考點(diǎn)21 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

考點(diǎn)21數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入一、選擇題1.(2020·全國卷Ⅰ高考文科·T2)若z=1+2i+i3,則|z|= ()A.0 B.1 C.2 D.2【命題意圖】本題主要考查向量的模的計(jì)算公式的應(yīng)用,屬于容易題.【解題指南】先根據(jù)i2=-1將z化簡,再根據(jù)向量的模的計(jì)算公式即可求出.【解析】選C.因?yàn)閦=1+2i+i3=1+2i-i=1+i,所以|z|=12+12.(2020·全國卷Ⅰ高考理科·T1)若z=1+i,則|z2-2z|= ()A.0 B.1 C.2 D.2【命題意圖】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,重點(diǎn)考查復(fù)數(shù)的模長公式.【解析】選D.由z=1+i得,z2=2i,2z=2+2i,所以|z2-2z|=|2i-(2+2i)|=2.3.(2020·全國卷Ⅱ文科·T2)(1-i)4= ()A.-4 B.4 C.-4i D.4i【命題意圖】本題考查了復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算,意在考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.【解析】選A.(1-i)4=[(1-i)2]2=4.(2020·全國卷Ⅲ理科·T2)復(fù)數(shù)11-3i的虛部是A.-310 B.-110 C.110【命題意圖】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,涉及復(fù)數(shù)的虛部的定義.【解析】選D.因?yàn)?1-3i=1+3i(1-3i)(5.(2020·全國卷Ⅲ文科·T2)復(fù)數(shù)z·(1+i)=1-i,則z= ()A.1-i B.1+i C.-i D.i【命題意圖】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,涉及共軛復(fù)數(shù)的概念.【解析】選D.因?yàn)閦=1-i1+i=(1-i)6.(2020·新高考全國Ⅰ卷)2-i1+2i=A.1 B.-1 C.i D.-i【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,考查運(yùn)算求解能力,體現(xiàn)了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).【解析】選D.2-i1+2i=(2-7.(2020·北京高考·T2)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,2),則i·z= ()A.1+2i B.-2+i C.1-2i D.-2-i【命題意圖】考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念、乘法運(yùn)算、復(fù)數(shù)的幾何意義.【解析】選B.z=1+2i,i·z=i(1+2i)=-2+i.8.(2020·浙江高考·T2)已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i為虛數(shù)單位)是實(shí)數(shù),則a= ()A.1 B.-1 C.2 D.-2【命題意圖】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念,考查邏輯思維能力,體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).【解析】選C.因?yàn)閍-1+(a-2)i為實(shí)數(shù),所以a-2=0,a=2.填空題9.(2020·天津高考·T10)i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)8-i2+【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.【解題指南】將分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù),然后運(yùn)算化簡可得結(jié)果.【解析】8-i2+i=(答案:3-2i10.(2020·全國卷Ⅱ理科·T15)設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2滿足|z1|=|z2|=2,z1+z2=3+i,則|z1-z2|=.

【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的幾何意義,意在考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.【解析】因?yàn)閨z1|=|z2|=2,可設(shè)z1=2cosθ+2sinθ·i,z2=2cosα+2sinα·i,所以z1+z2=2(cosθ+cosα)+2(sinθ+sinα)·i=3+i,所以2(cosθ4(2+2cosθcosα+2sinθsinα)=4,化簡得cosθcosα+sinθsinα=-12所以|z1-z2|=|2(cosθ-cosα)+2(sinθ-sinα)·i|=4=8-8(cosθ答案:23【光速解題】在復(fù)平面內(nèi)記復(fù)數(shù)z1,z2對應(yīng)的向量分別為,,記z3=z1+z2=3+i,+=(如圖),則復(fù)數(shù)z3對應(yīng)的向量為,由平行四邊形法則可知:OAPB是邊長為2,一條對角線長為2的菱形,故另一條對角線的長為|z1-z2|