數學知識測量家門前小河的寬．測量時，他們選擇了河對岸邊的一棵大樹，將其底部作為點A，在他們所在的岸邊選擇了點B，使得AB與河岸垂直，并在B點豎起標桿BC，再在AB的延長線上選擇點D豎起標桿DE，使得點E與點C、A共線．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，測得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．測量示意圖如圖所示．請根據相關測量信息，求河寬AB．

23．（8分）如圖，是一個銳角三角形，分別以、向外作等邊三角形、，連接、交于點，連接.（1）求證：（2）求證：24．（8分）關于的一元二次方程有實數根．（1）求的取值范圍；（2）如果是符合條件的最大整數，且一元二次方程與方程有一個相同的根，求此時的值．25．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，△ABC的頂點均在格點上，點A、B、C的坐標分別為（1，﹣4）、（5，﹣4）、（4，﹣1）．（1）以原點O為對稱中心，畫出△ABC關于原點O對稱的△A1B1C1，并寫出A1的坐標；（2）將△A1B1C1繞頂點A1逆時針旋轉90°后得到對應的△A1B2C2，畫出△A1B2C2，并求出線段A1C1掃過的面積．26．（10分）現如今，“垃圾分類”意識已深入人心，垃圾一般可分為：可回收物、廚余垃圾、有害垃圾、其它垃圾．其中甲拿了一袋垃圾，乙拿了兩袋垃圾．（1）直接寫出甲所拿的垃圾恰好是“廚余垃圾”的概率；（2）求乙所拿的兩袋垃圾不同類的概率．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【分析】根據及正比例函數與反比例函數圖象的特點，可以從和兩方面分類討論得出答案．【題目詳解】∵，∴分兩種情況：

