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河北省秦皇島市孟臺(tái)子中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文模擬試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知且,則的值為A.
B.
C.
D.參考答案:D略2.設(shè)是虛數(shù)單位,則等于A. B. C. D.參考答案:D略3.一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖,則該幾何體的體積為A.
B.0C.
D.參考答案:D4.設(shè)為正數(shù),則的最小值是(
)。A、6
B、7
C、8
D、9參考答案:D略5.已知,,則(
)A.
B.
C.
D.參考答案:D略6.計(jì)算:等于
A.1+i
B.1—i
C.—1+i
D.—1—i參考答案:A7.已知全集U={1,2,3,4,5},M={3,4,5},N={2,3},則集合(?UN)∩M=()A.{2} B.{1,3} C.{2,5} D.{4,5}參考答案:D【考點(diǎn)】1H:交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算.【分析】求出N的補(bǔ)集,然后求解交集即可.【解答】解:全集U={1,2,3,4,5},N={2,3},則集合?UN={1,4,5},M={3,4,5},集合(?UN)∩M={4,5}.故選:D.8.函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象
(A)向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位
(B)向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位(C)向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位
(D)向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位參考答案:C略9.定義在R上的函數(shù)f(x)在(-∞,2)上是增函數(shù),且f(x+2)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱,則
A.f(-1)<f(3)B.f(0)>f(3)
C.f(-1)=f(3)
D.f(0)=f(3)參考答案:A10.將函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再把圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),則所得圖像的解析式為(
)A. B.C. D.參考答案:A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的左右平移和伸縮變換原則變化函數(shù)解析式即可得到結(jié)果.【詳解】向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得:橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的倍得:本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象變換中的左右平移變換和伸縮變換,關(guān)鍵是明確兩種變換均是針對(duì)于的變化.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某個(gè)年級(jí)有男生560人,女生420人,用分層抽樣的方法從該年級(jí)全體學(xué)生中抽取一個(gè)容量為280的樣本,則此樣本中男生人數(shù)為___________。參考答案:16012.已知是圓為圓心)上一動(dòng)點(diǎn),線段AB的垂直平分線交BF于P,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為
.參考答案:答案:13.不等式的解集為_____________.參考答案:14.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n3,則a6+a7+a8+a9等于
.參考答案:60415.已知函數(shù),給出下列四個(gè)命題:①函數(shù)是周期函數(shù).②函數(shù)既有最大值又有最小值.③函數(shù)的圖像有對(duì)稱軸.④對(duì)于任意,函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).其中真命題的序號(hào)是
.(請(qǐng)寫出所有真命題的序號(hào))參考答案:②③16.當(dāng)x>1時(shí),的最小值為__________.參考答案:略17.(幾何證明選講選做題)如圖,點(diǎn)A、B、C都在⊙O上,過點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,若AB=5,BC=3,CD=6,則線段AC的長(zhǎng)為_______。參考答案:三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f(x)=x3﹣﹣1的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),g(x)=emx+f′(x).(Ⅰ)若f(2)=11,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;(Ⅱ)證明函數(shù)g(x)在(﹣∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增;(Ⅲ)若對(duì)任意x1,x2∈[﹣1,1],都有|g(x1)﹣g(x2)|≤e+1,求m的取值范圍.參考答案:【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用.