（1）當時，正比例函數數的圖象過原點、第一、三象限，反比例函數圖象在第二、四象限，無此選項；

（2）當時，正比例函數的圖象過原點、第二、四象限，反比例函數圖象在第一、三象限，選項B符合．

故選：B．【題目點撥】本題主要考查了反比例函數的圖象性質和正比例函數的圖象性質，解題的關鍵是掌握它們的性質．2、B【解題分析】根據因式分解法即可求出答案．【題目詳解】∵5x2=x，∴x(5x﹣1)=0，∴x=0或x．故選：B．【題目點撥】本題考查了一元二次方程，解答本題的關鍵是熟練運用一元二次方程的解法，本題屬于基礎題型．3、A【分析】根據不等式的解集在數軸上表示出來即可．【題目詳解】解：在數軸上表示不等式﹣2≤x＜4的解集為：故選：A．【題目點撥】此題主要考查不等式解集的表示，解題的關鍵是熟知不等式解集的表示方法．4、D【分析】由銳角三角函數可求∠ABC＝60°，由菱形的性質可得AB＝BC＝4，∠ABD＝∠CBD＝30°，AC⊥BD，由直角三角形的性質可求BO＝OC＝2，即可求解．【題目詳解】解：∵cos∠ABC＝，∴∠ABC＝60°，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝4，∠ABD＝∠CBD＝30°，AC⊥BD，∴OC＝BC＝2，BO＝OC＝2，∴BD＝2BO＝4，故選：D【題目點撥】此題主要考查三角函數的應用，解題的關鍵是熟知菱形的性質及解直角三角形的方法．5、D【解題分析】設AB＝x，根據折疊，可證明∠AFB=90°，由tan∠BCE=，分別表示EB、BC、CE，進而證明△AFB∽△EBC，根據相似三角形面積之比等于相似比平方，表示△ABF的面積.【題目詳解】設AB＝x，則AE＝EB＝x，由折疊，FE＝EB＝x，則∠AFB＝90°，由tan∠BCE＝，∴BC＝x，EC＝x，∵F、B關于EC對稱，∴∠FBA＝∠BCE，∴△AFB∽△EBC，∴，∴y＝，故選D.【題目點撥】本題考查了三角函數，相似三角形，三角形面積計算，二次函數圖像等知識，利用相似三角形的性質得出△ABF和△EBC的面積比是解題關鍵.6、C【分析】根據冪的運算法則即可判斷.【題目詳解】A、a4?a＝a5，故此選項錯誤；B、a6÷a3＝a3，故此選項錯誤；C、（a3）2＝a6，正確；D、（ab）3＝a3b3，故此選項錯誤；故選C．【題目點撥】此題主要考查冪的運算，解題的關鍵是熟知冪的運算公式.7、C【解題分析】試題分析：A．拋兩枚均勻的硬幣，硬幣落地后，都是正面朝上是隨機事件，故A錯誤；B．射擊運動員射擊一次，命中十環(huán)是隨機事件，故B錯誤；C．在地球上，拋出的籃球會下落是必然事件，故C正確；D．明天會下雨是隨機事件，故D錯誤；故選C．考點：隨機事件．8、C【分析】根據中心對稱圖形的概念判斷即可．【題目詳解】解：A、不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；B、不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；C、是中心對稱圖形，故此選項符合題意；D、不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意．故選：C．【題目點撥】本題考查了中心對稱圖形的識別，熟練掌握概念是解題的關鍵．9、B【分析】根據反比例函數圖象可知，經過第一三象限，，從而得出答案．【題目詳解】解：A、為二次函數表達式，故A選項錯誤；B、為反比例函數表達式，且，經過第一三象限，符合圖象，故B選項正確；C、為反比例函數表達式，且，經過第二四象限，不符合圖象，故C選項錯誤；D、為一次函數表達式，故D選項錯誤．故答案為B．【題目點撥】本題考查了反比例函數的圖象的識別，掌握反比例函數的圖象與性質是解題的關鍵．10、C【分析】連結OA，如圖，利用三角形面積公式得到S△OAB=S△CAB，再根據反比例函數的比例系數k的幾何意義得到S△OAB=|k|，便可求得結果．【題目詳解】解：連結OA，如圖，∵AB⊥x軸，∴OC∥AB，∴S△OAB=S△CAB，而S△OAB=|k|=，∴S△CAB=，故選C．【題目點撥】本題考查了反比例函數的比例系數k的幾何意義：在反比例函數y=圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|．二、填空題(每小題3分,共24分)11、【分析】連接OB、OC，如圖，由圓周角定理可得∠BOC的度數，然后根據弧長公式即可求出半徑.【題目詳解】解：連接OB、OC，如圖，∵，∴∠BOC=90°，∵的長是，∴，解得：.故答案為：.【題目點撥】本題考查了圓周角定理和弧長公式，屬于基本題型，熟練掌握上述基本知識是解答的關鍵.12、61°【分析】根據切線長定理，可得PA=PB，然后根據等腰三角形的性質和三角形的內角和定理即可求出∠FAD=∠DBE=61°，利用SAS即可證出△FAD≌△DBE，從而得出∠AFD=∠BDE，然后根據三角形外角的性質即可求出∠EDF．【題目詳解】解：∵是的兩條切線，∠P=58°∴PA=PB∴∠FAD=∠DBE=（180°－∠P）=61°在△FAD和△DBE中∴△FAD≌△DBE∴∠AFD=∠BDE，∵∠BDF=∠BDE＋∠EDF=∠AFD＋∠FAD∴∠EDF=∠FAD=61°故答案為：61°【題目點撥】此題考查的是切線長定理、等腰三角形的性質、三角形的內角和定理、全等三角形的判定及性質和三角形外角的性質，掌握切線長定理、等邊對等角和全等三角形的判定及性質是解決此題的關鍵．13、<【分析】先把A(，2)，B(，-1)代入反比例函數，求出的值并比較出其大小即可．【題目詳解】∵點A(，2)，B(，-1)是反比例函數圖像上的點，∴，，∵，∴，故答案為：．【題目點撥】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特點，即反比例函數圖象上各點的坐標一定適合此函數的解析式．14、【分析】在Rt△ABC中，根據，可求得AC的長；在Rt△ACD中，設CD=x，則AD=BD=8-x，根據勾股定理列方程求出x值，從而求得結果．【題目詳解】解：在Rt△ABC中，∵，∴AC=BC=1．設CD=x，則BD=8-x=AD，在Rt△ACD中，由勾股定理得，x2+12=(8-x)2，解得x=2．∴CD=2，AD=5，∴．故答案為：1；．【題目點撥】本題考查解直角三角形，掌握相關概念是解題的關鍵．15、【分析】根據AB與BC的比是黃金比得到AB∶BC=，連接OE與CD交于點G，過E點作EF⊥AF交AD延長線于F，證明四邊形CEDO是菱形，得到，，即可求出tan∠DAE的值；【題目詳解】解：∵AB與BC的比是黃金比，∴AB∶BC=連接OE與CD交于點G，過E點作EF⊥AF交AD延長線于F，矩形的對角線、相交于點，∵CE∥BD，DE∥AC，∴四邊形CEDO是平行四邊形，又∵是矩形，∴OC=OD，∴四邊形CEDO是菱形（鄰邊相等的平行四邊形是菱形），∴CD與OE垂直且平分，∴，∴，tan∠DAE，故答案為：；【題目點撥】本題主要考查了矩形的性質、菱形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、黃金分割比，掌握鄰邊相等的平行四邊形是菱形是解題的關鍵；16、1．【分析】根據扇形的弧長公式計算即可，【題目詳解】∵扇形的圓心角為90°，弧長為4π，∴，即4π=，則扇形的半徑r=1．故答案為1考點：弧長的計算．17、x1=3，x2=-1【分析】利用因式分解法解方程.【題目詳解】，（x-3）（x+1）=0，∴x1=3，x2=-1，故答案為：x1=3，x2=-1.【題目點撥】此題考查一元二次方程的解法，根據方程的特點選擇適合的方法解方程是關鍵.18、【分析】連接DE，利用等腰三角形的性質及三角形內角和定理可得出∠α=30°，同理可得出：∠CDE=∠CED=30°=∠α，由∠AEC=60°結合∠AED=∠AEC+∠CED可得出∠AED=90°，設等邊三角形的邊長為a，則AE=2a，DE=a，利用勾股定理可得出AD的長，由三角函數定義即可得出答案．【題目詳解】解：連接DE，如圖所示：