【專題】綜合題;轉(zhuǎn)化思想;分類法;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用;導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.【分析】(Ⅰ)由f(2)=11,求得m=﹣2,求出f(x)的導(dǎo)數(shù),求得切線的斜率和切點(diǎn),即可得到所求切線的方程;(Ⅱ)利用g′(x)≥0說明函數(shù)為增函數(shù),利用g′(x)≤0說明函數(shù)為減函數(shù).注意參數(shù)m的討論;(Ⅲ)由(Ⅱ)知,對(duì)任意的m,g(x)在[﹣1,0]單調(diào)遞減,在[0,1]單調(diào)遞增,則恒成立問題轉(zhuǎn)化為最大值和最小值問題.從而求得m的取值范圍.【解答】解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)=x3﹣﹣1的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=3x2﹣mx,f(2)=11,可得8﹣2m﹣1=11,解得m=﹣2,即f(x)=x3+x2﹣1導(dǎo)數(shù)為f′(x)=3x2+2x,在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率為5,切點(diǎn)為(1,1),則在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y﹣1=5(x﹣1),即為5x﹣y﹣4=0;(Ⅱ)證明:g(x)=emx+f′(x)=emx+3x2﹣mx.g′(x)=m(emx﹣1)+6x.若m≥0,則當(dāng)x∈(﹣∞,0)時(shí),emx﹣1≤0,g′(x)<0;當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),emx﹣1≥0,g′(x)>0.若m<0,則當(dāng)x∈(﹣∞,0)時(shí),emx﹣1>0,g′(x)<0;當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),emx﹣1<0,g′(x)>0.所以,g(x)在(﹣∞,0)時(shí)單調(diào)遞減,在(0,+∞)單調(diào)遞增;(Ⅲ)由(1)知,對(duì)任意的m,g(x)在[﹣1,0]單調(diào)遞減,在[0,1]單調(diào)遞增,故g(x)在x=0處取得最小值.所以對(duì)于任意x1,x2∈[﹣1,1],|g(x1)﹣g(x2)|≤e+1的充要條件是,即,即,設(shè)函數(shù)h(t)=et﹣t﹣e+1,則h′(t)=et﹣1.當(dāng)t<0時(shí),h′(t)<0;當(dāng)t>0時(shí),h′(t)>0.故h(t)在(﹣∞,0)單調(diào)遞減,在(0,+∞)單調(diào)遞增.又h(1)=0,h(﹣1)=e﹣1+2﹣e<0,故當(dāng)t∈[﹣1,1]時(shí),h(t)≤0.當(dāng)m∈[﹣1,1]時(shí),h(m)≤0,h(﹣m)≤0,即合式成立;當(dāng)m>1時(shí),由h(t)的單調(diào)性,h(m)>0,即em﹣m>e﹣1.當(dāng)m<﹣1時(shí),h(﹣m)>0,即e﹣m+m>e﹣1.綜上,m的取值范圍是[﹣1,1].【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在求單調(diào)函數(shù)中的應(yīng)用和恒成立在求參數(shù)中的應(yīng)用.屬于難題.19.如圖四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PD底面ABCD,點(diǎn)E在棱PB上。(1)求證:平面AEC平面PDB。(2)若E是PB的中點(diǎn),且AE與平面PBD所成的角為45時(shí),求二面角B-AE-D大小的余弦值。參考答案:(1)證明:,又是正方形,.,又。(2),是AE在面PBD上的射影,是AE與面PBD所成的角,.令,.以D為原點(diǎn),DA,DB,DC分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,易求得面BAE的一個(gè)法向量為,求得面DAE的一個(gè)法向量為,,二面角大小余弦值為。略20.已知函數(shù),且.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)若對(duì)于任意,都有,求的最小值;
(Ⅲ)證明:函數(shù)的圖象在直線的下方.參考答案:【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【試題解析】(Ⅰ)對(duì)求導(dǎo),得,
所以,解得,
所以.
(Ⅱ)由,得,
因?yàn)椋?/p>
所以對(duì)于任意,都有.
設(shè),則
.
令
,解得.
當(dāng)x變化時(shí),與的變化情況如下表:
所以當(dāng)時(shí),.
因?yàn)閷?duì)于任意,都有成立,
所以
.
所以的最小值為.
(Ⅲ)證明:“函數(shù)的圖象在直線的下方”
等價(jià)于“”,
即要證,
所以只要證.
由(Ⅱ),得,即(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立).
所以只要證明當(dāng)時(shí),即可.
設(shè),
所以,
令,解得.
由,得,所以在上為增函數(shù).
所以,即.
所以.
故函數(shù)的圖象在直線的下方.21.設(shè)數(shù)列、滿足,,,.(1)證明:,();(2)設(shè),求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:.參考答案:(1),兩式相乘得,為常數(shù)列,;(2分);(若,則,從而可得為常數(shù)列與矛
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