在△ABC中，∠ABC=120°，BA=BC，

∴∠α=30°，

同理得：∠CDE=∠CED=30°=∠α．

又∵∠AEC=60°，

∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°．

設等邊三角形的邊長為a，則AE=2a，DE=2×sin60°?a=a，

∴AD=a，

∴sin（α+β）==．

故答案為：．【題目點撥】此題考查解直角三角形、等邊三角形的性質以及圖形的變化規(guī)律，構造出含一個銳角等于∠α+∠β的直角三角形是解題的關鍵．三、解答題(共66分)19、（1）30°；（2）海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是安全的．【分析】（1）根據直角的性質和三角形的內角和求解；（2）過點P作PH⊥AB于點H，根據解直角三角形，求出點P到AB的距離，然后比較即可.【題目詳解】解：（1）在△APB中，∠PAB=30°，∠ABP=120°∴∠APB=180°-30°-120°=30°（2）過點P作PH⊥AB于點H在Rt△APH中，∠PAH=30°，AH=PH在Rt△BPH中，∠PBH=30°，BH=PH∴AB=AH-BH=PH=50解得PH=25＞25，因此不會進入暗礁區(qū)，繼續(xù)航行仍然安全.考點：解直角三角形20、（1）銷售量：450kg；月銷售利潤：6750元；（2）銷售單價定為90元時，月銷售利潤達到8000元，且銷售成本不超過12000元【分析】（1）利用每千克水產品的銷售利潤×月銷售量=月銷售利潤列出函數即可；（2）由函數值為8000，列出一元二次方程解決問題．【題目詳解】解：（1）銷售量：，月銷售利潤：（元）；（2）因為月銷售成本不超過12000元，∴月銷售數量不超過；設銷售定價為元，由題意得：，解得；當時，月銷售量為，滿足題意；當時，月銷售量為，不合題意，應舍去．∴銷售單價定為90元時，月銷售利潤達到8000元，且銷售成本不超過12000元．【題目點撥】此題考查了一元二次方程的應用，利用基本數量關系：每千克水產品的銷售利潤×月銷售量=月銷售利潤列函數解析式，用配方法求最大值以及函數與方程的關系．21、（1）當m為1時，四邊形ABCD是菱形，邊長是；（2）?ABCD的周長是1．【分析】（1）根據菱形的性質可得出AB＝AD，結合根的判別式，即可得出關于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，將其代入原方程，解之即可得出菱形的邊長；（2）將x＝2代入原方程可求出m的值，將m的值代入原方程結合根與系數的關系可求出方程的另一根AD的長，再根據平行四邊形的周長公式即可求出?ABCD的周長．【題目詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD．又∵AB、AD的長是關于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的兩個實數根，∴△＝（﹣m）2﹣4×（﹣）＝（m﹣1）2＝0，∴m＝1，∴當m為1時，四邊形ABCD是菱形．當m＝1時，原方程為x2﹣x+＝0，即（x﹣）2＝0，解得：x1＝x2＝，∴菱形ABCD的邊長是．（2）把x＝2代入原方程，得：4﹣2m+﹣＝0，解得：m＝．將m＝代入原方程，得：x2﹣x+1＝0，∴方程的另一根AD＝1÷2＝，∴?ABCD的周長是2×（2+）＝1．【題目點撥】本題考查了根與系數的關系、根的判別式、平行四邊形的性質以及菱形的判定與性質，解題的關鍵是：（1）根據菱形的性質結合根的判別式，找出關于m的一元二次方程；（2）根據根與系數的關系結合方程的一根求出方程的另一根．22、河寬為17米．【解題分析】由題意先證明?ABC∽?ADE，再根據相似三角形的對應邊成比例即可求得AB的長.【題目詳解】∵CB⊥AD，ED⊥AD，∴∠CBA＝∠EDA＝90°，∵∠CAB＝∠EAD，∴?ABC∽?ADE，∴，又∵AD=AB+BD，BD=8.5，BC＝1，DE＝1.5，∴，∴AB＝17，即河寬為17米．【題目點撥】本題考查了相似三角形的應用，熟記相似三角形的判定與性質是解題的關鍵.23、（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）過A作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，設AB與CD相交于點G．根據等邊三角形的性質得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，根據全等三角形的判定定理即可得△ACD≌△AEB，根據全等三角形的性質可得AM=AN，根據角平分線的判定定理即可得到∠DFA=∠AFE，再根據全等三角形的對應角相等和三角形內角和等于180°得到∠DFB=∠DAG=60°，即可得到結論；（2）如圖，延長FB至K，使FK=DF，連DK，根據等邊三角形的性質和全等三角形的判定和性質定理即可得到結論．【題目詳解】（1）過A作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，設AB與CD相交于點G．∵△ABD和△ACE為等邊三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠DAC=∠BAE=60°+∠BAC．在△ACD和△AEB中，∵，∴△ACD≌△AEB，∴CD=BE，∠ADG=∠ABF，△ADC的面積=△ABE的面積，∴CD?AM=BE?AN，∴AM=AN，∴AF是∠DFE的平分線，∴∠DFA=∠AFE．∵∠ADG=∠ABF，∠AGD=∠BGF，∴∠DFB=∠DAG=60°，∴∠GFE=120°，∴∠BFD=∠DFA=∠AFE．（2）如圖，延長FB至K，使FK=DF，連接DK．∵∠DFB=60°，∴△DFK為等邊三角形，∴DK=DF，∠KDF=∠K=60°，∴∠K=∠DFA=60°．∵∠ADB=60°，∴∠KDB=∠FDA．在△DBK和△DAF中，∵∠K=∠DFA，DK=DF，∠KDB=∠FDA，∴△DBK≌△DAF，∴BK=AF．∵DF=DK=FK=BK+B